八年级数学竞赛专题训练12 心中有数(附答案)
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
12分数综合应用题专题训练(乘法与加减法综合) (1)
分数综合应用题专题训练（乘法与加减法综合）1. 一本书共100页,小红第一天看了全书的41,第二天看了全书的51,第三天应从第( )页看起｡2. 幼儿园买来100千克苹果,吃了1/5,吃了多少千克?3. 一个网页九月份有8000人浏览,其中学生人数占252,教师的人数占403,浏览网页的学生和教师共有多少人?4. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,两次共运去多少吨?5. 一袋面粉80千克吃了它的53,还剩( )千克6. 一批煤480吨,用去41,还剩下多少吨?7. 小明看一本120页的书,已看了52｡还剩下多少页没看?8. 甲乙两地相距420千米,一辆汽车行驶了全程的57 ,行驶了多少千米?9. 一箱橘子重12千克,卖出34 ,卖出了( )千克;10. 一桶油重30千克,倒出这桶油的60%,倒出了多少千克? 11.一桶汽油重80千克,第一次用去83,第二次用去51,还剩多少千克?12. 小红看一本120页的书,第一天看了全书的15 ,第二天看了全书的38 ,还剩多少页没有看?13. 修路队要修一段360米的路,第一周修了全长的92,第二周修了全长的41｡两周一共修路多少米?14. 草地上有180只羊在吃草,其中29 是山羊,其余的都是绵羊｡绵羊占总只数的几分之几?绵羊有多少只? 15. 挖一条20千米的水渠,第一天挖了全长的41,第二天挖了全长的51,(根据下面问题列式计算)a ､两天共挖了多少千米? b ､第一天比第二天多挖多少千米? C ､还剩下多少千米?16. 庆丰粮店运进1800千克大米,卖出5/9,还剩多少千克?17. 一本书有240页,已读了41,还剩多少页没读?18. 国家一级保护动物野生丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的41｡我国约有多少只?19. 南山小学共占地8000平方米,其中绿地面积占65%,其余为教学楼和道路等,南山小学的绿地面积有多少平方米?教学楼和道路等有多少平方米?20. 育才小学六(2)班共有学生60人｡其中13岁的占5%,11岁的占10%,其余的都是12岁｡六(2)班11岁的和13岁的一共有多少人?12岁的比11岁的多多少人? 21. 养鸡场共养鸡3000只,其中的53是蛋鸡｡蛋鸡有多少只?22. 一条公路长90千米,已经修了全长的2013,还剩多少千米?23. 修一条1200km 的水渠,一月份修完全长的31,二月份修完全长的41,还剩多少km? 24. 新城小学有学生1200人,其中女生占全校总人数的83｡(1)男生有多少人? 831200⨯(2)女生有多少人?831-(3)男生占全校人数的几分之几?)831(1200-⨯ 25. 修路队计划修路4千米,已经修了43,修了多少千米? 26. 看一本80页的故事书,第一天看了全书的51,第二天看了全书的41,还剩多少页没有看?27. 为了筹备班上的文艺联欢会,五(1)的45名同学全部行动起来了｡全班29 的同学布置教室,25 的同学采购物品,其余的准备节目｡你能根据这些材料提两个数学问题并且解答出来吗?28. 一堆货物16吨,用去34,还剩( )吨｡29. 一套学生专用桌椅售价是150元,其中椅子价格相当于总价的30%,桌子售价多少钱?椅子呢?30. 前进乡计划挖一条300米长的隧道,已经完成了60%,还剩多少米没有挖?31. 小明统计了自己的储蓄罐里有125个硬币,其中一元的硬币占44%,五角的硬币占20%,其余的是一角硬币｡储蓄罐里共有多少元钱?32. 李明看一本120页的故事书,每一天看了全书的41,第二天看了全书的51,两天共看多少页?33. 李林小学种树200棵,其中2/5是六年级种的,1/4是五年级种的,两个年级各种多少棵? 34.学校食堂运来52吨煤,用去41,还剩下多少吨?35. 一本书共240页,看了85,是把( )看作单位1,看了多少页?还剩下多少页?剩下的页数是看了的几分之几? 36. 根据已知条件,把问题和算式用线连起来｡ 养殖场有鸡3200只,第一只卖出25 ,第二周卖出38｡第一周卖出多少只? 3200×38第二周卖出多少只? 3200×25第二周比第一周少卖多少只? 3200×25-3200×38两周一共卖出多少只? 3200×(1-25 -38 )还剩多少只? 3200×(25 +38 )37. 育才小学有360名学生,其中有5%的学生没有参加兴趣活动小组,参加兴趣活动小组的有多少人?38. 商店运进洗衣机800台,上半月买去30%,下半月买去45%,还剩多少台? 39. 一袋米50千克,卖掉了( )千克,还剩它的52｡40. 一条公路长80千米,已修好了53,还剩下多少千米?41. 甲乙两地相距100千米,一辆汽车行了全程的45 ,行了多少千米?42. 育才学校有学生1250人,其中女生占48%,男生有多少人?43. 黄豆的营养很丰富,其中蛋白质含量约占36%,脂肪含量约占18.4%｡250克黄豆中,蛋白质和脂肪共含多少克?44. 一桶油漆重8千克,用去65,还剩多少千克?45. 小李一个月有400百元生活费｡他买饭菜用去这些钱的53,买热水票用去这些钱的81,还剩多少元?46. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,还剩多少吨?47. 一本书300页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的61,还剩下多少页?48. 一本书120页,小红前三天看了全书的43,第四天应该从第几页看起?49. 从甲地到乙地180千米,某人从甲地到乙地行了全程的5/6,这时离乙地还有( )千米｡50. 一本书80页,雯雯第一天看了1/5,第二天看了1/4,第三天应从第几页看起?51. 一堆煤12吨,又运来它的14 ,又运来的煤是多少吨?52. 仓库有150吨钢材,第一次用去总数的20%,第二次用去总数的21｡还剩下多少吨钢材?53. 水泥厂仓库里有水泥500吨,甲车队一次可以运走总数的12%,乙车队一次可运走总数的20%｡如果让两个车队一起来运,一次共可运走多少吨水泥? 54. 一条公路长30米,已修了全长的65,已修的比剩下的多多少米? 55. 一根长12米的钢管,截去了31,就是短了31米｡( )56. 六班共有图书372本,其中连环画占41,故事书占31,连环画比故事书少多少本?57. 张玲看一本120页的故事书,第一天看了310 ,第二天看了15,第二天比第一天少看多少页?58. 一堆煤有40吨,用去53,用去的比剩下的多多少吨? 59. 水果店有480千克水果,其中苹果占83,苹果有多少千克?4天卖出全部苹果的52,卖出多少千克苹果?60. 48名同学参加学校数学竞赛,有61的同学取得了名次.还有多少学生没有取得名次? 61.小军看一本书,第一天看了这本书的31｡第二天看了这本书的52｡两天共看了这本书的几分之几?如果这本书150页,两天共看了多少页?62.一根绳子长1513米,用去53｡剩下多少米?63. 修一条长600m 的路,第一天修了总数的25%,第二天修了总数的15%,还剩下多少米没有修? 64. 今年共植树1050棵,其中的31是白杨树,52是槐树｡哪种树植得多?多多少棵?65. 一根电线长4米,第一次用去,第二次用去米,两次相比( )｡A ､第一次用去的多B ､第二次用去的多C ､两次用去同样多66. 学校饲养组养白兔和黑兔共28只,其中白兔占73｡黑兔有多少只?67. 一根铁丝长20米,剪去41,还剩多少米?68. 一班学生有1000个练习本,做作业用65%,还剩多少本?69. 一袋面粉50千克,已经吃了其中的53,还剩下多少千克?剩下的比吃了的少多少千克?70. 有一摞纸,共120张｡第一次用了它的35 ,第二次用了它的16,两次一共用了多少张纸?71. 6千克苹果吃掉2/3,还剩( )千克,12千克苹果吃掉3/4,还剩下( )千克｡72. 一本科技书80页,小林第一天看了它的41,第二天看了它的52,小林两天共看了多少页? 73. 一包茶叶重600克,用去53,还剩多少克?74. 10吨煤,用去54吨,还剩( )吨煤｡75. 仓库里有15吨钢材,第一次用去总数的20%,第二次用去总数的21,还剩下多少吨钢材? 76. 一箱苹果有36个,先吃掉61,再吃掉92,共吃掉多少个?77. 东方小学六年级有学生165人,参加科技兴趣小组的占116,其余的参加音乐兴趣小组,参加音乐兴趣小组的是多少人? 78. 一段公路长60千米,已经修了这段公路的53,已经修了多少千米?79. 一根钢管长12米,截去31,剩下多少米? 80. 一本书120页,读了43,还剩多少页?81. 在一次数学竟赛中获奖的同学有180人,31其中是五年级的同学,52是六年级的同学,两个年级获奖同学共有多少人?82. 小玲家到学校的路程是800米｡今天,她从家到学校,已行了全程的710,现在小玲离家多远?83. 一堆货物20吨,用去43,用去( )｡①15吨 ②5吨③10吨 ④6倍84. 电视机厂五月份计划生产电视机2400台上旬完成全月计划的52,中旬完成计划全月计划的50﹪,上旬和中旬一共生产电视机多少台? 85. 一桶汽油重800千克,用去43,还剩多少千克?86. 新建一条公路,全长480米,已建了全长的85,未建的有多少米?87. 水果店运来500筐橘子,第一天卖出它的1/5,第二天卖出它的3/10,两天共卖出这批橘子的几分之几?两天共卖出多少筐?88. 一根长5米的绳子,剪去41后,还剩( )米｡89. 张力看一本80页的小说,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4,两天看了多少页?90. 计划修一段725米长的路,已经修全长的52,还剩多少米没有修?91. 工程队修一条长1600米的公路,已经修好这条公路的75%,还剩多少米没有修?92. 修一条公路,长1000米,甲队已经修了这条路的25 ,剩下的由乙队修,乙队修多少米?93. 小华读一本120页的故事书,第1天读了全书的13 ,第二天读了全书的14 ,(1)第1天读了多少页?(2)第2天读了多少页?(3)还剩多少页没有读?94. 幼儿园买来100千克苹果,第一天吃了1/5,第二天吃了1/4,两天一共吃了多少千克? 95. 小刚有一本科技书共60页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的60%,两天共看了多少页?96. 果园里有750筐桔子,第一天运走总数的18%,第二天运走总数的16%,两天共运桔子多少筐? 97. 修一条7500米的水渠,第一期修了全长的31,第二期修了全长的61,两期共修多少米?98. 一条公路长80千米,已修好了53,修好了多少千米?99.一瓶果汁有56升,喝去31,还剩多少升?100. 洗衣机厂上半年生产洗衣机75万台,相当于全年计划的60%,再生产多少万台就可以完成全年的计划? 101.一袋味精21千克,第一天用去52,第二天与第一天用得同样多,剩下多少千克?102. 修一条2800米的水渠,第一期修了全长的15%,第二期修了全长的20%｡剩下多少千米没修?103. 修一条长95 千米的公路,第一周修了13 ,第二周修了25千米,还剩多少千米没修?104. 在一节40分钟的数学课上,探究和新知用去1/3小时,巩固练习用去1/4小时,其余的时间是多少? 105. 一根钢管长12米,截去13,剩下多少米?106. 学校买来新书240本,其中的23 分给五年级｡这里是把( )看作单位“1”,如果求五年级分到多少本?列式是( )｡107. 修一条长1800米的公路,已修了32,修了多少米? 108.商店运来白糖109吨,卖出这批白糖的31,又卖出31吨白糖｡共卖出多少吨白糖? 109. 一根铁丝长6米,用去32米,还剩2米｡ ( )110. 一桶汽油重160千克,用去43,剩下多少千克?111.一个街心花园占地85公顷,其中草坪占52,花圃占103,其余是人行道｡(1)草坪和花圃的面积一共是多少公顷?(2)草坪的面积比花圃大多少公顷?(3)人行道的面积是多少公顷?112. 商店运进洗衣机360台,卖去30%,卖去多少台?113. 修路队修一条长1200米的公路,已经修了它的43,还剩下多少米没修?114. 要修一条长600米的水渠,第一天修了全长的52,第二天修了全长的41,还剩下多少米没有修? 115. 修一条长500米的水渠,已经修了103,没有修的比已经修的多,没有修的有( )米｡116. 一桶煤油重12千克,用去43,用去多少千克? 117. 甲乙两地之间的公路长216千米｡一辆汽车从甲地开往乙地,行了全程的38,离乙地还有多少千米?118. 要挖一条长2000米的水渠,第一天挖了全长的12.5%,第二天挖了全长的27.5%,两天一共挖了多少米? 119. 一袋大米25千克,吃了一部分后,还剩52,还剩多少千克?120. 果园里有果树1200棵,其中梨树占40%,桃树占20%,两种果树共有多少棵?121. 有200辆自行车,卖出710,还剩( )辆｡122. 筑路工程队计划用三个月修完一条长3600米的公路,第一个月修了全长的41,第二个月修了全长的31,要按计划完成任务,第三个月要修多少米?123. 一批煤420吨,,烧去72,烧去多少吨?124. 长安国际酒店运来2吨大米,吃了52｡(1)吃了多少吨?(2)剩下多少吨?(3)剩下几分之几?(4)吃了的占剩下的百分之几?125. 小被看一本书120页,三天看了全书的60%,小被这三天看了多少页?126. 一袋大米25kg,已经吃了它的25 ,吃了( )kg,还剩( )kg ｡ 127. 一桶油20千克,用去一些后还剩下52｡用去多少千克?128. 上海到汉口的水路长1125千米,一艘轮船从上海开往汉口,已经行了53,离汉口还有多少千米?129. 小明看一本240页的书,第一周看了40%,第二周看了全书的25%｡两周共看多少页?130. 学校买来100千克白菜,吃了45 ,吃了多少千克?还剩多少千克? 131. 一根铁丝长12米,截去了32｡截去了多少米?132. 国家一级保护动物野生丹顶鹤,2001年全世界约有2000只,我国占其中的14 ,其它国家约有多少只?133. 一辆汽车从甲地开往乙地,全程600千米,已经行驶了全程的52,离乙地还有多少米?134. 筑路队修一条10千米的公路.第一天修了全长的51,第二天修了23米,还有多少千米没有修?135. 两个工程队合修一条长3600米的公路,甲队修了全长的127,甲队比乙队多修多少千米? 136.一批纸共120张,第一次用去它的61,第二次用去它的53｡两次共用去这批纸的几分之几?两次共用去多少张? 137. 张师傅要加工90个零件｡第一天加工了52,第二天加工了31｡两天共加工了多少个?138. 计划修一条公路长120千米,第一次修完路的25 ,第二次修全长的14 ,还剩下( )千米｡A ､120×(25 +14 )B ､120÷(1-25 -14 )C ､120-120×25 -120×14139. 小红买来一袋大米,重40千克,吃了85,还剩多少千克? 140. 一根铁丝长100米,截去45%,还剩( )米141. 公园里要修一条长1500米的人行路,已经修了全长的53,还剩多少米没有修?142. 一堆煤有30吨,烧了53,还剩下多少吨?143.骆驼驼峰中贮藏的脂肪,相当于体重的51｡一头体重225kg 的骆驼｡驼峰里含多少脂肪? 144. 一根铁丝长121米,用去21,还剩( )米｡A ､ 1B ､21C ､43145. 全班45人,31的同学扫地,91的同学洒水,其余的同学擦玻璃,擦玻璃钢的有多少人?146. 少先队员采集标本152件,其中85是植物标本,其余的是昆虫标本,昆虫标本有多少件?147. 小明看一本120页的故事书,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4｡ ①第一天看了( )页 ②第二天看了( )页 ③两天共看( )页 ④还剩( )页没看 ⑤第二天比第一天多看( )页 148. 一批重240吨货物,第一次运走总数的53,第二次运走总数的41,第一次比第二次多运多少吨?149. 同学两天共运砖1500块,第一天运了53,第二天运了多少块?150. 黄豆中蛋白质含量约占259,如果有黄豆65吨,能从中提取多少千克的蛋白质?151. 一批黄瓜240千克,卖出它的61后,还剩多少千克?152. 一捆绳子长125米,第一次用去全长的40%,第二次用去47米｡用了两次后,这根绳子短了多少米?153. 五(1)的45名同学筹备班上的文艺联欢会｡全班29 的同学布置教室,25 的同学采购物品,其余的准备节目｡你能根据这些材料提两个数学问题并且解答出来吗? 154. 一本故事书78页,第一天看了30%,第二天看了20%,还有多少页没有看?155. 小名储蓄罐里有125个硬币,其中一元的硬币占44%,五角的硬币占20%,一角的硬币占36%｡储蓄罐里共有多少钱?156. 一根木料长6米,截去32,截去多少米? 157. 一袋大米50千克,吃去这袋大米的54,还剩多少千克?158. 小明看一本120页的故事书,第一天看了全书的40%,第二天看了全书的25%,第三天应从第几页看起? 159. 一堆煤重5吨,用去52,还剩多少吨?160. 商场运来绒衣1400件,上午卖出总数的72,下午卖出总数的101,商场还剩下多少件绒衣?161. 水果市场有15吨,第一天卖出总数的20%,第二天卖出总数的21,还剩下多少吨苹果?162. 图书室新到图书800本,科技书占316 ,故事书占35,其它类书有多少本? 163. 一批零件共300个,第一天加工了101,第二天加工了151｡两天共加工了多少个?164. 一条林荫小路长1500米,已修了全长的53,修了多少米?165. 修一条2800米的水渠,第一期修了全长的20%,第二期修了全长的25%｡修了多少米?还剩下多少米没修? 166. 一班要做180面小旗,已经做了65,还有多少面没有做? 167. 某车间原计划生产1200个零件,甲组完成了15%,乙组完成了20%,甲组比乙组少生产多少个?168. 一堆煤2500千克,用去了20%,还剩多少千克? 169. 一桶油10千克,用去了这桶油的45 ,用去了多少千克?170. 某班有50人,女生占全班人数25 ,女生有( )人男生有( )人171. 商店新运来240台加热器,卖了一部分后还剩83,还剩多少台? 172.商店运进彩色电视机100台,上午卖出41,下午卖出51｡还剩下多少台?173. 人民炼铁厂四月份计划炼铁1800吨;上旬炼了原计划的52,中旬炼了原计划的209;问上､中旬共炼铁多少吨?174. 一块长方形地的面积是15公顷,用这块地的51种小麦,31种棉花,种小麦和棉花各多少公顷?175. 修一条2400米的路,第一天修了全长的31,第二天修了全长的41,第一天比第二天多修多少米?176. 小明看一本480页的书,已经看好60%,还剩下多少页没有看?177. 一摞纸共120张,第一次用去它的52,第二次用去它的61,两次共用去这摞纸的几分之几?两次共用去多少张纸? 178. 电脑公司新到500台新款电脑,上午卖了101,下午卖了103,这天共卖了电脑多少台?179. 修一条长28千米的公路,上午修了41,下午修了72｡( )?(先补充问题,再解答)180. 一堆煤2500吨,用去了20%,用去了多少吨? 181. 一条公路全长400米,已修全长的54｡已修多少米?182.183. 小明家新装了一部电话,买了一根15米长的电话线,实际只用了它的23 ,用了多少米,还剩多少米?184. 修一条长600米的山路,第一天修了全长的31,第二天修了全长的25%,还剩下多少米山路没有修?185. 小明看一本40页的故事书,第一天看了全书的41,第二天看了全书的52｡算式“)5241(40+⨯”表示 “)5241(40-⨯”表示186. 一块田有120公顷｡第一天耕了它的13 ,第二天耕了它的37.5%｡第二天比第一天多耕了多少公顷? 187. 一根绳子长9米,剪去全长的92,还剩多少米?算式:188. 一袋大米有25千克,吃了一部分后剩下的正好是这袋大米的1/4,问吃了多少千克? 189. 为举行校庆,六(2)班要做180面小旗,已经做了65,还有多少面没做? 190. 一桶油20千克,用去54,还剩下多少千克?191.工地有24立方米的沙子,第一天用去31,第二天用去85,第二天比第一天多用去多少立方米的沙子? 192. 一条绳长2米,剪去52,还剩多少米? 193. 计划生产1800个零件,第一天生产了计划的41,第二天生产了计划的61｡还剩下计划的几分之几没生产?还剩下多少个没生产?194.195. 一根绳子长4米,剪掉43,还剩下多少米? 196. 一条公路长1500米,第一天修了全长的41,第二天修了全长的51,两天一共修多少米?还有多少米没有修?197. 10米长的绳子,用去52,剩下的与用去的长度比是( )198. 学校共有2100名学生,其中男生占总人数的158｡女生有多少人?199. 有木料153立方米,用去了41,用去了多少立方米? 200. 做一项工程,25天可以全部完成｡要完成这项工程的54需要多少天?201. 一本书有240页,第一天看了83,第二天看了20%｡还剩多少页没有看?202. 蔬菜商店运来黄瓜和西红柿共350千克,其中黄瓜的重量占全部的73｡运来黄瓜多少千克?203. 学校共有学生600人｡其中低年级占16 ,中年级占25 ,其余是高年级的学生｡204. 有8千克水,用去21千克,还剩下( )千克｡205. 修一条长500米的水渠,已经修了103 ,没有修的比已经修的多这条水渠的几分之几?没有修的有多少米? 206. 有一桶油水重2千克,用去了21,还剩下121千克｡( )207. 102千克大米用去16 后还剩( )千克,用去剩下的56后还剩( )千克｡ 208. 一堆货物80吨,第一次运走了这堆货物的52,还剩下多少吨?209. 一根绳子长9米,剪去全长的92,剪去多少米?210. 学校有245本图书,借出52,借出多少本?这题是把( )看作单位“1”,求借出的本数,就是求( )的( )是多少｡211. 一根绳子长18米,剪去全长的54,还剩多少米?算式:212. 水果店水果320筐,卖出了43,卖出了多少筐?213. 一堆煤有220吨,第一天运走总数的51,第二天运走总数的41,这时还剩下多少吨没有运走?214. 修一条480米长的公路,已修了全长的85,还剩多少米没修?215.216. 一堆煤4500吨,用去一部分后还剩下94｡还剩下多少吨?217. 一本故事书240页,小兰第一天看了全书的25 ,第二天看了全书的25%｡请你根据算式补问题或根据问题列算式｡(1)算式:240×25 ｡问题:( )?(2)算式:( )｡问题两天一共看了多少页?(3)算式( )｡问题还剩下多少页没有看?218. 一本书80页,已读过它的25%再读时应从第61页读起｡( ) 219. 一根2m长的电线,煎去了21,还剩下21m. ( )220. 五年级同学收集了240节废电池,其中53是五一班收集的,31是五二班收集的,两班各收集多少节废电池?221. 一堆沙重1516 吨,用去了25 ,用去了( )吨,还剩总数的( )｡222. ab 两地相距800千米,一辆汽车从a 地开往b 地,已行了87,再行多少千米正好到达b 地?(画线段图)223. 长乐公园计划栽树240棵,第一天栽了总数的1/4,第二天栽了总数的1/6,第一天比第二天多栽几棵? 224. 一辆汽车从相距200千米的甲地开往乙地,中午休息时还剩全程的3/8没有行,汽车已经行了多少千米? 225. 幼儿园买来100千克苹果,吃了1/5,还剩多少千克? 226. 修一条800米的路,第一天修了全长的103,第二天修了全长的52｡第二天修了多少米?还剩下多少米没修?227. 10米长的电线,用去51,还剩8米｡() 228. 一堆煤80吨,用去了52,用去了多少吨? 229. 少先队员采集标本152件,其中85是植物标本,其余的是昆虫标本｡昆虫标本有多少件?230. 要挖一条2000米的水渠,第一天挖了全长的12.5%,第二天挖了全长的27.5%,还剩多少米没挖?231. 一本科技书共360页,小巧3天看完,第一天看了全书的31,第二天看了全书的52,第三天看了多少页?232. 在一块1680平方米的空地上铺草坪｡第一天铺了1/8,第二天铺了25%,余下的第三天铺完｡第三天铺多少平方米?233. 商店运进30台冰箱,卖出30%,还剩多少台? 234. 小强看一本60页的科技书,上午看了总页数的41,下午看了总页数的20%,还余下多少页没有看? 235. 一包巧克力是54千克,吃了51,还剩53千克｡() 236. 鲜鲜水果店运进30筐苹果,第一天卖出总数的51,第二天卖出总数的21,两天共卖出水果多少筐?237. 仓库里有20吨钢材,用去总数的20%,还剩下多少吨? 238. 幼儿园买来100千克苹果,第一天吃了1/5,第二天吃了1/4,还剩多少千克? 239.工地有24立方米的沙子,第一天用去31,第二天用去85,还剩下多少立方米的沙子?240. 一桶油重30千克,倒出这桶油的60%,还剩多少千克? 241. 4米长的钢管,剪下14 米后,还剩下3米｡( )242. 一本书300页,第一天看了全书的51,第二天看了全书的61,第三天应从哪一页看起?243. 一根木料长4米,用去31,用去了( )米,还剩( )米｡244. 新城小学有学生1200人,其中女生占83,女生有多少人? 245.一根电线长21米,截去41,还剩41米. ( )246. 育才小学有学生650人,其中有95%的学生入了保险,没有入保险的学生有多少人?247. 有一桶油400千克,第一次取出总数的23%,第二次取出总数的27%,第二次比第一次多取油多少千克? 248. 一本故事书162页,张杨今天看了61,他明天从第几页开始看?249. 5千克油,用去15 ,还剩下多少千克?正确的算式是( )｡① 5×15 ② 5×(1-15 ) ③ 5-15250. 甲乙两地相距180千米,一辆汽车从甲地开往乙地,上午行了全程的41,下午行了全程的31,这辆汽车离乙地还有多少千米?251. 一堆煤6吨,运走了32,剩下多少吨?252. 严重的水土流失致使每年大约有16亿吨的泥沙流入黄河,其中41的泥沙沉积在河道中,其余被带到入海口｡有多少亿吨泥沙被带到入海口?253. 一条公路长3200米,修路队第一月修了52,第二月修了41,还剩多少米没修?254. 一部书稿有240页,每一次打了它的53,每二次打了它的103,两次共打了这部书稿的几分之几?两次共打了多少页?255. 服装厂计划生产童装7200套,第一周完成了生产任务的41,第二周完成了生产任务的一半｡根据题目告诉的条件,说出以下各式所表示的意义｡A “7200)2141(+⨯”表示 ｡ B “7200)4121(-⨯”表示 ｡C “7200)21411(--⨯”表示 ｡256. 一块实验田有54公顷,其中41种大豆,种大豆多少公顷? 257. 食堂买来面粉150千克,第一天吃了51,第二天吃了31,还剩多少千克?258. 要挖一条长2000米的水渠,第一天挖了12.5%,还剩多少米没挖? 259.260. 一条公路长10千米,第一天修了全长的51,第二天修了。
初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)
初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。
当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。
则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
八年级数学竞赛专题训练试卷(二)因式分解与分式
八年级数学竞赛专题训练试卷(二)因式分解与分式一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知a 2+b 2+4a －2b+5=0，则a b a b+-的值为 ( ) (A)3 (B)13 (C)－3 (D)13- 2．a 4+4分解因式的结果是 ( )(A)(a 2+2a －2)(a 2－2a+2) (B)(a 2+2a －2)(a 2－2a －2)(C)(a 2+2a+2)(a 2－2a －2) (D)(a 2+2a+2)(a 2－2a+2)3．下列五个多项式：①ab －a －b －1；②(x －2) 2+4x ；③3m(m －n)+6n(n －m )；④x 2－2x －1；⑤6a 2－13ab+6b 2，其中在有理数范围内可以进行因式分解的有 ( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4．a ，b ，c 为△ABC 的三边且3a 3+6a 2b －3a 2c －6abc=0，则△ABC 的形状为 ( )(A)直角三角形 (B)等腰三解形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．a ，b ，c 是正整数，a ＞b ＞c ，且a 2－ab －ac+bc=7，则b －c 等于 ( )(A)1 (B)6 (C)土6 (D)1或76．若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有 ( ) (A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个7．已知x 2+ax －18能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是( )(A)3个 (B)4个 (C)6个 (D)8个8．若a=20092+20092×20102+20102，则n ( )(A)是完全平方数，还是奇数 (B)是完全平方数。
还是偶数(C)不是完全平方数，但是奇数 (D)不是完全平方数，但是偶数9．设有理数a ，b ，c 都不为零，且a+b+c=0，则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+- 的值是 ( )(A)正数 (B)负数 (C)零 (D)不能确定10．当x 分别取值12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x -+的值，将所得的结果相加，其和等于 ( ) (A)－1 (B)1 (C)0 (D)2007二、填空题(每小题4分，共40分)11．因式分解：4a 2－4b 2+4bc －c 2=_________．12．已知a 、b 为实数，且ab=1，a ≠1，设11a b M a b =+++，1111N a b =+++，则M －N 的值等于_________．13．若多项式x 3+ax 2+bx 能被(x －)和(x+4)整除，那么a=________，b=_________．14．整数a ，b 满足6ab －9a+10b=303，则a+b=_________．15．k 取________时，方程2211x k x x x x x+-=++会产生增根． 16．已知15a b +=-，a+3b=1，则22331295a ab b +++的值为__________． 17．分解因式：x 4－x 3+4x 2+3x+5=________．18．分解因式：x 2－2xy －8y 2－x －14y －6=_________．19．分解因式：24x 2－1507x －337842=_________．20．已知abc=1，a+b+c=2，a 2+b 2+c 2=3，则111111ab c bc a ca b +++-+-+-的值为_________．三、解答题(21题满分10分，22题、23题每题满分15分，共40分)21．解方程：(1)(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15=0．(2)()()()()()111511291012x x x x x x ++=+++++…+．22．已知：3(a2+b2+c2)=(a+b+c) 2，求证：a=b=c．23．小明在计算中发现：1×2×3×4+1=52，2×3×4×5+1=112，3×4×5×6+1=192，…由此他做出猜想：四个连续正整数的乘积加1必为平方数．你认为他的猜想正确吗?试说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C二、填空题11．原式=(2a+2b －c)(2a －2b+c)．12．M －N=0．13．a=1，b=12．14．a+b=15．15．k=－1或k=2时方程有增根．16．0．17．x 4－x 3+4x 2+3x+5=(x 2+x+1)(x 2－2x+5)．18．原式=x 2－(2y+1)x －(8y 2+14y －6)=x 2－(2y+1)x －2(4y+3)(y+1)=(x －4y －3)(x+2y+2)．19．原式=(3x+274)(8x －1233)．20．23- 三、解答题21．(1)原方程可整理成：(x 2+8x+7)(x 2+8x+15)+15=0．将(x 2+8x)看成整体，则有(x 2+8x) 2+22(x 2+8x)+120=0．∴(x 2+8x+12)(x 2+8x+10)=0，即x 2+8x+12=0或x 2+8x+10=0，解得x 1=－2，x 2=－6，34x =-44x =-(2)原方程可写成：1111115112x+91012x x x x x -+-+-=++++…+， 即1151012x x -=+，去分母，整理得x 2+10x 24=0， 解得x 1=12，x 2=2，且经检验是原方程的解．22．∵3(a 2+b 2+c 2)=(a+b+c) 2，∴3a 2+3b 2+3c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+26c+2ca ．∴(a 2－2ab+b 2)+(b 2－2bc+c 2)+(c 2－2ca+a 2)=0．即(a －b ) 2+(b －c) 2+(c －a) 2=0．∴a －b =0且b －c=0且c －a=0，∴a =b =c ．23．猜想正确．设四个连续正整数为n ，(n+1)，(n+2)，(n+3)(其中n 为正整数)， n(n+1)(n+2)(n+3)+l=(n 2+3n)(n 2+3n+2)+1=(n 2+3n) 2+2(n 2+3n)+1=[(n 2+3n)+1] 2∴四个连续正整数的乘积加1必为平方数．。
义务教育八年级数学竞赛例题专题讲解4：和差化积--因式分解的方法(2)初二数学试题试卷.doc
专题04和差化积•…因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1.主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其屮某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幕排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法.2.待定系数法即对所给的数学问题，根据己知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在己知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构屮去，得出需求问题的解.例题与求解【例1】x2y-y2z + z2x-x2z + y2x + z2y-2xyz因式分解后的结果是（）•A. （y_z）（x+yX—z）B. （y-z）（x-y）（x+z）C. （y + z）（^-y）（jc + z）D. （y + zX*+yX兀一z）（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幕排列，改变原式结构，寻找解题突破口. 【例2】分解因式:(1) a2 + 2h2 + 3c2 + 3ah + 4ac+5bc；（“希望杯”邀请赛试题）(2) 2x3 - x2z - 4x2y + 2xyz + 2xy2 - y2z .（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多.次数高，给分解带来一定的怵1难，不妨考虑用主元法分解.【例3】分解因式J^+（2a + l）无2+（。
2+2。
一1）兀+。
2—1 .（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因d的最高次数低于兀的最高次数，故将原式整理成字母Q的二次三项式.【例4】£为何值时，多项式/+与_2于+张+10歹+ £有一个因式是x + 2y + 2?（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，I大I此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手.【例5］把多项式4X4-4X3+5X2 -2兀+ 1写成一个多项式的完全平方式.（江西省景徳镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是4/,因此二次三项式的一般形式为2F+or + b,求出ci、 b即可.【例6】如果多项式x2-（a + 5）x + 5a-\能分解成两个一次因式（无+ b）, （x + c）的乘积（b,c 为整数），则a的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于h,c,a的方程组，通过消元、分解I大I式解不定方程，求出/?, c, a的值.能力训练 A 级1.分解因式：9a2-4b2+4bc-c2= _____________________________________ •（“希望杯”邀请赛试题）2.分解因式：兀2+5兀），+兀+ 3$ + 6〉'= ________________________（河南省竞赛试题）3.分解因式：兀2+3（兀+丿）+ 3—），+（x_y） = ________________________ .（重庆市竞赛试题）4.多项式jv，+ — 6x+8y + 7的最小值为_________________________ .（江苏省竞赛试题）5.把多项式x2-2xy+y2+2x-2y-8分解因式的结果是（）A.（兀一〉‘一4）（兀一〉‘ + 2）B. （x-y-8）C.（x-,y + 4）（x-y-2）D.（兀_y + l）（x_y_8）6.已知x2+ax-l2能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（）.A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7. 若3x 3 -fcc 2 + 4被3兀一1除后余3,则k 的值为( ).A. 2B. 4C. 9D. 10(“CASIO 杯”选拔赛试题) 8. 若a + b = -~, d + 3b = l,贝IJ36Z 2+ 12^? + 9/?2+-的值是().55 2 2 4A. 一 B ・一C.—D. 093 5（大连市“育英杯”竞赛试题）10.如果（x-tz ）（x-4）-l 能够分割成两个多项式x + b 和兀+ c 的乘积（b 、c 为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11. 已知代数式x 2-3xy-4y 2-x^-by-2能分解为关于的一次式乘积，求b 的值.（浙江省竞赛试题）9.分解因式：(1) 2a 2-b 2-ab-^-bc+2ac ；(2) (c-a)2-4(Z?-c)(a-b):(3) 疋—3兀2 + @ + 2)x —2d ；(4) 2兀~ — 7xy +6y2 + 2x —y —12 ；(5) xy(xy +1) + (xy + 3) — 2(x + y + —) —(x+y-l)，（吉林省竟赛试题）（昆明市竞赛试题）（天津市竞赛试题）（四川省联赛试题）（天津市竞赛试题）B 级1. 若x 3 +3x 2 -3x +Z:有一个因式是x+1,则£= _________________________ .（“希望杯”邀请赛试题）2. 设%3+ 3x 2 - 2xy -kx- 4y 可分解为一次与二次因式的乘积，则£= ______________________ .（“五羊杯”竞赛试题）3. 已知x-y + 4是/ 一 J?+加 + 3丿+ 4的一个因式，则加= ________________________________ .（“祖冲之杯”邀请赛试题）4. ____________________________________________________________________ 多项式x 2 +axy + hy 2 -5x+y + 6的一个因式是兀+》一2,则a + b 的值为 _____________________________5. 若x 3+ ax 2+/?x+8有两个因式兀+1和兀+ 2,则a + b =（A. 8B. 7C. 15D. 21E. 22（美国犹他州竞赛试题）6. 多项式5x 2-4^ + 4y 2+12x+25的最小值为（）.A. 4B. 5C. 16D. 25（“五羊杯”竞赛试题）7. 若M = 3x 2-8xy + 9y 2 -4x + 6y + 13 （x,y 为实数），则 M 的值一定是（）.A.正数B.负数C.零D.整数（"CAS10杯”全国初中数学竞赛试题）8. 设 w 满足 m 2n 2 ++ n 2 +1 Omn + 16 = 0,贝0 （m,n ）=（）A. （2, 2）或（一2, -2）B. （2, 2）或（2, —2）C. （2, -2）或（一2, 2）D. （-2, -2）或（一2, 2）（“希望杯”邀请赛试题） 9. £为何值时，多项式x 2-2^ + ^2+3x-5y + 2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10. 证明恒等式:a 4 + b 4 + （a b ）4 = 2（a 2 +ab+b 2）2.（北京市竞赛试题）11.已知整数a,b,c,使等式（x+a ）（x+b ） + c （x -10） = （x-1 l ）（x+1）对任意的兀均成立,求 c 的值.（山东省竞赛试题）12. 证明：对任何整数下列的值都不会等于33. x 5 +3x 4y-5x 3/ 一 15x 2y 3 + 4xy 4 +12/（莫斯科市奥林匹克试题）（北京市竞赛试题））.精品专题04和差化积——因式分斛的方法(2)例1 A 提示：将原式車新整理成关丁•丄的二次三项式.例 2 (1> (a —2b + 3C(a+b 十<■) 提示】涼式a： +(36亠4c)a+( 3/+5AH-26J<2) (.x - yY (2^ —J>捉.示2 原式= —"J 4*(2“ 一4工»+曲一A)例 3 .原式=〈攵+1)/ +(2 芒+2龙)<3+(卅+>/—文一1) =(工+1)°4-2x(x4-1 )a4-(x+ l)r (x—l) = (x4-1) (a—l〉= Cr+l)Q+a+l〉(;r"rd —1〉例4 k= 12 提示；；°±4-JTJ—2j»' = (x4~2j) (x~,y). .*•可设:原式(.ir+2y+2)(..r—・严+2=8.展开比絞对应项系数叫纭一2=10,解得212. 〔K2”， 例5原式=(2十一工+1)?. 例6 设jr — (a 5)工I % 1 =(才一外(工十c) -,+(方+小工十尿. • jbH= —(a + 5), 16c=5a —1.0)X5+②得 & + 5(, C = -26・ bc+5(b # c 〉+25=—：•“十5〉(t □)=■.IA=~4t Jb= 6.・・'仔_6 ®U=-4.1. (3a+2"-C(3a-2U2. (jr+3y)(j?+2y —1)3. (jr+y+l)(jr —$ f 3》4. -185. C6. D 7・ D9・(1> (2a+6)(“- 6+t)：(2) (a+c —2Z>):； (3〉(z 2)(x :—x —a);(4)(丄一2)+3>(2x —3y —4”⑶. -IXy-l).10 •提示，由起章得“X\fh = Ui I.0)X4-②■得 <5 十 4)G ： + 4) =—1.「•可设原式 C T+ > -r m ) < — 1 >• n )^)「比校对应项 系数御&=一6或g.&+5----------- 1 > 故L11. Tr 一3心一4〉，亠 Cr+丿心一 4y}・故“ = 5・8. DG)X10 十②為"一血+iw —-in. A(a4-10X6-M0>--ll. ；.「* 10-11上十10= — 11Jd + ic= —1. g 十 10=11, h+io=]i 或 U+io=-i“+IO= —11. ■ fa ------ 9. 諾 fa = —11,&十10=1•• U=-21叹 b ■丨：=-H ■代人①得M=0或2612.原式= (./+3x'y> —+152*)十(4” +12〉〉)= + 3y) 5/y(^-4- 3^) 4-4y (x4-3y) — (x +:iy){.r—5^^~iy) — <.z4-3y)<x 2 —y }<x s —4>;) = <x 4 3y) G-》〉(卄 ) Cr — 2 y) •当y-D 时.原式=£工33$当〉*0 时,x I 3>x-y.u~ 2y.j -2y^-y 至不相同•而33不可能分解为I 个以上 不同丙敬的积■所ab l(k= 11.或以■当工取任意整妓」取不为H的任意整数•原式#33.我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。
初中数学竞赛：圆与圆(附练习题及答案)
初中数学竞赛：圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨 (1)设大圆半径为R ，则小圆半径为R-2，建立R 的方程；(2)证明△EBC ∽△ECF ；(3)过B 、F 、C 三点的圆的圆心O ′，必在BF 上，连O ˊC ，证明∠O ′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键． 【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ；(4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．专题训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． 3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A ．2 B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ； (2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是 O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP 及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
八年级数学竞赛专题训练试卷(一)整式与根式
八年级数学竞赛专题训练试卷(一)整式与根式一、选择题(每小题4分，共40分)1．若代数式3x 2－2x+6的值为8，则代数式2312x x -+的值为 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)42．若x ，y 为有理数，4y =，则xy 的值为 ( )(A)0 (B)12(C)2 (D)不能确定 3．已知1+x+x 2+x 3=0，则1+x+x 2 +x 3+…+x 2008的值为 ( )(A)0 (B)1 (C)－1 (D)20084．已知a ＞0，b ＞0= ( )(A)1 (B)2 (C)19115．设x =y =则x ，y 的大小关系是 ( )(A)x ＞y (B)x=y (C)x ＜y (D)不能确定6．= ( ) (A)1a a -(B)1a a - (C)1a a + (D)不能确定 7．已知x 2－5x+m 能被x －2整除，则m 的值为 ( )(A)4 (B)－6 (C)6 (D)78．根据：“(x －1)(x+1)=x 2－1，(x －1)(x 2 +x+1)=x 3－1，(x －1)(x 3+x 2 +x+1)=x 4－1，(x －1)(x 4+x 3+x 2+x+1)=x 5－1，…”的规律，求出2 2007+2 2006+2 2005+…+2 3+2 2+1的末位数字是 ( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)79．设y=x 4－4x 3+8x 2－8x+8，其中x 为任意实数，则y 的取值范围是 ( )(A)一切实数 (B)一切正实数(C)一切大于或等于4的实数 (D)一切大于或等于5的实数10．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2 +3x －3y －2007的值为 ( )(A)－2008 (B)2008 (C)－1 (D)1二、填空题(每小题4分，共40分)11．多项式5x 2－4xy+y 2－8x+2025的最小值为________．12．已知x ，y 2690y y -+=．若axy －3x=y ，则a=________．13．计算：(1) =_________；=_________．14．若x 2－x －1=0，则－x 3+2x+2009的值等于_________．15．已知(x+1) 5=ax 5+bx 4+cx 3+dx 2+ex+f ，求下列各式的值：a+b+c+d+e+f=_________；b+c+d+e=__________；a+c+e=_________．16．已知a(a －1)=a 2－b －2，则222a b ab +-=__________． 17．正方形A 的周长比正方形B 的周长长96cm ，它们的面积相差960cm 2，这两个正方形的边长分别为__________和_________．18．设221a b -=221b c -=a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－c 2 a 2=_______．19．已知x =，y =x 4+y 4值为_________． 20．已知a －b=4，ab+c 2+4=0，则a+b+c 的值为_________．三、解答题(21题满分10分，22题、23题每题满分15分，共40分)2122．在一次数学考试中，老师出了一道解方程组的题：2222010x y z xy yz zxx y z⎧++=++⎨++=⎩，小明认为老师出的题目有错，没办法解，因为只有两个方程，而有三个未知数．你同意小明的观点吗?若不同意，试一试解一下这个方程组．23．已知实数2x2y=x≠y，求x+y和xy的值．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．D二、填空题11．∵原式=4x 2－4xy+y 2+x 2－8x+16+2009=(2x －y) 2+(x －4) 2+2009≥2009，∴多项式的最小值为2009．122690y y -+=，得()230y -=，∴3x+4=0且y －3=0，∴43x =-，代入axy=3x －y ，解得14a =．13．(1)．(2)原式112==．14．解法一：－x 2+2x+2009=2008．解法二：由x 2－x －1=0，得x 2－x=1．∴原式=2008．15．(1)令x=1，即可得a+b+c+d+e+f=32； (2)比较两边系数，发现a=f=1，所以b+c+d+e=30；(3)再令x=－1，可得－a+b －c+d －e+f=0，与(1)中的结论相减再除以2，即可得a+c+e=16．16．由已知得，a 2－a=a 2－b －2，则a －b=2，()2221222a b ab a b +-=-=． 17．设A ，B 两个正方形的边长分别为x ，y(x ＞y)，则由题意可得两个正方形的边长分别为32cm 和8cm ． 18．原式=6．19．由已知得，2x =2y =x+y=4，xy=1．∴x 2+y 2=(x+y) 2－2xy=14，x 4+y 4=(x 2+y 2) 2－2x 2y 2=142－2=194．20．因为a=b+4，所以代入ab+c 2+4=0，得b(b+4)+c 2+4=0，即(b+2) 2+c 2=0，所以b=－2，c=0，所以a=2．故a+b+c=0．三、解答题21b =，则有b 2－a 2=2005=5×401．∵5，401均为质数，a ，b 是正整数． 解得a=1002或a=198．∴满足条件的正整数的和为1002+198=1200．22．由(1)×2，移项得2x 2+2y 2+2z 2－2xy －2yz －2zx=0，即(x －y) 2+(y －z) 2+(z －x) 2=0，所以x=y=z ．又因为x+y+z=2010，所以x=y=z=670．23．将两等式相减得：())220x y y x --=，∵x ≠y ，∴x y +=将两等式相加得：)22x y x y ++=222x y +=．∴2xy =。
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（江苏竞赛试题）
3.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
所以应确定_______去参加射击比赛.
4.在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3， ，6，4，若这组数据
分数
50
60
70
80
90
100
人数
三（3）
2
5
10
13
14
6
三（4）
4
4
16
2
12
12
请你根据学过的统计学知识，判断这两个班在这次模拟考试中的数学成绩谁优谁次？并说明理由.
解题思路：这是一道开放性试题，看考虑问题是从哪一个侧面入手.本题因未说明从何种角度来考虑，故我们应多想几套方案.
能力训练
A级
1.大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表彰了100个节约用水模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
例题与求解
【例l】在对某班的一次数学测试成绩进行统计分析中，各分数段的人数如图所示（分数取正整数，满分100分）.请观察图形，并回答下列问题：
（1）该班有________名学生.
（2）69.5~79.5这一组的频数是_________，频率是_________.
（3）请估算该班这次测验的平均成绩.
（黄冈市中考试题）
A．20 B．28 C．72 D．78
（台湾省中考试题）
9.甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：
【例3】某校九年级学生共有900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）；
乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%；
丙：第①、②两组频率之和为0.12，且第②组与第⑥组频数都是12；
八年级数学竞赛专题训练12心中有数
阅读与思考
现代社会是一个数字化的社会，我们每个人每天都要和各种各样的数字打交道，从国民生产总值、人均消费水平、人口自然增长率、股市综合指数，到家庭的水、电、煤气的月平均数，学生的身高、体重、考试成绩，都与数字有关.“用数据说话”已成为从事许多工作的基本要求，能用数据说话的人必须具备一定的统计知识.
的平均数是5，则这组数据的中位数是_________件.
（包头市中考试题）
5.如果一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，则另一组数据 ， ， ， ， 的平均数是（）
A. B. C. D.
（天津市中考试题）
6.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是45，50，75，50，20，30，50，80，20，30．设这些零件数的平均数为 ，众数为 ，中位数为 ，那么（）
每户节水量（单户数
52
30
18
那么，5月份这100户平均节约用水的吨数为（精确到0.01吨）_________吨.
（大连市中考试题）
2.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分．得分的部分情况如下表所示：
得分
0
1
2
…
8
9
10
人数
7
5
4
…
3
4
1
已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分，那么该班
问这个表至少统计了多少人？
n
0
1
2
3
…
12
13
14
15
做对n道题的人数
7
8
10
21
…
15
6
3
1
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：从统计表中可知做对0~3道题、12~15道题的相应总人数和总题数，结合已知条件，运用方程（组）、不等式（组）等知识方法求解.
【例6】一次中考模拟考试中，两班学生数学成绩统计如下：
解题思路：从频率直方图中捕捉相关信息.
【例2】某学生通过先求 与 的平均值，再求得数与 的平均值来计算 ， ， 三个数的平均数.当 时，这个学生的最后得数是（）
A.正确的B.总小于A C.总大于A
D.有时小于A，有时等于A E.有时大于A，有时等于A
（第二届美国中学生邀请赛试题）
解题思路：按不同方法计算平均值，作差比较它们的大小.
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15．
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
（1）这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组有多少人？
（2）如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少.
（3）以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值．
A. B. C. D.
（宁夏中考试题）
7.为了了解某区九年级7 000名学生，从中抽查了500名学生的体重.就这个问题而言，下列说法正确的
是（ ）
A．7 000名学生是总体B．每个学生是个体
C．500名学生是样本D．样本容量为500
8.已知1~99中有49个偶数，从这49个偶数中取出48个数，其平均数为 ，则未取的数字是（）
（安徽省中考试题）
解题思路：本题考查了频率、频数的概念和对频数直方图的认识，要理解各组频率之和为1，各组频数之和等于总数，掌握好这些知识点，自然可以解决问题.
【例4】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中，15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加 ，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加 ．问原来在篮子A中有多少个弹珠？
（第十六届江苏竞赛试题）
解题思路：用字母分别表示篮子A，B中的弹珠数及相应的平均数，运用方程（组）来求解.
【例5】某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n（n=0，1，2，…，15）道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人？
对数据进行收集、整理、计算、分析，并在此基础上作出科学的推断，这就是数据分析，是统计学研究的基本范畴和方法，收集数据、量化处理的目的在于运用统计结果进行判断和决策.
统计学的基本思想就是用样本对总体进行估计、推理，即用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律，是从局部看整体的思想方法.