中考数学专题复习5一次函数及其运用(解析版)

一次函数及其运用复习考点攻略考点01 一次函数相关概念1.正比例函数：一般地.形如y=kx（k是常数.k≠0）的函数.叫做正比例函数.其中k叫做正比例系数．2. 一次函数：一般地.形如y=kx+b(k.b为常数.且k≠0)的函数叫做x的一次函数。

特别地.当一次函数y=kx+b中的b=0时.y=kx（k是常数.k≠0）．这时.y叫做x的正比例函数．3. 一次函数的一般形式：一次函数的一般形式为y=kx+b.其中k.b为常数.k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0.（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.【注意】（1）正比例函数是一次函数.但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下.一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数.就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 【例1】下列函数中.正比例函数是A．y=23xB．y=213x-C．y=34x D．y=12（x-1）【答案】C【解析】A.分母中含有自变量x.不是正比例函数.故A错误；B.y=213x-是一次函数.故B错误；C.y=34x是正比例函数.故C正确；D.y=12（x-1）可变形为y=12x-12是一次函数.故D错误．故选C．【例2】下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝1x；（4）y＝x2.其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：（1）y＝﹣x是正比例函数.是特殊的一次函数.故正确；（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义.故正确；（3）y＝1x属于反比例函数.故错误；（4）y＝x2属于二次函数.故错误．综上所述.一次函数的个数是2个．故选：B．考点2 一次函数的图像和性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0.0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k <0 图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0.b)和(-bk.0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0.向上平移b个单位长度；b<0.向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线.由两点确定一条直线可知画一次函数图象时.只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b (k≠0)k>0.b>0 一、二、三y随x的增大而增大k>0.b<0 一、三、四y=kx+b (k≠0)k<0.b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0.b<0 二、三、四（3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2.b1≠b2.两直线平行；②当k1=k2.b1=b2.两直线重合；③当k1≠k2.b1=b2.两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时.两直线垂直．【例3】已知正比例函数y=x的图象如图所示.则一次函数y=mx+n图象大致是A．B．C． D．【答案】C【解析】利用正比例函数的性质得出＞0.根据m、n同正.同负进行判断．由正比例函数图象可得：＞0.mn同正时.y=mx+n经过第一、二、三象限；mn同负时.经过第二、三、四象限.故选C．【例4】已知一次函数的图象经过点.且y随x的增大而减小.则点的坐标可以是（）A．()1,2-B．()1,2-C．()2,3D．()3,4【答案】Bmnmnmn【解析】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小.∴k ﹤0.A ．当x=-1.y=2时.-k+3=2.解得k=1﹥0.此选项不符合题意；B ．当x=1.y=-2时.k+3=-2,解得k=-5﹤0.此选项符合题意；C ．当x=2.y=3时.2k+3=3.解得k=0.此选项不符合题意；D ．当x=3.y=4时.3k+3=4.解得k=13﹥0.此选项不符合题意.故选：B ．考点3 待定系数法求一次函数解析式（1）待定系数法：先设出函数解析式.再根据条件确定解析式中未知数的系数.从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．（2）待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤： ①设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式.得到关于系数k 的一元一次方程． ③解方程.求出待定系数k ．④将求得的待定系数k 的值代入解析式． （3）待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数k 、b 的函数解析式y =kx +b ．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式.得到关于系数k .b 的二元一次方程组．③解二元一次方程组.求出k .b ． ④将求得的k .b 的值代入解析式．【例5】一次函数图象经过（3.1）.（2.0）两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求当x =6时.y 的值． 【答案】y =x –2；4【解析】（1）设一次函数解析式为y =kx +b .把（3.1）.（2.0）代入得.解得. 所以这个一次函数的解析式为y =x –2； （2）当x =6时.y =x –2=6–2=4．考点4 一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区一般形式y =kx +b （k 是常数.且k ≠0） y =kx +b （k .b 是常数.且k ≠0）3120k b k b +=+=⎧⎨⎩12k b ==-⎧⎨⎩别图象经过原点的一条直线一条直线k.b符号的作用k的符号决定其增减性.同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k.b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x.y的对应值或一个点的坐标需要两对x.y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样.都是过两点画直线.但画一次函数的图象需取两个不同的点.而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b （k≠0.b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时.y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时.y的值随x值的增大而减小．A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）【答案】A【解析】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位.∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故选：A．考点5.一次函数与方程（组）、不等式（1）一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k.b为常数.且k≠0)的形式．从函数的角度来看.解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑.解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．（2）一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a.b为常数.且a≠0）的形式．从函数的角度看.解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看.就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．（3）一次函数与二元一次方程组一般地.二元一次方程mx+ny=p（m.n.p是常数.且m≠0.n≠0）都能写成y=ax+b（a.b为常数.且a≠0）的形式．因此.一个二元一次方程对应一个一次函数.又因为一个一次函数对应一条直线.所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知.一个二元一次方程对应两个一次函数.因而也对应两条直线．从数的角度看.解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时.两个函数的值相等.以及这两个函数值是何值；从形的角度看.解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标.一般地.如果一个二元一次方程组有唯一解.那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．【例7】已知直线y=mx+n（m.n为常数）经过点（0.–2）和（3.0）.则关于x的方程mx+n=0的解为A．x=0 B．x=1C．x=–2 D．x=3【答案】D【解析】直线y=mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n=0的解．∵直线y=mx+n（m.n为常数）经过点（3.0）.∴当y=0时.x=3.∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．故选D．【例8】如图为y=kx+b的图象.则kx+b=0的解为x= （）A．2 B．–2C．0 D．–1【答案】D【解析】从图象上可知.一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1.所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．【例9】如图.正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m.2）.一次函数的图象经过点B（−2.−1）.（1）求一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式组−1<kx+b<2x的解集．【答案】（1）y =x +1；（2）x >1【解析】（1）∵点A （m.2）在正比例函数y =2x 的图象上.∴2=2m .解得：m =1. ∴点A 的坐标为（1.2）将A （1.2）、B （−2.−1）代入y =kx +b .221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：k =b =1∴一次函数的解析式为y =x +1 （2））∵在y =x +1中.1>0. ∴y 值随x 值的增大而增大. ∴不等式–1<x +1的解集为x >–2．观察函数图象可知.当x >1时.一次函数y =x +1的图象在正比例函数y =2x 的图象的下方. ∴不等式组–1<x +1<2x 的解集为x >1．【例10】如图.函数y =kx +b 与y =mx +n 的图象交于点P （1.2）.那么关于x .y 的方程组的解是A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.所以方程组的解是．故选A ．y kx by mx n =+=+⎧⎨⎩12x y ==⎧⎨⎩21x y ==⎧⎨⎩23x y ==⎧⎨⎩13x y ==⎧⎨⎩y kx by mx n =+=+⎧⎨⎩12x y ==⎧⎨⎩考点6.一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标.或两条直线的交点坐标.进而将点的坐标转化成三角形的边长.或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行.可以采用“割”或“补”的方法．【例11】在平面直角坐标系中.O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x 交于点A、B.则△AOB的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：在y＝x+3中.令y＝0.得x＝﹣3.解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得.12xy=-⎧⎨=⎩.∴A(﹣3.0).B(﹣1.2).∴△AOB的面积＝12⨯3×2＝3.故选：B．考点7.一次函数的实际应用（1）主要题型：①求相应的一次函数表达式；②结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．（2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的自变量与因变量；②通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤检验所求解是否符合实际意义；⑥答．（3）方案最值问题：对于求方案问题.通常涉及两个相关量.解题方法为根据题中所要满足的关系式.通过列不等式.求解出某一个事物的取值范围.再根据另一个事物所要满足的条件.即可确定出有多少种方案．（4）方法技巧求最值的本质为求最优方案.解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来.再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解.由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数.则应分类讨论.先计算出每个分段函数的取值.再进行比较．【例12】某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作.按计划20辆汽车都要装运.每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满.根据表中提供的信息.解答下列问题：物资种类 食品 药品 生活用品每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为x .装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式； （2）如果装运食品的车辆数不少于5辆.装运药品的车辆数不少于4辆.那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下.若要求总运费最少.应如何安排车辆？并求出最少总运费． 【解析】（1）由题意可得.6x +5y +4（20-x -y ）=100.化简.得y =20-2x .即y 与x 的函数关系式是y =-2x +20；（2）由题意可得..解得5≤x ≤8.即车辆的安排有四种方案. 方案一：运食品的5辆车.装运药品的10辆车.装运生活用品的5辆车； 方案二：运食品的6辆车.装运药品的8辆车.装运生活用品的6辆车； 方案三：运食品的7辆车.装运药品的6辆车.装运生活用品的7辆车； 方案四：运食品的8辆车.装运药品的4辆车.装运生活用品的8辆车； （3）由题意可得.w =120×6x +160×5y +100×4（20-x -y ）=-480x +16000.∵5≤x ≤8.∴当x =8时.w 最小.此时w =-480×8+16000=12160（元）. 即在（2）的条件下.若要求总运费最少.应安排运食品的8辆车.装运药品的4辆车.装运生活用品的8辆车.最少总运费是12160元．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）52204x x ≥-+≥⎧⎨⎩1.下列函数①y =﹣2x +1.②y =ax ﹣b .③y =﹣6x.④y =x 2+2中.是一次函数的有 A ．①② B ．①C ．②③D ．①④【答案】B【解析】①y =﹣2x +1符合一次函数定义.故正确； ②y =ax ﹣b 中当a =0时.它不是一次函数.故错误； ③y =﹣6x属于反比例函数.故错误； ④y =x 2+2属于二次函数.故错误； 综上所述.是一次函数的有1个． 故选B ．2.一次函数y =–2x +b .b <0.则其大致图象正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为k =–2.b <0.所以图象在第二、三、四象限.故选B ． 3.一次函数y =kx +b 的图象如图所示.则关于x 的方程kx +b =–1的解为A ．x =0B ．x =1C ．x =12D ．x =–2【答案】C【解析】∵一次函数y =kx +b 的图象过点（.–1）.∴关于x 的方程kx +b =–1的解是x =．故选C4. 如图.一次函数y 1=x ＋b 与一次函数y 2=kx ＋4的图象交于点P （1.3）.则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋4的解集是1212A ．x >﹣2B ．x >0C ．x >1D ．x <1【答案】C【解析】当x >1时.x +b >kx +4.即不等式x +b >kx +4的解集为x >1.故选C ．5. 如图.直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P .当kx b x +≥时.则x 的取值范围为（ ）A ．1x ≤B ．1x ≥C ．1x <D ．1x >【答案】A【解析】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<.可得1k b +=.即1k b -=-. 整理kx b x +≥得.()10k x b -+≥.∴0bx b -+≥.由图像可知0b >.∴10x -≤.∴1x ≤.故选：A ．6.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后.兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先.就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来.发现乌龟已经超过它.于是奋力直追.最后同时到达终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程.t 为赛跑时间.则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于乌龟.其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇.其路程不断增加；最后同时到达终点.可排除B .D 选项 对于兔子.其运动过程可分为三段：据此可排除A 选项.开始跑得快.所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．故选：C7.若一次函数y ＝ax +b 的图象经过一、二、四象限.则下列不等式中能成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0C ．a +b ＞0D ．a ﹣b ＜0【答案】D【解析】∵一次函数y ＝ax +b 的图象经过一、二、四象限. ∴a ＜0.b ＞0. ∴a ﹣b ＜0.即选项A 、B 、C 都错误.只有选项D 正确； 故选：D ．8.如图.直线y ＝kx +b 交直线y ＝mx +n 于点P （1.2）.则关于x 的不等式kx +b ＞mx +n 的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＜2【答案】C【解析】如图所示.直线y ＝kx +b 交直线y ＝mx +n 于点P （1.2）. 所以.不等式kx +b ＞mx +n 的解集为x ＜1． 故选：C ．9.如图.一束光线从点()4,4A 出发.经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,.则点C 的坐标是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,2【答案】B【解析】如图所示.延长AC 交x 轴于点D ．设()0,C c∵这束光线从点()4,4A 出发.经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,.∴由反射定律可知.1OCB ∠=∠.∵∠1=∠OCD .∴OCB OCD ∠=∠.∵CO DB ⊥于O .∴COD COB ∠=∠=90°.在COD ∆和COB ∆中OCD OCBOC OC COD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴()COD COB ASA ∆≅∆.∴1OD OB ==.∴()1,0D -.设直线AD 的解析式为y kx b =+.∴将点()4,4A .点()1,0D -代入得：440k bk b =+⎧⎨=-+⎩.解得：4545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴直线AD 的解析式为：4455y x =+.∴点C 坐标为40,5⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 10.如图1.点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发.沿A →D →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B .图2是点F 运动时.△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象.则a 的值为A 5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】如图.过点D作DE⊥BC于点E．.由图象可知.点F由点A到点D用时为a s.△FBC的面积为a cm2．∴AD=a.∴DE•AD=a.∴DE=2.当点F从D到B时.∴BD.Rt△DBE中.BE.∵四边形ABCD是菱形.∴EC=a–1.DC=a.Rt△DEC中.a2=22+（a–1）2.解得a=.故选C．第二部分填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知函数y=（m+2）是正比例函数.则m的值是__________．【答案】2【解析】∵函数y=（m+2）x m2−3是正比例函数.∴m2–3=1.m+2≠0.解得：m=2．故答案为：2．12.把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度.再向上平移2个单位长度.则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y＝2x+3【解析】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度.得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1.再向上平移2个单位长度.得到y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．13.如图.直线542y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点.把AOB绕点B逆时针旋转90°1255()2222=521BD DE--=5223mx-后得到11AO B .则点1A 的坐标是_____．【答案】（4.125） 【解析】解：在542y x =+中.令x=0得.y=4.令y=0.得5042x =+.解得x=8-5. ∴A （8-5.0）.B （0.4）.由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B .∠ABA 1=90°. ∴∠ABO=∠A 1BO 1.∠BO 1A 1=∠AOB=90°.OA=O 1A 1=85.OB=O 1B=4. ∴∠OBO 1=90°.∴O 1B ∥x 轴.∴点A 1的纵坐标为OB -OA 的长.即为48-5=125； 横坐标为O 1B=OB=4.故点A 1的坐标是（4.125）.故答案为：（4.125）． 14.如图.直线y ＝kx +b （k 、b 是常数k ≠0）与直线y ＝2交于点A （4.2）.则关于x 的不等式kx +b ＜2的解集为_____．【答案】x ＜4【解析】解：∵直线y ＝kx +b 与直线y ＝2交于点A （4.2）.∴x ＜4时.y ＜2. ∴关于x 的不等式kx +b ＜2的解集为：x ＜4．故答案为：x ＜4．15.直线2y x =+经过()11,M y .()23,N y 两点.则1y ______2y （填“>”“<”或“=”）． 【答案】<【解析】根据直线2y x =+经过()11,M y .()23,N y 两点.可分别将M 、N 的坐标代入得.1123y =+=.2325y =+=.则12y y ＜．故答案为：＜16.如图.直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M .与y 轴交于点A .以OA 为边作正方形ABCO .点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E .交x 轴于点1O .过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C .点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E .交x 轴于点2O .过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A .以22O A 为边作正方形2222O A B C ..则点2020B 的坐标______．【答案】()20202020231,3⨯-【解析】解：∵AM 的解析式为1y x =+.∴M （-1.0）.A （0.1）.即AO=MO=1.∠AMO=45°. 由题意得：MO=OC=CO 1=1.O 1A 1=MO 1=3.∵四边形1111O A B C 是正方形.∴O 1C 1=C 1O 2=MO 1=3.∴OC 1=2×3-1=5.B 1C 1=O 1C 1=3.B 1（5.3）. ∴A 2O 2=3C 1O 2=9.B 2C 2=9.OO 2=OC 2-MO=9-1=8.综上.MC n =2×3n .OC n =2×3n -1.B n C n =A n O n =3n . 当n=2020时.OC 2020=2×32020-1.B 2020C 2020 =32020.点B()20202020231,3⨯-.故答案为：()20202020231,3⨯-第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17. 已知一次函数y =kx +b.当x =3时.y =14.当x =–1时.y =–6. （1）求k 与b 的值；（2）当y 与x 相等时.求x 的值.【答案】(1)51k b =⎧⎨=-⎩ (2)14 【解析】（1）∵当x =3时.y =14.当x =–1时.y =–6.∴3146k b k b +=⎧⎨-+=-⎩.∴51k b =⎧⎨=-⎩；（2）∵51k b =⎧⎨=-⎩.∴y =5x –1. 当y 与x 相等时.则x =5x –1. ∴x =14. 18. 已知y –3与3x +1成正比例.且x =2时.y =6.5．（1）求y 与x 之间的函数关系式.并指出它是什么函数； （2）若点（a .2）在这个函数的图象上.求a 的值． 【答案】（1）一次函数。