一元二次方程与二次函数专题
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二次函数与一元二次方程专题
一、知识要点:
二次函数图象与x 轴交点情况:
二、经典例题:
1.y=(m-2)22-m x +x -3=0是关于x 的二次函数,则m 的值是
2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点,则=a
(2)二次函数y=2
(0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-,则=++c b a ,=+-c b a
(3)等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标,则周长是 .
3.求下列二次函数与x 轴交点坐标.
(1)2222y x mx m n =-+- (2)2()2y m n x nx m n =++-+ (0≠+n m )
4.已知:关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点,则k .
5.已知关于x 的二次函数2
3y x m x m =-+()-
求证:该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=(m-1)x 2-2x+1都与x 轴有两个交点,求m 的整数值.
7.当k 为何整数时,关于x 的二次函数y=kx 2-4x +4和y=x 2-4kx +4k 2-4k -5都与x 轴交于整数点.
8.已知:m 为整数,且二次函数y=x 2-3x +m +2与x 轴正半轴有两个交点,求m 值.
9.已知:抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上.
(1)求证:该二次函数与x 轴必有两个交点;
(2)设抛物线与x 轴交点为A (1x ,0),B (2x ,0)(A 在B 左侧).若2y 是关于m 的函数,且2212y x x =-,
求这个函数的解析式;
(3)若AB=3,求抛物线的解析式.
10.已知关于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+2k+1=0.
(1)求证:该方程必有两个实数根.
(2)若该方程只有整数根,求k的整数值
(3)在(2)的条件下,在平面直角坐标系中,若二次函数y=(k+1)x2+3x+m与x轴有两个不同的交点A和B(A在B左侧),并且满足OA=2·OB,求m的非负整数值.
11.已知以x为自变量的二次函数y=x2+2mx+m-7.
(1)求证:不论m为任何实数,二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)若二次函数的图象与x轴的两个交点在点(1,0)的两侧,关于x的一元二次方程m2x2+(2m+3)x +1=0有两个实数根,且m为整数,求m的值;
(3)在(2)的条件下,关于x的另一方程x2+2(a+m)x+2a-m2+6 m-4=0 有大于0且小于5的实数根,求a的整数值.
12.已知:二次函数22
=--+-+.
y x m x m m
2(23)4148
m>求证:该二次函数的图象与x轴有两个交点
(1)若0,
(2)若12<m<40的整数,且该二次函数与x轴交于两个整数点,求m的值.
初三数学一元二次方程与二次函数测试题
初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一.选择题(每小题3分,共24分) 1.下列关系式中,属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1,-4) B.(-1,2) C. (1,2) D.(0,3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) 4.关于的一元二次方程有实数根,则( ) (A)<0 (B)>0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( ) A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位, 所得图象的解析式是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限,则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )
二.填空题(每小题4分,共32分) 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式,则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点,那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数,则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-,则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上,且与y 轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式:_____________________. 16.如图,抛物线的对称轴是1=x ,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点坐标是)0,3(,则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三.解答题 1.用适当的方法解方程: (1)(2x-1)2-7=3(x+1); (2)(2x+1)(x-4)=5;
一元二次方程专题能力培优含答案
第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程 专题一 利用一元二次方程的定义确定字母的取值 1.已知2 (3)1m x -+=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是( ) A.m ≠3 B.m ≥3 C.m ≥-2 D. m ≥-2且m ≠3 2. 已知关于x 的方程2 1 (1)(2)10m m x m x +++--=,问: (1)m 取何值时,它是一元二次方程并写出这个方程; (2)m 取何值时,它是一元一次方程? 专题二 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值 3.关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+5x+m 2 -1=0的常数项为0,求m 的值. 4.若一元二次方程2 (24)(36)80a x a x a -+++-=没有一次项,则a 的值为 . 专题三 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 5.已知关于x 的方程x 2 +bx+a=0的一个根是-a (a≠0),则a-b 值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 6.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0中,a -b+c=0,则此方程必有一个根为 . 7.已知实数a 是一元二次方程x 2 -2013x+1=0的解,求代数式22 1 20122013 a a a +--的值. 知识要点: 1.只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次),等号两边都是整式的方程,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项. 3.使一元二次方程的两边相等的未知数的值,叫做一元二次方程的解,又叫一元二次方程的根. 温馨提示: 1.一元二次方程概念中一定要注意二次项系数不为0的条件. 2.一元二次方程的根是两个而不再是一个. 方法技巧: 1.ax k +bx+c=0是一元一次方程的情况有两种,需要分类讨论. 2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想,需要同学们认真领
一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式:)0(2≠++=a c bx ax y (1) 等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数式2(二次) 的方程,叫做一元二次方程。 (2) 一元二次方程的一般形式: 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数,b 为 一次项系数,c 为常数项。 注意:三个要点,①只含有一个未知数;②所含未知数的最高次数是2;③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 (1)配方法:将方程整理成(x+p)2 =q ,方程的根是x=-p ±q 注:x 2系数是1和不是1时配方注意事项;x 2系数是负数时配方注意事项。 (2)公式法:242b b ac x a -±-=(240b ac -≥) (3)因式分解:十字相乘法:0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别(2 4b ac ?=-) (1)△>0,方程有两个不相等的实数根 (2)△=0,方程有一个实数根或者两个相等的实数根 (3)△<0,方程没有实数根,方程无解 4.韦达定理(根与系数关系) 一元二次方程ax 2+bx+c =0,设它的两个根是1x 和2x ,则1x 和2x 与方程的系数a ,b ,c 之间有如下关系: 1x +2x =b a -; 1x .2x =c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系; ②“设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元; ③“列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解; ⑤“答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 注意 :和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零. 2. 平移规律:
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根. ()1求k 的取值范围; ()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值. 【答案】(1)134k ≤ ;(2)2k =-. 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥,解之可得. ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()22 2130x k x k --+-=有两个实数根, 0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥, 解得134 k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-, () 222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=, 224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-, 134 k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】 本题考查了一元二次方程2 ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系. 2.已知:关于的方程 有两个不相等实数根. (1) 用含的式子表示方程的两实数根; (2)设方程的两实数根分别是,(其中),且,求的值.
一元二次方程与二次函数专题
二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点: 二次函数图象与x 轴交点情况: 二、经典例题: 1.y=(m-2)22-m x +x -3=0是关于x 的二次函数,则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点,则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-,则=++c b a ,=+-c b a (3)等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标,则周长是 . 3.求下列二次函数与x 轴交点坐标. (1)2222y x mx m n =-+- (2)2()2y m n x nx m n =++-+ (0≠+n m ) 4.已知:关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点,则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-+()- 求证:该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=(m-1)x 2-2x+1都与x 轴有两个交点,求m 的整数值. 7.当k 为何整数时,关于x 的二次函数y=kx 2-4x +4和y=x 2-4kx +4k 2-4k -5都与x 轴交于整数点. 8.已知:m 为整数,且二次函数y=x 2-3x +m +2与x 轴正半轴有两个交点,求m 值. 9.已知:抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上. (1)求证:该二次函数与x 轴必有两个交点; (2)设抛物线与x 轴交点为A (1x ,0),B (2x ,0)(A 在B 左侧).若2y 是关于m 的函数,且2212y x x =-, 求这个函数的解析式; (3)若AB=3,求抛物线的解析式.
2020届中考数学专题复习《一元二次方程》专题训练
一元二次方程 A级基础题 1.一元二次方程x2-3x=0的根是( ) A.x1=0,x2=-3 B.x1=1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=0,x2=3 2.(2017浙江舟山)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果正确的是( ) A.(x+2)2=2 B.(x+1)2=2 C.(x+2)2=3 D.(x+1)2=3 3.(2017年江苏南京改编)解方程(x-5)2=19,用以下哪种方法最恰当( ) A.配方法 B.直接开平方法 C.因式分解法 D.公式法 4.(2018年湖南娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是( ) A.有两不相等实数根 B.有两相等实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.(2018年湖南湘潭)若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.m≥1 B.m≤1 C.m>1 D.m<1 6.如图2-1-4,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是( ) 图2-1-4 A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m 7.(2018年吉林)若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为________. 8.一元二次方程x2-2x=0的解是____________. 9.已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为____________. 10.已知关于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围; (2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
一元二次方程与二次函数的应用题精选题
一、一元二次方程的应用题 1.(2010年长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠? 解:(1)设平均每次降价的百分率是x ,依题意得 ………………………1分 5000(1-x )2= 4050 ………………………………………3分 解得:x 1=10% x 2= 19 10 (不合题意,舍去) …………………………4分 答:平均每次降价的百分率为10%. …………………………………5分 (2)方案①的房款是:4050×100×0.98=(元) ……………………6分 方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=(元) ……7分 ∵< ∴选方案①更优惠. ……………………………………………8分 2.(2010年成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 答案:26.. 解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意,得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==,2 2.2x =-(不合题意,舍去)。 答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 (2)设全市每年新增汽车数量为y 万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆,2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
一元二次方程专题复习
一元二次方程专题复习 一、选择题 1、设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是( ). A.-4 B.-1 C. 1 D. 0 2、设方程x2-4x-1=0的两个根为x1与x2,则x1x2的值是( ). A.-4 B.-1 C. 1 D. 0 3、方程组的解是() A.B. … C.D. 4、若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在0和1之间(不含0和l),则a 的取值范围是() A. B. C. D. 5、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于() A.1 B.2 C.1或2 D.0 6、方程的根是( ) A.B.C. D. 7、已知代数式的值为9,则的值为()
A.18 B.12 C.9 D.7 8、关于x的一元二次方程的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 9、若关于x的一元二次方程的常数项为0,则m的值等于 A.1 B.2 C.1或2 D.0 10、已知是关于的一元二次方程的两实数根,则式子的值是() A. B. C.D. ' 11、一元二次方程x一2x=0的解是( ) A.0 B.2 C.0,一2 D.0,2 12、设一元二次方程的两个实数根为和,则下列结论正确的是() A.B. C.D. 13、三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程的一个根,则这个三角形的周长是() 或13 14、关于的一元二次方程的解为( ).
A.=1,=-1 B.==1 C. ==-1 D.无解 15、将方程x2+4x+1=0配方后,原方程变形为 ( ) A.(x+2)2=3 B.(x+4)2=3 C.(x+2)2=-3 D. (x+2)2=-5 16、若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为 ( ) A.-1或 B.-1 C. D.不存在 17、关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是() A.1 B.12 C.13 D.25 & 二、填空题 18、设一元二次方程的两个实数根分别为和,则 , . 19、已知x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实根,则(x1-2) (x2-2)= . 20、已知一元二次方程的一个根为,则. 21、方程的较大根为,方程的较小根为,则 。