平行四边形的判定证明
平行四边形的判定(两组对边相等)
（4）两条对角线互相平分的四边形是平 行四边形。
开心一练:
1.根据下列条件,不能判定一个四边形为平行
四边形的是(C )
(A)两组对边分别相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线相等 (D)两组对边分别平行
练习1：已知：E、F是平行四边形ABCD
B
C （两组对边分别平行的四边形是
平行四边形）
已知:如图,四边形对角线相交于点o, 且OA=OC、OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中
∴ △ A∠OOOABBA==OOO≌BCD=∠△CCOODD
(SAS)
A O
D
∴AB=CD
B
C
同理 ： AD=CB
∴四 边形ABCD是平行四边形（两组对 边分别相等的四 边形是平行四边形。）
平行四边形的定义： P50（10）
两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形.
A B
D
几何语言： ∵AB∥DC, AD∥BC
C ∴四边形ABCD是平行四边形
填空：在△ABC中，AB=BC,AB=12cm，F 是AB上一点，过点F作FE∥BC交AC于E， 过点E作ED ∥AB交BC于点D，则四边形 BDEF的周长2是4c_m________.
A
F
E
B
D
C
筋开 动 脑
有一天,李老师的儿子从幼儿园放学来到办公室, 看到郑老师办公桌上一块平行四边形纸片,于是就拿 起笔来画画,画了一会儿,对自已的作品不满意撕去了 一些,巧的是刚好从A、C两个顶点撕开。你只有尺 规，你能帮它补好吗？
通过以上活动你
A
D
平行四边形的判定证明
1、如图，在四边形ABCD 中，AC BC AC AD ⊥⊥,,垂足为A ，C ，且CD AB =。
求证：四边形ABCD 是
2、 如图，在□ABCD 中，点E ，F 在AD ，BC 上，且CF AE =，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N 。
求
证：四边形EMFN 是平行四边形。
3、如图，在□ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，且CG AE =，CF AH =。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
4、如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 各边的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
5、如图，已知E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点。
求证：四边形HGFE 是平行四边形。
6、如图，在□ABCD 中，以AB ，DC 为边在两侧作等边 和等边 EBFD 是平行四边
形。
7、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC CF AD
AE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，且AE=CF 。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
8、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点
O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。
求证：四边形EGFH 是平行四边形。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质1.对边平行且相等：平行四边形的对边分别平行且相等。
2.对角相等：平行四边形的对角线互相平分，且对角线交点将平行四边形分为两个相等的三角形，这两个三角形的角相等。
3.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即平行四边形的对角线交点是对角线中点的两倍。
4.相邻角互补：平行四边形的相邻角互补，即它们的和为180度。
5.对边角相等：平行四边形的对边角相等，即平行四边形的对边上的角相等。
6.对角线所在的平行线间的距离相等：平行四边形的对角线所在的平行线间的距离相等。
二、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5.相邻角互补的四边形是平行四边形。
6.对边角相等的四边形是平行四边形。
7.对角线所在的平行线间的距离相等的四边形是平行四边形。
8.矩形：矩形是四个角都是直角的平行四边形。
9.菱形：菱形是四条边都相等的平行四边形。
10.正方形：正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形。
四、平行四边形的应用1.计算平行四边形的面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
2.证明平行四边形的性质：利用平行四边形的性质证明四边形的形状或关系。
3.解决实际问题：应用平行四边形的性质解决生活中的实际问题，如设计图形、计算面积等。
知识点：__________习题及方法：1.习题：已知ABCD是平行四边形，AB=6cm，AD=4cm，求BC和CD 的长度。
答案：BC和CD的长度分别为6cm和4cm。
解题思路：根据平行四边形的性质，对边相等，所以BC=AD=4cm，CD=AB=6cm。
2.习题：在平行四边形ABCD中，∠B=60°，求∠D的度数。
答案：∠D的度数为120°。
解题思路：根据平行四边形的性质，相邻角互补，所以∠D=180°-∠B=120°。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
人教版平行四边形的判定(3)
定义
逆向猜想
性质
判定
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提 供了研究几何图形的一般思路。
13
直接运用，巩固知识
例1
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF。
求证：AB∥EF。
证明：∵AB=DC，AD=BC， A ∴四边形ABCD是平行四边形。
D E
∴AB∥DC。
又∵DC=EF，DE=CF，
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：连接BD。
∵AB=CD，AD=BC， BD是公共边，
D1 3
C
∴△ABD≌△CDB。 ∴∠1=∠2，∠3=∠4。 A
2
4 B
∴AB∥DC，AD∥BC。
∴四边形ABCD是平行四边形。
9
演绎推理，形成定理
判定定理2 猜想2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
17
课堂小结
过程与方法的角度： 研究图形的一般思路。
定义
性质 逆向猜想 判定
解题策略的角度： 证明平行四边形有多种方法，应根据条件灵活应用。
18
谢谢
19
当我们对前进的方向感到迷茫时，不妨回过头来看 看走过的路！
5
经验类比，形成思路
直角三角 形的性质
勾股定理 的逆定理
勾股定理
直角三角 形的判定
在过去的学习中，类似的情况还有吗？请举例说明。 这些经验可以给我们怎样的启示？
6
逆向思考，提出猜想
平行四边形的性质
猜想
对边相等
两组对边分别相等的 四边形是平行四边形
对角相等
两组对角分别相等的 四边形是平行四边形
对角线互相平分
平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
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二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。——鲁迅
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二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。——杜鲁门·卡波特
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二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。——白哲特
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二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德
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三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。——马克思
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三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。——陶行知
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三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。——萧绛
•
三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。——佚名
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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利
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三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名
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三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆
平行四边形的判定证明题
四、运用判定3“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 判定，证对角线互相平分。 1、如图,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且 AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.
解：连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, ∴AO-AE=CO-CF, 即EO=FO. ∴四边形DEBF是平行四边形.（对角线互相平分 的四边形是平行四边形）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = CD，AD = BC， ∠A =∠C =∠ABC =∠ADC ＝90° ∵AE = AD ，CF = BC，
∴AE = CF. ∴△ABE≌△CDF. ∴∠ABE =∠CDF，∠AEB =∠CFD. ∴∠BED =∠DFB. ∴∠EBF =∠EDF. ∴四边形BFDE是平行四边形. （两组对角 分别相等的四边形是平行四边形）
例2、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中 点，D在BC上，延长ED到F，使ED = DF = EB. 连结FC. 求证：四边形AEFC是平行四边形.
证明：∵AB＝AC， ∴∠B =∠ACB. ∵ED = EB， ∴∠B =∠EDB. ∴∠ACB =∠EDB. ∴EF∥AC. ∵E是AB的中点， ∴BD = CD. ∵∠EDB =∠FDC，ED = DF， ∴△EDB≌△FDC. ∴∠DEB =∠F. ∴AB∥CF. ∴四边形AEFC是平行四边形. （两组对边
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB=∠BCD， 又∵∠1= ∠DAB，∠2= ∠BCD，
∴∠1=∠2， ∵AB//CD， ∴∠3=∠1，∠4=∠2， ∴∠3=∠4， ∴∠5=∠6， ∴四边形AECF是平行四边形．（两组对角分 别相等的四边形是平行四边形）
6.2平行四边形的判定1—曲泽朴
思路1： 四边形ABCD是平行四边形 E、F分别是AD和BC的中点
思路2： 四边形ABCD是平行四边形 E、F分别是AD和BC的中点
﹦ ED ∥ BF
四边形BFDE是平行四边形
△ABE≌△CDF
BE=DF,DE=BF BE∥DF,DE∥BF
例题精讲
例1 如图6-10，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD和BC的中点．
∴四边形ABCD是平行四边形
∵CD=EF，CE=DF
∴四边形CDEF是平行四边形
∴ AB∥CD，AC∥BD， CD∥EF，CE∥DF
∴AB∥EF
探究活动二
小明的爸爸又考验小明啦：“小明啊，如果只用两根相等 的细木棒，你能不能摆成细木棒的四个端点恰好是一个平行 四边形的四个顶点呢？”
1.你认为小明能做到吗？
你能为小明出谋划策吗？
探究活动一
工具：两组长度分别相等的小棒 步骤：
在平面内将四根小棒首尾顺次相接搭成一个四边形
E
A
D
F
H
B
猜想：两组对边 分别相等
C G
的四边形是平行四边形。
探究活动一
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形.
根据平行四边形定义证明
，BE=DF，求证：四边形DEBF是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//CD
又∵BE=DF ∴四边形DEBF是平行四边形
随堂练习2
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2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：四边形
ABCD是平行四边形。
思路1：证明△ABC≌△CDA
∴△ABC≌△CDA
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1、如图，在四边形ABCD 中，AC BC AC AD ⊥⊥,,垂足为A ，C ，且CD AB =。
求证：四边形ABCD
2、 如图，在□ABCD 中，点E ，F 在AD ，BC 上，且CF AE =，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点
N 。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
3、如图，在□ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，且CG AE =，CF AH =。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
4、如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 各边的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
5、如图，已知E
F
G H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点。
求证：四边形HGFE 是平行四边形。
6、如图，在□ABCD 中，以AB ，DC
，求证：四边形EBFD 是平行四边形。
7、如图，在四边形ABCD 中，AD
∥BC ，BC CF AD AE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，且AE=CF 。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
8、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。
求证：四边形EGFH 是平行四边形。