2021学年新教材高中数学4.4对数函数4.4.1对数函数的概念课时作业含解析人教A版必修一

第四章 4.4 4.4.1

A 组·素养自测

一、选择题

1．下列函数是对数函数的是( C ) A ．y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a >0，且a ≠1) C ．y ＝log 1a x (a >0，且a ≠1)

D ．y ＝2lg x

[解析] 由于对数函数的形式是y ＝log a x (a >0且a ≠1)，据此判断A 、B 、D 均不符合，故选C ．

2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( A ) A ．y ＝log 2x

B ．y ＝2log 4x

C ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4x

D ．不确定

[解析] 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x ，则log a 4＝2，解得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .

3．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( A ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4]

D ．[1,4)

[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

x －1>0，

4－x ≥0，

所以1

4．满足“对定义域内任意实数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )”的函数f (x )可以是( C ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝log 2x

D ．f (x )＝e ln x

[解析] ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a (MN )， ∴f (x )＝log 2x 满足题目要求． 二、填空题

5．函数y ＝log 12

(3x －2)的定义域是__(2

3

，＋∞)__.

[解析] 由3x －2>0得x >23，所以函数的定义域为(2

3

，＋∞)．

6．已知函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的定义域是R ，则实数a 的取值范围是__(－2,2)__. [解析] 由题意知x 2＋ax ＋1>0恒成立，所以Δ＝a 2－4<0，即－2

7．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27)．

[解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

m 2－m －1＝1

m ＋1＞0

m ＋1≠1

，

解得m ＝2.

∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.

B 组·素养提升

一、选择题

1．(多选题)给出下列函数中，不是对数函数的是( ABC ) A ．y ＝log 23 x 2

B ．y ＝log 3(x －1)

C ．y ＝log (x ＋1)x

D ．y ＝log πx

[解析] A 、B 不是对数函数，因为对数的真数不是x ；C 不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D 是对数函数，故选ABC ．

2．函数f (x )＝lg (x ＋1)

x －1＋2＋x 的定义域为( C )

A ．[－2，＋∞)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－1,1)∪(1,2)

[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1>0，x －1≠0，

2＋x ≥0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为(－

1,1)∪(1，＋∞)．

二、填空题

3．(2019·天津市南开区高一期末测试)函数y ＝x －1＋1

lg (3－x )

的定义域为__[1,2)∪

(2,3)__.

[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

x －1≥03－x >0

3－x ≠1，

∴1≤x <3且x ≠2.

∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．

4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭

⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝__13

3__.

[解析] 由题图可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，即a ＝2，b ＝2，又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋1

9的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝13

3

.

三、解答题

5．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x

，x ∈(－1,1)，若f (a )＝1

2，求f (－a )．

[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－1

2.

解法二：f (a )＝lg 1＋a

1－a

，

f (－a )＝l

g 1－a 1＋a ＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a ＝－1

2.