含参一元二次方程题型解析
含参一元二次方程的解法
含参一元二次方程的解法1. 一元二次方程的基本概念好嘞，咱们今天就来聊聊含参的一元二次方程。
说到这个，很多同学可能会皱眉，心想：“这又是什么东东？”其实啊，含参一元二次方程就是那种形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程，其中的 ( a, b, c ) 里有可能藏着参数。
这就像是一个神秘的盒子，里面可能装着你想要的答案，但你得找到钥匙才能打开它。
那么，为什么它们那么重要呢？想象一下，生活中遇到各种各样的问题，比如说，你想知道某个物体的落地时间，或者你想计算一下投篮的最佳角度，这时候，这个方程就像是你的小助手，帮你解决难题。
简直就像是数学界的小超人，听起来是不是很酷？2. 解方程的步骤2.1 代入参数首先，我们得明白，含参一元二次方程解起来可不是一件轻松的事儿。
咱们得先把参数代入到方程中去。
比方说，如果参数 ( a ) 是个数值，或者是某个变量的函数，记得要好好处理这些参数哦！一不小心，就可能把方程弄得一团糟，像个麻烦的小妖精一样。
2.2 使用求根公式接下来，真正的功夫来了！解一元二次方程常用的办法就是求根公式，公式是这样的： ( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。
看起来复杂，但没关系，咱们可以一步一步来。
首先，得计算 ( b^2 4ac ) 这个东西，听起来像是个外星人，但其实就是一个判别式，告诉你方程有没有实数解。
要是判别式大于零，那就有两个不同的实数解；如果等于零，那就只有一个解；要是小于零，那就恭喜你，方程没有实数解，像是失去了约会对象一样，心里那个失落啊。
3. 举个例子3.1 参数的具体应用咱们来举个简单的例子吧！假设你有一个方程 ( 2x^2 + 3kx + k^2 = 0 )。
在这个方程中，( k ) 就是我们的参数。
为了找到解，我们得先看看 ( k ) 的值对解有什么影响。
就像调味料，放多了或者少了，味道都不一样。
3.2 分析不同情况如果 ( k = 1 )，那么方程就变成了 ( 2x^2 + 3x + 1 = 0 )。
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
含参一元二次方程的解法 课后练习二及详解
m1＞0
时，x 2 ＝
5 m 1
＞0，
∴x ＝
5 m 1
5m 1 m 1 ，
所以 m＞1 时原方程的解是 x ＝
5m 1
m 1 ，m＜1 时原方程无实数解．
题三：
答案：B 详解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0，解得 a= 1．
题二： 题面：解方程：mx23=x2+2（m≠1）．
题三：
题面：已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ）
A． 1
B．1
C．
D ．
重难点易错点解析 题一：
课后练习详解
答案：x=± n +p．
详解：当 n≤0 时，方程（xp）2+n=0 为一元二次方程，（xp）2+n=0
故选 B．
移项得：（xp）2=-n，两边直接开平方得：xp=± n ，
x=± n +p．
金题精讲
题一： 答案：x1=3m，x2= 2m． 详解： ∵（x3m）（x+2m）=0，∴x3m=0 或 x+2m=0，∴x1= 3m，x2= 2m．
满分冲刺
题一：
答案： x1 1，．2 x mn 详解：原方程化为 (x 1)(mx n) 0，x 1 0 或
1, x2
n m
．
题二：
答案：当 m＜1 时，无解；
当 m＞1 时，x ＝ 5m 1
详解：移项得：mx2x2m=2+31，化简得：（m1）x2=5，
5 ∵m≠1，∴x2＝ m 1 ，
3.2.2含参数的一元二次不等式的解法(例题精讲)
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，()00652≠>+-a a ax ax解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(mm -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
微专题06 含参数不等式问题的处理策略(解析版)
微专题06 含参数不等式问题的处理策略【方法技巧与总结】解含参不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参不等式问题的一个难点。
解决此类问题利用函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想。
【题型归纳目录】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型） 题型三：分式、根式含参数不等式问题 题型四：绝对值含参不等式问题 【典型例题】题型一：含参数一元二次不等式（因式分解型） 例1．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式： (1)22120(0)x ax a a --<<； (2)()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝．【解析】（1）依题意22120(0)x ax a a --<<，()()430x a x a -+<，403a a <<-解得43a x a <<-，所以不等式22120(0)x ax a a --<<的解集为{}|43x a x a <<-. （2）依题意()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝，()110,1x a x a a a⎛⎫--<<< ⎪⎝⎭， 解得1a x a<<， 所以不等式()10(01)a x x a a ⎭-->⎫⎪< <⎛⎝的解集为1|x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 例2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.【解析】（1）因为2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，所以方程2320ax x ++=的两个根为,1(1)b b <，由根与系数关系得:3121b ab a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得525a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩；（2）22321(3)30(3)(1)0ax x ax ax a x ax x -+>-⇒-++>⇒-->， 当a =0，不等式为10x -<，不等式的解集为{}1x x <；当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a --<，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当0a >时，方程2321ax x ax -+=-的两个根分别为：3,1a.当3a =时，两根相等，故不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，31a <，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 当0<<3a 时，31a>，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >，.综上：当0a <时，不等式的解集为31x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭当a =0，不等式的解集为{}1x x <；当0<<3a 时，不等式的解集为{|1x x <或3}x a >.当3a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠； 当3a >时，不等式的解集为3{|x x a<或1}x >； 例3．（2022·全国·高一专题练习）设1a >，则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a---<的解集是_________. 【答案】()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】1a >时，10a -<，且1a a>， 则关于x 的不等式1(1)()()0a x a x a ---<可化为1()()0x a x a-->，解得1x a<或x a >， 所以不等式的解集为(-∞，1)(a a ⋃，)∞+．故答案为：()1,,a a⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0． (1)当a ＝2时，解关于x 的不等式；(2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．【解析】（1）当a ＝2时，不等式2x 2﹣x ﹣1＜0可化为：（2x +1）（x ﹣1）＜0， ∴不等式的解集为1{|1}2x x -＜＜；（2）不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0可化为：（x ﹣1）（ax +a ﹣1）＜0， 当a ＞0时，()1110x x a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＜，()1110x x a ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的根为：12111x x a==-，， ①当102a ＜＜时，111a -＜，∴不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，②当12a =时，111a=-，不等式解集为∅， ③当12a ＞时，111a-＞，∴不等式解集为{x |11a -＜x ＜1}，综上，当102a ＜＜时，不等式解集为1{|11}x x a-＜＜，当a 12=时，不等式解集为∅， 当12a ＞时，不等式解集为{x |11a-＜x ＜1}．．题型二：含参数一元二次不等式（不能因式分解型）例5．（2022·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式2210ax x ++<． 【解析】（1）当0a =时，原不等式210x +<，解得12x <-，∴不等式解集为1(,)2-∞-；（2）当0a >时，44a ∆=-，2()21f x ax x =++开口向上，由图象得：①若01a <<时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111----+-<a a 不等式0f x <（）的解集为1111(----+-a a ； ②若1a ≥时，0∆≤，不等式0f x <（）解集为∅； （3）当0a <时，440a ∆=->，f x （）的两个零点为1,211-±-=ax 1111-+----a a2()21f x ax x =++开口向下，由图象得不等式解集为1111(()-+-----∞⋃+∞a a； 综上可知，当0a <时不等式解集为1111()()-+-----∞⋃+∞a a； 当0a =时，不等式解集为1(,)2-∞-；当01a <<时，不等式解集为1111()----+-a a ； 当1a 时，不等式解集为∅． 例6．解关于x 的不等式： （1）2(1)10()ax a x a R -++<∈； （2）2(21)20()ax a x a R +--<∈； （3）2210()ax x a R -+<∈； （4）20(0)x x m x ++>【解析】解：（1）2(1)10ax a x -++<等价于(1)(1)0()ax x a R --<∈， 当0a =时，不等式的解集为(1,)+∞， 当0a >时，等价于1()(1)0x x a--<，即当01a <<时，不等式的解集为1(1,)a当1a =时，不等式的解集为空集， 当1a >时，不等式的解集为1(a ，1)，当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a -->，即不等式的解集为(-∞，1)(1a⋃，)+∞（2）2(21)20ax a x +--<等价于(2)(1)0()x ax a R +-<∈ 当0a =时，不等式的解集为(2,)-+∞，当0a >时，不等式等价于1()(2)0x x a -+<，不等式的解集为1(2,)a -当0a <时，不等式等价于1()(2)0x x a-+>，当102a -<<时，不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当12a =-时，不等式的解集为(-∞，2)(2--⋃，)+∞，当12a <-时，不等式的解集为(-∞，12)(a -⋃，)+∞，（3）2210()ax x a R -+<∈；当0a =时，不等式的解集为1(2，)+∞，当0a >时，且△440a =->时，即01a <<时，不等式的解集为244(2a --，244)2a+-， 当0a >是，且△440a =-时，即1a 时，不等式的解集为空集， 当0a <时，且△440a =->时，即0a <时，不等式的解集为(-∞，244244)(22a a--+-⋃，)+∞， （4）20(0)x x m x ++>， 当△140m =->时，即14m <时，20x x m ++=的根为1142m x ---=-（舍去）或1142m x -+-=，若当11402m -+->时，即0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，若当11402m -+-<时，即104m <<时，不等式的解集为空集若当11402m-+-=时，即0m =时，不等式的解集为空集当△140m =-<时，即14m >时，不等式的解集为空集， 当△140m =-=时，即14m =时，不等式的解集为空集， 综上所述当0m <时，不等式的解集为[0，114]2m-+-，当0m 时，不等式的解集为空集． 例7．解关于x 的不等式： （1）22(1)10()x a x a R -++<∈； （2）2(8)10()ax a x a R --+>∈．【解析】解：（1）△24(1)40a =+-=时，解得0a =或2-． 当0a =或2-时，不等式化为2(1)0x ±<，此时不等式的解集为∅．由△0>解得0a >或2a <-，此时不等式化为2[(1)2]x a a a -+-+ 2[(1)2]0x a a a -+++<， 解得221212a a a x a a a +-+<<+++，此时不等式的解集为： 22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++；△0<时，即20a -<<时，不等式的解集为∅． 综上可得：20a -时，不等式的解集为∅；当0a >或2a <-时，不等式的解集为22{|1212}x a a a x a a a +-+<<+++．（2）当0a =时，不等式化为810x +>，解得18x >-，此时不等式的解集为1{|}8x x >-．当0a ≠时，由△2(8)40a a =-->，解得16a >或4a <．∴当16a >或4a <且0a ≠时，不等式化为228206482064()()022a a a a a a a x x a a -+-+---+-->． 当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{|2a a a x x a -+-+>或282064}2a a a x a ---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 综上可得：当0a =时，不等式的解集为1{|}8x x >-．当16a >或04a <<时，不等式的解集为282064{2a a a xx a -+-+>或282064}2a a a x a---+<． 当0a <时，不等式的解集为228206482064{|}22a a a a a a x x a a ---+-+-+<<． 题型三：分式、根式含参数不等式问题例8．不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是( ) A ．{|0}x x a < B ．{|0x x >或4}5x a <-C ．{|}2ax x a -<<D ．4{|5x a x a -<-或0}x a <【答案】A【解析】解：不等式222a x x a -<+可化为：222244a x x ax a -<++， 即2540x ax +>，(0)a > 解得：0x >或45x a <-，又由20x a +>，且220a x -得：12a x a -<．综上可得：0x a <．故不等式222(0)a x x a a -<+>的解集是{|0}x x a <， 故选：A ．例9．（2022秋•清河区校级期中）已知a R ∈，解不等式11xa x >+-． 【解析】解：原不等式化为(1)01ax a x -++>-①（1）当0a =时，原不等式为1011x x -<⇒>-． 在①中，分子中x 的系数含有字母a ，分类讨论就从这里引起．（2）当0a ≠时，原不等式化为1()01a a x a x +-<-． ② 对于不等式②，分子中的系数a 不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变．当0a >时，原不等式等价于101a x a x +-<-． 由于11a a +>，可解得11a x a+<<．也可先确定两根1x ，212()x x x <， 然后直接写出解集．当0a <时，1()01a a x a x +-<-等价于101a x a x +->-． 由1111a a a +=+<可解得1a x a+<或1x >． 综上，当0a =时原不等式的解集为(1,)+∞． 当0a >时，解集为1(1,)a a + 当0a <时，解集为1(,)(1,)a a+-∞+∞．例10．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式(1)22a x x ->-（其中1a ≤） 【解析】()()()()411242220001222a x a x a x a x a a x x x x -------->⇔->⇔>⇔<----， 又由42122a a a a a ---=≤--及知 当01a <≤时，42,2a a ->-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，原不等式解集A 为空集； 当0a <时，42,2a a -<-则集合4{|2}2a A x x a -=<<-；综上：当01a <≤时，4{|2}2a A x x a -=<<-； 当0a =时，A 为空集； 当0a <时，4{|2}2a A x x a -=<<-. 例11．（2022·上海交大附中高一阶段练习）已知关于x 的不等式250mx x m-<-的解集为S ，若5S ∈且6S ，则实数m 的取值范围为_____;【答案】(]5[,1)25,366；【解析】由题意，2250(5)()0mx mx x m x m-<⇔--<- 故5S ∈且6S ，可得(55)(25)0(65)(36)0m m m m --<⎧⎨--≥⎩由(55)(25)0m m --<可得，1m <或25m >；由(65)(36)0m m --≥可得，5366m ≤≤因此：(]5[,1)25,366m ∈ 故答案为：(]5[,1)25,366例12．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）解下列关于x 的不等式：（a 为实数） (1)220x x a ++< (2)102ax x ->-. 【解析】（1）原不等式对应的一元二次方程为：220x x a ++=， Δ44a =-，当1a ≥时，Δ440a =-≤，原不等式无解；当1a <时，对应一元二次方程的两个解为：11x a =-- 所以220x x a ++<的解为：1111a x a --<--综上所述，1a ≥时，原不等式无解，当1a <时，原不等式的解集为{1111}xa x a --<--∣； （2）原不等式等价于()()120ax x -->， 当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，原不等式可化为()()120ax x -+-<，因为12a <，所以解集为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当102a <<时，12a >，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，原不等式等价于()11202x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 所以2(2)0x ->，解集为{}2xx ≠∣； 当12a >时，12a <，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；综上所述，当0a =时，解集为(),2-∞；当0a <时，解集为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭；当102a <≤时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当12a >时，解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.例13．（2022·全国·高一课时练习）解不等式：01axx ≤+． 【解析】()0101axax x x ≤⇔+≤+且10x +≠． 当0a >时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≤且1010x x +≠⇔-<≤， 此时原不等式的解集为{}10x x -<≤； 当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，()10ax x +≤且()1010x x x +≠⇔+≥且101x x +≠⇔<-或0x ≥， 此时原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥．综上可知，当0a >时，原不等式的解集为{}10x x -<≤；当0a =时，原不等式的解集为{}1x x ≠-；当0a <时，原不等式的解集为{|1x x <-或}0x ≥． 题型四：绝对值含参不等式问题例14．（2022春•安平县校级期中）对于任意的实数x ，不等式|1|x kx +恒成立，则实数k 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．[1-，0]C ．[0，1]D ．[0，)+∞【解析】解：不等式|1|x kx +恒成立，|1|y x ∴=+的图象不能在y kx = 的图象的下方，如图所示：01k ∴；故选：C ．例15．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}24A x x =<<，{}2211B x x a =--≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()2,3【解析】由2211x a --≤，得1a x a ≤≤+，∴{}1B x a x a =≤≤+． 由A B B =，得B A ⊆.显然B ≠∅，∴214a a >⎧⎨+<⎩，解得23a <<．故答案为：()2,3.例16．（2022·全国·高一专题练习）设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1，x ∈R }，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围为___． 【答案】2≤a ≤4【解析】由|x ﹣a |＜1，得﹣1＜x ﹣a ＜1，∴a ﹣1＜x ＜a +1，由A 是B 的真子集，得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴2＜a ＜4． 又当a ＝2时，A ＝{x |1＜x ＜3}， a ＝4时，A ＝{x |3＜x ＜5}， 均满足A 是B 的真子集， ∴2≤a ≤4． 故答案为：2≤a ≤4例17．（2022·全国·高一单元测试）若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有2、3，则b 的取值范围是______． 【答案】78b ≤≤【解析】由34x b -<可得434x b -<-<，也就是4433b bx -+<<， 因为解集中的整数只有2,3，所以44123433b b-+≤<<<≤， 所以71058b b ≤<⎧⎨<≤⎩，故78b ≤≤．填78b ≤≤．例18．（2022·上海·高一课时练习）解关于x 的不等式：()1x x a a R ->-∈.【解析】两边平方，得()()221x x a ->-，即()()()2111a x a a ->-+.当1a =时，不等式解集为∅；当1a >时，不等式解集为1,2a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； 当1a <时，不等式解集为1,2a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 例19．（2022·上海嘉定·高一期末）已知集合2{|23,}A x x x x R =+<∈，集合{|1,0,}B x x a a x R =-<>∈．若A B ⊆．求实数a 的取值范围．【解析】由223x x +<得2230x x +-<，解得31x -<<，即()3,1A =-． 又由1,0x a a -<>解得11a x a -<<+，即()1,1B a a =-+．因为A B ⊆，所以1311a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥． 因此所求实数a 的取值范围是[)4,+∞．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若使不等式()2220x a x a +++≤成立的任意一个x 都满足不等式10x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >-B ．{}1a a ≥-C ．{}1a a <-D ．{}1a a ≤-【答案】B【解析】因为不等式10x -≤的解集为{}1x x ≤，由题意得不等式()2220x a x a +++≤的解集是{}1x x ≤的子集，不等式()2220x a x a +++≤，即()()20x x a ++≤， ①当2a =时，不等式的解集为{}2-，满足{}{}21x x -⊆≤；②当2a <时，不等式的解集为{}2x x a -≤≤-， 若{}{}21x x a x x -≤≤-⊆≤，则1a -≤，所以12a -≤<；③当2a >时，不等式的解集为{}2x a x -≤≤-，满足{}{}21x a x x x -≤≤-⊆≤；综上所述，实数a 的取值范围为{}1a a ≥-．故选：B ．2．（2022·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．() 1?∞--，D ．(-1，0) 【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意，若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意； 若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线， 对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ， 故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<， 当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤；当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<；故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C二、多选题4．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ）A ．5-B ．3-C ．πD ．5【答案】ABD【解析】解不等式2280x x -->，得4x >或2x <-解方程22(27)70x k x k +++=，得127,2x x k =-=- （1）当72k >，即72k -<-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72k x -<<- 此时不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集为7,2k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，依题意，则54k -≤-<-，即45k <≤； （2）当72k <，即72k ->-时，不等式22(27)70x k x k +++<的解为：72x k -<<-，要使不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的解集中只有一个整数， 则需满足：35k -<-≤，即53k -≤<；所以k 的取值范围为[5,3)(4,5]-.故选：ABD.5．（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈R ，关于x 的不等式()10a x x a ->-的解集可能是（ ） A ．{}1x x a <<B ．{}1x x x a 或C ．{}1x x a x 或D ．∅ 【答案】BCD【解析】当0a <时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式的解集为{}1x x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <．故选:BCD ．三、填空题6．（2022·全国·高一课时练习）已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞ 【解析】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ，(){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ， 因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =，由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞7．（2022·上海市控江中学高一期中）已知k 为正实数，关于x 的不等式()24(2)0kx k x --+<的解集为,A B A =⋂Z ，则当k 的值变化时，集合B 中的元素个数的最小值为______;【答案】6【解析】由方程240kx k --=，可解得44x k k=+≥，当且仅当2k =时，等号成立， 则42,A k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即(]2,4A -⊂，由(]{}2,41,0,1,2,3,4-⋂=-Z ，则集合B 中的元素最少有6个， 故答案为：6.8．（2022·湖南·雅礼中学高一开学考试）不等式()()221110a x a x ----<的解集是全体实数，求实数a 的取值范围________． 【答案】315a -<≤ 【解析】根据题意，当210a -≠时，可得()()222Δ141010a a a ⎧=-+-<⎪⎨-<⎪⎩，解得315a -<<， 当1a =时，不等式()()221110a x a x ----<显然成立. 综上可得，315a -<≤， 故答案为：315a -<≤. 四、解答题9．（2022·全国·高一课时练习）在①A B A ⋃=，②A B ⋂≠∅，③R B A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()20ax am b x bm -++<的解集为B （其中m ∈R ）．(1)求a 、b 的值；(2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得______？【解析】（1）因为一元二次不等式2320ax x -+>的解集{1A x x =<或}x b >， 则关于x 的一元二次方程2320ax x -+=的两根分别为1、b ， 所以，32021a b a -+=⎧⎪⎨⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）可得(){}()(){}222020B x x m x m x x x m =-++<=--<. 当2m =时，(){}220B x x =-<=∅；当2m <时，()(){}{}202B x x x m x m x =--<=<<；当2m >时，()(){}{}202B x x x m x x m =--<=<<.（3）若选①，{1A x x =<或}2x >，由A B A ⋃=，则B A ⊆，当2m =时，B A =∅⊆；当2m <时，{}2B x m x A =<<⊄，不合乎题意；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊆，合乎题意.综上所述，2m ≥；选②，当2m =时，B =∅，此时A B =∅，不合乎题意；当2m <时，{}2B x m x =<<，若A B ⋂≠∅，则1m <，此时1m <；当2m >时，{}2B x x m =<<，此时A B ⋂≠∅.综上所述，1m <或2m >； 选③，{}12A x x =≤≤R .当2m =时，R B A =∅⊆；当2m <时，{}R 2B x m x A =<<⊆，则12m ≤<；当2m >时，{}2B x x m A =<<⊄R ，不合乎题意.综上所述，12m ≤≤.10．（2022·上海市杨浦高级中学高一期中）设集合{|12,},{|()(2)0,}A x x x B x x a x a x =-<<∈=--<∈R R ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【解析】当0a >时，{|2}B x a x a =<<，当0a =时，B =∅，当0a <时，{|2}B x a x a =<<，由B A ⊆，而{|12,}A x x x =-<<∈R ，若0a >，有122a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则01a <≤； 若0a =，显然B =∅A ⊆成立；若0a <，有212a a ≥-⎧⎨≤⎩（等号不同时成立），则102a -≤<； 综上，112a -≤≤. 11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合2{|12}{|40}A x x B x x ax =≤≤=-+≥，，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【解析】集合{|12}A x x =≤≤，2{|40}B x x ax =-+≥，若A B ⊆，B 一定非空，若2160a =-≤，得44a -≤≤，R B =，A B ⊆成立，若0>，即4a >或者4a ，设()24f x x ax =-+，(1)()11450f a a =-+=-≥，即5a ≤，对称轴02a <，所以4a ，(2)()2820f a =-≥，即4a ≤，对称轴22a ≥，不成立， 综上，(]4a ∞∈-，． 12．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期末（理））解关于x 的不等式()()21440ax a x a ---<∈R .【解析】①当0a =时，原不等式可化为40x --<，解得4x >-；②当0a >时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，解得14x a -<<； ③当0a <时，原不等式可化为()140x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， <i>当14a <-，即104a -<<时，解得1x a <或4x >-； <ⅱ>当14a =-，即14a =-时，解得4x <-或4x >-； <ⅱ>当14a >-，即14a <-时，解得4x <-或1x a>. 综上所述，当14a <-时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或； 当14a =-时，不等式解集为{}4x x ≠-；当104a -<<时，不等式解集为14x x x a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或；当0a =时，不等式解集为{}4x x >-；当0a >时，不等式解集为14x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.13．（2022·全国·高一专题练习）当a ≤0时，解关于x 的不等式()21220ax a x +--≥．【解析】由()21220ax a x +--≥可得（ax ＋1）（x －2）≥0①当a ＝0时，原不等式即x －2≥0﹐解得x ≥2﹔②当a <0时，（ax ＋1）（x －2）≥0，方程（ax ＋1）（x －2）＝0的两根为11x a =-，22x = 当12a =-时，原不等式解为：x ＝2﹔ 当102a -<<时，12a ->，原不等式的解为；12x a ≤≤-， 当12a <-时，12a -<，原不等式的解为：12x a -≤≤，综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{}2x x ≥； 当12a =-时，原不等式的解集为{}2x x =； 当102a -<<时，原不等式的解集为：12x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭； 当12a <-时，原不等式的解为：12x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．14．（2022·全国·高一专题练习）解关于x 的不等式 220x x a ++>．【解析】方程220x x a ++=中()4441a a =-=-，①当10a -<即1a >时，不等式的解集是R ，②当10a -=，即1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，③当10a ->即1a <时，由220x x a ++=解得：121111x a x a =--=--，1a ∴<时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，综上，1a >时，不等式的解集是R ，1a =时，不等式的解集是{|1}x x ∈≠-R ，1a <时，不等式的解集是{|11>-+-x x a 11}<--x a ，15．（2022·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）已知关于x 不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．(1)求实数a 、b 的值.(2)解关于x 不等式2ax -+(ac+b)x -bc>0.【解析】(1)因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且0,a > b >1． 由根与系数的关系得3121b ab a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩.(2)原不等式化为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，不等式的解集为∅．16．（2022·安徽宣城·高一期中）（1）已知不等式2320mx x +->的解集为{}2x n x <<，求m ，n 的值； （2）求关于x 的不等式()210x a x a +--> （其中a R ∈）的解集.【解析】（1）由题意4620m +-=，1m =-，不等式为2320x x -+->，即2320x x -+<，解得12x <<，所以1n =；（2）不等式2(1)0x a x a +-->可化为(1)()0x x a -+>，1a <-时，1x <或x a >-，1a =-时，1x ≠，1a >-时，x a <-或1x >．综上，1a ≤-时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞-+∞，1a >-时，解集为(,)(1,)a -∞-+∞．。
含参一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式的解法温县第一高级中学数学组 任利民解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类例1解关于x 的不等式2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a-的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2x ≠ 当12a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.二、 根据判别式的符号分类例2解关于x 的不等式2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0∆>∆=∆<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等式的解集.解：不等式所对应方程的判别式216a ∆=- ① 当0∆>，即4a >或4a <-时，原不等式所对应方程的两根为: 4a x --=或4a x -+=,原不等式的解集为{4a x x -+>或}4a x --< ② 当0∆=，得4a =±. 当4a =时,原不等式的解集为{x x R ∈且1}x ≠-.当4a =-时,原不等式的解集为{xx R ∈且1}x ≠. ③ 当0∆<，即44a -<<时, 原不等式的解集为R .【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a 讨论时，4±的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类.三、 根据二次项系数的符号分类例3解关于x 的不等式220ax x a -+<. 分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a=时，是一次不等式；0a ≠时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号 解：①当0a=时,原不等式的解集为{0}x x >. 当0a ≠时,原不等式所对应方程的判别式244a ∆=-.② 当0a>时, 0∆>，即01a <<时,原不等式的解集为11{}x x a a-+<<. 当0∆=，即1a =时，原不等式的解集为φ.当0∆<，即1a >时，原不等式的解集为φ.③ 当0a <时, 0∆>，即10a -<<时,原不等式的解集为1{x x a +<或1}x a-> 当0∆=，即1a =-时，原不等式的解集为{1}x x ≠-.当0∆<，即1a <-时，原不等式的解集为R .【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a>或0a <时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于的一元二次方程.x ()0222=++-x m mx （1）证明:不论为何值,方程总有实数根;m （2）为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?m 分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明: ()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵≥0()22-m ∴△≥0∴不论为何值,方程总有实数根;m （2）解:()0222=++-x m mx()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴ mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++=∵为整数,为正整数m 21,x x ∴或1=m 2=m 由题意可知:,∴ 12≠m2≠m ∴.1=m点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx ∴或01=-x 02=-mx ∴. mx x 2,121==（2）若把题目改为“已知关于的方程.”结果又将如何? x ()0222=++-x m mx 例2. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.x 05242=+--m x x （1） 求实数的取值范围;m （2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数的值.m 分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即,建立关于参数的不等式0>∆m 求解;（2）这里对参数的要求比较苛刻,有三点:①的值是整数;②保证方程的两m m 个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的的值进行检验.m 解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:; 21>m （2）由题意可得: ⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得: 2521<<m ∵为整数m ∴或.1=m 2=m 当时,,解之得:,符合题意;1=m 0342=+-x x 3,121==x x当时,,解之得:,不符合题意,舍去. 2=m 0142=+-x x 32,3221-=+=x x 综上所述,整数的值为1.m 例3. 已知关于的一元二次方程.x ()01222=+++-k k x k x （1）求证:无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）如果方程的两个实数根为,且与都为整数,求所有可能的值. 21,x x k 21x x k 分析:（1）只需证明无论取何值,都有即可;k 0>∆（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为,共21,x x 有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明: ()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论取何值,方程都有两个不相等的实数根;k （2）解:()01222=+++-k k x k x 21122112±+=±+=k k x ∴或 k k x k k x =-+=+=++=2112,12112211,21+==k x k x 当时, k x k x =+=21,1k k k x x 11121+=+=∵与都为整数 k 21x x ∴或;1-=k 1=k 当时, 1,21+==k x k x 111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵与都为整数 k 21x x ∴或.0=k 2-=k综上所述,或或或.1-=k 1=k 0=k 2-=k 例4. 关于的一元二次方程.x ()01212=++--m mx x m （1）求出方程的根;（2）为何整数时,此方程的两个根都为正整数? m 解:（1）由题意可知:,.01≠-m 1≠m ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴; 111,1121=--=-+=m m x m m x （2）∵为整数,为正整数m 21,x x 121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴或11=-m 21=-m ∴或.2=m 3=m。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
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含参一元二次方程题型解析
例1.若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的定义
例2.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是( ) A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分式方程的解
例3.若关于x的方程有两个不相等的实根，且，则a 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想
例4.若关于x，y的方程组有实数解，则实数k的取值范围是( ) A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：根的判别式
例 5.若关于x的方程有两个不相等的实根，且，则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想
例6.已知，且，则的值为( ) A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程
例7.已知，且，则的值为( )
A.9
B.-9
C.27
D.-27
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程。