机械工程测试第6章002

Rx (−τ ) = lim ∫ x(t ) x(t − τ ) dt
T →∞ 0
T
ζ← t -τ d(ζ +τ) ← dt
= lim ∫ x(ξ + τ ) x(ξ )d (ξ + τ )
T →∞ 0
T
= lim ∫ x(ξ ) x(ξ + τ )dξ
T →∞ 0
T
= Rx (τ )
(6-8) 自相关函数的性质
= R yx (−τ )
(6-19) 互相关函数的对称性
令 ζ←t+τ d(ζ-τ)=dt
4) Rxy(τ)的峰值不在 不在τ=0处，其幅值偏离原点的位置反映了两 的峰值不在 处 信号时移的大小，相关程度最高， 信号时移的大小，相关程度最高， 出现最大值， 在τ0时，Rxy(τ)出现最大值，它反映 、y(t)之间主传输通 出现最大值 它反映x(t)、 之间主传输通 道的滞后时间 滞后时间。 道的滞后时间。
1 T Rxy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt T →∞ T 0
1 T = lim ∫ x(ξ − τ ) y (ξ )d (ξ −τ ) T →∞ T 0 1 T = lim ∫ x(ξ − τ ) y (ξ )d ξ T →∞ T 0 1 T = lim ∫ y (t ) x(t − τ )dt T →∞ T 0
2 x0 = cos ωτ 2
(6-14)
T=
2π
ω
保留幅值和频率信息， 保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息
自相关函数R 的应用 自相关函数 x(τ)的应用
Rx (τ + nT ) = Rx (τ )
(6-13)
可根据自相关图的形状来判断信号的性质 周期信号的自相关函数仍为周期信号， 由性质5） 由性质 ）知，周期信号的自相关函数仍为周期信号， τ→∞时，Rx(τ)不衰减且周期与原周期一致；而对随机信号， 不衰减且周期与原周期一致； 时 不衰减且周期与原周期一致 而对随机信号， 衰减→0(µx=0)。 当τ→∞时，Rx(τ)衰减 时 衰减 。 利用自相关函数进行机械设备的故障诊断
时 延 器 法 器 分 器
y(t +τ)
(2).相关系数 (2).相关系数 用相关系数表示两个变量 、y之间的相关程度 相关系数表示两个变量x 之间的相关程度 表示两个变量 Rx , y (τ ) − µ x µ y E [( x − µ x )( y − µ y )] ρ xy (τ ) = ρ xy = (6-2) σ xσ y σ xσ y |ρxy|≤1
自相关系数ρ 自相关系数 x(τ)
ρ x (τ ) =
2 R x (τ ) − µ x
σ
(6-5)
2 x
2 2 R x (τ ) = ρ x (τ )σ x + µ x
(6-6)
ρ xy (τ ) =
Rx , y (τ ) − µ x µ y
σ xσ y
(6-3)
(1).自相关函数的性质 (1).自相关函数的性质 1） Rx(τ)的值限制范围为 ） 的值限制范围为
x(t)和y(t)均为实函数，Rxy(τ)也应当为实函数。在τ=0时，由 和 均为实函数 均为实函数， 也应当为实函数。 也应当为实函数 时 可正、 的值可正、 于x(t)和y(t)可正、可负，故Rxy(τ)的值可正、可负 和 可正 可负， 的值可正 3) 互相关函数非奇函数、非偶函数，而是Rxy(τ)= Ryx(-τ) 互相关函数非奇函数、非偶函数，而是 非奇函数
2 2 R x (τ ) = ρ x (τ )σ x + µ x (6-6)
µ x2 − σ x2 ≤ Rx (τ ) ≤ µ x2 + σ x2
2) Rx(τ)为偶函数 为偶函数
(6-7)
T T →∞ 0
ρ xy ≤ 1
(6-2)
Rx (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t + τ )dt (6-4)
x0 y0 = T =0
∫
T
0
sin(ω1t + θ ) sin[ω2 (t + τ ) + θ − ϕ ]dt
(6-20)
正余弦函数正交性
不同频不相关
6）两个同频率正弦函数的互相关函数 xy(τ) ： ）两个同频率正弦函数的互相关函数R 同频率正弦函数的互相关函数
时 延 器 乘 法 器
x(t)y(t +τ)
积 分 器
Rxy(τ)
y(t)
y(t +τ)
15
互相关系数
ρ xy (τ ) =
|ρxy(τ)|≤1
Rxy (τ ) − µ x µ y
σ xσ y
(6-16)
当ρxy(τ)=±1时，则随机变量 、y具有理想的线性关系 ± 时 则随机变量x 具有理想的线性关系 =0时 两随机变量x y完全不相关 当ρxy(τ)=0时，两随机变量x、y完全不相关
自相关函数的性质
4） 当τ→∞时，x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系，彼此无关 ） 之间不存在内在联系， 时 和 之间不存在内在联系
Rx (τ → ∞) → µ
2 x
lim (6-11) Rx (τ ) = T →∞ ∫0 x(t ) x(t + τ )dt
T
(6-4)
ρ x (τ → ∞) → 0
1 T →∞ T
∫
T
0
x(t ) y (t + τ )dt
(6-1)
随机过程的一个记录样本 设x(t)是各态历经随机过程的一个记录样本，而x(t+τ)是x(t) 是各态历经随机过程的一个记录样本， 是 时移τ后的样本 后的样本。 时移 后的样本。令x(t) ← x(t)，y(t+τ) ← x(t+τ)，则得到 ， ，则得到x(t) 的自相关函数R 的自相关函数 x(τ) 1 T Rx (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t + τ )dt (6-4) T →∞ T 0 自相关函数： 自相关函数：描述随机 过程一个时刻的幅值与另 一个时刻幅值之间 幅值之间的 一个时刻幅值之间的依赖 关系。或者说， 关系。或者说，现在的波 形与时间坐标移动了之后 波形之间的相似程度。 的波形之间的相似程度。
2.相关函数和相关系数 相关函数和相关系数
(1).相关函数 (1).相关函数
i =1 随机变量x(t)和y(t)在不同时刻的乘积平均来描述它们之 随机变量 和 在不同时刻的乘积平均来描述它们之 间的线性相关程度 称为相关函数 表示为： 线性相关程度， 相关函数， 间的线性相关程度，称为相关函数，表示为：
Rx (t )
τ
a)正弦波加随机噪声信号 正弦波加随机噪声信号 b)正弦波加随机噪声信号的自相关函数 正弦波加随机噪声信号的自相关函数
自相关分析测量转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
自相关分析的主要应用： 自相关分析的主要应用： 用来检测混肴在干扰信号 中的确定性周期信号成分。 中的确定性周期信号成分。
提取周期性转速成分。 提取周期性转速成分。
4.互相关函数 互相关函数
对于各态历经随机过程，两个随机信号 、 的互相关函 对于各态历经随机过程，两个随机信号x(t)、y(t)的互相关函 各态历经随机过程 数定义为 T
Rxy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt
T →∞ 0
(6-15)
y
当ρxy=±1时，则随机变量 、y具有理想的线性关系 ± 时 则随机变量x 具有理想的线性关系 当ρxy=0时，两随机变量 、y完全不相关 时 两随机变量x 完全不相关
y y y
x
ρ xy = 1 ρ xy = −1
x
0 ≤ ρ xy ≤ 1
x
ρ xy = 0
x
3.自相关函数 自相关函数
Rx , y (τ ) = lim
互相关函数R 互相关函数 xy(τ)——描述一个系统中的一处测点上所得的 描述一个系统中的一处测点上所得的 数据x(t)与同一系统的另外一测点数据 的另外一测点数据y(t)互相比较得出它们 数据 与同一系统的另外一测点数据 互相比较得出它们 之间的关系。也就是说，Rxy(τ)是表示两个随机信号 、y(t) 之间的关系。也就是说， 是表示两个随机信号x(t)、 是表示两个随机信号 相关性的统计量。 相关性的统计量。 x(t)
1 R (τ ) = N
∑x y
i
(6-1)
N
i +τ
1 Rx , y (τ ) = lim T →∞ T
∫
T
0
x(t ) y (t + τ )dt
式中，τ∈(-∞, ∞)，表示时间位移，或时延，为连续变量，与t 式中， ∈ ，表示时间位移，或时延，为连续变量， 无关。 无关。 积 x(t) 乘 x(t)y(t +τ) Rxy(τ) y(t)
峰值 点
互相关函数的性质
5）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零 ）两个不同频率的周期信号，其互相关函数为零 不同频率的周期信号 x(t)＝x0Sin(ω1t+θ)，y(t)＝y0Sin(ω2t+θ-φ) ＝ ， ＝
1 T Rxy (τ ) = lim ∫ x(t ) y (t + τ )dt T →∞ T 0 1 T = ∫ x0 sin(ω1t + θ ) y0 sin[(ω2 (t + τ ) + θ − ϕ ]dt T 0
(6-17)
(6-18)
ρ xy (τ ) =
Rxy (τ ) − µ x µ y
|ρxy(τ)| ≤1
σ xσ y
(6-16)