北师大版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程课件
()
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．若椭圆x52＋my2＝1 的一个焦点坐标为(1,0)，则实数 m 的值为
A．1 C．4
B．2 D．6
()
答案：C
3．设 P 是椭圆2x52＋1y62 ＝1 上的点，若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，
则|PF1|＋|PF2|等于
()
A．4
B．5
C．8
D．10
2 ) ， －1，
14 2
代
入
，
得
4A＋2B＝1， A＋144B＝1，
解得AB＝ ＝1814， ，
所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
[类题通法] 求椭圆标准方程的一般步骤
[针对训练] 1．已知椭圆的焦点在 y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和
为 8，焦距为 2 15，则此椭圆的标准方程为______________．
2．已知动圆 M 过定点 A(－3,0)，并且在定圆 B：(x－3)2＋y2＝ 64 的内部与其相内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
解：设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB| ＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心 M 到两定点 A(－3,0)，B(3,0) 的距离之和等于定圆的半径， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 且 2a＝8,2c＝6，b＝ a2－c2＝ 7， ∴M 的轨迹方程是1x62＋y72＝1.
3．点 P 在椭圆x42＋y2＝1 上，且 PF1⊥PF2，求 S△PF1F2.
解：∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16， 又 PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12， ∴|PF1||PF2|＝2， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝1.
[针对训练] 1．平面内有一个动点 M 及两定点 A，B.设 p：|MA|＋|MB|为定
值，q：点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆．那么( ) A．p 是 q 的充分不必要条件 B．p 是 q 的必要不充分条件 C．p 是 q 的充要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，又不是 q 的必要条件 解析：若|MA|＋|MB|为定值，只有定值>|AB|时，点 M 轨迹才 是椭圆．故 p 为 q 的必要不充分条件．
定点
焦点
两个_____F1，F距2叫离作椭圆的焦点
焦距 集合 语言
两焦点F1|，MFF21间|＋的|M_F__2|_＝_叫2a作椭圆的焦距 P＝{M|__________________,2a＞|F1F2|}
[注意] 平面内点 M 到两定点 F1，F2 的距离之和为常数 2a， 当 2a>|F1F2|时，点 M 的轨迹是椭圆； 当 2a＝|F1F2|时，点 M 的轨迹是一条线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，点 M 的轨迹不存在．
考点三 与椭圆有关的轨迹问题
[典例] 已知圆 B：(x＋1)2＋y2＝16 及点 A(1,0)，C 为圆 B
上任意一点，求 AC 的垂直平分线 l 与线段 CB 的交点 P 的轨迹
方程．
[解] 如图所示，连接 AP， ∵l 垂直平分 AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P 点的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. ∴点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
将 A，B 坐标代入得m＋34n＝1，
解得m＝14， n＝1，
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
考点二 椭圆的定义及应用 [典例] 如图所示，已知椭圆的方程为x42＋y32 ＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点， 且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
[解] 由已知 a＝2，b＝ 3，
答案：D
知识点二 椭圆的标准方程 一、预习教材·问题导入
在平面直角坐标系中，已知 A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)， D(0，－2)．
问题 1：若动点 P 满足|PA|＋|PB|＝6，则 P 点的轨迹方程 是什么？
提示：x92＋y52＝1. 问题 2：若动点 P 满足|PC|＋|PD|＝6，则动点 P 的轨迹方 程是什么？ 提示：y92＋x52＝1.
依题意，有aa4122＝＋143， b2＝1，
解得 a2＝4，b2＝1.
若焦点在
y
轴上，
设
椭
圆方程为
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
，
同理
a2＝1， b2＝4，Biblioteka 这与 a>b 矛盾．
故所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
法二：设椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 4m＝1，
三、综合迁移·素养培优
1．若椭圆xm2＋y42＝1 的焦距为 2，则 m 的值为
A．5
B．3
C．5 或 3
D．8
()
解析：由题意得 c＝1，a2＝b2＋c2.当 m>4 时，m＝4＋1＝5； 当 m<4 时，4＝m＋1，∴m＝3.
答案：C
2．如果方程xa22＋a＋y2 6＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a
法二：依题意，可设椭圆
C
的
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
，
则
a42＋b92＝1， 解得 b2＝12 或 b2＝－3(舍去)，从而 a2＝16.所以 a2－b2＝4，
椭圆 C 的标准方程为1x62＋1y22 ＝1. 答案：1x62＋1y22 ＝1
考点一 椭圆的标准方程 [典例] 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a＝4，c＝3，焦点在 y 轴上； (2)a＋b＝8，c＝4； (3)经过两点(2，－ 2)，－1， 214.
解析：由已知，2a＝8,2c＝2 15，∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案：1y62 ＋x2＝1
2．求焦点在坐标轴上，且过点 A(2,0)和 B1， 23的椭圆的标准
方程． 解：法一：若焦点在
x
轴上，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)，
[类题通法] 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
(1)定义法： 用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件， 看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则 用待定系数法求解即可．
(2)相关点法： 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而 形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动 中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
二、归纳总结·核心必记
椭圆的标准方程 焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程 _xa_22＋__by_22_＝__1_(_a_>_b_>_0_) _ay_22_＋__xb_22＝__1_(_a_>_b_>_0_)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c 的关系
a2－b2＝c2
[注意] 椭圆的标准方程有两种形式，若含 x2 项的分母大于 含 y2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之焦点在 y 轴上．
提示：相同．
问题 2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值． 问题 3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距 离？为什么？
提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦 点间的距离．
椭圆的定义
二、归纳总结·核心必记
定义
距离之和等于 平常面数内到两个定点F1，F2的 ____________ _____(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆
[针对训练] 1．△ABC 的两个顶点坐标分别是 B(0,6)和 C(0，－6)，边 AB，
AC 所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点 A 的轨迹方程． 解：设顶点 A 的坐标为(x，y)，由题意得 y－x 6·y＋x 6＝－23，化简整理，得5x42＋3y62 ＝1， 又 A，B，C 是△ABC 的三个顶点，所以 A，B，C 三点不共线， 因此 y≠±6，所以顶点 A 的轨迹方程为5x42＋3y62 ＝1(y≠±6)．
三、综合迁移·素养培优
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆
()
(2)已知椭圆的焦点是 F1，F2，P 是椭圆上的一动点，如果延
长 F1P 到 Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点 Q 的轨迹为圆 ( )
(3)方程xa22＋by22＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆
答案：B
2．已知 F1，F2 为椭圆2x52＋y92＝1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭 圆于 A，B 两点．若|AF2|＋|BF2|＝12，则|AB|＝________.
解析：由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2| ＋|BF2|＝2a＋2a，又由 a＝5，可得|AB|＋(|AF2|＋|BF2|)＝20， 即|AB|＝8. 答案：8
的取值范围是
()
A．a>3
B．a<－2
C．a>3 或 a<－2
D．a>3 或－6<a<－2
解析：由 a2>a＋6>0 得aa2＋－6a>－0，6>0， 所以aa<>－ －26或 ，a>3，
所以 a>3 或－6<a<－2.
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
3．焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_ax_22_＋__by_22＝__1_(_a_>_b_>_0，) 焦 点在y轴上的椭圆的标准方程为_ay_22＋__bx_22_＝__1_(_a_>_b_>_0，) 其中a与b的
2．对椭圆标准方程的三点认识 (1)标准方程的几何特征： 椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐 标轴． (2)标准方程的代数特征： 方程右边为1，左边是平方和的形式，并且分母为不相等 的正值，当椭圆的焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆的 焦点在y轴时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特 别注意a＞b＞0这个条件．
m，b2＝4，c2＝m－4＝1，∴m＝5， 当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，c2＝4－m＝1， ∴m＝3.
课堂典例讲练
椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方 程：
(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)、(3,0)，椭圆经过点(5,0)； (2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
3．求椭圆的标准方程的方法． (1)正确判断焦点的位置． (2)设出标准方程后，运用待定系数法求解． ①焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，焦点 在 y 轴上的椭圆的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0)． ②若不能确定焦点的位置，可分两类设出方程或设两种标准 方程的统一形式，统一形式为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n) 或xm2＋yn2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
数学第三章1.1椭圆及其标准方程课件(北师大版选修2-1)
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程 为ya22＋xb22＝ 1(a>b>0)．
由于椭圆经过点 (0， 2)和 (1， 0)，
∴
a42＋b02＝ a02＋b12＝
11， ，∴ab22＝ ＝
4， 1.
故所求椭圆的标准 方程为y2＋ x2＝ 1. 4
【名师点评】 本例中的解法体现了求椭圆 方程的一般方法，通过“定位”与“定量” 两个过程可求得所求椭圆的方程．
93
法二：由已知,设椭圆的方程是 Ax2＋By2＝1
(A>0， B>0， A≠ B)，
故6A＋B＝1， ⇒ 3A＋2B＝1，
A＝1， 9
B＝ 1， 3
即所求的椭圆的标 准方程是x2 ＋y2 ＝ 1. 93
椭圆定义及标准方程的应用
已知椭例圆2的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)， P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等 差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求 △PF1F2的面积．
第三章 圆锥曲线与方程
•§1 椭 圆 •1．1 椭圆及其标准方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：椭圆的定义及其标准方程． 难点：椭圆的标准方程的推导过程．
新知初探思维启动
1.椭圆的定义 (1)椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆． 这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
25 16
4.若方程xa22－ya2＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 a 的取值范围是______． 解析：∵a2>0，xa22－ya2＝1 即xa22＋－y2a＝1， ∴－a>a2，－1<a<0.
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
返回
椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
返回
[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8， 此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2
3.椭圆的简单几何性质-北师大版高中数学选修2-1PPT全文课件
y
b
-a
a
o
x
-b
由 x2y2 a2 b2
1 a x2 21 和 b y2 2
1
即 ： x a和y b
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里． 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
3 . 椭 圆 的简 单几何 性质-北 师大版 高中数 学选修 2-1PP T全文课 件【完 美课件 】
二、椭圆的对称性 Y 关于y轴对称
3 . 椭 圆 的简 单几何 性质-北 师大版 高中数 学选修 2-1PP T全文课 件【完 美课件 】
小 结：
由椭圆的范围、对称性和顶点， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形.
3 . 椭 圆 的简 单几何 性质-北 师大版 高中数 学选修 2-1PP T全文课 件【完 美课件 】
P2（-x，y）
P（x，y）
x2 a2
y2 b2
1(abO0)
X
关于原点对称
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
关于x轴对称
6
3 . 椭 圆 的简 单几何 性质-北 师大版 高中数 学选修 2-1PP T全文课 件【完 美课件 】
二、椭圆的对称性
y
F1 O F2 x 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
y2 a2
x2 b2
1
a b0
F1(0，c) F2(0，-c)
y
F1 o
M
F2 x
a2 b2c2
y
. F1
o
x
. F2
a2 b2c2
椭圆的一般方程
Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）
3 . 椭 圆 的简 单几何 性质-北 师大版 高中数 学选修 2-1PP T全文课 件【完 美课件 】
高中数学课件-2015-2016学年北师大版选修2-1 椭圆及其标准方程 课件(29张)
§1 椭 圆 1．1 椭圆及其标准方程
重点：求椭圆的标准方程． 难点：会求简单的与椭圆有关的轨迹方程.
一、椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的________，两焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的________．
②代入①解得|PF1|＝65， ∴S△PF1F2＝21|PF1|·|F1F2|·sin 120° ＝12×65×2× 23＝3 5 3， 即△PF1F2 的面积是53 3.
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角 形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形 中的正弦定理、余弦定理等知识．在求焦点三角形的面积时，若已知 ∠F1PF2，可利用 S＝12absin C，把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2 ＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需 单独求出，这样可以减少运算量．
解得 b2＝9，a2＝3，与 a>b 矛盾，此种情形不存在． 综合上述可知：所求的椭圆的标准方程是x92＋y32＝1.
解法二 由已知，设椭圆的标准方程是 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0 且
6A＋B＝1 A≠B)，故3A＋2B＝1
⇒ AB＝ ＝1913
x92＋y32＝1.
，即所求的椭圆的标准方程是
到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭 圆．特别注意焦点的位置及a，b，c的关系．
1 ． 到 两 定 点 F1( － 3,0) 和 F2(3,0) 的 距 离 之 和 为 6 的 点 M 的 轨 迹 是
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程课件4北师大版选修2_1
2、若椭美满足: a＝5 , c＝3 , 焦点在x轴上 求它的标准方程。
焦点在x轴上时： 焦点在y轴上时：
x2 y2 1
25 16 x2 y2
1 16 25
3、若动点P到两定点F1(－4,0)， F2(4,0)的距离之和为8，则动点
P的轨迹为（ B ）
A. 椭圆 C. 直线F1F2
B. 线段F1F2 D. 不存在
两焦点之间的距离：焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.
注意
a> c>0
椭圆标准方程的推导：
求椭圆的方程可分为哪几步？
建立直角坐标系
设点坐标
列等式
代入坐标 化简方程
如何建立适当的直角坐标系？ 建立直角坐标系
原则：尽可能使方程的情势简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线 作为坐标轴。)
例1、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线 是一个椭圆，它的焦距为2.4 m，外轮廓线上的点到两 个焦点的距离和为3 m，求这个椭圆的标准方程
y P
解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以 线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标 系，则这个椭圆的标准方程为
F1 O
F2 x
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，
c=1.2。所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此
椭圆的标准方程为
x2
y2
1
2.25 0.81
例2、将圆x2+y2=4上的点的横坐标 保持不变，纵坐标变为本来的一 半，求所得曲线的方程，并说明 它是什么曲线
y
P
P′
x o
新北师大选修2-1高中数学 椭圆及其标准方程
§1椭__圆1．1椭圆及其标准方程[对应学生用书P43]问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)． 问题1：若动点P 满足|PA |＋|PB |＝6，则P 点的轨迹方程是什么？ 提示：x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足|PC |＋|PD |＝6，则动点P 的轨迹方程是什么？ 提示：y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程1．平面内点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ， 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x 2项的分母大于含y 2项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之焦点在y 轴上．[对应学生用书P44][例1] (1)a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上； (2)a ＋b ＝8，c ＝4；(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b 的值．[精解详析] (1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7. ∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，(a ＋b )(a －b )＝16 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(3)法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝⎛⎭⎫1，32的椭圆的标准方程． 解：法一：若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎨⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF 1F 2的面积是353. [一点通]椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解．4．平面内有一个动点M 及两定点A ，B .设p ：|MA |＋|MB |为定值，q ：点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．那么( )A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，又不是q 的必要条件解析：若|MA |＋|MB |为定值，只有定值>|AB |时，点M 轨迹才是椭圆．故p 为q 的必要不充分条件．答案：B5．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AF 2|＋|BF 2|＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．点P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16，又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， ∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.[例3] 求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．[思路点拨] P 为AC 垂直平分线上的点，则|PA |＝|PC |，而BC 为圆的半径，从而4＝|PA |＋|PB |，可得点P 轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆．[精解详析] 如图所示，连接AP ，∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |.∴|PB |＋|PA |＝|BP |＋|PC |＝4，∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.[一点通]解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0,6)和C (0，－6)，边AB ，AC 所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A 的轨迹方程．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得 y －6x ·y ＋6x ＝－23，化简整理，得x 254＋y 236＝1，又A ，B ，C 是△ABC 的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，因此y ≠±6，所以顶点A 的轨迹方程为x 254＋y 236＝1(y ≠±6)．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上．3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．。
高中数学北师大版选修2-1 3.1.1.1椭圆及其标准方程 课件(30张)
= 1(������ > 0, ������ > 0, ������≠n).
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【做一做 2-1】 A.(±4,0) C.(± 3,0) 答案 :D
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【做一做1】 命题甲:动点P到两个定点A,B的距离之和 |PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲 是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常 数 ). ∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,且a为常数),是不能推出P点的轨迹 是椭圆的.这是因为,仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当 2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹. ∴甲不是乙的充分条件. 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
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高中数学选修2-1课件2.2 椭圆及其标准方程 (共15张PPT)
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 2 = b2 + c 2
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
课后作业
1、课后反思与体验
１、本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学 会的？ ２、我还有什么知识没有掌握，是什么原因导致 的？ ３、我从老师和同学那儿学到了哪些好的学习方 法？ ４、通过上述的回顾评价一下自己本节课的表现。
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在
哪一个轴上。
1、根据椭圆的标准方程，快速填空：
x2 y 2 1. 2 2 1， 则a＝ 5 ，b＝ 3 ； 5 3 x2 y 2 2. 2 2 1， 则a＝ 6 ，b＝ 4 ； 4 6 x2 y 2 则a＝ 3 ，b＝ 2 ； 3. 1， 9 4 x2 y 2 4. 1， 则a＝ 3 7
2、基础题：作业本第17－18页1－8题
课后作业
3、探究与拓展： 介绍一种画椭圆的仪器. 登陆网页 http///xiaolu31/jieji/2-1， 阅读有关“达.芬奇椭圆仪”的介绍.
根据所学知识完成下表：
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2
P x
不 同 点
图
形
F1