数学公式推导V1.0
初中数学常见公式的推导、应用归纳

初中数学常见公式的推导、应用归纳引言初中数学中有许多常见的公式,这些公式在解决各种数学问题时起着重要的作用。
本文将对一些常见的数学公式进行推导,并介绍它们在实际问题中的应用。
一、平方公式平方公式是初中数学中最基础也最常见的公式之一。
它可以用来求解含有平方项的算式。
平方公式的推导过程如下:假设有一个二次方程 a^2 + 2ab + b^2 = c。
我们将此方程重新排列,得到 (a + b)^2 = c,然后开方,得到a + b = √c。
这就是平方公式的推导过程。
平方公式在实际问题中的应用非常广泛。
比如,在计算一个正方形的面积时,我们可以利用平方公式(边长为 a),计算公式为a^2 = 面积。
另外,在计算一个矩形的对角线长度时,也可以使用平方公式,计算公式为 a^2 + b^2 = 对角线长度的平方。
二、勾股定理勾股定理是代数与几何相结合的一项重要定理,在初中数学中也是非常常见的。
勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长。
下面是勾股定理的推导过程:假设有一个直角三角形,其中一条直角边的长度为 a,另外两条直角边的长度分别为 b 和 c。
根据勾股定理,我们可以得到 a^2 + b^2 = c^2。
这个过程就是勾股定理的推导。
勾股定理的应用非常广泛。
比如,在建筑设计中,我们需要计算墙面的斜边长度时,可以利用勾股定理,计算公式为 a^2 + b^2 =c^2,其中 a 和 b 分别代表墙面的两边长度,c 代表斜边长度。
三、百分数计算公式百分数计算公式是初中数学中常见的公式之一,用来计算百分数和其它数值之间的关系。
下面是百分数计算公式的推导过程:假设百分数为 x%,与之对应的实际数值为 y。
根据百分数的定义,我们可以得到 x% = x/100,即百分数 x 的数值为 x 除以 100。
根据这个公式,我们可以通过已知的百分数计算其它数值,或者反过来,已知一个数值计算对应的百分数。
百分数计算公式在实际问题中非常实用。
诱导公式总结大全

v1.0 可编辑可修改诱导公式1诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式,就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。
常用的诱导公式公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三:任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六:π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶,“变与不变”指的是三角函数的名称的变化:“变”是指正弦变余弦,正切变余切。
(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是:把角α看做锐角,不考虑α角所在象限,看n·(π/2)±α是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号。
16个基本导数公式推导过程

16个基本导数公式推导过程推导过程如下:1.常数函数:f(x)=c求导结果:f'(x)=0。
证明过程:由导数定义可得,当函数为常数时,无论x取任何值,函数的增量都为0,即f(x + Δx) - f(x) = 0。
所以,f'(x) =lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。
2.幂函数:f(x)=x^n,其中n为正整数。
求导结果:f'(x) = nx^(n-1)。
证明过程:利用定义求导。
计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值,然后除以Δx,当Δx趋于0时求极限。
利用二项式展开,可以得出f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数:f(x)=e^x。
求导结果:f'(x)=e^x。
证明过程:由指数函数的性质可知,e^0 = 1,且(d(e^x)/dx) = e^x。
因此,可以据此推导出f'(x) = e^x。
4. 对数函数:f(x) = ln(x)。
求导结果:f'(x)=1/x。
证明过程:由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。
利用对数的性质,将差值化简为ln((x + Δx)/x),再除以Δx并取极限,最终得出f'(x) = 1/x。
5. 正弦函数:f(x) = sin(x)。
求导结果:f'(x) = cos(x)。
证明过程:利用极限定义求导。
计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x),然后除以Δx并取极限。
应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。
6. 余弦函数:f(x) = cos(x)。
求导结果:f'(x) = -sin(x)。
证明过程:同样应用极限定义。
计算f(x + Δx) - f(x) = cos(x + Δx) - cos(x),然后除以Δx并取极限。
泰勒公式

泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式,也是进行数学理论研究与计算的重要的工具,但大多数的高等数学教材中,对泰勒公式应用的介绍都较少,导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。
由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算,在遇到一些精度要求较高,需要进行误差估计的情况时,就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。
泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程,因此在数学中有很高的地位。
泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点,其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。
但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥,真的会让大部分同学感到困惑不解。
虽然他们已经充分预习,认真听讲,但还是会感到一头雾水,满腹疑问。
困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。
作为一个传道授业解惑的老师,我一直希望改变这种现象,希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。
所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。
例:设函数f(x)在x=x0处存在二阶导数,试证:等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。
我们回顾一下它的证明。
通过上节课的知识,我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。
但是,我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了,在第二章学习微分的时候,我们知道,如果函数f(x)在x=x0处可微,则f(x)=f(x0)+f忆(x0)(x-x0)+o(x-x0)。
这说明如果函数f(x)在x0处有一阶导数,则f(x)等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小;如果函数f(x)在x0处有二阶导数,则f(x)等于一个二次的多项式加(x-x0)2的高阶无穷小;如果函数f(x)在x0处有三阶导数呢,大家猜想,我们会得到什么结论?到了这里,学生会自然而然地想到:如果函数f(x)在x0处有三阶导数,那么f(x)就等于一个三次的多项式加(x-x0)3的高阶无穷小。
常见数学公式的推导记忆口诀

常见数学公式的推导记忆口诀一、三角函数公式1. 正弦函数(sin)公式的推导记忆口诀:余弦换位,反正弦一下,用勾股键。
具体来说,就是正弦函数公式为:$\sin A = \frac{a}{c}$,其中$a$ 表示三角形中对角为 $A$ 的边长,$c$ 为斜边长。
将其代入勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 中,得到 $b=\sqrt{c^2-a^2}$,进而推出$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}$。
最后,利用反正弦函数,得到 $A=\arcsin\frac{a}{c}$。
2. 余弦函数(cos)公式的推导记忆口诀:正弦换位,反余弦一下,用勾股键。
根据正弦公式,$\sin A = \frac{a}{c}$,则 $\cosA=\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{c^2-a^2}}{c}$。
最后,同样利用反余弦函数,得到 $A=\arccos\frac{b}{c}$。
3. 正切函数(tan)公式的推导记忆口诀:余切换位,反正切一下,上勾股键。
正切函数公式为:$\tan A = \frac{a}{b}$,则 $\cotA=\frac{1}{\tan A}=\frac{b}{a}$。
最后,利用反正切函数,得到$A=\arctan\frac{a}{b}$。
二、导数公式1. 基本初等函数求导公式的推导记忆口诀:前面保留,后面求导。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们的求导公式如下:常数函数:$(k)'=0$幂函数:$(x^n)'=nx^{n-1}$指数函数:$(a^x)'=a^x\ln a$对数函数:$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$三角函数:$$(\sin x)'=\cos x\\(\cos x)'=-\sin x \\(\tan x)'=\sec^2 x \\(\cot x)'=-\csc^2 x$$2. 基本初等函数组合求导公式的推导记忆口诀:外面求导乘里面导。
数学常见知识推导公式大全

数学常见知识推导公式大全1.二次平方差公式:$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$2.平方差公式:$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$3.三次方差公式:$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$4.比例公式:$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$,则有 $ad = bc$5.二次方和公式:$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$6.二次方差公式:$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$7.三角恒等式:(其中a,b,c为任意角度)余弦定理:$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$正弦定理:$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$余切定理:$\frac{\sin(A)}{\cos(A)} = \tan(A)$8.对数运算法则:$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$$\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$ $\log_a x^n = n \log_a x$9.二项式公式:$(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \dots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + \binom{n}{n}b^n$10.指数运算法则:$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$(a^m)^n = a^{mn}$11.对数换底公式:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$12.圆的面积和周长:圆的面积:$A = \pi r^2$圆的周长:$C = 2\pi r$13.等差数列求和公式:$a_1 + a_2 + \dots + a_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$14.等比数列求和公式:$a_1 + a_2 + \dots + a_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$,其中$r \neq 1$15.三角函数和差公式:$\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$$\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$16.三角函数和差化积公式:$\sin a + \sin b = 2 \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) \cos\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\sin a - \sin b = 2 \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) \sin\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\cos a + \cos b = 2 \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) \cos\left(\frac{a - b}{2}\right)$$\cos a - \cos b = -2 \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) \sin \left(\frac{a - b}{2}\right)$以上是一些常见的数学推导公式。
考研数学常用公式推导

考研数学常用公式推导在考研数学中,掌握常用的公式推导方法是提高解题效率和准确性的关键。
下面将介绍一些常见的数学公式的推导过程,帮助考生更好地理解和运用这些公式。
一、三角函数公式推导1. 二倍角公式二倍角公式是指将角度的两倍表达为单个角度的函数形式,常用的有:(1) 正弦函数的二倍角公式:sin 2θ = 2sinθcosθ推导过程:考虑以点A(x, y)表示角θ的终边上一点,辅助点B(x, -y)位于x轴下方与点A关于x轴对称。
设点B的坐标为B(x, -y),根据直角三角形的性质,可得到:sinθ = |AB| / |OB| = y / 1 = ysin2θ = |AB| / |OB| = |-2y| / 1 = -2ycosθ = |OA| / |OB| = x / 1 = xcos2θ = |OA| / |OB| = |2x| / 1 = 2x由此可推导得到sin 2θ = 2sinθcosθ。
(2) 余弦函数的二倍角公式:cos 2θ = cos^2θ - sin^2θ推导过程:根据正弦函数和余弦函数的关系可得到cos 2θ = cos^2θ - sin^2θ。
2. 和差角公式和差角公式用于求解两个角的和、差的三角函数值,常用的有:(1) 正弦函数的和差角公式:sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ推导过程:考虑一个单位圆O,以点A(x1, y1)和点B(x2, y2)表示角α和角β终边上的两个点。
设点A的坐标为A(x1, y1),点B的坐标为B(x2, y2),根据正弦函数和余弦函数的定义可得:sinα = y1, cosα = x1, sinβ = y2, cosβ = x2sin(α ± β) = |AC| / |OB| = |(y1 ± y2) / 1| = |y1 ± y2|cos(α ± β) = |AD| / |OB| = |(x1 ± x2) / 1| = |x1 ± x2|由此可推导得到sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ。
求数学公式的11种推导方法

求数学公式的11种推导方法在数学中,推导公式是一种常见的方法,它可以帮助我们理解数学原理和解决问题。
本文将介绍11种常用的数学公式推导方法。
1. 直接证明法直接证明法是最常见的推导方法之一。
它通过从已知的前提出发,逐步推导出所要证明的结论。
这种方法通常是通过逻辑推理和数学运算来完成的。
2. 反证法反证法是一种通过假设某个结论为假,然后导出逻辑矛盾的方法来推导公式。
如果我们能够证明该假设是错误的,那么所要证明的结论就是对的。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明递归定义上成立的方法。
它通常分为两个步骤:基础情况的证明和归纳步骤的证明。
4. 同余模运算同余模运算是一种推导数学公式的方法,它基于模运算的性质进行推导。
这种方法通常用于证明数论中的一些定理和公式。
5. 极限和极限运算极限和极限运算是一种通常用于推导数学公式的方法。
通过计算函数的极限,我们可以推导出一些公式,例如泰勒展开式和级数求和公式。
6. 向量分析向量分析是一种用于推导数学公式的方法,它基于向量运算和坐标系的概念。
通过对向量进行运算和变换,我们可以推导出许多与几何和物理相关的公式。
7. 矩阵运算矩阵运算是一种用于推导数学公式的方法,它基于矩阵的性质和运算规则。
通过对矩阵进行运算和变换,我们可以推导出许多与线性代数和线性方程组相关的公式。
8. 微积分微积分是一种用于推导数学公式的方法,它基于导数和积分的概念。
通过对函数进行微分和积分,我们可以推导出许多与曲线,曲面和体积相关的公式。
9. 概率论和统计学推导概率论和统计学是一种用于推导数学公式的方法,它基于概率和统计的概念。
通过对随机变量和概率分布进行分析,我们可以推导出许多与概率和随机过程相关的公式。
10. 微分方程推导微分方程是一种用于推导数学公式的方法,它基于微分方程的性质和解法。
通过对微分方程进行求解和变换,我们可以推导出许多与动力学和振动系统相关的公式。
11. 几何推导几何推导是一种用于推导数学公式的方法,它基于几何的性质和定理。
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这时候得到一组正交基
得到另一组正交基
{v1 v2 … v������} ������������������v������ = ������������v������ (������v������ ∙ ������v������ ) = (������v������)������(������v������) (������v������ ∙ ������v������ ) = ������������������������������������v������ (������v������ ∙ ������v������ ) = ������������������ ������������v������ = 0
A = UΣ������������ A������ = VΣ������������ AA������ = UΣ������������VΣ������������ = UΣ2������������
对������������������进行特征值分解,得到 m 个特征值和 m 个特征向量,将 m 个特征向量组成矩阵就是 U矩阵。 注意到
������������������是 m x m 方阵 A = UΣ������������ A������ = VΣ������������
A������ A = VΣ������������UΣ������������ = VΣ2������������
对������������������进行特征值分解,得到 n 个特征值和 n 个特征向量,将 n 个特征向量组成矩阵就是V 矩阵。
������������ ������������
]),分解
[ΣΣ������������������������
������������ ������������
]
=
[1 0
������������
������������
−1
]
1
[������������
−
Σ������������ Σ������������ −1Σ������������ 0
������������ = ������(v1 v2 … v������) = (Av1 Av2 … Av������) ������������ = ������(v1 v2 … v������) = (������1������1 ������2������2 … ������������������������) = UΣ
{Av1 Av2 … Av������},将其标准化
������������
=
������������������ |������������������ |
=
1 √������������
������������������
������������������ = √������������������������ = ������������������������
去掉 x,则
M������ = (x ∙ v1)Mv1 + (x ∙ v2)Mv2 M������ = (x ∙ v1)σ1u1 + (x ∙ v2)σ2u2
M������ = σ1u1(v1������������) + σ2u2(v2������������)
M = u1σ1v1������ + u2σ2v2������ 将下标相同的向量合并起来,则
−
Σ������������ Σ������������ −1Σ������������)−1 0
0 Σ������������ −1
]
[1 0
−Σ������������ Σ������������ −1 ] 1
([������������]
−
[������������������������
������
])
[ΣΣ������������������������
������������ ������������
A = U������������
AV = UΣ
或者依据上面的推导,可以得出
Av������ = ����������������
����
=
Av������ ������������
σ������ = √������������
几何意义 1
对任意矩阵 A(mxn) ������������������为 n 阶方阵,对它进行特征值分解 ������������������ = ������������ ������������
M = U������������
至此,SVD 使用3 个矩阵,������表示原始域的标准正交基
准正交基Σ表示了伸缩关系
U 表示经过M变换的域的标
2 概率统计
2.1 高斯推理
联合高斯分布p(������, ������) = ������ ([������������������������] , [ΣΣ������������������������
A = U������������
几何意义 2
v1 v2两个向量正交,经过M矩阵变换成 Mv1 Mv2也相互正交 u1 u2分别是Mv1 Mv2的单位向量
Mv1 = σ1u1 Mv2 = σ2u2 设任意向量 x 表示到v1 v2正交基上 x = (x ∙ v1)v1 + (x ∙ v2)v2 则
1 线性代数
1.1 SVD 分解
对任意矩阵 A(m x n)进行 SVD 分解 A = UΣ������������
U是 m x m 矩阵 Σ是 m x n 矩阵,除了主对角线上的元素以外全部为 0 V是 n x n 矩阵,U V都是酉矩阵 如何求出 SVD 分解后的 3 矩阵呢
������������������是 n x n 方阵
0 ������������
]
[������������
1 −1Σ������������
0 1]
[ΣΣ������������������������
������������ ������������
−1
]
=
1 [−Σ������������ −1 Σ������������
01]
[(������������