2021学年新教材高中数学4.4对数函数4.4.1对数函数的概念课时作业含解析人教A版必修一

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4.4对数函数第一课时-人教A版(2021)高中数学必修第一册同步讲义

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念【课程标准】1. 理解对数函数的概念、图像及性质。

2. 会解与对数函数有关的定义域、值域、比较大小等问题【知识要点归纳】1. 对数函数的概念一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞) 2.对数函数的图像和性质定义形如log a y x =（a 0>且1a ≠）的函数叫做对数函数定义域 ()0,+∞ 值域(),-∞+∞图像【经典例题】()()()()242213log 2log 3log 4log (1).(5)log 1x y x y x y y x y x =+＝；＝；＝5；＝＋[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为。

（2）若对数函数y ＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须严格满足以下条件： (1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.例2求下列函数的定义域.(1)y＝log a(3－x)＋log a(3＋x)；(2)y＝log2(16－4x).[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．(1)y＝3log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.例3画出函数y＝lg|x－1|的图象.例4 （1）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的( )(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[跟踪训练] 3 （1）已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x 与y ＝log a (－x)的图象只能是( )(2)221log 21x y x -=+-图象恒过定点坐标是________．注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x 趋近于0时，函数图象会越来越靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交．(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a 的取值范围是a>1，还是0<a<1.(3)牢记特殊点．对数函数y ＝log a x(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1. 【当堂检测】一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( ) A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为．7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = ．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为．三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．当堂检测答案一．选择题（共5小题）1．下列函数是对数函数的是( )A ．3log (1)y x =+B ．log (2)(0a y x a =>，且1)a ≠C ．y lnx =D ．2(0,1)a y log x a a =>≠且【分析】根据对数函数的定义即可得出．【解答】解：根据对数函数的定义可得：只有y lnx =为对数函数．故选：C ．【点评】本题考查了对数函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，则1()8f 等于( )A ．3B ．3-C ．3log 6-D ．3log 8-【分析】由对数函数定义推导出2()log f x x =，由此能求出1()8f ．【解答】解：函数2()(5)log a f x a a x =+-为对数函数，∴25101a a a a ⎧+-=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =， 2()log f x x ∴=，211()388f log ∴==-．故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．3．函数1()(2)3f x lg x x =-+-的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(3,)+∞C ．[2，3)(3⋃，)+∞D ．(2，3)(3⋃，)+∞【分析】令对数的真数2x -大于0；分母3x -非0，列出不等式组，求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，需满足 2030x x ->⎧⎨-≠⎩解得2x >且3x ≠ 故选：D ．【点评】求函数的定义域：常需考虑开偶次方根的被开方数大于等于0；对数的真数大于0底数大于0且不等于1；分母不为0等．注意函数的定义域一定以集合形式或区间形式表示． 4．函数()(24)x f x ln =-的定义域是( ) A ．(0,2)x ∈B ．(0x ∈，2]C ．[2x ∈，)+∞D ．(2,)x ∈+∞【分析】可看出，要使得函数()f x 有意义，则需满足240x ->，解出x 的范围即可．【解答】解：要使()f x 有意义，则：240x ->； 2x ∴>；()f x ∴的定义域为(2,)+∞．故选：D ．【点评】考查函数定义域的定义及求法，指数函数的单调性． 5．已知132a =，21()3b =，21log 2c =，则( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：10231221()03a b =>=>=>，21log 102c ==-<， c b a ∴<<．故选：C ．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．二．填空题（共3小题）6．已知45a ln =，22()3b =，0.15c =，将a 、b 、c 由小到大的顺序排列为 a b c << ．【分析】由20.1420,0()1,5153ln <<<>，即可得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：4105ln ln <=，220()13<<，0.10551>=， a b c ∴<<．故答案为：a b c <<．【点评】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 7．已知log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图象上，则()f x = 2x ．【分析】求出定点(1,2)P ，代入指数函数中，求出a ，得到()f x ．【解答】解：由a 的任意性，1x =时，2y =，故log 2(0a y x a =+>且1)a ≠的图象过定点(1,2)P ，把(1,2)P 代入指数函数()x f x a =，0a >且1a ≠，得2a =，所以()2x f x =，故答案为：2x ．【点评】考查对数函数的定点问题，和求指数函数的解析式，基础题．8．已知函数()||f x lgx =，实数a ，()b a b ≠满足f （a ）f =（b ），则ab 的值为 1 ．【分析】由已知条件a b ≠，不妨令a b <，又y lgx =是一个增函数，且f （a ）f =（b ），故可01a b <<<，则lga lgb =-，由此可得ab 的值．【解答】解：f （a ）f =（b ）， ||||lga lgb ∴=．不妨设0a b <<，则由题意可得01a b <<<， lga lgb ∴=-，0lga lgb +=， ()0lg ab ∴=， 1ab ∴=，故答案为：1．【点评】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考查对数函数单调性的应用，属于基础题．三．解答题（共1小题） 9．设函数2()(2)f x lg x x a =-+．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）若对任意实数m ，关于x 的方程()f x m =总有解，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由真数大于0，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，对a 分类讨论即可求得定义域；11 （2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，由△0即可求得a 的取值范围．【解答】解：（1）由2()(2)f x lg x x a =-+有意义，可得222(1)10x x a x a -+=-+->，当1a >时，()f x 的定义域为A R =；当1a =时，()f x 的定义域为{|1}A x x =≠；当1a <时，()f x的定义域为{11A x x x =+<．（2）对任意实数m R ∈，方程()f x m =总有解，等价于函数2()(2)f x lg x x a =-+的值域为R ，即22t x x a =-+能取遍所有正数即可，所以△440a =-，1a ，实数a 的取值范围(-∞，1]．【点评】本题主要考查函数的定义域与值域，考查对数函数的性质，属于中档题，。

4.4.1 对数函数的概念

1．若函数 f(x)＝xlg2＋x，1，x>x1≤，1，则 f(f(10))＝( B )
A．lg 101 B．2 C．1
D．0 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2.
2．已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)，若 f(3)＝－1，则 a＝－127 . 解析：f(3)＝log2(9＋a)＝－1，所以 9＋a＝12，所以 a＝－127.
解析：设 f(x)＝logax，则 loga9＝2，解得 a＝3，所以 f(x)＝log3x，所以 f31＝log331＝－1.
确定对数函数解析式的步骤 (1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式 y＝logax(a>0，且 a≠1)； (2)列：通过已知条件建立关于参数 a 的方程； (3)求：求出 a 的值，代入解析式即可．
D．(0，＋∞)
解析：由二次根式及分式有意义的条件，结合对数函数定义域可得
x－2>0， x>0，
解不等式组可得 x>2，即 x∈(2，＋∞)．
(x∈[0，＋∞))．
二、提出问题 1．上述函数式是指数函数吗？ 2．根据指数式与对数式的互化，你能化成对数式吗？ 3．化成对数式后式子有什么特点？ 4．x 是 y 的函数吗？
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．
2．了解对数函数与指数函数之间的联系，提升学生观察问题、分析问题和归纳问题的能力以及数学交流能力.
2．若 f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则 a＝ 5 .
a2－4a－5＝0，
解析：由对数函数的定义可知，a＞0， a≠1，
解得 a＝5.
题型 2◆对数函数的解析式及应用典例 1 已知函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象过定点 A，函数 y ＝logmx(m>0，且 m≠1)也经过点 A，则 m 的值为 2 .

高中数学第四章指数函数与对数函数4.4对数函数4.4.2对数函数的图象与性质(1)a

解析：对数函数的曲线在第一象限部分，随着 a 的增大而顺时针旋转．或者取 y＝1 知 a＝x，直线 y＝1 与四条曲线交点的横坐标满足 x1>x2>x3>x4 得 a1>a2>a3>a4.
12/13/2021
5．函数 y＝log2(x＋1)的图象大致是( C )
解析：y＝log2(x＋1)是由 y＝log2x 的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过(0,0)点，定义域为(－1，＋∞)，且在定义域上为增函数，故选 C.
3
12/13/2021
(2)∵f(3x－1)>f(－x＋5)，
∴log1 (3x－1)>log1 (－x＋5)，
3
3
3x－1>0，则－x＋5>0，
3x－1<－x＋5，
解得13<x<32，即 x 的取值范围为(13，32)．
12/13/2021
13．(13 分)已知 f(x)＝lg11－＋xx的定义域为(－1,1)，
3．已知 loga13>logb13>0，则 a，b 的取值范围是( C )
A．1<b<a
B．1<a<b
C．0<b<a<1 D．0<a<b<1
解析：由
loga
1 3
>logb
1 3
>0
，
得
－
loga3>
－
logb3>0
，
得
loga3<logb3<0，得log13a<log13b<0，得 log3b<log3a<0，得 0<b<a<1.

高中数学第四章指数函数与对数函数 4.4 对数函数 4.4.1 对数函数的概念精品练习(含解析)

4.4.1 对数函数的概念必备知识基础练知识点一对数函数的概念1.下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log 12(－x )(x <0)；⑥y＝2log 4(x －1)(x >1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知f (x )为对数函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2，则f (34)＝________.知识点二对数型函数的定义域3.函数f (x )＝log 2(x 2＋3x －4)的定义域是( ) A ．[－4,1] B ．(－4,1)C ．(－∞，－4]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) 4．函数f (x )＝1log 122x ＋1的定义域为________.知识点三对数函数模型的实际应用5.某种动物的数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的函数关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只6．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x 万元时，奖励y 万元．若公司拟定的奖励方案为y ＝2log 4x －2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元.关键能力综合练一、选择题 1．给出下列函数：①y ＝log 23x 2；②y ＝log 3(x －1)；③y ＝log (x ＋1)x ；④y ＝log πx .其中是对数函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，若f (1)＝1，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．函数y ＝1log 2x －2的定义域为( ) A ．(－∞，2) B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)5．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)6．(探究题)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))的值为( )A ．lg 101B ．1C ．2D ．0 二、填空题7．若f (x )＝log a x ＋a 2－4a －5是对数函数，则a ＝________.8．若f (x )是对数函数且f (9)＝2，当x ∈[1,3]时，f (x )的值域是________．9．(易错题)函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫2kx 2－kx ＋38的定义域为R ，则实数k 的取值X 围是________．三、解答题10．求下列函数的定义域：(1)y＝1log2x＋1－3；(2)y＝log(2x－1)(3x－2)；(3)已知函数y＝f[lg(x＋1)]的定义域为(0,99]，求函数y＝f[log2(x＋2)]的定义域．学科素养升级练1．(多选题)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，a≠1)，则( ) A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数2．设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2 017)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22 017)＝________.3．(情境命题—生活情境)国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，X围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，X围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V.(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；V 1.5②0.4④L ① 5.0③ 4.0(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为 4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)4．4 对数函数4．4.1 对数函数的概念必备知识基础练1．解析：符合对数函数的定义的只有③④. 答案：B2．解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则log a 12＝－2，∴1a 2＝12，即a ＝2，∴f (x )＝，∴f (34)＝34＝log 2(34)2＝log 2243＝43.答案：433．解析：一是利用函数y ＝x 2＋3x －4的图象观察得到，要求图象正确、严谨；二是利用符号法则，即x 2＋3x －4>0可因式分解为(x ＋4)(x －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4<0，x －1<0，解得x >1或x <－4，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．答案：D4．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0，则f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)5．解析：由题意，知100＝a log 2(1＋1)，得a ＝100，则当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝100×3＝300.答案：A6．解析：由题意得5＝2log 4x －2，即7＝log 2x ，得x ＝128. 答案：128关键能力综合练1．解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．答案：A2．解析：∵M ＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案：C3．解析：∵f (1)＝log a (1＋1)＝1，∴a 1＝2，则a ＝2，故选C. 答案：C4．解析：要使原函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2x －2≠0，解得2<x <3或x >3，所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C.答案：C5．解析：∵3x >0，∴3x ＋1>1.∴log 2(3x＋1)>0.∴函数f (x )的值域为(0，＋∞)．答案：A6．解析：由题 f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2.故选C. 答案：C7．解析：由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a >0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．解析：设f (x )＝log a x ，∵f (9)＝2，∴log a 9＝2，∴a ＝3，∴f (x )＝log 3x 在[1,3]递增，∴y ∈[0,1]．答案：[0,1]9．解析：依题意，2kx 2－kx ＋38>0的解集为R ，即不等式2kx 2－kx ＋38>0恒成立，当k ＝0时，38>0恒成立，∴k ＝0满足条件．当k ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝k 2－4×2k ×38<0，解得0<k <3.综上，k 的取值X 围是[0,3)．答案：[0,3)10．解析：(1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2x ＋1－3≠0，即x >－1且x ≠7，故该函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)． (2)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，故该函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1∪(1，＋∞)． (3)∵0<x ≤99，∴1<x ＋1≤100. ∴0<lg(x ＋1)≤2， ∴0<log 2(x ＋2)≤2，即1<x ＋2≤4，即－1<x ≤2. 故该函数的定义域为(－1,2]．学科素养升级练1．解析：f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1，函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1,1)，故A 正确；f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x )，所以f (x )＋g (x )＝f (－x )＋g (－x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，故B 正确；f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝log a (x ＋1)(1－x )＝log a (－x 2＋1)，令t ＝－x 2＋1，则y ＝log a t ，在x ∈(－1,0)上，t ＝－x 2＋1单调递增，在x ∈(0,1)上，t ＝－x 2＋1单调递减，当a >1时，y ＝log a t 单调递增，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递增，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递减，所以函数f (x )＋g (x )没有最小值，当0<a <1时，y ＝log a t 单调递减，所以在x ∈(－1,0)上，f (x )＋g (x )单调递减，在x ∈(0,1)上，f (x )＋g (x )单调递增，所以函数f (x )＋g (x )有最小值为f (0)＋g (0)＝0，故C 错；f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log ax ＋11－x＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋21－x ，令t ＝－1＋21－x ，y ＝log a t .在x ∈(－1,1)上，t ＝－1＋21－x 单调递增，当a >1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递增，当0<a <1时，f (x )＋g (x )在(－1,1)单调递减，故D错．故选AB.答案：AB2．解析：∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 017) ＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 017 ＝log a (x 1x 2x 3…x 2 017)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 017) ＝2f (x 1x 2x 3…x 2 017)， ∴原式＝2×8＝16. 答案：163．解析：(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg 1510＝5.0＋lg 32＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2；因为5.0＝5.0＋lg V ，所以V ＝1，②处应填1.0；因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg 410＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6；因为4.0＝5.0＋lg V ，所以lg V ＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.对照表补充完整如下：(2)则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5) ＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.。

高中数学第四章指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。

A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。

2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。

A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。

3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。

A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。

4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。

A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。

5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。

答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。

6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人

4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念课时作业含解析新人教A版必修第一册

新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念课时作业含解析新人教A 版必修第一册4.3.1 对数的概念一、选择题1．对于下列说法：(1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以10为底的对数叫做自然对数；(4)以e 为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：只有符合a ＞0，且a ≠1，N ＞0，才有a x＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．答案：C 2．将⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( ) A ．log 913＝－2 B ．log 139＝－2 C ．log 13(－2)＝9 D ．log 9(－2)＝13 解析：根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.答案：B3．若log a2b ＝c 则( ) A ．a 2b ＝c B ．a 2c ＝bC ．b c ＝2aD ．c 2a＝b解析：log a 2b ＝c ⇔(a 2)c ＝b ⇔a 2c ＝b .答案：B4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( ) A ．14 B ．0C ．1D ．6 解析：33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.答案：B二、填空题5．求下列各式的值：(1)log 636＝________.(2)ln e 3＝________.(3)log 50.2＝________.(4)lg 0.01＝________.解析：(1)log 636＝2.(2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1.(4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2.答案：(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－26．ln 1＋log (2－1)＝________.解析：ln 1＋log (2－1)＝0＋1＝1.答案：17．10lg 2－ln e ＝________.解析：ln e ＝1，所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15.答案：15三、解答题8．将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3； (3)log 3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.解析：(1)24＝16; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27； (3)(3)6＝x; (4)log 464＝3；(5)log 319＝－2; (6)log 1416＝－2.9．求下列各式中x 的值：(1)log 3(log 2x )＝0；(2)log 2(lg x )＝1；(3)552log 3－＝x .解析：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100.(3)x ＝552log 3－＝5255log 3＝253.[尖子生题库]10．计算下列各式：(1)2ln e ＋lg 1＋33log 2；(2)33log4lg 10－＋2ln 1.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝33log 41－＋20 ＝33log 4÷31＋1＝43＋1＝73.。

新教材高中数学第四章对数运算与对数函数3对数函数对数函数的概念课件北师大版必修第一册

基础知识
知识点1 对数函数 1．定义：给定正数a,且a≠1,对应每一个正数y,都存在唯一确定的实
数x,使得y＝ax．则______是_x_____的函y 数,称为以a为底的对数函数,记作x ＝logay．一般写成____________y_＝__lo_g_a_x_(_a_＞__0_且．a≠1)
2．性质：(1)定义域是(0,＋∞)；(2)图象过定点(1,0)； 3．特殊的对数函数：常用对数函数：y＝lg x；自然对数函数：y＝ln x．
[解析] (1)要使函数有意义，需 22－x－x1＞＞00，，且2x－1≠1，即xx＞＜122，. 且x≠1， ∴12＜x＜2，且 x≠1，故函数的定义域为x21＜x＜2，且x≠1．
(2)要使函数有意义，需使 2－ln(3－x)≥0，即33－－xx≤＞e02，解得 3－e2≤x＜3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x＜3}．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中,a＞0且a≠1． (2)在解析式y＝logax中,logax的系数必须为1,真数必须为x,底数a必须是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】❶ 指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x； ②y＝－log3x； ③y＝log0.5 x； ④y＝log3x；
思考：为什么对数函数的图象过定点(1,0)? 提示：因为x＝1时,y＝loga1＝0．
知识点2 反函数指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数,对数函数y＝logax也是指
数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数．
基础自测
1．下列函数是对数函数的是
(D)
A．y＝2＋log3x B．y＝loga(2a)(a＞0,且a≠1) C．y＝logax2(a＞0,且a≠1) D．y＝ln x

2023新教材高中数学第四章指数函数与对数函数对数函数的图象和性质课件新人教A版必修第一册

知识点二比较大小
3．已知 log3 b＜log3 a＜log3 c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a D．7c＞7a＞7b
答案 B
解析由于函数 y＝log3 x 为减函数，因此由 log3 b＜log3 a＜log3 c 可得
5
5
5
5
b＞a＞c，又由于函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
7．不等式
log1
2
x－12>－1
的解集是(
)
A.－32，52
B.－32，12∪12，52
C.－12，12∪12，52
D.－32，12∪12，2
答案 B
解析
由
log1
2
x－12＝－log2x－12>－1，得
log2x－12<1＝log22，即 0<x－12<2，即
－32<x<52，且 x≠12.
1－x 13．已知函数 f(x)＝lg 1＋x的定义域为(－1,1)． (1)求 f20120＋f－20120； (2)探究函数 f(x)的单调性，并证明．
解 (1)∵函数 f(x)的定义域为(－1,1)，关于坐标原点对称，
1＋x
1－x
且 f(－x)＝lg 1－x＝－lg 1＋x＝－f(x)，
4．设 a＝log2 3，b＝30.01，c＝ln 22，则(
)
A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<a<c
答案 A
解析
先和 0 比较，a＝log2 3>log21＝0，b＝30.01>0，c＝ln

学案4：4.4.1　对数函数的概念~4.4.2　对数函数的图象和性质(一)

4.4.1对数函数的概念~4.4.2对数函数的图象和性质(一)学习目标核心素养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.新知初探1．对数函数的概念函数y＝(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点，即x＝时，y＝单调性在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？3．反函数指数函数(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．初试身手1．函数y＝log a x的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A ．5 B.15 C.1e D.122．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________． 3．函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域为________．合作探究类型1 对数函数的概念及应用例1 (1)下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1； ②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ；⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥(2)若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________. (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________. 规律方法判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练1．若函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 是对数函数，则a ＝________. 类型2 对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1； (2)f (x )＝12－x＋ln(x ＋1)； (3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)．规律方法求对数型函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负.(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.跟踪训练2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．类型3 对数函数的图象问题探究问题1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝log a1x，y＝log a2x，y＝log a3x，y＝log a4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？2．函数y＝a x与y＝log a x(a>0且a≠1)的图象有何特点？例3(1)当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象为()(2)已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．母题探究1．把本例(1)的条件“a>1”去掉，函数“y＝log a x”改为“y＝log a(－x)”，则函数y＝a－x与y＝log a(－x)的图象可能是()log2(x＋1)＋2，试作出其图象．2．把本例(2)改为f(x)＝||函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.课堂小结1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝log a x(a>0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.当堂达标1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R .( )(2)函数y ＝log a (x ＋2)恒过定点(－1,0)．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴右侧．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数．( ) 2．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x3．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 4．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )<f (2)，利用图象求a 的取值范围．参考答案新知初探1．log a x x (0，＋∞)思考1：提示：不是，其不符合对数函数的形式． 2．(1,0) 1 0 减函数增函数思考2：提示：底数a 与1的关系决定了对数函数的升降．当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”． 3．y ＝a x初试身手1．【答案】A【解析】由图可知，a >1，故选A. 2．【答案】f (x )＝log 2x【解析】设对数函数的解析式为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)．由f (4)＝2得log a 4＝2，∴a ＝2，即f (x )＝log 2x .3．【答案】(－1，＋∞)【解析】由x ＋1>0得x >－1，故f (x )的定义域为(－1，＋∞)．合作探究类型1 对数函数的概念及应用例1 【答案】(1)D (2)4 (3)－1【解析】(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. (2)因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.(3)设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 跟踪训练 1．【答案】2【解析】由a 2＋a －5＝1得a ＝－3或a ＝2. 又a >0且a ≠1，所以a ＝2. 类型2 对数函数的定义域例2 解：(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． (3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 跟踪训练2．解：(1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．类型3 对数函数的图象问题探究问题1．提示：作直线y ＝1，它与各曲线C 1，C 2，C 3，C 4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a 4>a 3>1>a 2>a 1>0. 2．提示：两函数的图象关于直线y ＝x 对称．例3 (1)【答案】C【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.(2)解：∵f (x )＝log a |x |，∴f (－5)＝log a 5＝1，即a ＝5， ∴f (x )＝log 5|x |，∴f (x )是偶函数，其图象如图所示．母题探究1．【答案】C【解析】∵在y ＝log a (－x )中，－x ＞0，∴x ＜0， ∴图象只能在y 轴的左侧，故排除A ，D ；当a ＞1时，y ＝log a (－x )是减函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是减函数，故排除B ；当0＜a ＜1时，y ＝log a (－x )是增函数，y ＝a －x ＝⎝⎛⎭⎫1a x是增函数，∴C 满足条件，故选C.] 2．解：第一步：作y ＝log 2x 的图象，如图(1)所示．(1) (2)第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y ＝log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的部分作关于x 轴的对称变换，得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3) (4) 1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．【答案】D【解析】结合对数函数的形式y ＝log a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 3．【答案】C【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.4．解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.。

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第四章 4.4 4.4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( C ) A ．y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a >0，且a ≠1) C ．y ＝log 1a x (a >0，且a ≠1)
D ．y ＝2lg x
[解析] 由于对数函数的形式是y ＝log a x (a >0且a ≠1)，据此判断A 、B 、D 均不符合，故选C ．
2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( A ) A ．y ＝log 2x
B ．y ＝2log 4x
C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x
D ．不确定
[解析] 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x ，则log a 4＝2，解得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .
3．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( A ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4]
D ．[1,4)
[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
x －1>0，
4－x ≥0，
所以1<x ≤4.
4．满足“对定义域内任意实数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )”的函数f (x )可以是( C ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝log 2x
D ．f (x )＝e ln x
[解析] ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a (MN )， ∴f (x )＝log 2x 满足题目要求．二、填空题
5．函数y ＝log 12
(3x －2)的定义域是__(2
3
，＋∞)__.
[解析] 由3x －2>0得x >23，所以函数的定义域为(2
3
，＋∞)．
6．已知函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的定义域是R ，则实数a 的取值范围是__(－2,2)__. [解析] 由题意知x 2＋ax ＋1>0恒成立，所以Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2. 三、解答题
7．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27)．
[解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m 2－m －1＝1
m ＋1＞0
m ＋1≠1
，
解得m ＝2.
∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)给出下列函数中，不是对数函数的是( ABC ) A ．y ＝log 23 x 2
B ．y ＝log 3(x －1)
C ．y ＝log (x ＋1)x
D ．y ＝log πx
[解析] A 、B 不是对数函数，因为对数的真数不是x ；C 不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D 是对数函数，故选ABC ．
2．函数f (x )＝lg (x ＋1)
x －1＋2＋x 的定义域为( C )
A ．[－2，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,1)∪(1,2)
[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1>0，x －1≠0，
2＋x ≥0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为(－
1,1)∪(1，＋∞)．
二、填空题
3．(2019·天津市南开区高一期末测试)函数y ＝x －1＋1
lg (3－x )
的定义域为__[1,2)∪
(2,3)__.
[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
x －1≥03－x >0
3－x ≠1，
∴1≤x <3且x ≠2.
∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．
4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭
⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝__13
3__.
[解析] 由题图可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，即a ＝2，b ＝2，又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋1
9的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝13
3
.
三、解答题
5．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x
，x ∈(－1,1)，若f (a )＝1
2，求f (－a )．
[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－1
2.
解法二：f (a )＝lg 1＋a
1－a
，
f (－a )＝l
g 1－a 1＋a ＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a ＝－1
2.。