几何压轴题
几何难题中考压轴题带含及详细解析
几何难题精选解答题〔共 30 小题〕1 ．〔2021 ?河南〕如图 1，在 Rt △ABC 中，∠B=90 °，BC=2AB=8 ，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接DE，将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．〔1〕问题发现①当α=0 °时， = ；②当α=180 °时， = ．〔2〕拓展研究试判断：当 0°≤α＜360 °时，的大小有无变化？请仅就图 2 的状况给出证明．〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．2．〔2021 ?济南〕如图 1 ，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=BC ，∠EAC=90 °，点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕，连接 CM ，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ，直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D．〔1〕直接写出∠ NDE 的度数；〔2〕如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，〔 1〕中的结论可否发生变化？若是不变，采用其中一种状况加以证明；若是变化，请说明原由；〔3〕如图 4，假设∠EAC=15 °，∠ACM=60 °，直线CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM的长．3 ．〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m 、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．〔1〕操作发现：直线 l ⊥m ，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：．〔2〕猜想证明：在图①的状况下，把直线 l 向上平移到如图②的地址，试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由．〔3〕延伸研究：在图②的状况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕，假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k ．求证： PA ?PB=k ?AB．4 ．〔2021 ?重庆〕在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60 °，点D 是线段 BC 的中点，∠EDF=120 °，DE 与线段 AB 相交于点 E．DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F．〔1〕如图 1，假设 DF⊥AC，垂足为 F，AB=4 ，求 BE 的长；〔2〕如图 2，将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度， DF 仍与线段 AC 订交于点 F．求证：BE+CF= AB；〔3〕如图 3，将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度，使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F，作 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN=FN ，求证： BE+CF= 〔BE﹣CF〕．5 ．〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①，△ ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明： AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②，若是点 E 在线段 AB 的延伸线上，其他条件不变，线段 AB ，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上，其他条件不变，请在图③的基础大将图形补充完满，并写出 AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不用说明原由．6 ．〔2021 ?莆田〕在 Rt△ACB 和 Rt △AEF 中，∠ACB= ∠AEF=90 °，假设点P 是 BF 的中点，连接 PC，PE．特别发现：如图 1，假设点 E，F 分别落在边 AB，AC 上，那么结论： PC=PE 成立〔不要求证明〕．问题研究：把图 1 中的△AEF 绕着点 A 顺时针旋转．〔1〕如图 2，假设点 E 落在边 CA 的延伸线上，那么上述结论可否成立？假设成立，请恩赐证明；假设不成立，请说明原由；〔2〕如图 3，假设点 F 落在边 AB 上，那么上述结论可否依旧成立？假设成立，请恩赐证明；假设不成立，请说明原由；〔3〕记 =k ，当 k 为何值时，△ CPE 总是等边三角形？〔请直接写出 k 的值，不用说明原由〕7 ．〔2021 ?襄城区模拟〕如图，正方形 ABCO 的边 OA 、OC 在坐标轴上，点 B 坐标为〔3，3〕．将正方形 ABCO绕点 A 顺时针旋转角度α〔 0°＜α＜90 °〕，获取正方形 ADEF ，ED 交线段 OC 于点 G，ED 的延伸线交线段 BC于点 P，连 AP 、AG ．〔1〕求证：△AOG ≌△ADG ；〔2〕求∠PAG 的度数；并判断线段 OG 、PG、BP 之间的数量关系，说明原由；〔3〕当∠1= ∠2 时，求直线 PE 的解析式；〔4〕在〔3〕的条件下，直线 PE 上可否存在点 M ，使以 M 、A、G 为极点的三角形是等腰三角形？假设存在，请直接写出 M 点坐标；假设不存在，请说明原由．8 ．〔2021 ?重庆校级一模〕，四边形 ABCD 是正方形，点 P 在直线 BC 上，点 G 在直线 AD 上〔P、G 不与正方形极点重合，且在 CD 的同侧〕， PD=PG ，DF⊥PG 于点 H，DF 交直线 AB 于点 F，将线段 PG 绕点 P逆时针旋转 90 °获取线段P E，连接 EF．〔1〕如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，假设 PC=1 ，计算出 DG 的长；〔2〕如图 1，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 上时，证明：四边形 DFEP 为菱形；〔3〕如图 2，当点 P 与点 G 分别在线段 BC 与线段 AD 的延伸线上时，〔2〕的结论：四边形 DFEP 为菱形可否依旧成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明原由．9 ．〔2021 ?房山区二模〕在△ ABC 中，AB=BC=2 ，∠ABC=90 °，BD 为斜边 AC 上的中线，将△ ABD 绕点 D 顺时针旋转α〔0°＜α＜180 °〕获取△EFD，其中点 A 的对应点为点 E，点 B 的对应点为点 F．BE 与 FC 订交于点 H．〔1〕如图 1，直接写出 BE 与 FC 的数量关系：；〔2〕如图 2，M 、N 分别为 EF、BC 的中点．求证： MN= ；〔3〕连接 BF，CE，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段 BF、CE 与 AC 之间的数量关系：．10 ．〔2021 ?衢州校级模拟〕图 1 是边长分别为 4 和 2 的两个等边三角形纸片 ABC 和 ODE 叠放在一起〔 C与 O 重合〕．〔1〕操作：固定△ ABC ，将△0DE 绕点 C 顺时针旋转 30 °后获取△ODE ，连接 AD 、B E，CE 的延伸线交 AB 于 F 〔图 2〕；研究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．〔2〕在〔 1〕的条件下将的△ ODE ，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的△ CDE 设为△PQR，当点 P 与点 F 重合时停止运动〔图 3〕研究：设△PQR 搬动的时间为 x 秒，△PQR 与△ABC 重叠局部的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变量 x 的取值范围．〔3〕将图 1 中△0DE 固定，把△ABC 沿着 OE 方向平移，使极点 C 落在 OE 的中点 G 处，设为△ABG ，尔后将△ABG 绕点 G 顺时针旋转，边 BG 交边 DE 于点 M ，边 AG 交边 DO 于点 N ，设∠BGE= α〔30 °＜α＜90 °〕；〔图4 〕研究：在图 4 中，线段 ON ?EM 的值可否随α的变化而变化？若是没有变化，请你求出 ON ?EM 的值，若是有变化，请你说明原由．11 ．〔2021 ?武义县模拟〕〔 1 〕将矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，极点 O 为原点，极点 C、A 分别在 x轴和 y 轴上， OA=8 ，OC=10 ，点 E 为 OA 边上一点，连接 CE，将△EOC 沿 CE 折叠．①如图 1，当点 O 落在 AB 边上的点 D 处时，求点 E 的坐标；②如图 2，当点 O 落在矩形 OABC 内部的点 D 处时，过点 E 作 EG∥x 轴交 CD 于点 H，交 BC 于点 G，设 H〔m ，n 〕，求 m 与 n 之间的关系式；〔2〕如图 3，将矩形 OABC 变为边长为 10 的正方形，点 E 为 y 轴上一动点，将△ EOC 沿 CE 折叠．点 O 落在点 D 处，延伸 CD 交直线 AB 于点 T，假设 = ，求 AT 的长．12 ．〔2021 ?石家庄校级模拟〕如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=6 ，BD=6 ，AC，BD 订交于点 O ．〔1〕求边 AB 的长；〔2〕如图 2，将一个足够大的直角三角板 60 °角的极点放在菱形 ABCD 的极点 A 处，绕点 A 左右旋转，其中三角板 60 °角的两边分别于边 BC，CD 订交于 E，F，连接 EF 与 AC 订交于点 G．①判断△AEF 是哪一种特别三角形，并说明原由；②旋转过程中可否存在线段 EF 最短，假设存在，求出最小值，假设不存在，请说明原由．13 ．〔2021 春 ?泰安校级期中〕如图，正方形 OEFG 绕着边长为 30 的正方形 ABCD 的对角线的交点 O 旋转，边 OE、OG 分别交边 AD 、AB 于点 M 、N ．〔1〕求证： OM=ON ；〔2〕设正方形 OEFG 的对角线 OF 与边 AB 订交于点 P，连接 PM ．假设 PM=13 ，试求 AM 的长；〔3〕连接 MN ，求△AMN 周长的最小值，并指出此时线段 MN 与线段 BD 的关系．14 ．〔2021 ?天津〕在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A〔﹣2 ，0〕，点 B〔0，2〕，点 E，点 F 分别为 OA ，OB 的中点．假设正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转，得正方形 OE ′D′F′，记旋转角为α．〔Ⅰ〕如图①，当α =90 °时，求AE′，BF′的长；〔Ⅱ〕如图②，当α =135 °时，求证AE′=BF ′，且AE′⊥BF′；〔Ⅲ〕假设直线 AE′与直线BF′订交于点P，求点 P 的纵坐标的最大值〔直接写出结果即可〕．15 ．〔2021 春 ?青山区期末〕正方形 ABCD 和正方形 EBGF 共极点 B，连 AF，H 为 AF 的中点，连 EH，正方形 EBGF 绕点 B 旋转．〔1〕如图 1，当 F 点落在 BC 上时，求证： EH= FC；〔2〕如图 2，当点 E 落在 BC 上时，连 BH ，假设 AB=5 ，BG=2 ，求 BH 的长；〔3〕当正方形 EBGF 绕点 B 旋转到如图 3 的地址时，求的值．16 ．〔2021 ?盐城〕阅读资料如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，∠ACB= ∠EDF=90 °，且点 D 在 AB 边上，AB、EF的中点均为 O ，连接 BF、CD 、CO ，显然点 C、F、O 在同一条直线上，可以证明△ BOF≌△COD ，那么 BF=CD ．解决问题〔1〕将图①中的 Rt△DEF 绕点 O 旋转获取图②，猜想此时线段 BF 与 CD 的数量关系，并证明你的结论；〔2〕如图③，假设△ ABC 与△DEF 都是等边三角形， AB 、EF 的中点均为 O ，上述〔 1 〕中的结论依旧成立吗？如果成立，请说明原由；如不成立，央求出 BF 与 CD 之间的数量关系；〔3〕如图④，假设△ABC 与△DEF 都是等腰三角形， AB 、EF 的中点均为 0，且顶角∠ACB= ∠EDF= α，请直接写出的值〔用含α的式子表示出来〕17 ．〔2021 ?梅州〕用如图①，②所示的两个直角三角形〔局部边长及角的度数在图中已标出〕，完成以下两个研究问题：研究一：将以上两个三角形如图③拼接〔 BC 和 ED 重合〕，在 BC 边上有一动点 P．〔1〕当点 P 运动到∠CFB 的角均分线上时，连接 AP，求线段 AP 的长；〔2〕当点 P 在运动的过程中出现 PA=FC 时，求∠PAB 的度数．研究二：如图④，将△ DEF 的极点 D 放在△ABC 的 BC 边上的中点处，并以点 D 为旋转中心旋转△ DEF，使△DEF 的两直角边与△ ABC 的两直角边分别交于 M 、N 两点，连接 MN ．在旋转△DEF 的过程中，△ AMN 的周长可否存在有最小值？假设存在，求出它的最小值；假设不存在，请说明原由．18 ．〔2021 ?营口〕如图，点 P 是⊙O 外一点， PA 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径，连接 OP ，过点 B 作 BC∥OP 交⊙O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D ．〔1〕求证： PC 是⊙ O 的切线；〔2〕假设 PD= ，AC=8 ，求图中阴影局部的面积；〔3〕在〔 2〕的条件下，假设点 E是的中点，连接 CE，求 CE 的长．19 ．〔2021 ?永州〕问题研究：〔一〕新知学习：圆内接四边形的判判断理：若是四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆〔即若是四边形 EFGH 的对角互补，那么四边形 EFGH 的四个极点 E、F、G、H 都在同个圆上〕．〔二〕问题解决：⊙ O 的半径为 2，AB ，CD 是⊙O 的直径． P 是上任意一点，过点 P 分别作 AB，CD 的垂线，垂足分别为 N，M ．〔1〕假设直径 AB⊥CD，关于上任意一点 P〔不与 B、C 重合〕〔如图一〕，证明四边形 PMON 内接于圆，并求此圆直径的长；〔2〕假设直径 AB⊥CD ，在点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中，证明 MN 的长为定值，并求其定值；〔3〕假设直径 AB 与 CD 订交成 120 °角．①当点 P 运动到的中点 P1 时〔如图二〕，求 MN 的长；②当点 P〔不与 B、C 重合〕从 B 运动到 C 的过程中〔如图三〕，证明 MN 的长为定值．〔4〕试问当直径 AB 与 CD 订交成多少度角时， MN 的长取最大值，并写出其最大值．20 ．〔2021 ?盘锦〕如图 1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠ BAC= ∠EAD=90 °，点B 在线段 AE 上，点C 在线段 AD 上．〔1〕请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系：；〔2〕如图 2，将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角α〔 0＜α＜360 °〕，①〔1〕中的结论可否成立？假设成立，请利用图 2 证明；假设不成立，请说明原由；②当 AC= ED 时，研究在△ABC 旋转的过程中，可否存在这样的角α，使以 A、B、C、D 四点为极点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出角α的度数；假设不存在，请说明原由．21 ．〔2021 ?旭日〕问题：如图〔 1〕，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90 °，AC=CB ，∠DCE=45 °，试试究AD 、DE、EB 满足的等量关系．[研究发现 ]小聪同学利用图形变换，将△ CAD 绕点 C 逆时针旋转 90°获取△CBH，连接 EH，由条件易得∠ EBH=90 °，∠ECH= ∠ECB+ ∠BCH= ∠ECB+ ∠ACD=45 °．依照“边角边〞，可证△ CEH ≌，得 EH=ED ．在 Rt△HBE 中，由定理，可得 BH 2+EB 2=EH 2，由 BH=AD ，可得 AD 、DE、EB 之间的等量关系是．[实践运用 ]〔1〕如图〔 2 〕，在正方形 ABCD 中，△AEF 的极点 E、F 分别在 BC、CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数；〔2〕在〔 1〕条件下，连接 BD ，分别交 AE、AF 于点 M 、N ，假设 BE=2 ，DF=3 ，BM=2 ，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及 MN 的长．22 ．〔2021 ?自贡〕在△ABC 中，AB=AC=5 ，cos ∠ABC= ，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转，获取△ A1B1C．〔1〕如图①，当点 B1 在线段 BA 延伸线上时．①求证： BB1∥CA 1；②求△AB1C 的面积；〔2〕如图②，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在△ ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1 长度的最大值与最小值的差．23 ．〔2021 ?吉林〕两个三角板 ABC，DEF，按以以下图的地址摆放，点 B 与点 D 重合，边 AB 与边 DE 在同一条直线上〔假设图形中所有的点，线都在同一平面内〕．其中，∠C= ∠DEF=90 °，∠ABC= ∠F=30 °，AC=DE=6cm ．现固定三角板 DEF，将三角板 ABC 沿射线 DE 方向平移，当点 C 落在边 EF 上时停止运动．设三角板平移的距离为 x〔cm 〕，两个三角板重叠局部的面积为 y〔cm 2〕．〔1〕当点 C 落在边 EF 上时， x= cm ；〔2〕求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；〔3〕设边 BC 的中点为点 M ，边 DF 的中点为点 N ．直接写出在三角板平移过程中，点 M 与点 N 之间距离的最小值．24 ．〔2021 ?汕尾〕在 Rt△ABC 中，∠A=90 °，AC=AB=4 ，D，E 分别是边 AB ，AC 的中点，假设等腰 Rt△ADE绕点 A 逆时针旋转，获取等腰 Rt△AD 1E1，设旋转角为α〔 0＜α≤180 °〕，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P．〔1〕如图 1，当α=90 °时，线段BD 1 的长等于，线段 CE1 的长等于；〔直接填写结果〕〔2〕如图 2，当α=135 °时，求证：BD 1=CE 1，且 BD1⊥CE1；〔3〕求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值．〔直接写出结果〕25 ．〔2021 ?赤峰〕如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个极点与该菱形极点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB、BA〔或它们的延长线〕于点 E、F，∠EDF=60 °，当CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF ．〔1〕连续旋转三角形纸片，当 CE≠AF 时，如图 2 小芳的结论可否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明原由；〔2〕再次旋转三角形纸片，当点 E、F 分别在 CB、BA 的延伸线上时，如图 3 请直接写出 DE 与 DF 的数量关系；〔3〕连 EF，假设△DEF 的面积为 y ，CE=x ，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？26 ．〔2021 ?海南〕如图，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，∠BCD=60 °，射线AP 交 BC 的延伸线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点．〔1〕求证：△ADP ≌△ECP；〔2〕假设 BP=n ?PK，试求出 n 的值；〔3〕作 BM 丄 AE 于点 M ，作 KN 丄 AE 于点 N，连接 MO 、NO ，如图 2 所示，请证明△MON 是等腰三角形，并直接写出∠ MON 的度数．27 ．〔2021 ?丹东〕在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O；在 Rt△PMN 中，∠MPN=90 °．〔1〕如图 1，假设点 P 与点 O 重合且 PM ⊥AD 、PN ⊥AB ，分别交 AD 、AB 于点 E、F，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系；〔2〕将图 1 中的 Rt△PMN 绕点 O 顺时针旋转角度α〔 0 °＜α＜45 °〕．①如图 2，在旋转过程中〔 1〕中的结论依旧成立吗？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由；②如图 2，在旋转过程中，当∠ DOM=15 °时，连接EF，假设正方形的边长为 2，请直接写出线段 EF 的长；③如图 3，旋转后，假设 Rt△PMN 的极点 P 在线段 OB 上搬动〔不与点 O 、B 重合〕，当 BD=3BP 时，猜想此时PE 与 PF 的数量关系，并给出证明；当 BD=m ?BP 时，请直接写出 PE 与 PF 的数量关系．28 ．〔2021 ?成都〕 AC ，EC 分别是四边形 ABCD 和 EFDC 的对角线，点 E 在△ABC 内，∠CAE+ ∠CBE=90 °．〔1〕如图①，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF．〔i〕求证：△CAE∽△CBF；〔ii 〕假设 BE=1 ，AE=2 ，求 CE 的长；〔2〕如图②，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 = =k 时，假设 BE=1 ，AE=2 ，CE=3 ，求 k 的值；〔3〕如图③，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且∠ DAB= ∠GEF=45 °时，设BE=m ，AE=n ，CE=p ，试试究 m ，n，p 三者之间满足的等量关系．〔直接写出结果，不用写出解答过程〕29 ．〔2021 ?锦州〕如图①，∠ QPN 的极点 P 在正方形 ABCD 两条对角线的交点处，∠ QPN= α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠ QPN 的两边分别与正方形 ABCD 的边 AD 和 CD 交于点 E 和点 F〔点 F 与点 C，D 不重合〕．〔1〕如图①，当α =90 °时，DE，DF，AD 之间满足的数量关系是；〔2〕如图②，将图①中的正方形 ABCD 改为∠ADC=120 °的菱形，其他条件不变，当α =60 °时，〔1〕中的结论变为 DE+DF= AD ，请给出证明；〔3〕在〔2〕的条件下，假设旋转过程中∠ QPN 的边 PQ 与射线 AD 交于点 E，其他条件不变，研究在整个运动变化过程中， DE，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．30 ．〔2021 ?绵阳〕如图 1，矩形 ABCD 中，AB=4 ，AD=3 ，把矩形沿直线 AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，AE交 CD 于点 F，连接 DE．〔1〕求证：△DEC≌△EDA；〔2〕求 DF 的值；〔3〕如图 2，假设 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作△AEC 的内接矩形，使其极点 Q 落在线段 AE 上，定点 M 、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？并求出其最大值．几何难题精选 (1) 旋转圆四边形参照答案与试题解析一．解答题〔共 30 小题〕1 ．〔2021 ?河南〕如图 1，在 Rt △ABC 中，∠B=90 °，BC=2AB=8 ，点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，连接DE，将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．〔1〕问题发现①当α=0 °时， = ；②当α=180 °时， = ．〔2〕拓展研究试判断：当 0°≤α＜360 °时，的大小有无变化？请仅就图 2 的状况给出证明．〔3〕问题解决当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕①当α=0 °时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，求出 AC 的值是多少；尔后依照点 D、E 分别是边BC、AC 的中点，分别求出 AE、BD 的大小，即可求出的值是多少．②α=180 °时，可得AB ∥DE，尔后依照，求出的值是多少即可．〔2〕第一判断出∠ ECA= ∠DCB ，再依照，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．〔3〕依照题意，分两种状况：①点 A，D，E 所在的直线和 BC 平行时；②点 A ，D，E 所在的直线和 BC 订交时；尔后分类谈论，求出线段 BD 的长各是多少即可．【解答】解：〔 1〕①当α=0 °时，∵Rt △ABC 中，∠B=90 °，∴AC= ，∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点，∴，∴．②如图 1，，当α=180 °时，可得 AB∥DE，∵，∴ = ．故答案为：．〔2〕如图 2，，当 0°≤α＜360 °时，的大小没有变化，∵∠ECD= ∠ACB ，∴∠ECA= ∠DCB ，又∵，∴△ECA∽△DCB ，∴．〔3〕①如图 3 ，，∵AC=4 ，CD=4 ，CD ⊥AD ，∴AD= = ，∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90 °，∴四边形 ABCD 是矩形，∴．②如图 4，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q ，过点 B作 AC 的垂线交 AC 于点 P，，∵AC=4 ，CD=4 ，CD ⊥AD ，∴AD= = ，∵点D、E 分别是边 BC、AC 的中点，∴DE= =2 ，∴AE=AD ﹣DE=8 ﹣2=6 ，由〔2〕，可得，∴BD= = ．综上所述， BD 的长为 4 或．【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题，观察了解析推理能力，观察了分类谈论思想的应用，观察了数形结合思想的应用，要熟练掌握．〔2〕此题还观察了相似三角形、全等三角形的判断和性质的应用，要熟练掌握．〔3〕此题还观察了线段长度的求法，以及矩形的判断和性质的应用，要熟练掌握．2．〔2021 ?济南〕如图 1 ，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AC=BC ，∠EAC=90 °，点M 为射线 AE 上任意一点〔不与 A 重合〕，连接 CM ，将线段 CM 绕点 C 按顺时针方向旋转 90 °获取线段CN ，直线 NB 分别交直线 CM 、射线 AE 于点 F、D．〔1〕直接写出∠ NDE 的度数；〔2〕如图 2、图 3，当∠EAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，〔 1〕中的结论可否发生变化？若是不变，采用其中一种状况加以证明；若是变化，请说明原由；〔3〕如图 4，假设∠EAC=15 °，∠ACM=60 °，直线CM 与 AB 交于 G，BD= ，其他条件不变，求线段 AM的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕依照题意证明△ MAC ≌△NBC 即可；〔2〕与〔 1〕的证明方法相似，证明△ MAC ≌△NBC 即可；〔3〕作 GK ⊥BC 于 K，证明 AM=AG ，依照△MAC ≌△NBC ，获取∠BDA=90 °，依照直角三角形的性质和条件求出 AG 的长，获取答案．【解答】解：〔 1〕∵∠ACB=90 °，∠MCN=90 °，∴∠ACM= ∠BCN ，在△MAC 和△NBC 中，，∴△MAC ≌△NBC ，∴∠NBC= ∠MAC=90 °，又∵∠ACB=90 °，∠EAC=90 °，∴∠NDE=90 °；〔2〕不变，在△MAC ≌△NBC 中，，∴△MAC ≌△NBC ，∴∠N= ∠AMC ，又∵∠MFD= ∠NFC，∠MDF= ∠FCN=90 °，即∠NDE=90 °；〔3〕作 GK⊥BC 于 K，∵∠EAC=15 °，∴∠BAD=30 °，∵∠ACM=60 °，∴∠GCB=30 °，∴∠AGC= ∠ABC+ ∠GCB=75 °，∠AMG=75 °，∴AM=AG ，∵△MAC ≌△NBC ，∴∠MAC= ∠NBC ，∴∠BDA= ∠BCA=90 °，∵BD= ，∴AB= + ，AC=BC= +1 ，设 BK=a ，那么 GK=a ，CK= a，∴a+ a= +1 ，∴a=1 ，∴KB=KG=1 ，BG= ，AG= ，∴AM= ．【谈论】此题观察的是矩形的判断和性质以及三角形全等的判断和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的重点，注意旋转的性质的灵便运用．3 ．〔2021 ?岳阳〕直线 m ∥n ，点 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点， CD 与直线 m 、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点．〔1〕操作发现：直线 l ⊥m ，l⊥n，垂足分别为 A、B，当点 A 与点 C 重合时〔如图①所示〕，连接 PB，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系： PA=PB ．〔2〕猜想证明：在图①的状况下，把直线 l 向上平移到如图②的地址，试问〔 1〕中的 PA 与 PB 的关系式可否依旧成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明原由．〔3〕延伸研究：在图②的状况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得∠ APB=90 °〔如图③所示〕，假设两平行线 m 、n 之间的距离为 2k ．求证： PA ?PB=k ?AB．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】〔1〕依照三角形 CBD 是直角三角形，而且点 P 为线段 CD 的中点，应用直角三角形的性质，可得 PA=PB ，据此解答即可．〔2〕第一过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 P E，尔后分别判断出 PC=PE 、∠PCA= ∠PEB、AC=BE ；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△ PAC∽△PBE，即可判断出 PA=PB 依旧成立．〔3〕第一延伸 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，尔后依照相似三角形判断的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出 AF ?BP=AE ?BF，再个 AF=2PA ，AE=2k ，BF=AB ，可得 2PA ?PB=2k ．AB，因此 PA?PB=k ?AB，据此解答即可．【解答】解：〔 1〕∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形 CBD 是直角三角形，又∵点 P 为线段 CD 的中点，∴PA=PB ．〔2〕把直线 l 向上平移到如图②的地址， PA=PB 依旧成立，原由以下：如图②，过 C 作 CE⊥n 于点 E，连接 P E，，∵三角形 CED 是直角三角形，点 P 为线段 CD 的中点，∴PD=PE ，又∵点 P 为线段 CD 的中点，∴PC=PD ，∴PC=PE ；∵PD=PE ，∴∠CDE= ∠PEB，∵直线 m ∥n ，∴∠CDE= ∠PCA ，∴∠PCA= ∠PEB，又∵直线 l⊥m ，l⊥n，CE⊥m ，CE⊥n ，∴l∥CE，∴AC=BE ，在△PAC 和△PBE 中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB ．〔3〕如图③，延伸 AP 交直线 n 于点 F，作 AE⊥BD 于点 E，，∵直线 m ∥n ，∴，∴AP=PF ，∵∠APB=90 °，∴BP⊥AF，又∵AP=PF ，∴BF=AB ；在△AEF 和△BPF 中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF ?BP=AE ?BF，∵AF=2PA ，AE=2k ，BF=AB ，∴2PA ?PB=2k ．AB ，∴PA?PB=k ?AB ．【谈论】〔1〕此题主要观察了几何变换综合题，观察了解析推理能力，观察了分类谈论思想的应用，观察了数形结合思想的应用，观察了从图象中获守信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．〔2〕此题还观察了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．〔3〕此题还观察了全等三角形的判断和性质的应用，以及相似三角形的判断和性质的应用，要熟练掌握．4 ．〔2021 ?重庆〕在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60 °，点D 是线段 BC 的中点，∠EDF=120 °，DE 与线段 AB 相交于点 E．DF 与线段 AC 〔或 AC 的延伸线〕订交于点 F．〔1〕如图 1，假设 DF⊥AC，垂足为 F，AB=4 ，求 BE 的长；〔2〕如图 2，将〔1 〕中的∠EDF 绕点 D 顺时针旋转必然的角度， DF 仍与线段 AC 订交于点 F．求证：BE+CF= AB；〔3〕如图 3，将〔 2〕中的∠EDF 连续绕点 D 顺时针旋转必然的角度，使 DF 与线段 AC 的延伸线订交于点 F，作 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN ⊥AC 于点 N ，假设 DN=FN ，求证： BE+CF= 〔BE﹣CF〕．【考点】几何变换综合题；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断与性质；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【解析】〔1〕如图 1，易求得∠B=60 °，∠BED=90 °，BD=2 ，尔后运用三角函数的定义即可求出 BE 的值；〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，作 DN ⊥AC 于 N，如图 2，易证△MBD ≌△NCD ，那么有 BM=CN ，DM=DN ，进而可证到△ EMD ≌△FND ，那么有 EM=FN ，即可获取 BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60 °=BD= BC= AB；〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，如图 3．同〔1〕可得：∠B= ∠ACD=60 °，同〔2〕可得： BM=CN ，DM=DN ，EM=FN ．由 DN=FN 可得 DM=DN=FN=EM ，进而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ，B E﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM ．尔后在 Rt△BMD 中，运用三角函数即可获取 DM= BM ，即 BE+CF= 〔B E﹣CF〕．【解答】解：〔 1〕如图 1，∵AB=AC ，∠A=60 °，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B= ∠C=60 °，BC=AC=AB=4 ．∵点D 是线段 BC 的中点，∴BD=DC= BC=2 ．∵DF⊥AC，即∠AFD=90 °，∴∠AED=360 °﹣60 °﹣90 °﹣120 °=90 °，∴∠BED=90 °，∴BE=BD ×cos ∠B=2 ×cos60 °=2 × =1 ；〔2〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，作 DN ⊥AC 于 N，如图 2，那么有∠AMD= ∠BMD= ∠AND= ∠CND=90 °．∵∠A=60 °，∴∠MDN=360 °﹣60 °﹣90 °﹣90 °=120 °．∵∠EDF=120 °，∴∠MDE= ∠NDF ．在△MBD 和△NCD 中，，∴△MBD ≌△NCD ，∴BM=CN ，DM=DN ．在△EMD 和△FND 中，，∴△EMD ≌△FND ，∴EM=FN ，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD ×cos60 °=BD= BC= AB ；〔3〕过点 D 作 DM ⊥AB 于 M ，如图 3．同〔1〕可得：∠B= ∠ACD=60 °．同〔2〕可得： BM=CN ，DM=DN ，EM=FN ．∵DN=FN ，∴DM=DN=FN=EM ，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM ，BE﹣CF=BM+EM ﹣CF=BM+NF ﹣CF=BM+NC=2BM ．在 Rt△BMD 中，DM=BM ?tanB= BM ，∴BE+CF= 〔BE﹣CF〕．【谈论】此题主要观察了等边三角形的判断与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判断与性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值等知识，经过证明三角形全等获取 BM=CN ，DM=DN ，EM=FN 是解决此题的关键．5 ．〔2021 ?烟台〕【问题提出】如图①，△ ABC 是等腰三角形，点 E 在线段 AB 上，点 D 在直线 BC 上，且 ED=EC ，将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF试证明： AB=DB+AF【类比研究】〔1〕如图②，若是点 E 在线段 AB 的延伸线上，其他条件不变，线段 AB ，DB，AF 之间又有怎样的数量关系？请说明原由〔2〕若是点 E 在线段 BA 的延伸线上，其他条件不变，请在图③的基础大将图形补充完满，并写出 AB ，DB ，AF 之间的数量关系，不用说明原由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【解析】第一判断出△ CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，因此∠EAF= ∠BAC+ ∠CAF=120 °，∠DBE=120 °，∠EAF= ∠DBE；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△EDB ≌△FEA ，即可判断出 BD=AE ，AB=AE+BF ，因此 AB=DB+AF ．〔1〕第一判断出△CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，因此∠EFC= ∠FGC+ ∠FCG，∠BAC= ∠FGC+ ∠FEA，∠FCG= ∠FEA，再依照∠FCG= ∠EAD ，∠D= ∠EAD，可得∠D= ∠FEA；尔后依照全等三角形判断的方法，判断出△ EDB≌△FEA，即可判断出 BD=AE ，EB=AF ，进而判断出AB=BD ﹣AF 即可．〔2〕第一依照点 E 在线段 BA 的延伸线上，在图③的基础大将图形补充完满，尔后判断出△ CEF 是等边三角形，即可判断出 EF=EC ，再依照 ED=EC ，可得 ED=EF ，∠CAF= ∠BAC=60 °，再判断出∠ DBE= ∠EAF，∠BDE= ∠AEF；。
中考数学几何压轴题及答案及答案
中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。
2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题
2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。
八年级坐标与几何综合题(压轴题)
（1）2701, 直线AB; y=x-b分别与x轴y轴交于A(6,0), B两点, 过点B的直线交x 轴负半轴于C,（2）OB；OC=3: 1。
（3）求直线BC的解析式。
直线EF: y=kx—k（k≠0）.交AB于E, 交BC 于F, 交x轴于D, 是否存在这样的直线EF使得S△EBD=S△FBD?若存在求出k的值, 若不存在, 说明理由。
如图2,P为A点右侧x轴上的一动点, 以P为直角顶点 BP为腰, 在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ, 连接QA并延长交y 轴于点K 当P点运动时, K点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标, 如果变化, 说明理由。
X（1）2702, 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数y=x+7与X轴, Y轴分别交与点A,C.点B为x轴正半轴上一点, 且△ＡＢＣ的面积为70。
（2）求直线BC的解析式。
动点P从A 出发沿线段AB向点B以每秒2个单位的速度运动, 同时点Q从点C出发沿射线CO以每秒1个单位的速度匀速运动, 当点P停止运动时点Q也停止运动。
连接PO,PC,设△ＡＢＣ的面积为S, 点P,Q的运动时间为t(秒), 求S与t的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围。
在（2）的条件下, 在直线BC上是否存在点D, 连接DP,DO.使得△DPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形, 若存在求出t值, 若不存在, 说明理由。
2703.在平面直角坐标系中, 直线y=x-4与X轴, Y轴分别交于A, D两点, AB⊥AD, 交y轴于点B 。
（1）求直线AB 的解析式。
（2）点P 为X 轴上一动点, PC ⊥PB, 交直线AD 于点C, 设 △PAC 的面积为S, 点P 的横坐标为t, 求S 与t 的函数关系式, 并写出自变量t 的取值范围。
（3）在（2）的条件下, 当S=2.5时, 求t 的值。
2704, 在平面直角坐标系中, 正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象限）, 点A 为Ｙ轴上的一动点, ＰＢ⊥ＰＡ, 交Ｘ轴正半轴与点Ｂ, ＰＨ⊥Ｘ轴。
2023秋季初三AA第12讲几何压轴题
第12讲 几何压轴题模块1 旋转类【经典例题】例1 如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP 绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出∠P'BP的度数为 _____；②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．（1）依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；（2）用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系；并证明．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）∠BAE＝∠BCD；（2）AE＝CE+DE．模块2 中点类【经典例题】例3 在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为射线CA上一点，过点D作DE∥CB且DE＝CB（点E在点D的右侧），射线ED交射线BA于点F，点H是AF的中点，连接HC，HE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，判断线段HE与HC的数量关系及位置关系；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图2．用等式表示线段CB，CD，CH之间的数量关系，并证明．【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】（1）HE＝HC，且HE⊥HC；（2）CB2+CD2＝2CH2．例4 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点 （不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．（1）如图1，当点E在线段CD上时，①依题意补全图形；②求证：点G为BF的中点．（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）见解答过程；（2）2AE2﹣4AG2＝BE2．附加题1 如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD ＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．附加题2 在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α （0°＜α＜180°）得到线段AD．（1）若线段DA的延长线与线段BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．【作业】作业1 △ACB中，∠C＝90°，以点A为中心，分别将线段AB，AC逆时针旋转60°得到线段AD，AE，连接DE，延长DE交CB于点F．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CFE的度数为 ______；（2）如图2，当30°＜∠A＜60°时，①依题意补全图2；②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明．作业2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且BE＝CD，连接DE，过点A作AM⊥DE于M．（1）依题意补全图，用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为 __，使得AN＝DE成立，并证明．。
平面几何的证明题压轴题
平面几何的证明题压轴题1. 问题描述给定平行四边形ABCD，证明以下结论：2. 证明过程步骤 1：作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。
作AE ⊥ AD，BF ⊥ AB，连接CF。
作AE ⊥AD，BF ⊥AB，从而得到四边形AEBF是一个矩形。
步骤 2：作CF的中线DG，连接AG，BG。
作CF的中线DG，连接AG，BG。
作CF的中线DG，连接AG，BG，从而得到DG平分CF，并且DG ⊥ CF。
步骤 3：将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。
将四边形AEBF分为三个三角形：△AED，△BEF和△AFB。
根据步骤1，我们知道△AED和△BEF是直角三角形。
步骤 4：分别证明△AED和△BEF为全等三角形。
分别证明△AED和△BEF为全等三角形。
根据步骤2，DG ⊥CF，所以△DEG和△FBG是全等三角形。
又因为△DEA和△BFA是直角三角形，且对边相等（DE = BF），根据勾股定理，△DEA和△BFA是全等三角形。
因此，根据全等三角形的性质，△AED和△BEF也是全等三角形。
步骤 5：根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。
根据全等三角形的性质，得到对应的边相等。
根据步骤4，△AED和△BEF是全等三角形，所以对应的边相等：AE = BF，AD = BE步骤 6：得出结论。
得出结论。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对边相等。
因此，由步骤5得出的结论，可以证明平行四边形ABCD的对边相等：AB = CD，AD = BC3. 结论通过以上证明过程，我们可以得出平行四边形ABCD的对边相等的结论：AB = CD，AD = BC。
中考数学几何选择填空压轴题精选
中考数学几何选择填空压轴题精选一．选择题（共13小题）1．（2013•蕲春县模拟)如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°;③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=,∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…,如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A．B．C．D．3．如图,梯形ABCD中,AD∥BC，，∠ABC=45°,AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论:①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论:①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．(2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC,BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF,连EF交CD于M．已知BC=5,CF=3，则DM：MC的值为（)A．5：3B．3：5C．4:3D．3：46．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…,依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A．B．C．D．7．如图,在锐角△ABC中,AB=6，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( ）A．B．6C．D．38．（2013•牡丹江）如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论:①P M=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．(2012•黑河)Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD 落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（) A．①④⑤B．①②④C．③④⑤D．②③④11．如图，正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE;③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤12．如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF=FH,②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．16二．填空题（共16小题）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点,F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM;②A E⊥BC;③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有_________ ．15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2,使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5= _________ ．第n 次操作得到△A n B n C n，则△A n B n C n的面积S n= _________ ．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1，16．使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为_________ ．17．(2012•通州区二模）如图，在△ABC中,∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012= _________ ．18．（2009•湖州）如图,已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4,D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2,△BD3E3，…,△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n= _________ S△ABC(用含n的代数式表示）．19．（2011•丰台区二模)已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1,连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、D n,分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BD n E n的面积为S1、S2、S3、…S n．设△ABC的面积是1，则S1= _________ ，S n= _________ （用含n的代数式表示）．20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________ ．21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2,…，这样一直做下去,得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2,…，则CA1= _________ ，= _________ ．22．（2013•沐川县二模)如图，点A1，A2，A3,A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1,△A2A3B2,…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为_________ ；面积小于2011的阴影三角形共有_________ 个．23．(2010•鲤城区质检)如图，已知点A1（a，1）在直线l：上，以点A1为圆心，以为半径画弧,交x轴于点B1、B2，过点B2作A1B1的平行线交直线l于点A2，在x轴上取一点B3，使得A2B3=A2B2，再过点B3作A2B2的平行线交直线l于点A3，在x轴上取一点B4,使得A3B4=A3B3，按此规律继续作下去，则①a=_________ ;②△A4B4B5的面积是_________ ．24．（2013•松北区二模)如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于_________ ．25．（2007•淄川区二模）如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3,EF=4，那么线段AD与AB的比等于_________ ．26．（2009•泰兴市模拟)梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3且S1+S3=4S2，则CD= _________ AB．27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形,图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是_________ 个．28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________ cm2．29．（2012•天津）如图,已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E,以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为_________ ．30．如图,ABCD是凸四边形,AB=2，BC=4,CD=7，求线段AD的取值范围（）．参考答案与试题解析一．选择题(共13小题）1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F,使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为( ）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：作EJ⊥BD于J,连接EF①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22。
七年级下册数学几何压轴题
七年级下册数学几何压轴题
1. 把一个长方形沿x轴正方向移动m个单位，求移动前后阴影的面积差。
2. 一个小正方体沿着x轴正方向移动，它的一面在x轴上翻转，求翻转前后阴影的面积比值。
3. 一个方形沿着y轴正方向移动，移动到一个圆的周围，求圆和方形的阴影面积比值。
4. 把一个正方形沿对角线方向移动，它最后完全重合的时候恰好覆盖了一个面积为S的等腰三角形，求三角形面积S。
5. 把一个正方形沿着y轴正方向移动，移动m个单位的时候与另外一个正方形刚好重合，求另外一个正方形的边长。
6. 一个矩形沿x轴正方向移动，移动到另外一个矩形的正上方还有b个单位，求两个矩形的阴影面积比值。
7. 把一个半圆形沿y轴正方向移动，移动到正方形的中心时，求正方形面积和半圆形面积的阴影面积比值。
8. 把一个梯形沿y轴正方向移动，移动到一个与梯形相似的大梯形上面靠着底边的位置，求阴影的面积比值。
9. 把一个正三角形沿着x轴正方向移动，相邻两次的位移满足一个等差数列，第一次移动2个单位，第三次移动8个单位，求正三角形的边长。
10. 一个椭圆形沿y轴正方向移动，移动到一个长方形上方恰好横跨长方形的两个端点，求已经移动了多少个单位。
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中考数学动态几何、类比探究专项训练方法指导中考数学第22题常考查动态几何、类比探究。
本讲重点对动态几何、类比探究进行专项训练。
一、动态几何动点问题：
速度已知的几何问题。
1. 研究基本图形；
2. 分析起点、终点、状态转折点，确定分段；
3. 根据几何特征表达线段长，建等式求解
二、几何综合问题常以三角形、四边形为背景，结合几何变换、几何模型、几何结构等进行考查。
1. 找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模型（相似结构、三线合
一、面积等）；
2. 借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
三、类比探究图形结构类似、问法类似，常含探究、类比等关键词。
1. 照搬：照搬上一问的方法、思路解决问题。
如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似。
2. 找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：
① 直角，作横平竖直的线，找全等或相似；
② 中点，作倍长，通过全等转移边和角；
③ 平行，找相似，转比例。
中考几何压轴题2017辅导
1、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，
得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否
仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=1
2
，求22
BE DG
+的值．
2、将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，
，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动
2
3
秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；
（2）当1t 时，如图1，将O
P Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；
（1） 连结AC ，将O
P Q △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与
AC 能否平行？PE 与AC
能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
图1
3、阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．
解决问题
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=
∠EDF=α，请直接写出BF
CD
的值（用含α的式子表示出来）
4、【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
5、已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
6、已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证
CD
AD
CF DE =
； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
CD
AD
CF DE =
成立？并证明你的结论； （3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CF
DE
的值．
E F G
A B C
D
第24题图①
第24题图②
A
B
C
D
F G
E
第24题图③
A
B
C
D
F
G
E
7、如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF 改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．
8、在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，
如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF 的长．
（第25题图）
图3
图2
图1
F E
P
C
B
D
A
F
E
P
D
C
B
A
F
E
P
D
C
B A
9、如图，矩形ABCD 中，∠ACB =o
30，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ,BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，三角板的两直角边分别于边AB ,BC 所在的直线交于E ,F .
(1)当PE ⊥AB ,PF ⊥BC 时，如图1，则
PE
PF
的值为 . (2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α（o
o
060α<<）角，如图2，求
PE
PF
的值； (3)在（2）的基础上继续旋转，当o
o
6090α<<，且使AP :PC =1：2时，如图3，PE
PF
的值是否变化？证明你
的结论.
贾老师数学辅导专用
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