【课时通】高一数学人教版必修2课件2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2.求两异面直线所成的角需要注意的三个问题 (1)求两条异面直线a与b所成的角时,点O常取在两条异面直线中的一 条之上,或表示直线的线段的端点或中点. (2)异面直线所成角的求解实现了空间问题的平面化. (3)异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°,若求得的角大于90° 且小于180°,则其补角为异面直线所成的角.
则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角) _________________________________________________________. 0°<θ≤90° 特别地,当θ=90°时,a与b互相垂直,记作a⊥b. (2)范围:_____________.
【合作探究】
【拓展延伸】定理的几种形式 (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同,那么这 两个角相等. (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相反,那么这 两个角相等. (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且其中一组方向相 同,另一组方向相反,那么这两个角互补.
【过关小练】 1.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同,另一组边的方 向相反,若α=45°,则β=______. 【解析】由等角定理,两角两组对边分别平行,一组方向相同,另一组 方向相反,则两角互补,所以β=135°. 答案:135°
【解析】选A.①满足若a⊂α,b⊂β的直线a,b可能是异面直线,可能是 平行直线也可能是相交直线,所以①错误.②平面内的直线和平面外的 直线,可能是异面直线,可能是平行直线,也可能相交,所以②错误.③ 在空间中,没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线 ,所以③ 错误.④在空间中,两条不平行的直线还可能是异面直线,所以④错误.
主题二:异面直线所成的角
【自主认知】
1.两条直线与第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行吗?
提示:这两条直线不一定平行,还可能相交或异面.
2.已知直线a,b是两条异面直线,在空间中任取一点O,作直线a′∥a, b′∥b,那么直线a′,b′所成的角等于异面直线a,b所成的角吗?
提示:根据定理可知a′与b′所成的角等于a,b所成的角.
D.异面或相交
【解析】选D.a,b为异面直线,c,d分别与a,b都相交. 图(1)中c,d异面,图(2)中c,d相交.
2.以下四个结论: ①若a⊂α,b⊂β,则a,b为异面直线;②若a⊂α,b⊄α,则a,b为异面直 线;③没有公共点的两条直线是平行直线;④两条不平行的直线就一定 相交. 其中正确结论的个数是 A.0 B.1 ( ) C.2 D.3
主题一:空间两直线的位置关系 【自主认知】 观察如图长方体,回答下面的问题:
1.图中直线AB与CD,直线AB与A1B是什么关系? 提示:直线AB与CD平行,AB与A1B相交. 2.图中直线A1B与CC1平行吗?相交吗?它们是什么关系? 提示:直线A1B与CC1既不平行,也不相交.它们是异面直线. 3.图中AA1∥DD1,AA1∥BB1,那么BB1与DD1平行吗? 提示:平行.
1.a′与b′所成角的大小与什么有关,与点O的位置有关吗?如何选取
点O的位置?
提示:a′与b′所成角的大小只由a,b的相互位置确定,与点O的选择无 关,一般情况下为了简便,点O选取在两条直线的其中一条直线上. 2.由异面直线所成角的定义:如果两条平行线中的一条与某一条直线 垂直,那么另一条直线是否也与这条直线垂直? 提示:垂直,根据异面直线所成角的定义可知,结论成立.
➡根据以上探究过程,试着写出定理的内容及异面直线所成角的定义: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或 1.定理:______________________________________________________ 互补 _____. 2.异面直线所成的角
已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b, (1)定义:_______________________________________________________
异面
不同在任何一个平面内
平行于同一条直线的两条直线互相平行 3.公理4:___________________________________.
【合作探究】
1.空间中没有公共点的直线一定平行吗?没有公共点的两条直线一定
在同一平面内吗?
提示:如图,没有公共点的两条直线不一定平行 ,如直线a与直线b;没有 公共点的直线也不一定在同下列填空:
不同在任何一个平面内的两条直线. 1.异面直线:________________________________
2.空间直线的三种位置关系:
位置关系
相交 平行
共面情况
在同一平面内 在同一平面内
公共点个数
有且只有一个 _____________
0个 ____ 0个
2.异面直线定义中“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个 平面内”呢? 提示:不可以,因为不在这个平面内,有可能在另一个平面内,“不同在 任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面 ,使两异面直线在该 平面内”.
【过关小练】 1.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 A.异面 B.相交 C.平行 ( )
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
【阅读教材】
根据下面的知识结构图阅读教材,并识记两直线之间的位置关系,
初步掌握两异面直线所成角的求法.
【知识链接】
1.两直线的夹角:两条直线相交,形成四个角,其中不大于90°的角称
两直线的夹角.
2.平面内两直线的位置关系:平行、相交、重合.
3.平行线的传递性:在平面内,若a∥b,b∥c,则a∥c.
2.在正方体ABCD-EFGH中,AH与BD所成的角是________. 【解析】连接HF,AF,则HF∥BD,所以AH与BD所成角 等于AH与HF所成角,即∠AHF,因为AH=HF=AF,故 ∠AHF=60°. 答案:60°
【归纳总结】 1.空间两条直线的三种位置关系 (1)相交关系——同一平面内,有且只有一个公共点. (2)平行直线——同一平面内,没有公共点. (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
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高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修2
问题：空间中是否有类似规律？
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
问题 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
两直线位置关系的判定
[例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
[导入新知]
1．异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 的两条直线． (2)异面直线的画法Biblioteka 2．空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行
异面直线
特点
同一平面内，有且只有 一公个共点 同一平面内， 没公有共点
不同在 任何一个平面内， 没公有共 点
[提出问题]
平行公理及等角定理
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线互相平行．
2.探究空间中四边形的形状问题
[典例] 在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面
的棱的条数是
()
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
(1) 直 线 A1B 与 直 线 D1C 的 位 置 关 系 是 ________；
(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
提示：有．
2．观察下图中的∠AOB 与∠A′O′B′.
问题 1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？ 提示：分别对应平行． 问题 2：测量一下，这两个角的大小关系如何？ 提示：相等．
两直线位置关系的判定
[例 1] 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，判 断下列直线的位置关系：
[导入新知]
1．异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 的两条直线． (2)异面直线的画法Biblioteka 2．空间两条直线的位置关系
位置关系 相交 平行
异面直线
特点
同一平面内，有且只有 一公个共点 同一平面内， 没公有共点
不同在 任何一个平面内， 没公有共 点
[提出问题]
平行公理及等角定理
1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两 条直线互相平行．
2.探究空间中四边形的形状问题
[典例] 在空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB， BC，CD，DA 的中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[随堂即时演练]
1．如图，AA1 是长方体的一条棱，这个长方体中与 AA1 异面
的棱的条数是
()
A．6 C．5 答案：B
B．4 D．8
(1) 直 线 A1B 与 直 线 D1C 的 位 置 关 系 是 ________；
(2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________.
[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
(1)求证：四边形 BB1M1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
人教版高中数学必修二2.《空间中直线与直线之间的位置关系》教学课件共21张PPT
450 。
D
C
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
(3) 直线AB, BC,CD, DA, AB, A
B
BC,CD, DA 与直线 AA都垂直.
人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
•
6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
•
7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
(3)
想一想,做一做：
1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点， 那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？
D1 A1
D
A
M
C1
B1
N
C
B
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人教版高中数学必修二2.1.2《空间中 直线与 直线之 间的位 置关系 》教学 课件共 21张PP T
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2、 等角定理
A
A
B
C
【人教版】高中数学必修二：《空间中直线与直线之间的位置关系》ppt课件
A
E
H
D
B
G
F
C
2020/6/26
25
2020/6/26
➢复习引 ➢新课讲
➢例题入选 ➢课堂解练 ➢课堂小
讲
习
结
26
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
a
o
b
相交直线 平行直线
a b
相交直线 （有一个公共点）
平行直线
（无公共点）
D
A
B
两路相交
C
立交桥
立交桥中, 两条路线AB, CD 既不平行，又不相交
2020/6/26
14
已知:如图所示, a ,A ,B ,B a.
求证 : 直线AB与a是异面直线.
证明:(反证法)
假设直线AB与a是共面,即有平面使得AB ,a .
•A
于是A ,B .
a •B
又Q a , B ,B a. 过a和B有且只有一个平面,
即平面,于是平面与是同一个平面,即 =.
b
a
c
1
2020/6/26
b
a
c
2
b
c
a
3
13
异面直线的判定定理： 过平外一点与平面内一点的直线,和平面内不 经过该点的直线是异面直线。
分析：
证明两条直线异面，如果从定义出发直接证明，即 需要抓住“不同在任何一个平面内”中的“任何”， 若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的。因此， 必须找到一个间接法来证明，反证法是一种比较有 效的好方法。
A .这与已知A 相矛盾.
直线AB与a是异面直线.
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异面直线的判定方法：
定义法：此时需借助反证法，假设两条直线不 异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条 直线一定共面，即这两条直线可能相交，也可 能平行，然后推出 矛盾即可。
高一数学(人教A版)必修2课件：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章 2.1 2.1.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第二章 2.1 2.1.2
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高一数学必修2课件：2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面 直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时 候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．
特别提醒：两条异面直线所成角的范围：(0，2π]．
[例3] 四面体A－BCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角， E，F分别是BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
公理4、等角定理的应用
学法指导 1.公理4的作用： 公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平 行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．
2．剖析等角定理： (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 方向相同，那么这两个角相等． (2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 其中一组方向相同，另一组方向相反，那么这两个角互补． (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且 方向都相反，那么这两个角相等．
(3)∵易证A1D∥B1C， ∴∠BA1D(或其补角)即为所求， ∵易知△BA1D为正三角形， ∴∠BA1D＝60°，故指导 空间两条直线位置关系的判定方法： (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断， 而两条直线平行也可以用公理4判断． (2)判定两条直线是异面直线的方法： ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． ②排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．
[例1] 已知a，b，c是空间三条直线，下面给出四个命 题：
①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是异面直线， b，c是异面直线，那么a，c也是异面直线；③如果a，b是相交 直线，b，c是相交直线，那么a，c也是相交直线；④如果a，b 共面，b，c共面，那么a，c也共面．
在上述命题中，正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] A
高中数学复习课件-高中数学必修2课件 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【做一做 1】 如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与 AA1 异面的是 ()
A.AB
B.BB1
C.DD1
D.B1C1
解析:AA1∥BB1,AA1∥DD1,AA1∩AB=A,AA1 与 B1C1 是异面直线.
答案:D
2.空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内,有且只有一个公共点; (2)平行直线——同一平面内,没有公共点; (3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点.
对定义可作如下理解:“不同在任何一个平面内的两条直线”是指不存在一 个平面同时经过这两条直线,或者说找不到一个平面同时经过这两条直线.“异 面”的含义就是“不能共面”的意思.定义中“任何”是不可缺少的关键词,不能误 解为“不同在某一平面内”.
(2)图示:如图 a,b 所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个 或两个平面来衬托.
2
2
∴∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角,且 EG=GF.
∵AB⊥CD,∴EG⊥GF.
∴∠EGF=90°,
∴△EFG 为等腰直角三角形.
∴∠GFE=45°,即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
反思:(1)求两条异面直线所成的角的一般步骤: ①作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角; ②证:证明作出的角就是要求的角; ③计算:求角的值,常利用解三角形.因此可用“一作二证三计算”来概括. (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这
成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内,在空间中就成立,否则不成立.
【做一做 4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( )
高中数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
反思证明两条直线平行的方法:
(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)公理4.
-24-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型四
【变式训练2】
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中
1
2
3
4
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
【做一做4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则
∠B'A'C'=(
)
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°
答案:C
-11-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
1
2
3
4
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
5
5.两条异面直线所成的角(夹角)
之间的位置关系
1
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是
异面直线.由于AB∥A1B1,则∠A1B1C1就是它们所成的角,当然∠ABC
也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它
们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则BC1∥AD1,
题型一
题型二
题型三
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知识梳理
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典例透析
题型四
反思证明两条直线平行的方法:
(1)平行线的定义;
(2)三角形中位线、平行四边形的性质等;
(3)公理4.
-24-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
题型一
题型二
题型三
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典例透析
题型四
【变式训练2】
如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中
1
2
3
4
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重难聚焦
典例透析
5
【做一做4】 已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则
∠B'A'C'=(
)
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°
答案:C
-11-
2.1.2 空间中直线与直线
之间的位置关系
1
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典例透析
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5.两条异面直线所成的角(夹角)
之间的位置关系
1
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
2
例如,在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB和B1C1是
异面直线.由于AB∥A1B1,则∠A1B1C1就是它们所成的角,当然∠ABC
也是它们所成的角;对于异面直线AD1和B1C来说,在图中就没有它
们所成的角,这就需要作辅助线,连接BC1交B1C于点E,则BC1∥AD1,
《空间中直线与直线之间的位置关系》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.1.2课时)__收 (1)
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1
平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
新知探究
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图： a
b
(2)
b
A
a (1)
a
b
(3)
新知探究
练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？
感谢你的聆听
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讲解人： 时间：2020.6.1
直线AB和直线CD
新知探究
空间两直线平行的判定公理 公理4 平行于同一条直线的两直线互相 平行. 若 a//b，c//b 则 a//c.
平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
b
a c
新知探究
例：如图，空间四边行ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形
EFGH是平行四边形. A
新知探究
B
A
C
D
E
F
AB // DE, BC // EF ABC DEF
新知探究
定理空间中如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
A
B
C
D
F
AB // DE, BC // EF E 互补
新知探究
夹角 在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角.
a b
夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画.
既非平行 又非相交
D1 A1
D A
C1 B1
高一数学人教A版必修2课件：2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
。
解:如下图所示,取BD的中点G,连结EG,FG,
第二十三页，编辑于星期日：二十一点 五十九 分。
∵E､F分别是BC､AD的中点,
∴EG∥CD,GF∥AB,
且 EG 1 CD,GF 1 AB. ∴∠EGF(或其2补角)为直线2AB与CD所成的角.
分析:因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对边平行且相等,
或证两组对边分别平行即可.
第九页，编辑于星期日：二十一点 五十九分。
证明:如图所示,取BB1的中点G,连结GC1,GE.
∵F为CC1的中点,∴BG FC1.
∴四边形BFC1G是平行四边形,
∴BF GC1.
又∵EG A1B1,A1B1 C1D1,
第六页，编辑于星期日：二十一点 五十九分。
2.如何理解异面直线所成的角
由于两异面直线不在同一平面内,因此采用过空间任一点O,分别作 两条异面直线的平行线,就形成了一组相交直线所成的角,由等角 定理知,两条异面直线所成的角,只与两直线的相对位置有关,而 与点O位置的选择无关,正因如此,在具体找角时,点O往往可以在 两条异面直线中的一条上选取,这是研究异面直线所成的角时 经常采用的方法.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BD异面且成60°角的面对
角线有( )
A.1条
B.2条
C.3条D.4条
解析:画图易知,它们是AD1､AB1,CB1,CD1共四条. 答案:D
第二十九页，编辑于星期日：二十一点 五十九 分。
3.“a,b是异面直线”是指:
①a∩b= ,且a b;
②a 平面α,b 平面β,且a∩b= ③a 平面α,b 平面β,且α∩ β=
∴EG
C1D1,
∴四边形EGC1D1是平行四边形.
解:如下图所示,取BD的中点G,连结EG,FG,
第二十三页，编辑于星期日：二十一点 五十九 分。
∵E､F分别是BC､AD的中点,
∴EG∥CD,GF∥AB,
且 EG 1 CD,GF 1 AB. ∴∠EGF(或其2补角)为直线2AB与CD所成的角.
分析:因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对边平行且相等,
或证两组对边分别平行即可.
第九页，编辑于星期日：二十一点 五十九分。
证明:如图所示,取BB1的中点G,连结GC1,GE.
∵F为CC1的中点,∴BG FC1.
∴四边形BFC1G是平行四边形,
∴BF GC1.
又∵EG A1B1,A1B1 C1D1,
第六页，编辑于星期日：二十一点 五十九分。
2.如何理解异面直线所成的角
由于两异面直线不在同一平面内,因此采用过空间任一点O,分别作 两条异面直线的平行线,就形成了一组相交直线所成的角,由等角 定理知,两条异面直线所成的角,只与两直线的相对位置有关,而 与点O位置的选择无关,正因如此,在具体找角时,点O往往可以在 两条异面直线中的一条上选取,这是研究异面直线所成的角时 经常采用的方法.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BD异面且成60°角的面对
角线有( )
A.1条
B.2条
C.3条D.4条
解析:画图易知,它们是AD1､AB1,CB1,CD1共四条. 答案:D
第二十九页，编辑于星期日：二十一点 五十九 分。
3.“a,b是异面直线”是指:
①a∩b= ,且a b;
②a 平面α,b 平面β,且a∩b= ③a 平面α,b 平面β,且α∩ β=
∴EG
C1D1,
∴四边形EGC1D1是平行四边形.
【课件】高中数学必修2公开课课件-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
（3）求异面直线 BC 和 AA1 的距离．
解：(3) ∵AB⊥AA1，AB∩AA1=A，
D1
AB⊥BC，AB∩BC=B， A1
C1 B1
∴AB是BC和AA1的公垂线段
∵AB=a，
D A
C B
∴BC和AA1的距离是a .
12
例4 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求:
(1)A1B与B1D1所成角; (2)AC与BD1所成角.
BD.
C
又在△BCD
中， CF
CG
2
2
，∴FG//BD,FG=
2
BD.
CB CD 3
3
根据公理4，EH//FG
又FG＞EH,∴四边形EFGH的一组对边平行但不相等
∴四边形EFGH是梯形.
6
例例2 2 如图， A 是平面 BCD外的一点 G, H 分别是
ABC, ACD 的重心.求证： GH // BD ．
异面直线所成的角的范围： (0, ] 2
17
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
·2007·
18
]
2
b a
O b′
a'
a
b' Ob
9
四、异面直线所成的角
如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异
面直线垂直．两条异面直线a,b 垂直，记作a⊥b.
异面直线所成的角的范围：(0, ]
D1
C1
2
A1
B1
两条异面直线的公垂线、距离
和两条异面直线都垂
D
C
直相交的直线，我们称之