商的变化规律整理和复习
课件出示教材第92页练习十八第4题。
12箱蜜蜂一年可以酿900千克蜂蜜。小林家养了这样的5箱蜜蜂，一年大约可以酿多少千克蜂
知识点4：商不变的规律。
课件出示教材第93页练习十八第7(3)题。
除数除以3，被除数，商不变
课堂小结:
1.说一说本节课的收获。
2.谈谈在解决实际问题中有哪些需要注意或不太熟练的。
板书设计
作业设计
.
教学反思
学科组
查阅
教导处查阅
直接写出得数。
26÷2=55÷5280÷40= 88÷4=640÷80= 81÷3=
360÷90= 96÷4=78÷6=
知识点2：除数接近和不接近整十数的试商方法。
课件出示教材第92页练习十八第2题。
先判断下面各题的商是几位数，再计算。(课堂讲解前四题)
792÷36 462÷84
656÷82 686÷34
学习过程
初案
二次备课（修改栏）
【复习导入】
谈话引入。
同学们，我们前面一直在学习除法的笔算，今天我们学习的内容和前面有所不同，今天所学的内容更需要同学们认真观察、分析，看你们能发现什么。好，下面我们先进行课前练习。
【新课讲授】
1.学习例8，探究商变化的规律。
（1）投影第87页例8的两组题，请学生读题目要求，并按要求在书上完成计算。
板书设计
作业设计
教学反思
学科组
查阅
教导处查阅
第十五周第4课时
主备人:汝xx
学习内容
整理和复习
总第56课时
课型
新授课
备课时间
2019.11.25
三维目标
1.在具体情境中，理解和掌握除数是两位数的口算除法：能比较熟练地估算、笔算除数是两位数的除法，理解和掌握商不变的性质；初步掌握一些常见的数量关系。
2.在探索除法算理算法的过程中，培养初步的推理能力和小组合作学习的能力。
（2）完成计算后，请学生思考以下问题。
（3）通过观察比较，引导学生互相交流，老师系统归纳整理。
（4）被除数不变，除数乘或除以多少，商则除以或乘相同的数。
除数不变，被除数乘或除以多少，商也随着乘或除以相同的数。
（5）在老师总结的基础上，让学生用语言表述商变化的规律，引导学生参照板书表述，加以说明和验证。
3.经历探索用除数是两位数的除法解决实际问题的过程，感受数学与生活的密切联系，强化热爱生活的情感，提高学生解决简单实际问题的能力。
学习重点
掌握除法口算、估算、笔算的方法。
学习难点
掌握除法口算、估算、笔算的方法。
学习过程
初案
二次备课（修改栏）
知识点1：十数除整十数或几百几十数的口算。
课件出示教材第92页练习十八第5题。
2.学习例5，探究商的变化规律。
（1）引导学生动手摆一摆
（2）老师说题，学生在表格中用卡片摆出。
【课堂小结】
提问:通过观察，我们发现了除法里有商的变化规律，那么谁能说说你觉得这个规律需要我们注意的有哪些？
小结：被除数不变，除数乘或除以多少，商则除以或乘相同的数。
除数不变，被除数乘或除以多少，商也随着乘或除以相同的数。
第十五周第2课时
主备人:汝xx
学习内容
商的变化规律
总第54课时Βιβλιοθήκη 课型新授课备课时间
2019.11.25
三维目标
1.通过复习,使学生把"除数是两位数的除法"这一单元的有关知识系统化、条理化。
2.培养学生用数学语言表达数学结论的能力。
学习重点
引导学生自己发现并总结商的变化规律。
学习难点
引导学生自己发现并总结商的变化规律。
积、商的变化规律整理复习
720÷9＝80 ÷ ＝
38÷2＝19 ÷ ＝
720÷18 ＝40 76÷4 ＝19 ÷ ÷
3600÷3 ＝1200 720÷36 ＝20 152÷8 ＝19 ÷ ÷ ÷
读一读，填一填： 读一读，填一填：
商不变。 ①如果除数乘3，被除数（也乘 ），商不变。 如果除数乘 ，被除数（也乘3），商不变 ②两个数相除商是40，如果除数除以 ， 两个数相除商是 ，如果除数除以2， 被除数不变，商是（ 被除数不变，商是（ 80 ）。 ③若a÷b=8，那么 ÷b=（ 32 ）。 ÷ ，那么4a÷ （ ④甲数除以乙数的商是36，如果甲数乘 ， 甲数除以乙数的商是 ，如果甲数乘4， 乙数乘8，则商是（ 18 ）。 乙数乘 ，则商是（
判断：500÷30=16 · · · · · ·2 判断： ÷
16 30 500 3 20 18 2
111111111÷9=12345679 ÷ 222222222÷18=12345679 ÷ 333333333÷（ 27）=12345679 ÷ （ 666666666 ）÷54=12345679
想想填填
÷ 25×４0 =（25×2）×（４0○ □ ） × （ × ） ○ 2 45×８0 = （45○□）×（８0÷5） × ○ ÷ ） ×5
a×b=4010，那么 × ， (a×20)×(b÷10)=( 8020) × × ÷
计算下面各题， 计算下面各题，你有什么发现
36÷3＝12 ÷ ＝ 360÷3 ＝120 ÷
你能根据 × 你能根据24×25=600， 根据 ， 写出下面算式的结果吗？ 写出下面算式的结果吗？
48×25=1200 × 24×75=1800 × 12×25= 300 × 8×25= 200 ×
《商的变化规律》
旅行预订
旅行者可以通过比较不同旅行 社或在线预订平台的报价，来 选择价格更合理的旅游产品。 这同样需要使用商的变化规律 来比较不同报价之间的差异。
商业中的应用
01
市场调研
商家在进行市场调研时，需要了解竞争对手的产品价格、促销策略和
市场占有率等信息。这需要使用商的变化规律来分析竞争对手的商业
策略。
02
要点二
详细描述
单项式乘以单项式，把他们的系数相乘作为积的系数， 相同字母的幂分别相乘后作为积中的相应项，其余字母 连同他的指数不变，作为积的因式。例如，$(2x^2) \cdot (3x^3)$等于$6x^5$。
除法运算律
总结词
一个数除以一个不为0的数等于这个数乘以 这个数的倒数。
详细描述
在进行除法运算时，一个数除以一个不为0 的数等于这个数乘以这个数的倒数。例如，
性质
小数商具有连续性和无限性，即两个整数相除得到的小数商是一个无限循环或不循环小数。此外，小数商还具 有传递性和封闭性，即任何两个整数的小数商都只有一个确定的值，并且如果a除以b得到的小数商是c，那么 b除以a得到的小数商就是c的倒数。
02
商的性质
传递性
定义
如果a·b=c·d，那么a:d=b:c，称为商的传递性。
扩大或缩小不同倍数
总结词
当两个数扩大或缩小的倍数不同时，商会发生变化。
详细描述
例如，当90除以10得到9，而9扩大20倍得到180，这时 商变为18，这表明当两个数扩大或缩小的倍数不同时， 商会发生变化。
零除法法则
总结词
零除法法则是指当被除数为零时，商也为零。
详细描述
例如，当90除以0得到0，这表明当被除数为零时，商 也为零。
商的变化规律和商不变的规律
注意事项：使用商的变化规律时，需要注意被除数和除数扩大的倍数必须相同；而商不 变规律中，除数不能为0，否则会导致分母为0的情况，不符合数学规则
商的变化规律和商不变规律的适用范围
商的变化规律 适用于除数不 为0的情况，被 除数和除数同 时乘或除以相 同的数（0除 外），商不变。
商不变规律是指被除数和除数同时乘或除以同一个不 为零的数，商不变。
单击此处添加项标题
数学表达式为：a ÷ b = (a × k) ÷ (b × k) 或 a ÷ b = (a ÷ k) ÷ (b ÷ k)，其中 a、b、k 均 为正数。
单击此处添加项标题
商不变规律是数学中一个重要的定理，它在除法、分 数、比等数学概念中有广泛应用。
商不变规律的证明方法
证明方法一：利 用除法的定义进 行证明
证明方法二：利 用商的性质进行 证明
证明方法三：利 用代数恒等式进 行证明
证明方法四：利 用几何图形进行 证明
01
商的变化规律和商不变规律的对比
商的变化规律和商不变规律的异同点
相同点：两者都是描述除法运算中商的变化情况
不同点：商的变化规律是指被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变；而商不 变的规律是指除数不能为0，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变
当除数扩大若干倍时，商也扩大相同的倍数 当除数缩小若干倍时，商也缩小相同的倍数 除数不为0，当除数扩大或缩小若干倍时，商也相应地扩大或缩小相同的倍数 商随被除数的变化而变化，当被除数扩大或缩小若干倍时，商也扩大或缩小相同的倍数
商的变化规律在实际中的应用
商的变化规律
被除数 ÷ 除数 =
不变
商
扩大 缩小
缩小 扩大
第二组除数没变,被除数和商发生了 变化. 由上往下看, 除数不变,被除数依次 乘以10、20，商也随着乘以10、20。 由下往上看，除数不变，被除数依 次除以10、20，商也随着除以10、 20。
16
=
2
160 ÷8 = 20
320
= 40
商的变化规律（二）：除数不变，被除数乘以（扩大） 或除以（缩小）多少，商也随着乘以（扩大）或除以 （缩小）相同的数。
被除数 ÷ 除数 =
扩大 （缩小）
不变
商
扩大 （缩小）
《西游记》里的故事：
太 少 了
那就20天 给你200块 饼吧！ 两天我给你20 块饼，怎么样？
太好了！ 太好了！这 回每天我可 以多吃些了！
猴哥，笑什 么？
哈哈！你 个呆子！
你知道猴哥为什么笑吗？
先算出商，再观察，你发现了什么？
被除数 除数 14 2 140 280 20 40 560 5600 80 800
160 ÷ 40=
160 ÷ 20=
240 ÷ 30 =
120 ÷ 3 =
智力大比拼
27 ÷ 3 ＝ 270 ÷ 30 ＝ 2700 ÷ 300＝
56 ÷ 7 ＝ 560 ÷ 70 ＝ 5600 ÷ 700＝ 80 ÷ 2 ＝ 800 ÷ 20 ＝ 8000 ÷ 200＝
找 规 律 ， 填 一 填 。
商
7
7
7
7
7
①第2栏与第1栏比，被除数、除数有什么变化？ 商呢？ （被除数和除数都乘了10，商不变。） ②第4栏与第5栏比，被除数、除数有什么变化？ 商呢？ （被除数和除数都除以10，商不变。）
商的变化规律知识总结
1、被除数÷除数＝商……余数
被除数＝除数×商＋余数
除数＝（被除数－余数）÷商
商＝（被除数－余数）÷除数
余数＝被除数－除数×商
2、被除数前两位<除数时，商是一位数，
被除数前两位≧除数时，商是两位数。
3、商的变化规律：
（1）、在除法算式中，被除数不变，除数
乘以（或除以）几（0除外），商反而要除
以（或乘以）相同的数。
（2）、在除法算式中，除数不变，被除数
乘以（或除以）几（0除外），商也要乘以（或除以）相同的数。
简便记法：除数与商的变化方向相反，被
除数与商的变化相同。
（3）、在除法算式中，被除数和除数同时
乘以（或除以）相同的数（0除外），商不变。
这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。
商的变化规律
商的变化规律哎呀，说起这商的变化规律，那可真是数学世界里一个特别有趣又实用的玩意儿！咱们先从最简单的例子说起。
比如说，你和小伙伴一起去买糖果，一包糖果 10 块钱，你有 20 块钱，能买到 2 包糖果，这时候商就是 2。
但要是糖果突然打五折，一包只要 5 块钱，那 20 块钱能买到 4 包糖果，商就变成了 4。
瞧，价格变了，能买到的糖果数量也就跟着变啦，这就是商的变化规律在生活中的小体现。
在咱们的数学教材里啊，商的变化规律主要有这么几条。
首先是被除数不变，除数变化引起商的变化。
就像刚才说的买糖果，被除数 20 块钱不变，除数从 10 变成 5，商就从 2 变成了 4。
除数变小，商反而变大。
然后是除数不变，被除数变化引起商的变化。
还是拿买糖果举例，如果一包糖果还是 10 块钱，你一开始有 20 块钱能买 2 包，后来你又多了 30 块钱，一共 50 块钱，那就能买 5 包了。
被除数变大，商也跟着变大。
还有被除数和除数同时变化的情况。
比如说被除数乘以 2，除数乘以 3，那商就会变小。
这就好比原本你有 20 块钱能买 2 包 10 块钱的糖果，现在你有 40 块钱，但是糖果变成一包 15 块钱了，那你能买到的糖果就少啦。
我记得有一次在课堂上，我给孩子们出了一道题：“如果120÷30=4，那（120×2）÷（30×2）等于多少？”孩子们都开始埋头苦算，有个小家伙特别机灵，一下子就喊出来：“老师，还是 4 ！”我问他怎么这么快就想出来了，他一脸骄傲地说：“您刚讲的被除数和除数同时乘以一个数，商不变呀！”那一刻，我心里别提多开心了，这孩子把知识学活啦！在实际解题的时候，掌握了商的变化规律可太有用啦。
比如说计算560÷70，我们可以把被除数和除数同时除以 10，变成 56÷7，一下子就能算出商是 8 。
总之啊，商的变化规律就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
人教版小学四年级上册第六单元《商的变化规律复习》课件
易错4： 根据商的变化规律, 直接由 54÷6 = 9，写出下面算式的商。 54÷2 = 27 108÷6 = 18 108÷12 = 9
吕洪伟提供
商的变化规律
除数不变，被除数乘几(0除外）
商也乘几。
被除数不变，除数乘几(0除外）
商反而除以几。
易错题特训:哪个算式的商最大？ Nhomakorabea个算式的商最小？
①256÷16
②512÷8
③512÷16 ④256÷8
独立完成 时间1分钟
自主达标
课本90页第6题。 56÷2=28
560÷20= 560÷2=
45÷9=5
90÷18= 180÷36=
40÷5=8
120÷5= 480÷5=
独立完成
时间3分钟
批改要求：组长推磨式批改作业。
其他同学思考这节课你有什么收获？ 今天你的表现如何？
2.至少找一道与商的变化规律有关的易错题并解答。 交流提示： 1.同桌交流，先左后右。 2.交流的同学指着自己找的易错题，说出易
错点在哪里，避免出错的小窍门。
3.一级音量，时间3分钟。
易错1： · · · · · 2 900÷30=3 680÷60=11·
3 30 900 9 0
李泉樟提供 1700÷400 =4· · · · · · 100
这节课你有什么收获？ 感觉你的表现如何？
11 60 680 6 8 6 2
张琛提供
4 400 1700 16 100
曹家畅提供
易错2： 1. 因为77÷9=8 · · · · · ·5，根据商不变的规律， 所以7700÷900=8 · · · · · ·5 ( × )
2. 270÷90=（270+90）÷（90+90）(
《商的变化规律》
当被除数增大，除数不变时，商也相应增大；当被除数减小，除数不变时，商也相 应减小。同样地，当除数增大，被除数不变时，商减小；当除数减小，被除数不变 时，商增大。
商的极限变化规律
总结词
商的极限变化规律是指当被除数或除数无限增大或减小时，商的极 限值也会发生变化。
详细描述
当被除数或除数无限增大时，商的极限值趋于正无穷；当被除数或 除数无限减小时，商的极限值趋于负无穷。
商的除法规则
总结词
商的除法规则是指在进行商的运算时， 一个商除以另一个商等于被除数除以 第二个商的被除数，再乘以第二个商。
详细描述
设 a/b 和 c/d 是两个商，则 (a/b) / (c/d) = (a/c) * (d/b)，其中 a, b, c, d 是整数，b, d 不为零。
商的幂运算规则
商的取值范围
商可以是整数、小数或分数，取决于被除数和除数的取值。
商的分类
整数商
当除数为非零整数时，商为整数。
小数商
当除数为小数或分数时，商为小数。
分数商
当被除数或除数为分数时，商为分数。
商的性质
80%
商的运算性质
商具有运算性质，如加法结合律、乘法交 换律等。
100%
商的运算律
商的运算律包括分配律、交换律和结合律。
单击此处添加标题
商的应用场景
商在数学中的应用
代数运算
商是数学中基本的代数运算之一， 用于解决各种数学问题，如解方程、 化简表达式等。
几何图形
商的概念在几何学中有广泛应用， 如计算面积、体积、角度等。
函数与极限
商在函数和极限理论中起到关键作 用，用于研究函数的连续性和可导 性。
商在物理中的应用
商的变化规律复习
题目2
题目3
题目4
计算 (4 + 8 + 12 + ... + 48) ÷ (3 + 6 + 9 + ...
+ 45)
计算 (1 + 3 + 5 + ... + 1997) ÷ (2 + 4 + 6 + ...
+ 1996)
计算 (1 × 3 × 5 × ... × 1997) ÷ (2 × 4 × 6 × ...
估投资产品的性价比。
06
总结回顾与展望未来
本节课重点内容回顾
商的变化规律定义和性质
01
商的变化规律指的是被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，
商不变的性质。
商的变化规律的应用
02
利用商的变化规律可以进行除法运算的简化和速算，提高计算
效率。
典型例题解析
03
通过解析典型例题，深入理解商的变化规律在解决实际问题中
在除法运算中，除数决定了商的精度 和范围。除数越大，商越精确；除数 越小，商的范围越大。
02
商随被除数和除数的变化规律
被除数不变，商与除数的关系
当被除数保持不变，而除数逐渐增大 时，商会逐渐减小。这是因为同样的 被除数需要被更大的数去除，所得的 商自然会更小。
相反，当被除数保持不变，而除数逐 渐减小时，商会逐渐增大。这是因为 同样的被除数需要被更小的数去除， 所得的商自然会更大。
对未来学习的展望和建议
展望未来学习内容
在未来的学习中，我将继续学习除法运算的相关知识，如除法的性质、除法的应 用等，为后续的数学学习打下坚实的基础。
提出学习建议
为了更好地掌握除法运算的相关知识，我建议同学们在学习过程中要注重理解、 多练习、勤思考，同时也要积极与同学和老师交流讨论，共同提高学习效果。
商的变化规律
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。
商的变化规律：1、除数不变：被除数乘或除以一个数（0除外），商也要乘或除以相同的数2、被除数不变：除数乘或除以一个数（0除外），商就要除以或乘相同的数。