思维特训(四) 绝对值与分类讨论-word文档
阶段拔尖专训4 绝对值的常见应用
当1＜ x ＜3时，原式＝( x －1)＋(3－ x )＝2；
当 x ≤1时，原式＝(1－ x )＋(3－ x )＝4－2 x .
【点拨】
要去掉两个绝对值的符号，就要同时确定两个绝对值
里的式子的正负号，可以使用零点分段法，用分类讨论的
a ， b 为正， c 为负.
｜｜
＋1＋(－1)＋(－1)＝0；
1
2
3
4
5
＋
｜｜
6
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＋
9
｜｜
10
＋
｜｜
＝1
阶段拔尖专训
(3)当 a ， b ， c 中，有一个正数，两个负数时，不妨设 a
为正， b ， c 为负.
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＋
｜｜
＝1
＋(－1)＋(－1)＋1＝0；
－3
2 之间的距离；｜ x ＋3｜表示 x 与
之间的距离；
1
2
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阶段拔尖专训
(3)当｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5时， x 可取整数 2(答案不
不唯一) .(写出一个符合条件的整数 x 即可)
【点拨】
因为｜ x －2｜＋｜ x ＋3｜＝5表示数轴上有理数 x 所
对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，所以 x 在－
思想方法来解.
1
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特训04 与四边形有关的变换问题-2021-2022学年九年级数学上学期重难题型思维特训(北师大版)
特训04与四边形有关的变换问题【方法点津】轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,这些变换往往与特殊的平行四边形相结合,解决相关问题,需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用,还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透.【典题精练】类型一与轴对称相关的问题1.如图4-S-1,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为()A.55B.105C.103D.153图4-S-1图4-S-22.如图4-S-2所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE 沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处,则∠AFC'=°.3.如图4-S-3,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,将▱ABCD沿EF所在的直线翻折,点B恰好与点D重合,且点A落在点A'处,连接BE.(1)求证:△A'ED≌△CFD;(2)若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.图4-S-3类型二与平移相关的问题4.如图4-S-4,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C',使点A'落在△ABC的外角平分线CD上,连接AA'.(1)判断四边形ACC'A'的形状,并说明理由;(2)若在△ABC中,∠B=90°,AB=24,AB AC=1213,求CB'的长.图4-S-45.(1)在正方形ABCD中,BD为对角线,把△ABD延AB向右平移至图4-S-5①的位置,得到△FGE,直线EG,BC交于点H,连接AH,CG,则AH与CG有怎样的关系?直接写出你的结论;(2)当△ABD沿BA向左平移到线段BA的延长线上时(如图②),(1)中的结论是否还成立?说明你的理由.图4-S-56.如图4-S-6①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD平移到△B'C'D'的位置,使B'为BD的中点,连接AB',C'D,AD',BC',如图②.(1)求证:四边形AB'C'D是菱形;(2)四边形ABC'D'的周长为;(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形的周长.图4-S-6类型三与旋转相关的问题7.如图4-S-7,将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG,点E在AD上,延长ED交FG于点H.(1)求证:△EDC≌△HFE.(2)连接BE,CH.①四边形BEHC是怎样的特殊四边形?证明你的结论;②当AB与BC的比值为时,四边形BEHC为菱形.图4-S-78.问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图4-S-8①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开,得到△ABC和△ACD,并且量得AB=2cm,AC=4cm.操作发现:(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠α,使∠α=∠BAC,得到如图②所示的△AC'D,过点C作AC'的平行线,与DC'的延长线交于点E,则四边形ACEC'的形状是;(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转,使B,A,D三点在同一条直线上,得到如图③所示的△AC'D,连接CC',取CC'的中点F,连接AF并延长至点G,使FG=AF,连接CG,C'G,得到四边形ACGC',发现它是正方形,请你证明这个结论.实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移,使点B与点A重合,此时点A平移至点A',A'C与BC'相交于点H,如图④所示,连接CC',试求HC'HC 的值.图4-S-8特训04与四边形有关的变换问题1.B【解析】作点E关于BC的对称点E',连接E'G交BC于点F.过点G作GG'⊥AB 于点G'.∵AE=CG,BE=BE',∴E'G'=AB=10.∵GG'=AD=5,∴E'G=E'G'2+GG'2=55.∴四边形EFGH周长的最小值=2E'G=105.故选B.2.40【解析】∵在矩形ABCD中,∠DAC=65°,∴∠ACD=90°-∠DAC=90°-65°=25°.∵将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C'处,∴四边形BCEC'是正方形.∴∠BEC=45°.由三角形外角的性质,得∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°.由翻折的性质,得∠BFC'=∠BFC=70°,∴∠AFC'=180°-∠BFC-∠BFC'=180°-70°-70°=40°.3.解:(1)证明:由翻折可知,A'D=AB,∠A=∠A',∠ABC=∠A'DF.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠C=∠A,∠ABC=∠CDA.∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠A'DF=∠CDA.∴∠A'DE=∠CDF.在△A'ED和△CFD中,∵∠A'=∠C,A'D=CD,∠A'DE=∠CDF,∴△A'ED≌△CFD.(2)过点E作EH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DEF=∠BFE.由翻折可知,∠BEF=∠DEF,BF=DF,∴∠BFE=∠BEF.∴BE=BF.又∵∠EBF=60°,∴△EBF是等边三角形.∴BF=EF=3,FH=12EF=1.5.∴EH=EF2-FH2=32-1.52=323.∵△A'ED≌△CFD,∴ED=DF=BF.又∵ED∥BF,∴四边形BFDE为平行四边形.∴四边形BFDE的面积=BF·EH=3×323=923.4.解:(1)四边形ACC'A'是菱形.理由如下:由平移的性质得到AC∥A'C',且AC=A'C',则四边形ACC'A'是平行四边形.∴AA'∥CC'.∴∠AA'C=∠C'CA'.∵CD平分∠ACC',∴∠ACA'=∠C'CA'.∴∠ACA'=∠AA'C.∴AC=AA'.∴平行四边形ACC'A'是菱形.(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,AB AC=1213,即24AC=1213,∴AC=26.由勾股定理知BC=AC2-AB2=10.又由(1)知,四边形ACC'A'是菱形,∴AA'=AC=26.由平移的性质得到AB∥A'B',AB=A'B',则四边形ABB'A'是平行四边形.∴BB'=AA'=26.∴CB'=BB'-BC=26-10=16.5.解:(1)AH=CG,AH⊥CG.(2)成立.理由:延长CG交AH于点K.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠ABH=90°,∠FGE=∠ABD=45°.∴∠HGB=∠FGE=45°.∴△BGH是等腰直角三角形.∴BG=BH.∴△ABH≌△CBG.∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.∵∠HAB+∠AHB=90°,∴∠GCB+∠AHB=90°.∴∠CKH=90°.∴AH⊥CG.6.解:(1)证明:∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,∴∠ADB=60°.结合平移的性质和矩形的性质可得B'C'=BC=AD,∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°,∴AD∥B'C'.∴四边形AB'C'D是平行四边形.∵B'为BD的中点,∴在Rt△ABD中,AB'=12BD=DB'.又∵∠ADB=60°,∴△ADB'是等边三角形.∴AD=AB'.∴平行四边形AB'C'D是菱形.(2)连接AC'.由平移的性质可得AB=C'D',∠ABD'=∠C'D'B=30°,∴AB∥C'D'.∴四边形ABC'D'是平行四边形.又由(1)可得四边形AB'C'D是菱形,∴AC'⊥B'D.∴四边形ABC'D'是菱形.∵AB=3AD=3,∴四边形ABC'D'的周长为43.故答案为43.(3)将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:∴矩形的周长为6+3或23+3.7.解:(1)证明:∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EF=AB=CD,∠F=∠EDC=90°,FH∥EC.∴∠FHE=∠CED.在△EDC和△HFE中,∵∠EDC=∠F,∠CED=∠FHE,CD=EF,∴△EDC≌△HFE.(2)①如图,连接BE,CH.四边形BEHC为平行四边形.证明:∵△EDC≌△HFE,∴EC=HE.∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EC=BC.∴HE=BC.又∵HE∥BC,∴四边形BEHC为平行四边形.②∵四边形BEHC为菱形,∴BE=BC.由旋转的性质可知BC=EC,∴BE=EC=BC.∴△EBC为等边三角形.∴∠EBC=60°.∴∠ABE=30°.∴AB∶BE=3∶2.又∵BE=BC,∴AB与BC的比值为3.故答案为3.8.解:(1)菱形.理由:由题意得∠CAC'=∠BAC=∠DC'A=∠α,∴C'E∥AC.又∵CE∥AC',∴四边形ACEC'是平行四边形.又∵AC=AC',∴平行四边形ACEC'是菱形.(2)证明:由题意得CF=C'F,FG=AF,∴四边形ACGC'是平行四边形.又∵AC=AC',∴平行四边形ACGC'是菱形.∵B,A,D三点在同一条直线上,∠BAC+∠DAC'=90°,∴∠CAC'=90°.∴菱形ACGC'是正方形.(3)∵A'B=2cm,A'C=4cm,∴∠A'CB=30°.∴∠DBC'=∠A'CB=30°,∠BA'C=60°.∴∠A'HB=∠BHC=∠CHC'=90°.∵A'B=2cm,A'C=4cm,∴BC=23cm.在Rt△BHC中,∠BCH=30°,∴BH=12BC=3cm,HC=3cm.∴HC'=BC'-BH=(4-3)cm.∴HC'HC=。
绝对值有关问题(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二讲绝对值一、绝对值的定义域性质1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与的距离称为该数的绝对值，记作。
2、绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；（a＞0）（2）|a|= （a=0）（代数意义）(a＜0)（3）若|a|=a，则a ；若|a|=-a，则a ；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即，且；（5）若|a|=|b|，则或；（几何意义）a|= （b≠0）；（6）|ab|= ；|b（7）|a|2= =；（8）|a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|| |a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|[例1]（1）绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0B.a＞0，b＜0C.a＜0，b＞0D.ab＜0（3）下列各组判断中，正确的是（）A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞bC. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2（4）设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？练习1：1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（）A.a＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________4、若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？ [例2]（1）若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求nxy )4(--的值小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）若(x-a)2+(x-b)2=0,则 且 ； 若|x-a|+(x-b)2=0,则 且 ； 若|x-a|+|x-b|=0，则 且 ； 二、简单的绝对值方【例3】（1）已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=（2）已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x= （3）已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x= （4）如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？6、若|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值 【例4】解方程：（1）05|5|23=-+x （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求yxy x 4312--的值【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a bab a 的值【例6】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2） 若|a|=b ，求|a+b|的值 （3） 化简：|a-b|三、化简绝对式7、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|8、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|9、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||cb 0a【例8】（1）若a<-b 且0>ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值10、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| （2）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --【例10】若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值11、有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值【例11】化简|x+5|+|2x-3| 12、化简：|2x-1|【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值四、绝对值几何意义的|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a，b对应数轴上两点间的距离【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。
七年级数学绝对值分类讨论重点题型
七年级数学的绝对值，是一种让很多同学感到头疼的数学概念。
在七年级数学课程中，涉及到绝对值的分类讨论也是一个重要的内容，影响着同学们对数学的理解和学习。
今天，我们就来深入探讨七年级数学中关于绝对值分类讨论的重点题型，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
1. 绝对值概念的理解我们需要对绝对值的概念进行深入理解。
在七年级数学中，绝对值代表着一个数距离零点的距离，它是一个非负数。
具体地，对于任意实数a，其绝对值记作|a|，如果a大于等于0，则|a|等于a；如果a小于0，则|a|等于-a。
2. 绝对值分类讨论的基本原理在七年级数学中，针对绝对值的讨论通常涉及到正数、负数以及零的情况。
我们需要明确地理解在各种情况下绝对值的计算方法和特点，从而能够准确地解决问题。
3. 绝对值分类讨论的重点题型在七年级数学中，绝对值分类讨论的重点题型包括但不限于以下几种： - 绝对值不等式的求解- 绝对值方程的解法- 含绝对值的复合运算- 实际问题中的应用4. 绝对值不等式的求解对于绝对值不等式的求解，我们需要分情况讨论。
当|a|小于b时，a 和-b之间的数都满足不等式；当|a|大于b时，求解得到两个区间，分别讨论各区间内的情况。
这种分类讨论的方法在解决绝对值不等式时非常重要。
5. 绝对值方程的解法解决绝对值方程时，我们同样需要进行分类讨论。
针对|a|=b和|a|=-b 两种情况，分别求解得到不同的结果。
同学们需要注意分类讨论方法的灵活运用，才能准确地解决绝对值方程的问题。
6. 含绝对值的复合运算在七年级数学中，我们还会遇到含绝对值的复合运算题型，可能涉及加减乘除等多种运算符号。
这时，同学们需要将复合运算的每一步分类讨论，确保在每一种情况下都能准确地应用绝对值的概念和性质。
7. 实际问题中的应用绝对值的分类讨论在解决实际问题时也非常重要。
同学们需要理解绝对值在表示距离、温度差、误差等方面的应用，从而能够准确地将数学知识应用到实际生活中去。
绝对值与分类讨论
2．我们知道：点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A， B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的 距离AB＝|a－b|，所以式子|x－3|的几何意义是数轴上 表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题：
(1)|5－(－2)|的值为________； (2)若|x－3|＝1，则x的值为________； (3)若|x－3|＝|x＋1|，求x的值； (4)若|x－3|＋|x＋1|＝7，求x的值．
绝对值与分类讨论
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上 对应的数是b，且|a＋4|＋(b－1)2＝0.现将点A，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a－b|. (1)|AB|＝________； (2)设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝ 2时，求x的值．
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
(1)三个有理数a，b，c满足abc＜0，求 的值；
ab a bc c Nhomakorabea(2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a＋b的
值．
2．探索研究： (1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)： ①|－2|＋|3|________|－2＋3|； ②|－2|＋|－3|________|－2－3|； ③|6|＋|－3|________|6－3|； ④|0|＋|－8|________|0－8|. (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a，b为有 理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．(直接写 出结论即可) (3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋ |－2018|＝|x－2018|时，求x的取值范围．
关于绝对值的几种题型及解题技巧精编版.doc
关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即a0 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以， a 0 ，而 a 则有两种可能： a o 和 a 0 。
如： a 5 ，则 a 5 和 a 5 。
合并写成： a 5 。
于是我们得到这样一个性质：a a 0aa 0a a 0时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？很多同学无法理解，为什么 a 0a 。
因为此时a 0 ，也就是说 a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如( 2) 2 。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如： a b 0 ，则 a b(a b) 。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示： |a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a（ a＞0）（ 2） |a|=0（a=0）（代数意义）-a(a＜0)（3）若 |a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则 a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 |a|≥ a，且 |a|≥-a；（5）若 |a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；（几何意义）a| a |（6） |ab|=|a|·|b|；| b |= | b |（b≠0）；（7） |a|2 =|a2 |=a2；（ 8） |a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥ |a-b|一：比较大小典型题型：【 1】已知 a、b 为有理数，且 a 0， b 0 ， a b ，则（）A： a b b a ；B： b a b a ；C： a b b a ；D： b b a a这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
3.23中考专题——分类讨论
3．23分类讨论当一个数学问题在一定的条件下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。
正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
近几年广东省中考经常涉及到“分类讨论”，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。
一．绝对值．平方根的分类讨论：绝对值的三种分类讨论情况，也就是：a(a>0)|a|=0(a =0)-a (a<0)下面请看三个例题。
1．例1、如：若|a|=3，|b|=2，a+b=?分析:由|a|=3，|b|=2可知：a=±3，b=±2，所以a+b 的值有四种情况。
2．例2、如：若a 2=9，b 2=16，求a+b 的值。
分析：此题方法与例1完全相同。
3．例3、化简a a ---32。
分析：此题的关键是判断绝对值符号里面数的正负，因此首先要找到零点，2=a 或3。
然后再分三个区间进行分类讨论。
①2a <；②23a ≤<；③3a ≥。
二．方程与函数中的分类讨论：1．例1．方程kx 2+3x-4=0有几个实数根？分析：此题的核心是k 对方程性质的影响。
首先明确系数k 决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。
当k≠0时，再分b 2-4ac>0，b 2-4ac=0，b 2-4ac<0三种情况进行讨论。
2．例2．若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a 的值为多少？分析：方程两边同乘以(1)x x -，得(2)3a x +=。
接下来，要进行全面分析和考虑。
首先分两大类研究，新的整式方程无解；新的整式方程虽然有解，但原方程无解（即有增根1x =或0），这样确保独立且不重复。
3．例3．比较一次函数12y x =与二次函数2212y x =的函数值1y 与2y 的大小。
①②③分析：此种类型的函数值的大小比较需要借助图形，于是首先要找到两个函数图象的交点，此时1y =2y 。
于是我们就找到了分类讨论的临界点0x =或4，从而确定以下五个分类：0x <；0x =；0＜x ＜4；4x =；4x >。
七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)
七年级数学下思维探究-绝对值与方程(含答案)商高是公元前世纪的中国数学家，当时中国正在处于奴隶制社会的西周时期，数学研究还处于非常初级的阶段．商高最大的成就是在世界上第一个提出了勾股定理，在我国最早的一部数学著作《周髀算经》中记录着商高和周公的一段对话．商高：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五．”即当直角三角形的两直角边分别为和时，直角三角形的斜边就是，勾股定理在西方被叫做毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前世纪发现的． 9．绝对值与方程解读课标绝对值是数学中活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就生成许多新的问题，如绝对值方程、绝对值不等式、绝对值函数等．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解．其基本类型有： 1．最简绝对值方程形如是最简单的绝对值方程，可化为两个一元一次方程与． 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类方程常通过分类讨论法、绝对值几何意义转化为最简绝对值方程和一般方程而求解．问题解决例1 方程的解是________．试一试原方程变形为，再把此方程化为一般方程求解．例2 若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则，，的大小关系为（）． A． B． C． D．试一试从方程有解的条件入手．例3 解下列方程：（1）；（2）；（3）．试一试对于（1），从内向外，运用绝对值定义、性质简化方程；对于（2）、（3）运用零点分段讨论法去掉绝对值方程；需要注意的是，方程（3）利用绝对值几何意义可获得简解．例4 如图，数轴上有、两点，分别对应的数为、，已知与互为相反数．点为数轴上一动点，其对应的数为．（1）若点到点、点的距离相等，求点对应的数．（2）数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；（3）当点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动时，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，点以每分钟个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点到点、点的距离相等？试一试由绝对值的几何意义建立关于的绝对值方程．例5 讨论关于的方程的解的情况．分析与解与方程中常数、有依存关系，这种关系决定了方程解的情况．故寻求这种关系是解本例的关键，利用分类讨论法或借助数轴是寻求这种关系的重要方法与工具．数轴上表示数的点到数轴上表示数和的点的距离和的最小值为，由此可得原方程的解的情况是：（1）当时，原方程有两解；（2）当时，原方程有无数解；（3）当时，原方程无解．数学冲浪知识技能广场 1．若是方程的解，则 _______；又若当时，则方程的解是_____． 2．方程的解是_______； _______是方程的解；解方程，得 _______． 3．如果，那么的值为________． 4．已知关于的方程的解满足，则的值为（）． A．或B．或 C．或 D．或 5．若，则等于（）． A．或 B．或 C．或D．或 6．方程的解的个数为（） A．个 B．个 C．无数个 D．不确定 7．解下列方程（1）；（2）；（3）；（4）． 8．求关于的方程的所有解的和． 9．解方程． 10．已知、、、都是整数，且，则 _______． 11．若、都满足条件，且，则的取值范围是_______． 12．满足方程的所有的和为________． 13．若关于的方程有三个整数解，则的值为（） A． B． C． D． 14．方程的整数解的个数有（） A． B． C． D． 15．若是方程的解，则等于（） A． B． C． D． 16．解下列方程（1）；（2）． 17．当满足什么条件时，关于的方程有一解？有无数多个解？无解？应用探究乐园 18．如图，若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，且，满足．（l）求线段的长；（2）点在数轴上对应的数为，且是方程的解，在数轴上是否存在点，使得 ?若存在，求出点对应的数；若不存在，说明理由；（3）在（1）、（2）的条件下，点，，开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分剐以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其常数值． 19．已知，求的最大值和最小值．微探究从三阶幻方谈起相传大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图所示的一幅奇怪的图，这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个阶幻方，也就是在的方阵中填入，其中每行、每列和两条对角线上数字和都相等．现在人们已给出一般三阶幻方的定义：在的方阵图中，每行、每列、每条对角线上个数的和都相等，就称它为三阶幻方．可以证明三阶幻方以下基本性质：（1）在的方格中填入个不同的数，使得各行各列及两条对角线上个数的和都相等，且为，若最中间数为，则．（2）在三阶幻方中，每个数都加上一个相同的数，仍是一个三阶幻方．（3）在三阶幻方中，每个数都乘以一个相同的数，仍是一个三阶幻方．解三阶幻方问题，常需恰当引元，运用三阶幻方定义、性质，整体核算等方法求解．例1 如图①，有个方格，要求在每个方格填入不同的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？试一试虽然问题要求的只是左上角的数，但是问题的条件还与其他的数相关．故为充分运用已知条件，需引入不同的字母表示数（如图②）．例2 如图，在的方格表中填入九个不同的正整数：，，，，，，，和．使得各行、各列所填的三个数的和都相等，请确定的值，并给出一种填数法．试一试如下页图，引入不同字母表示数，表中各行、各列三数的和都是相等的正整数，即为正整数，又，从估计和的最小值入手．整体核算法整体核算法即将问题中的一些对象看作一个整体，观察、分析问题中的题设与结论之间的整体特征和结构，从整体上计算、推理．例3 如图①，、、、、、、、、分别代表，，，，，，，，中某一个数，不同字母代表不同的数，使每个小圆内个数的和都相等，那么的值是多少？分析与解设这个相等的和是，现将这个小圆中个数求和，可得：，故．先从所在的小圆看，至少是，最多只能是，再从所在的小圆看，最多只能是，由于，所以必须，，由此可以求得图②．对照图①与图②中各数的位置，可看到．当然也可以有另一解法．将含、含、含、含、含与含的个小圆内个数求和，可得：，即，所以．练一练 1．将到这个自然数填入图中的个圆圈中，每个数只能用一次，且使每一条直线上的三个数的和相同，则中间的圆圈中的数是_______，对应的每一条直线上的个数的和是_______． 2．请构造“幻角”，将这个整数填入图中的小三角形内（和已填好），使图中每个大三角形内四数之和都等于． 3．请将，，，，，，，，，这个数分别填入图中方阵的个空格，使行、列、条对角线上的个数的和都是． 4．如图，、、、、、均为有理数，图中各行各列及两条对角线上的和都相等，求的值． 5．如图是一个的幻方，当空格填上适当的数后，每行、每列以及对角线上的和都是相等的，求的值． 6．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列个数：，，，，，，，，填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求的值． 7．幻方第一人幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图①，洛书中行、列以及条对角线上的点数之和都等于，是一种“ 阶幻方”（如图②）．我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人，他在《续古摘奇算法》一书中给出从阶到阶的幻方，并对一些低阶幻方介绍了构造方法，其中运用了对称思想．例如，用，，，…，构造阶幻方的方法是：先将，，，…，依次排成图③，然后以外四角对换，即与对换，与对换，再以内四角对换……请你在图④中填写用这种“对换”方法得出的阶幻方． 8．把数字，，，…，分别填入图中的个圈内，要求三角形和三角形的每条边上三个圈内数字之和都等于．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．微探究商品的利润商品的利润涉及商品进价、售价、利润、利润率、打折销售等名词术语，理解相关概念并熟悉它们之间的关系是解这类问题的基础．（1）；（2）利润=售价-进价；（3）售价=进价+利润=进价×（利润率）．例1 一家商店将某件商品按成本价提高后，标价为元，又以折出售，则售出这件商品可获利润_______元．试一试从求出成本价切入．例2 某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（）． A． B． C． D．试一试利用获利不变建立方程．例3 某房地产开发商开发一套房子的成本随着物价上涨比原来增加了，为了赚钱，开发商把售价提高了倍，利润率比原来增加了，求开发商原来的利润率．试一试因售价=成本×（利润率），故还需设出成本．例4 某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1）若一次购物少于元，则不予优惠；（2）若一次购物满元，但不超过元，按标价给予九折优惠；（3）若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予折优惠．小明两次去该超市购物，分别付款元与元．现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少？分析与解第一次付款元，可能是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款，故应分两种情况加以讨论．情形l 当元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为元，又，其中元为购物元打九折付的钱，元为购物打八折付的钱，（元）．因此，元所购物品的原价为（元），于是购买小明花（元）所购的全部物品，小亮一次性购买应付（元）．情形2 当元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为（元）．仿情形1的讨论，购（元）物品一次性付款应为（元）．练一练 1．某商品的进价为元，售价为元，则该商品的利润率可表示为_______． 2．某商店老板将一件进价为元的商品先提价，再打八折卖出，则卖出这件商品所获利润为 _______元． 3．某商场推出全场打八折的优惠活动，持贵宾卡可在八折基础上继续打折，小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品，共带省元，则用贵宾卡又享受了_______折优惠． 4．某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为元，打七折售出后，仍可获利”，你认为售货员应标在标签上的价格为________． 5．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件按原销售价的八折销售，售价为元，则这款羊毛衫每件的原销售价为_______元． 6．甲用元购买了一些股票，随即他将这些股票转卖给乙，获利．而后乙又将这些股票反卖给甲，但乙损失了，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这些股票卖给了乙．若上述股票交易中的其他费用忽略不计，则甲（）． A．盈亏平衡 B．盈利元 C．盈利元 D．亏损元 7．年爆发的世界金融危机，是自世纪年代以来世界最严重的一场金融危机，受金融危机的影响，某商品原价为元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）． A． B． C． D． 8．某商店出售某种商品每件可获利元，利润率为．若这种商品的进价提高，而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利元，则提价后的利润率为（）． A． B． C． D． 9．某种商品的进价为元，出售标价为元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则最多可打（）． A．新 B．折 C．折 D．折 10．某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过元，则不予折扣；②如一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过元，则其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）． A．元 B．元 C．元 D．元 11．某商场用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：类别价格型型进价（元/盏）标价（元/盏）（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若型台灯按标价的九折出售，型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？ 12．某公司销售、、三种产品，在去年的销售中，高新产品的销售金额占总销售金额的．由于受国际金融危机的影响，今年、两种产品的销售金额都将比去年减少，因而高新产品是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，问：今年高新产品的销售金额应比去年增加多少？ 13．某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过元的不给优惠，超过元而不超过元时，按该次购物全额折优惠，超过元的其中元仍按折优惠，超过部分按折优惠．小美两次购物分别用了元和元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，那么小丽应该付款多少元？微探究多变的行程问题行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等．相遇问题、追及问题是最基本的类型，它们的特点与常用的等量关系如下： 1．相遇问题其特点是：两人（或物）从两地沿同一路线相向而行，而最终相遇．一般地，甲行的路程+乙行的路程=两地之间的距离． 2．追及问题其特点是：两人（或物）沿同一路线、同一方向运动，由于位置或者出发时间不同，造成一前一后，又因为速度的差异使得后者最终能追及前者，一般地，快者行的路程-慢者行的路程=两地之间的距离．例1 （1）在公路上，汽车、、分别以、、的速度匀速行驶，从甲站开往乙站，同时，、从乙站开往甲站．在与相遇小时后又与相遇，则甲、乙两站相距_____ ．（2）小王沿街匀速行走，他发现每隔从背后驶过一辆路公交车；每隔迎面驶来一辆路公交车．假设每辆路公交车行驶速度相同，而且路总站每隔固定时间发一辆车，那么，发车的间隔时间为_______ ．试一试对于（2），“背后驶过与迎面驶来”，其实质就是追及与相遇，距离是同向行驶的相邻两车的间距．例2 （1）一艘轮船从港到港顺水航行，需小时，从港到港逆水需小时，若在静水条件下，从港到港需（）小时． A． B． C． D．（2）甲、乙两动点分别从正方形的顶点、同时沿正方形的边开始移动．甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的倍，则它们第次相遇在边（）． A．上 B．上 C．上 D．上试一试对于（2），设正方形边长为，甲的速度为，相遇时甲行的路程为，利用“相遇时甲、乙两动点运动时间相等”建立方程，把用的代数式表示．例3 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙．如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔分钟相遇一次．现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了圈，此时它们行驶了多少分钟？试一试当甲追上乙时，甲行驶了多少圈？由此可导出甲、乙的速度之比．例4 甲、乙二人分别从、两地同时出发，在距离地千米处相遇，相遇后两人又继续按原方向、原速度前进，当他们分别到达地、地后，又在距地千米处相遇，求、两地相距多少千米？解法一第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是、两地相距的路程，即当甲、乙合走完、间的全部路程时，乙走了千米，第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的倍（如图，图中实线表示甲所走路程，虚线表示乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为（千米）．考虑到乙从地走到后又返回了千米，所以、两地间的距离为（千米）．解法二甲、乙两人同时动身，相向而行，到相遇时两人所走时间相等，又因为两人都做匀速运动，应有：两人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例．到第一次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了千米；到第二次相遇，甲走了（全程）千米，乙走了（全程）千米．设全程为，易得到下列方程，解得，（舍去），所以、两地相距千米．解法三设全程为千米，甲、乙两人速度分别为，．则，①÷②得，解得或（舍去）．乘车方案例5 老师带着两名学生到离学校千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为千米／时，这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人速度为千米／时，学生步行的速度为千米／时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过个小时．分析若能使人车同时到达目的地，则时间最短，而要实现“同时到达”，必须“机会均等”，即两名同学平等享受交通工具，各自乘车的路程相等，步行的路程也相等，这是设计方案的关键．解要使师生三人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计如下方案：设学生为甲、乙二人．乙先步行！，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师搭乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如图，设老师带甲乘摩托车行驶了千米，用了小时，比乙多行了（千米）．这时老师让甲步行前进，而自己返、回接已，遇到乙时，用了（小时）．乙遇到老师时，已经步行了（千米），离博物馆还有（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有，解得．即甲先乘摩托车千米，用时小时，再步行千米，用时小时，共计小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过个小时．另解：设乙先步行的时间为小时，步行的路程为，则（千米），此时老师带甲走的路程为（千米），老师返回接乙走的路程为．故有，解得，甲乘车的时间为（小时），故甲从学校到博物馆共用（小时）．练一练 1．甲、乙两人从两地同时出发，若相向而行，则小时相遇；若同向而行，则小时甲追及乙，那么甲、乙两人的速度之比为_______． 2．一轮船从甲地到乙地顺流行驶需小时，从乙地到甲地逆流行驶需小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需_______小时． 3．甲、乙两列客车的长分别为和，它们相向行驶在平行的轨道上．已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间为秒，那么，乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______． 4．甲、乙分别自、两地同时相向步行，小时后中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了千米／时，当甲到达地后立刻按原路向地返行，当乙到达地后也立刻按原路向地返行．甲、乙两人在第一次相遇后小时分又再次相遇，则、两地的距离是_______千米． 5．甲、乙两人沿同一路线骑车（匀速）从到，甲需要分钟，乙需要分钟．如果乙比甲早出发分钟，则甲出发后经______分钟可以追上乙． 6．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动），如果当甲到达终点时，乙距终点还有米，丙距终点还有米，那么当乙到达终点时，丙距终点还有______米． 7．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进．已知两人在上午时同时出发，到上午时，两人还相距千米，到中午时，两人又相距千米，求、两地间的路程． 8．目前自驾游已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了小时；返回时平均速度提高了千米／时，比去时少用了半小时回到舟山．（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟山跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度千米千米过桥费元元据浙江省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费，若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为元，求轿车的高速公路里程费． 9．铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为千米／时，骑车人的速度为千米／时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了秒，通过骑车人用了秒．问这列火车的车身长为多少米？ 10．如图，甲、乙两人分别在、两地同时相向而行，于处相遇后，甲继续向地行走，乙则休息了分钟，再继续向地行走．甲和乙到达和后立即折返，仍在处相遇．已知甲每分钟行走米，乙每分钟行走米，则和两地相距多少米？11．某单位有人要到千米外的某地参观，因为步行时速只有千米，为了使他们上午到达，配备了一辆最多载人名、时速千米的大客车．于是早晨时整出发，若人员上下车的时间不计，试拟一个运行方案，说明步车如何安排，才能使全体人员在最短时间内全部到达目的地，并求该地的时刻，画出汽车往返的运行图． 12．、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．分钟后，追上；又过了分钟，追上．问再过多少分钟，追上 ? 9．绝对值与方程问题解决例1 由，得或，所以或．经检验知时，方程左右两边不等，故舍去．从而原方程的解为．例2 A ，，，由题意得，，，从而，．例3 （1）或．原方程化为或，即或．（2）当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．当时，原方程化为，得．综上知原方程的解为，，．（3）由绝对值的几何意义得原方程的解为．例4 （1）；（2）存在，或（3）或数学冲浪 1．；或 2．或；；或 3． 4．A 5．D 6．C 7．（1）或；（2）；（3）或；（4）或． 8．，，，得，，，，故． 9．当，原方程无解；当时，原方程有两解：或；当时，原方程化为，此时原方程有四解：；当时，原方程化为，此时原方程有三解：或或；当时，原方程有两解：． 10．或，又、都是整数，得，，．当，则，即矛盾；若，令，满足题意；若，令，满足题意． 11． 12． 13．C 14．B 由数轴知，且为偶数 15．D 16．（1）或可以得到；（2）． 17．由绝对值几何意义知：当时，方程有一解；当时，方程有无穷多个解，当或时，方程无解． 18．（1），，；（2）存在点，点对应的数为或；（3），为常数． 19．，同理，，得．当且仅当，，时，上面各式等号成立．又，由得①+② ③ ，，因此，的最大值为，最小值为．从三阶幻方谈起（微探究）例l 由已知条件得：，这样前面两个式子之和等于后面的两个式子之和，即，，得．例2 与的最小值是，所以，即．而为整数，且是不同于，，，，，，，的正整数，故．练一练 1．，，；，，设中间的圆圈中的数是，同一直线上的个数的和是，则，． 2．如图 3．如图： 4．由条件得：，，．上述三式相加有，故． 5．如图，由及，得，，从而（注：这个幻方是可以完成的，如第行为，，；第行为，，；第行为，，）． 6．这个数的积为，所以每行、每列、每条对角线上三个数字积为，得，，，、、、分别为、、、中的某个数，推得． 7．略 8．（1）略（2）显然有① 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为，得．② ②-①，得．③ 把、、每一边上三圈中之数的和相加，得．④ 联立③、④解得，，进而．在中三个数之和为的仅有，，，所以在、、三处圈内，只能填，，三个数，共有种不同填法．显然，当这三个圈中之数一旦确定，根据题目要求，其余六个圈内之数也隧之确定，从而得到结论，共有种不同的填法．商品的利润（微探究）例l 设成本为，则，得，所求利润为（元）．例2 C 设原进价为元，提价后的利润率为，则，解得．例3 设原来的利润率是，原来的成本是，则，解得，即原来的利润率是．练一练 1． 2． 3．九 4． 5． 6．B 7．B 8．C 设提价后的利润率为，则，解得． 9．B 10．C 提示：，没有经过打折；，且大于，所以这是经过折后的价格；合在一起是，按照③，可得应付款为（元）． 11．（1）型台灯购进盏，型台灯购进盏；（2）这批台灯全部售完后，商场共获利元． 12．设去年总销售金额为，则高新产品的销售金额为，、的原销售金额为，今年的销售金额为，设高新产品的增长率为，由．得． 13．注意到，设小美第二次购物的原价为元，则，解得．（1）若小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过元，则小丽应付（元）．（2）若小美第一次购物原价超过元，第二次购物原价超过元，则第一次购物原价为（元），则小丽应付（元）．多变的行程问题（微探究）例1 （1）设甲、乙两站相距千米，则，解得．（2）设路公交车的速度是，小王行走的速度是，同向行驶的相邻两车的间距为．则，解得，即．例2 （1）C 设船在静水中的速度为，水流速度为，则，解得，．（2）A 设正方形边长为，第次相遇共行了，设甲的路程为，甲的速度为，则，解得．．例3 设环形跑道长为，甲和乙的速度分别是，．因为当甲、乙同时同地同向出发，甲首次追上乙时，乙行驶了圈，所以当甲追上乙时，甲行驶了圈．这说明，代入到中，得，即，于是所求时间为（分。
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思维特训(四) 绝对值与分类讨论
方法点津 ·
1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．
用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.
2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．
用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .
3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．
典题精练 ·
类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论
1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|.
(1)|AB|＝________；
(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值．
2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．
根据上述材料，回答下列问题：
(1)|5－(－2)|的值为________；
(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；
(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；
(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．
类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题
3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类
讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：
【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值． 【解决问题】
解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c
＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c
＝a a ＋－b b ＋－c c
＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c
的值； (2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．
4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：
|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：
①|7－21|＝________；
②|－12
＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪
⎪717－718＝________． (2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009
. 5．探索研究：
(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：
①|－2|＋|3|________|－2＋3|；
②|－12|＋|－13|________|－12－13
|； ③|6|＋|－3|________|6－3|；
④|0|＋|－8|________|0－8|.
(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a ，b 为有理数时，|a|＋|b|与|a ＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)
(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2019|＝|x －2019|时，求x 的取值范围．
详解详析
1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.
(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．
当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x .
因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，
解得x ＝－12
. 2．解：(1)7
(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.
(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.
(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．
若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.
3．解：(1)因为abc ＜0，
所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，
则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c
＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，
则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c
＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c
的值为－3或1. (2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，
所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.
4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718
(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15
. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.
②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13
|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，
所以|6|＋|－3|＞|6－3|.
④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，
所以|0|＋|－8|＝|0－8|.
(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，
所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.
(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2019同号或x 为0，所以当|x |＋|－2019|＝|x －2019|时，x 的取值范围是x ≤0.。