对称模型的最值问题-含答案
几何最值问题 (讲义及答案)
几何最值问题（讲义）➢知识点睛1.解决几何最值问题的理论依据：①两点之间，线段最短（已知两个定点）②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）④过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦2.几何最值问题的处理思路：①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．3.常用模型、结构示例：①轴对称最值模型lll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，定长线段MN在直线l上滑动，使点在线异侧使点在线同侧求AM+MN+BN 的最小值；1/ 72 / 7平移BN （或AM ）②利用图形性质进行转化（三角形三边关系示例）DCABONM求OD 的最大值 求AB 的最值➢ 精讲精练1. 如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC +PD 值最小时点P的坐标为（ ） A ．(-3，0)B ．(-6，0)C ．(32-，0)D ．(52-，0)y xPODCBA2. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，则△PMN 周长的最小值是________．3 / 7 ED C B AAE PCBA3. 如图，在长方形ABCD 中，AB =4，BC =8，E 为CD 边的中点，若P ，Q 为BC 边上的两个动点，且PQ =2，则当BP =________时，四边形APQE 的周长最小．A B CD EP Q第3题图 第4题图4. 已知二次函数y =-x 2+2x +3与y 轴的交点为A ，顶点为B ，点P (t ，0)是x 轴上的动点．则|P A -PB |的最大值是________，此时点P 的坐标是__________．5. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，D 是AB 边上 的动点，E 是BC 边上的动点，则AE +DE 的最小值为（ ） A ．3213 B ．10C ．245D ．4856. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．4 / 7OEDCBA第6题图 第7题图7. 如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________．8. 如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，E 在AC 上且AE =23AC ，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D运动时，则线段AF 的最小值是___________．ABCDEF9. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA5 / 710. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D C B AD CBA11. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是_______．A'D CBNMAF DE AHGB C第11题图 第12题图12. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，连接DH ．若正方形的边长为2，则DH 长度的最小值是_______．13.已知抛物线3)(1)y x x =+-，与x 轴从左至右依次相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，经过点A的直线y b =+与抛物线的另一个交点为D ．设点E 是线段AD 上的一点（不含端点），连接BE ．一动点Q 从点B 出发，沿线段BE 以每秒1个单位的速度运动到点E ，再沿线段ED 以每秒233个单位的速度运动到点D后停止，则当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？6/ 77 / 7➢ 参考答案1. C2. 43. 44.2；（-3，0）5. D6. 37.23 8. 231+ 9. 1 10. 211. 17- 12. 15-13. ()341-，。
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题在中考复习课中，有一种题型我们不可避免地要帮学生复习，即求：某种情节下的最短距离、最短路线；以何种情况下由3点围成的三角形、由4点围成的四边形的周长最小，等等。
试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的。
当这类题目呈现在学生面前时，学生的感觉往往是一个字——难，不善于做这类题。
现以“用轴对称知识解决最值问题”的题组为例，通过几个强有力的数学模型，例说相关中考试题的解决方法，供老师们参考。
一、基本模型【数学模型1】：已知一条直线l与这条直线同侧的两点A、B，如图（1），在直线上找出一点P，使得这点与已知两点的距离和PA+PB最短。
作为题组的“基石”，中考复习时，我们重在让学生明白相关的解题策略。
如何解决线段的和的最短的问题？我们需要寻求和其中一条线段长度相等的线段，充分利用轴对称的有关性质，从而将线段的和最短转化为线段最短的问题。
让学生记住这个模型，并理解其中相关的数学原理，从而利用这个基本模型，轻松解决“最短”问题，这才是我们的最终目的。
二、变式模型通过基本问题结构的局部灵活重组，或者结论的拓展延伸，或者与其他问题的有机组合，加深学生对相关知识的理解，同时强化策略及思想等高层次的能力。
拓展延伸型问题也可以通过设问方式的改变，丰富问题设计的立意及内涵。
【数学模型2】：已知两条平行直线l1，l2及位于这两条直线上的两点A、B（线段AB与直线l1，l2不垂直），如图（3），分别在这两条直线上找出两点N、M，使得路径A-M-N-B最短。
解决方法：如图（3），分别作出A、B两点关于直线l2，l1的对称点A′、B′，连接 A′B′，分别交直线l2，l1于点M、N，有轴对称的有关性质，则路径A-M-N-B的长度就是线段A B′的长度，最短。
对比图（4），折线A-M-N-B的长度不是最短。
从一条定直线上的一个动点到分布在两条直线上的两个动点，孤立地看，变量增多（AM、MN、NB），问题较模型1复杂。
数学《最值问题》典型例题及答案
数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF 沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．数学《最值问题》典型例题答案一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP = 2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a= ．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴ B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴| P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33，∴PK+QK3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△A BP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
对称模型的最值问题-含答案
对称模型的最值问题【母题示例】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．【命题形式】以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．【母题剖析】要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．【母题解读】(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等．模型一同侧和的最小值模型【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．【基本图形】基本图形说明作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当点P在线段A′B上时取最小值基本图形说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号【模型突破】1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．模型二异侧差的最大值模型【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．【基本图形】基本 图形说明作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值【模型突破】1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．2．如图，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．模型三角内一定点模型【模型解读】已知一个角和角内一个定点，在角的两边上各取一点，使得这三点构成的三角形周长最小．只需过定点分别作其关于角的两边的对称点，两对称点之间的线段即为所求．【基本图形】基本图形说明点P′与点P关于OA对称，点P″与点P关于OB对称，连接P′P″与OA，OB分别交于点M，N，此时△PMN的周长最小，最小值为P′P″【模型突破】1．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN的周长的最小值是( )A.362B.332C．6 D．32．如图，已知二次函数y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.OC上点P的坐标为(0，1)，动点S，K分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PS，PK，SK，求△PSK的周长的最小值．参考答案【核心母题剖析】解：如解图，连接BD，PD.∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴AC垂直平分BD，∵点P在AC上，∴PB＝PD，∴PB＋PE＝PD＋PE，∴当点P为ED与AC的交点时，PE＋PB最小，最小值为DE. ∵四边形ABCD是正方形，且AD＝2，点E是AB的中点，∴AE＝1，∠EAD＝90°，∴由勾股定理得DE＝AE2＋AD2＝5，即PE＋PB的最小值为 5.【核心归纳突破】模型一、同侧和的最小值模型1．B 2.73．(1)证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA ，∠ABC＝60°. ∵△DEB 是等边三角形，∴DB＝DE ，∠DEB＝∠DBE＝60°， ∴∠DEA＝∠DBC＝120°， ∴△ADE≌△CDB.(2)解：如解图，作点B 关于AC 的对称点B′，连接EB′交AC 于点H ，连接BH ，则点H 即为满足题意的点． 连接CE ，则△CBE 是等边三角形， ∴CE＝CB ＝CB′，∴∠BEB′＝90°， ∴BH ＋EH 的最小值＝EB′＝BB′2－BE 2＝3. 模型二、异侧差的最大值模型1．4 【解析】如图，作点B 关于CD 的对称点E ，连接AE 并延长交CD 的延长线于P ，连接CE ，BP ，则PE ＝PB ，PA －PB ＝PA －PE ＝AE ，即|PA －PB|的最大值为AE.∵∠BCP＝15°，点E 与点B 关于CP 对称，∴∠BCE＝2∠BCP＝30°，CE ＝BC.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝60°，∵AC＝BC ，∴AC＝CE ，∴△ACE 是等边三角形，∴AE＝4，即|PA －PB|的最大值为4.2．解：(1)将点B(4，0)，C(0，2)代入抛物线的函数解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧－12×16＋4b ＋c ＝0，c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32，c ＝2，∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2.(2)令y ＝－12x 2＋32x ＋2＝0，解得x 1＝4，x 2＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)，∵点C 的坐标为(0，2)， ∴直线AC 的函数解析式为y ＝2x ＋2. 如解图，连接AC ，易得抛物线对称轴为直线x ＝32，延长AC 交直线x ＝32于点P ，连接PB ，此时|PB －PC|＝PA －PC ＝AC 为|PB －PC|的最大值， ∴y P ＝2×32＋2＝5，∴点P 的坐标为(32，5)．模型三、角内一定点模型1．D 【解析】分别以OA ，OB 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2，OP 1，OP 2，P 1P 2分别交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长的最小值为P 1P 2的长，根据轴对称的性质可知，OP 1＝OP 2＝OP ＝3，∠P 1OP 2＝120°，∠OP 1M ＝30°，过点O 作MN 的垂线，垂足为Q ，在△OP 1Q 中，可知P 1Q ＝32，∴P 1P 2＝2P1Q＝3，故△PMN的周长的最小值为3.2．解：令－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，令x＝0，得y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，如解图，取点P关于x轴的对称点P′(0，－1)，点P关于直线BC的对称点P″，则P″的坐标为(2，3)，连接P′P″，分别交线段BC于S，交线段OB于K，此时△PSK的周长最小，即为线段P′P″的长．∴△PSK的周长的最小值为22＋（3＋1）2＝2 5.。
七年级最值问题——线段和最小值问题
• C'D = 2√2 求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2) • 所以，有0 = -k b 2 = k b • 解得 k = 1，b = 1，所以 y = x 1 当x = 0时，y =1，则P(0，1)
• 3、如下图，一次函数y=kx b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）． • （1）求该函数的解析式；
• 4、作法：(假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段) • 1)过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定
长P'Q'； • 2)作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P； • 3)在直线L上截取线段PQ=P'Q.. • 略证：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四
• 解析： 这是一个实际问题，需要把它转化为数学问题， 经过分析，知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB 相交，点P在∠AOB内部，通常我们会用轴对称模型，分 别做点P关于直线OA和OB的对称点P₁、P₂ ，连结P₁P₂分 别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程 最短的地点.
• 3、如下图，村庄A、B位于一条小河的两侧， 若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与 河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才 能使A村到B村的路程最近？
• 这一类问题也是当今中考的热点题型之一，通常会以角、 三角形、四边形、圆、坐标轴、抛物线为载体出题。
• 还有一种类型是固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM MN BN的最小值。这时需平移BN（或AM），转化为求解 决，如下图所示．
2020年中考专题复习 方法突破精讲练—对称问题求最值
【解析】如解图，作点A关于直线x＝3的对称点A′， 连接A′B交直线x＝3于点C，连接AC， ∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴AC＝A′C，∴AC＋BC＝A′C＋BC. 当点B、C、A′在同一条直线上时，AC＋BC有最小值， 即△ABC的周长有最小值．∵点A与点A′关于直线x＝3对称， ∴点A′的坐标为(6，3)，设直线BA′的解析式为y＝kx＋b，
方法突破精讲练—对称问题求最值 模型 二 角与定点
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得 △PCD周长最小． 解决：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小．根据两点之间线段 最短，将三条线段转化到同一直线上即可．分别作点P关于OA、OB的对称 点P′、P″，连接P′P″，分别交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求， △PCD周长最小值即为线段P′P″的长．
第七单元 图形的变化
方法突破精讲练—对称问题 求最值
模型 一 定直线与两定点 类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小． 解决：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长，连接AB 交直线l于点P，点P即为所求．
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最 小． 解决：将两定点同侧转化为异侧问题，同类型1即可解决．作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，点P即为所求；也可作点A关于直线l 的对称点A′，连接BA′.
方法突破精讲练—对称问题求最值 类型3 同侧差最小值问题
则此时AD＋DC＋BC的值最小，
核心母题二 对称模型的最值问题-2021年数学八年级第二学期期末调研模拟试题含解析
核心母题二 对称模型的最值问题-2021年数学八年级第二学期期末调研模拟试题 考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，在▱ABCD 中，AB 5=，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥，BF 与AD 的延长线交于点F ，则BC 等于( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.52．已知数据123,,x x x 的平均数是10，方差是6，那么数据1233,3,3x x x +++的平均数和方差分别是（ ） A ．13，6 B ．13，9 C ．10，6 D ．10，93．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH ⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cm C ．125cm D ．245cm 4．下列说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形D ．平行四边形的对角线相等5．已知一次函数y ＝kx ＋b 随着x 的增大而减小，且kb ＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，把一个含45°角的直角三角尺BEF 和个正方形ABCD 摆放在起，使三角尺的直角顶点和正方形的顶点B 重合，连接DF ，DE ，M ，N 分别为DF ，EF 的中点，连接MA ，MN ，下列结论错误的是（ ）A ．∠ADF=∠CDEB ．△DEF 为等边三角形C ．AM=MND ．AM ⊥MN7．如图，菱形ABCD 的周长为28，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 的中点，则OE 的长等于（ ）A ．2B ．3.5C ．7D ．148．化简2b a b a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是( ) A ．a-b B ．a+b C ．1a b - D ．1a b+ 9．一个矩形的围栏，长是宽的2倍，面积是230m ，则它的宽为（ ）A 15mB ．215mC 30mD ．30m10．随着人民生活水平的提高，中国春节已经成为中国公民旅游黄金周．国家旅游局数据显示，2017年春节中国公民出境旅游约615万人次，2018，2019两年出境旅游人数持续增长，在2019年春节出境旅游达到700万人次，设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）．A ．615(1+x )=700B ．615(1+2x )=700C ．()26151700x +=D ．()()261516151700x x +++= 二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知一个钝角的度数为()535x -︒ ，则x 的取值范围是______12．如图，直线y ＝kx+6与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0）．若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点．当点P 运动到_____（填P 点的坐标）的位置时，△OPA 的面积为1．13．如图，1l 与2l 穿过正六边形ABCDEF ，且12l l ，则12∠-∠的度数为______.14．已知反比例函数6y x =，若36y -≤≤，且0y ≠，则x 的取值范围是_____． 15．如图，△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，△ACB 的顶点A 在△DCE的斜边DE 上，且AD ＝2，AE ＝32，则AC ＝_____．16．两条对角线______的四边形是平行四边形.17．如图，在平行四边形 ABCD 中， AD = 2 AB ；CF 平分 ∠BCD 交 AD 于 F ，作 CE ⊥ AB ， 垂足 E 在边 AB 上，连接 EF ．则下列结论：① F 是 AD 的中点； ② S △EBC = 2S △CEF ；③ EF = CF ； ④ ∠DFE = 3∠AEF ．其中一定成立的是_____．（把所有正确结论的序号都填在横线上）18．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有_____个．三、解答题(共66分)19．（10分）武汉市某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y （元）与印刷份数x （份）之间的关系如图所示(1) 求甲、乙两种收费方式的函数关系式；(2) 当印刷多少份学案时，两种印刷方式收费一样?20．（6分）在53⨯的方格纸中，四边形ABCD 的顶点都在格点上.（1）计算图中四边形ABCD 的面积；（2）利用格点画线段DE ，使点E 在格点上，且DE AC ⊥交AC 于点F ，计算DF 的长度.21．（6分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为1S ，点E 在CD 边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为2S ，且12S S .⑴求线段CE 的长；⑵若点H 为BC 边的中点，连结HD ，求证：HD HG .22．（8分）计算：（1）（3.14﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1（2）（2a2+ab﹣2b2）（﹣12 ab）23．（8分）（1）27÷3﹣215×10+8；(2) 3(23)24|63|----.24．（8分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、两点，直线过原点且与直线相交于，点为轴上一动点.(1)求点的坐标；(2)求出的面积；(3)当的值最小时，求此时点的坐标；25．（10分）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由.26．（10分）“五一”期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．现有甲、乙两家租车公司，租车费用如下：甲公司按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费；乙公司无固定租金，直接按租车时间计费，每小时租费是30元．（1）设租用时间为x 小时，租用甲公司的车所需费用为y 1元，租用乙公司的车所需费用为y 2元，其图象如图所示，分别求出y 1， y 2关于x 的函数解析式；（2）请你帮助小丽计算，租用哪家新能源汽车自驾出游更合算？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】【分析】根据平行四边形性质证，△AEF ≌△AEB ，EF=EB ，AB=AF=1，再证△DEF ≌△CEB ，得BC=DF ，可得AF=AD+DF=AD+BC=2BC=1．【详解】解：因为，四边形ABCD 是平行四边形，所以，AD ∥BC,AD=BC ∠C=∠FDE,∠EBC=∠F因为，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥所以，∠FAE=∠BAE,∠AEB=∠AEF所以，△AEF ≌△AEB所以，EF=EB,AB=AF=1所以，△DEF ≌△CEB所以，BC=DF所以，AF=AD+DF=AD+BC=2BC=1所以，BC=2.1．故选B ．【点睛】本题考核知识点：平行四边形、全等三角形. 解题关键点：熟记平行四边形性质、全等三角形判定和性质． 2、A【解析】【分析】根据样本数据123,,x x x 的平均数与方差，可以推导出数据1233,3,3x x x +++的平均数与方差．【详解】 解：由题意得平均数()1231103x x x x +=+=，方差()()()2222321110101063s x x x ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦， ∴1233,3,3x x x +++的平均数()()()1233313133x x x x ⎡⎤=++⎣++=⎦+， 方差()()()2232221113131363333s x x x ⎡⎤=-+--++⎣+=⎦+，故选A. 【点睛】本题考查了样本数据的平均数与方差的应用问题，解题时可以推导出结论，也可以利用公式直接计算出结果，是基础题目．3、C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯=在Rt △BOC 中，由勾股定理得，5BC =∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅ ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC的面积列出方程．4、C【解析】【分析】根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质判断即可．【详解】解：A、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；C、每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形，正确；D、矩形的对角线相等，错误；故选：C．【点睛】此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质解答．5、A【解析】【分析】先根据函数图像得出其经过的象限，由一次函数图像与系数的关系即可得出结论.【详解】因为y随着x的增大而减小，可得：k<0，因为kb<0，可得：b>0，所以图像经过一、二、四象限.故选A.【点睛】本题考查的是一次函数的图像与系数的关系，即一次函数y＝kx＋b（k 0）中，当k<0，b>0时函数的图像经过一、二、四象限.6、B【分析】连接DE，先根据直角三角形的性质得出AM=12DF，再根据△BEF是等腰直角三角形得出AF=CE，由SAS定理得出△ADF≌△CDE，可得∠ADF=∠CDE ，DE=DF，再根据点M，N分别为DF，EF的中点，得出MN是△EFD的中位线，故MN=12DE，MN∥DE，可得AM=MN，由MN∥DE，可得∠FMN=∠FDE，根据三角形外角性质可得∠AMF=2∠ADM，由∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，可得MA⊥MN，只能得到△DEF是等腰三角形，无法得出是等边三角形，据此即可得出结论.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠C=90°，∵点M是DF的中点，∴AM=12 DF，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BF=BE，∴AF=CE，∴△ADF≌△CDE(SAS)，∴∠ADF=∠CDE ，DE=DF，∵点M，N分别为DF，EF的中点，∴MN是△EFD的中位线，∴MN=12 DE，∴AM=MN；∵MN是△EFD的中位线，∴MN∥DE，∴∠FMN=∠FDE，∵AM=MD，∴∠MAD=∠ADM，∵∠AMF是△ADM外角，∴∠AMF=2∠ADM．又∵∠ADM=∠DEC，∴∠ADM+∠DEC+∠FDE=∠FMN+∠AMF=90°，∴MA ⊥MN ，∵DE=DF ，∴△DEF 是等腰三角形，无法得出是等边三角形，综上，A 、C 、D 正确，B 错误，故选B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，直角三角形斜边中线性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.7、B【解析】【分析】由菱形的周长可求得AB 的长，再利用三角形中位线定理可求得答案0【详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴AB 14=⨯28=7，且O 为BD 的中点． ∵E 为AD 的中点，∴OE 为△ABD 的中位线，∴OE 12=AB =3.1． 故选B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，由条件确定出OE 为△ABD 的中位线是解题的关键．8、B【解析】【分析】直接将括号里面通分，进而分解因式，再利用分式的除法运算法则计算得出答案．【详解】2b a b a a a ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭22a b a a a b -=⨯- ()()a b a b a a a b+-=⨯- a b =+．故选B ．【点睛】此题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．9、A【解析】【分析】设宽为xm ，则长为2xm ，根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设宽为xm ，则长为2xm ，依题意得：230x x =∴x =∵0x >∴x =故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用矩形的面积公式列出方程是解决本题的关键.10、C【解析】【分析】设2018年与2019年春节出境旅游总量较上一年春节的平均增长率为x ,根据2017年及2019年出境旅游人数，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得解；【详解】由题意可得：()26151+700x =故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，充分理解题意是解决本题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、2543x <<【解析】【分析】【详解】由题意得53590535180x x ->⎧⎨-<⎩，解得2543x <<. 故答案为2543x <<【点睛】考点：不等式组的应用点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握钝角的范围和一元一次不等式组的解法，即可完成．12、（﹣4，3）．【解析】【分析】求出直线EF 的解析式，由三角形的面积公式构建方程即可解决问题.【详解】解：∵点E （﹣8，0）在直线y ＝kx+6上，∴﹣8k+6＝0，∴k ＝34， ∴y ＝34x+6， ∴P （x ，34x+6）， 由题意：12×6×（34x+6）＝1， ∴x ＝﹣4，∴P （﹣4，3），故答案为（﹣4，3）．【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．13、60︒【解析】【分析】利用三角形的外角计算出结果【详解】延长 EF 交直线 l 1于点 M ，如图所示∵ABCDEF 是正六边形∴∠AFE=∠A=120°∴∠MFA=60°∵11∥12∴∠1=∠3∵∠3=∠2+∠MFA∴∠1﹣∠2=∠MFA =60°故答案为：60°【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行、内错角相等，同旁内角互补．14、2x -或1x【解析】【分析】利用反比例函数增减性分析得出答案．【详解】解：36y -且0y ≠，3y ∴=-时，2x =-，∴在第三象限内，y 随x 的增大而减小，2x ∴-；当6y =时，1x =，在第一象限内，y 随x 的增大而减小，故x 的取值范围是：2x -或1x ．故答案为：2x -或1x ．【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数增减性是解题关键．15、10 【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得AC=BC,DC=EC,∠DCE=∠ACB=90°,∠D=∠CED=45°,可证△ADC ≌△BEC,可得AD=BE=2,∠D=∠BEC=45°,由勾股定理可求AB=22，即可求AC 的长。
专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】(含答案解析)
模型
作法
结论
△PCD 周
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得△PCD 周长最 小.
分别作点 P 关 于 OA、OB 的对称点 P′、P″，连接
长的最小 值为 P′P″
P′P″，交 OA、OB 于点 C、D，点 C、
D 即为所求.
点P在 ∠AOB 内部，在 OB 边上找点 D， OA 边上找点 C，使得 PD＋CD 最小.
【例 11】 11．村庄 A 和村庄 B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直 的桥，桥址应如何选择，才使 A 与 B 之间的距离最短？
试卷第 7页，共 11页
12．如图，在 Rt△ABC 中， ACB 90 ， AC 6 ， AB 12 ，AD 平分 CAB ，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE EF 的最小值为（ ）
试卷第 10页，共 11页
试卷第 11页，共 11页
参考答案： 1． 3
4 【分析】作 A 关于 x 3的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3与点 C，先求得 BA 的解析式，然 后将 x 3代入直线 BA 的解析式，从而可求得 y 的值． 【详解】解：作 A 关于 x 3 的对称点 A ，连接 AB 交直线 x 3 与点 C．
【例 5】 5．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB＝40°，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和 射线 OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（ ）
试卷第 4页，共 11页
A．140° 【例 6】
B．100°
C．50°
D．40°
6．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E
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对称模型的最值问题
【母题示例】
如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值．
【命题形式】
以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题．
【母题剖析】
要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解．
【母题解读】
(1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点．
(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”
等．
模型一同侧和的最小值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本
图形
说明
作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当
点P在线段A′B上时取最小值
基本
图形
说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号
【模型突破】
1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.
(1)求证：△ADE≌△CDB；
(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH的值最小，并求出这个最小值．
模型二异侧差的最大值模型
【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的两侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离差(|PA－PB|)的最大值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再作过另一定点与该点的直线(如直线A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)．
【基本图形】
基本 图形
说明
作A 、A ′关于直线l 对称，则|PA －PB|＝PA ′－PB ≤A ′
B ，当点P 在直线A ′B 上时取最大值
【模型突破】
1．如图，等腰Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，点D 是AB 上一点，且∠BCD ＝15°，动点P 在射线CD 上，则|PA －PB|的最大值为________．
2．如图，抛物线y ＝－1
2x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B(4，0)两点，与y 轴交于点
C(0，2)．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P 是抛物线对称轴上一点，连接PB ，PC ，若|PB －PC|取得最大值，求点P 的坐标．。