高等代数课件(北大版)第六章线性空间§6.5

例6
,2 , ,r V 设V为数域P上的线性空间， 1
令 W { k k k k P , i 1 , 2 , , r } 1 1 2 2 r r i
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
, , , 即 的一切线性 1 2 r 组合所成集合.


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, W , k P , 其次， 3
( x y , x y , , x y , 0 ) W 则有 1 1 2 2 n 1 n 1 3
k ( k x , k x , , k x , 0 ) W 1 2 n 1 3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
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2、线性子空间的判定
V 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
W , k P ,有 kW
, W , 有 W ;
则W是V的一个子空间．
V ( W ) ,则 推论：V为数域P上的线性空间,W
, W ,, a b P , a b W . W是V的子空间
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证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 由于 WV ，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
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例4
n元齐次线性方程组
a a 1 1x 1 a 1 2x 2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 a x a x a x 0 sn n s1 1 s2 2
( ＊)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
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一、线性子空间
1、线性子空间的定义
V ( W ) 设V是数域P上的线性空间，集合 W
若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的 维数.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x , x , , x ) , ( y , y , , y ) 1 2 n 1 2 n
( x y , x y , , x y ) 1 1 2 2 n n
但 是 () x y () x yx () y 1 1 2 2 n n
i i



( x , x , , x , 0 ) ,( y , y , , y , 0 ) 1 2 n 1 1 2 n 1
( 0 , , 0 , 1 , 0 , 0 ) , i 1 , 2 , , n 1
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就是W3的一组基.
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W { ( x , x , ,, x 0 ) x P , i 1 , 2 , , n 1 } 3 1 2 n 1 i
W { ( x , x , , x ) x x x 1 , x P } 2 1 2 n 1 2 ni
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间. 事实上，W1 是n元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
子集合 W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的 零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的 子空间称为非平凡子空间． 例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
则R[x]为V的一个子空间． 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
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二、一类重要的子空间 ——生成子空间
(1 ) W 封闭，有 ，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
∵W ，∴ . 且对 ， 由数乘运算 W W
( )W 由加法封闭，有 0 ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
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例1
设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
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x x x 0 1 2 n
Байду номын сангаас
( 1 , 0 , 1 , 0 ,, 0 ) , ( 1 ,1 , 0 ,, 0 ) ,
( 1 , 0 ,, 0 , 1 ) 就是W 的一组基.
n 1
1
2
,
1
则

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第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
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§6.5 线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
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( x x x ) ( y y y ) 1 1 2 1 2 n 1 2 n
W , 故W2不是Pn的子空间. 2
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下证W3是Pn的子空间.
首 先 0 ( 0 , 0 , , 0 ), W W 3 3
设

(a 注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A ij ) s n；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
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例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W { ( x , x , , x ) x x x 0 , x P } 1 1 2 n 1 2 n i