安徽中考数学几何压轴题

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2024-2025年安徽省中考数学压轴题集

2024-2025年安徽省初中学业水平考试数学压轴题集（本卷收录近10年安徽省中考的第10、14、22、23题）一、选择题每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的. 1.如图，在矩形ABCD 中，AB =5，AD =3.动点P 满意13PABABCDS S=矩形 .则点P 到A ，B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（）A.29B.34C.52D.412.如图，Rt △ABC ，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满意∠P AB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值为（） 32 B.2 C.81313D.121313A.第1题图第2题图3.如图，一次函数1y x =和二次函数22+y ax bx c =+图象相交于P ，Q 两点，则函数2(1)y ax b x c=+-+的图象可能是（）A. B. C. D.第3题图4.如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为22，若直线l 满意： ①点D 到直线l 的距离为3；②A ，C 两点到直线l 距离相等.则符合题意的直线l 的条数是（） A.1 B.2 C.3 D.45.如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上点，在以下推断中，不正确的是（） A.当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形 B.当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥AC C.当PO ⊥AC 时，∠ACP =30°D.当∠ACP =30°时，△BPC 是直角三角形第4题图第5题图6.在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A.10B.45C.10或45D.10或217第6题图7.如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形态是A. B.第7题图C. D.8.甲、乙两个打算在一段长为1200米的笔直马路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s和6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y（m）与时间t（s）的函数图象是（）A. B. C. D.9.△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是A.120°B.125°C.135°D.150°10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于A.65B.95C.125D.125第10题图第11题图二、填空题11. 在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），剪去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得绽开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为__________cm.12. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =6，BC =10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG =45°；②△DEF ∽△ABG ；③3=2ABG FGH S S △△；④AG +DF =FG ．其中正确的是．（把全部正确结论的序号都选上）第12题图第14题图13.已知实数a 、b 、c 满意a b ab c +==，有下列结论：①若c ≠0，则111ab+=；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是．（把全部正确结论的序号都选上）14. 如图，在▱ABCD 中，AD =2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中肯定成立的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） ①12DCF BCD ∠=∠；②EF =CF ；③=2BEC CEF S S △△；④∠DFE =3∠AEF ．15.已知矩形纸片ABCD 中，AB =1，BC =2，将该纸片折叠成一个平面图形，折痕EF 不经过A 点（E ，F 是该矩形边界上的点），折叠后点A 落在点A ’处，给出以下推断： ①当四边形A’CDF 为正方形时，EF =2;②当EF =2时，四边形A’CDF 为正方形； ③当EF =5时，四边BA’CD 为等腰梯形；④当四边形BA’CD 为等腰梯形时，EF =5. 其中正确的是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上） 16.如图，P 是矩形ABCD 内的随意一点，连接P A 、PB 、PC 、PD ，得到△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA ，设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3、S 4，给出如下结论：①S 1+S 2=S 3+S 4；②S 2+S 4= S 1+S 3；③若S 3=2S 1，则S 4=2S 2 ④若S 1=S 2，则P 点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是 .（把全部正确结论的序号都填在横线上）第15题图第16题图第18题图 17.定义运算(1)a b a b ⊗=-，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2(2)6⊗-=；②a b b a ⊗=⊗；③若0a b +=，则()()2a a b b ab ⊗+⊗=；④若0a b ⊗=，则a =0.其中正确结论的序号是 .(填上你认为全部正确结论的序号)18.如图，AD 是△ABC 的边BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是 ________ _．（把全部正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD =∠ACD ；②∠BAD =∠CAD ；③AB +BD =AC +CD ；④AB －BD =AC －CD ．19.已知二次函数的图象经过原点及点11(,)24--，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为．20.如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①a c ＜0；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++＞；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大.正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)第20题图三、解答题21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满意一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克） 50 60 70 销售量y （千克） 100 80 60（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润=收入-成本）；（3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的改变而改变的状况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？22.已知正方形ABCD ，点M 为AB 的中点.（1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且∠AGB =90°，延长AG 、BG 分别与边BC 、CD 交于点E 、F .①求证：BE =CF ；②求证：2BE BC CE =⋅.（2）如图2，在边BC 上取一点E ，满意2BE BC CE =⋅，连接AE 交CM 于点G ，连接BG 并延长交CD 于点F ，求tan ∠CBF 的值.第22题图 1 第22题图223.如图，二次函数2+y ax bx =的图象经过点(2,4)A 与(6,0)B ．（1）求a ，b 的值；（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值.24.如图，A ，B 分别在射线OA ，ON 上，且∠MON 为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向∠MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和ABPQ的值．第24题图1 第24题图2 第24题图325.为了节约材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？第25题图26.如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD 的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD ＝BC ；（2）求证：△AGD ∽△EGF ；（3）如图2，若AD 、BC 所在直线相互垂直，求ADEF的值.第26题图1 第26题图227.若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x 的二次函数2212421y x mx m =-++和225y ax bx =++，其中1y 的图象经过点(1,1)A ，若12y y +与1y 为“同簇二次函数”，求函数2y 的表达式，并求出当0≤x ≤3时，2y 的最大值.28.如图1，正六边形ABCDEF 的边长为a ，P 是BC 边上一动点，过P 作PM ∥AB 交AF 于M ，作PN ∥CD 交DE 于N ．（1）①∠MPN = ；②求证：PM +PN =3a ；（2）如图2，点O 是AD 的中点，连接OM 、ON ，求证：OM =ON ；（3）如图3，点O 是AD 的中点，OG 平分∠MON ，推断四边形OMGN 是否为特别四边形？并说明理由.第28题图1 第28题图2 第28题图329.某高校生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x 天销售的相关信息如下表所示.销售量p （件）50p x =- 销售单价q （元/件）当1≤x ≤20时，1302q x =+;当21≤x ≤40时，52520q x=+（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件；（2）求该网店第x 天获得的利润y 关于x 的函数关系式；（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？30.我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”；如图1，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”；其中∠B =∠C .（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形；（画出一种示意图即可）（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD 中∠B =∠C ．E 为边BC 上一点，若AB ∥DE ，AE ∥DC ，求证：AB BEDC EC=；（3）在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点E ．若EB =EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时（即图3所示情形），四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，状况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）第30题图1 第30题图2 第30题图331.如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC =a 、AC =b 、AB =c . （1）求线段BG 的长；（2）求证：DG 平分∠EDF ；（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相像，求证：BG ⊥CG .第31题图1 第31题图232.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满意关系式2(6)y a x h =-+.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m. （1）当h =2.6时，求y 与x 的关系式；（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当h =2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球肯定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围.第32题图33.在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)θθ︒︒＜＜，得到△A’B’C’..第33题图1 第33题图2 第33题图3 （1）如图（1），当AB ∥BC 时，设BA 与CD 相交于点D ，证明：△CDA 是等边三角形；（2）如图（2），连接A’A 、B’B ，设△ACA’和△BCB’的面积分别为'ACA S和'BCB S.求证：'':1:3ACA BCB SS=.（3）如图（3），设AC 中点为E ，B’A’中点为P ，AC =a ，连接EP ，当θ= °时，E P 长度最大，最大值为 .34.如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）. （1）求证h 1=h 3；（2）设正方形ABCD 的面积为S .求证22231()S h h h =++；（3）若12312h h +=，当h 1改变时，说明正方形ABCD 的面积S 随h 1的改变状况.第34题图35.春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采纳每天降低水位以削减捕捞成本的方法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九（1）班数学建模爱好小组依据调查，整理出第x 天（1≤x ≤20且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：鲜鱼销售单价（元/kg ） 20单位捕捞成本（元/kg ） 55x - 捕捞量（kg ）950x - （1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕劳量相比是如何改变的？（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入y （元）与x （天）之间的函数关系式；（当天收入＝日销售额－日捕捞成本）（3）试说明（2）中的函数y 随x 的改变状况，并指出在第几天y 取得最大值，最大值是多少？36.如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相像比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1.（1）若c =a 1，求证：a =kc（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k=2？请说明理由.第36题图37.如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）写出图中三对相像三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，假如α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．第37题图38.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．第38题图1 第38题图239.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.第39题图1 第39题图240.刚回营地的两个抢险分队又接到救灾吩咐：一分队马上动身往30千米的A镇；二分队因疲惫可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参与救灾.一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形困难，必需由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时.（1）若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？（2）若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？（3）下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为全部可能合理的代号，并说明它们的实际意义.（a）（b）（c）（d）第40题图。

2022安徽中考数学压轴题分析3：几何综合题

2022安徽中考数学压轴题分析3：几何综合题本题选自2022年安徽省中考数学倒数第2题，难度一般，算不上压轴题。

从某个层面上来说也是双减的一种体现。

从近三年中考数学压轴题的难度变化来看，明显比以往一些年份降低很多。

难度降了，但是更注重基础知识与基本技能，所以要更熟练一些。

不需要刻意去追求偏难怪，抓住重点核心内容即可。

【题目】（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．【分析】（1）由于CE垂直平分了BD，那么根据垂直平分线的性质可以得到BC=DC，BE=DE，要证明四边形BCDE是菱形，需要使得四条边相等。

题目条件指出DE∥BC，那么可以考虑证明DE与BC相等，证明的方法当然是考虑用全等。

根据平行得到两组内错角相等，还缺一组边。

由于CE会垂直平分BD，那么就可以得到BO=DO，所以结论就出来了。

（2）（i）求∠CED的度数，可以先猜测再证明。

通过观察可以发现∠CED=60°。

关键是考虑如何进行证明。

根据垂直平分线的性质可以得到AE=CE，BE=DE，那么得到△AEC与△BED均为等腰三角形，根据下图的“X字型”可以得到∠ACE=∠BDE，那么就可以得到两个三角形相似，或者直接可以说∠AEC=∠BED，那么∠AED=∠BEC。

再根据前面提到的垂直平分线的性质，可以得到∠BEC=∠DEC，进而得到∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，结论就出来了。

（ii）已知AF＝AE要证明BE＝CF，说明了AC与AB会相等，那么就需要证明△ABC为等腰三角形，或者证明一对三角形全等。

通过观察可以发现这里面有一组三角形全等。

也就是△ABF≌△ACE （AAS）。

2024安徽中考数学二轮专题训练选填压轴题的三种特殊考查形式 (含答案)

2024安徽中考数学二轮专题训练选填压轴题的三种特殊考查形式形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1已知a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，下列结论①若abc ≠0，则a ＋c 2b＝－12；②若a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若abc ≠0，则abc >0；④若c ＝0，且ab ≠0，则1a ＋1b＝0.其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都选上)【思维教练】先观察每个选项所给的已知条件，根据已知条件结合题干所给的等式，将选项中已知的条件进行变形代入到给定的等式中，经过变形即可得到相应的结果．针对训练1.已知实数a ，b ，c ，满足ab ＋bc ＝ac ，有下列结论：①若abc ≠0，则1a ＋1c ＝1b；②若b ＝12a ，则b ＝12c ；③若a ＋b ＝0，则a ＝c ；④若abc 中任两个相等，则这两个数都为0；其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上)．考向2几何类典例精讲例2如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，CE ⊥BD 于点F ，连接AF ，则下列四个结论错误的是()例2题图A .△DEF ∽△BDCB .BF ＝2DFC .DF ＝22EFD .S 四边形BAEF ＝52S △DCF 【思维教练】根据矩形的性质，可证得△DEF ∽△BCF ∽△CDF ，设未知数，用含未知数的式子表示出各边长，从而得到各边关系式求解即可．安徽近年真题精选2.如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)第2题图①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③S △BEC ＝2S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF .针对训练3.如图，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，AC 与PB 相交于点E .下列结论错误的是()第3题图A .∠ACP ＝15°B .△APE 是等腰三角形C .AE 2＝PE ·ABD .若△APC 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝1∶44.已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，点P 是AB 上一点，连接CP ，将∠B 沿CP 折叠，使点B 落在B ′处．以下结论错误的是()A .当AB ′⊥AC 时，AB ′的长为2B .当点P 位于AB 中点时，四边形ACPB ′为菱形C .当∠B ′PA ＝30°时，AP PB ＝12D .当CP ⊥AB 时，AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3形式二双空题考向1代数类典例精讲例1已知抛物线y ＝－ax 2＋2ax ＋4的开口向下．请完成以下探究：(1)经研究发现：无论a 取何值，此抛物线都会经过两个定点．则横坐标较大的定点的坐标为________；(2)若此抛物线与一次函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象交于点M (m ，n )，点M 的纵坐标n 的取值范围为________．安徽近年真题精选1.设抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，其中a 为实数．(1)若抛物线经过点(－1，m )，则m ＝________；(2)将抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．针对训练2.抛物线y ＝ax 2－4x ＋2的顶点坐标为(2，n )．(1)a ＝______；(2)若抛物线y ＝ax 2－4x ＋2向下．．平移m (m >0)个单位后，在－1<x <4范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是________．3.已知：点A(m，n)在二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)的图象上，也在二次函数y＝(x＋k)2－k 的图象上．)时，k有唯一值，则k＝________；(1)若二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)经过点(0，－14(2)m＋n的最小整数值是________．考向2几何类典例精讲例2如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处．例2题图(1)BE的长度为________；(2)点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP＝CP且四边形BGPH为矩形时，PE的长为________．安徽近年真题精选4.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ 折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．第4题图针对训练5.如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF.请探究下列问题：第5题图(1)AQ·BF的值为________；(2)当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝________．形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1如果二次函数y＝2x2＋b(b为常数)与正比例函数y＝3x的图象在－1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的取值范围为________．【思维教练】由一次函数与二次函数有一个公共交点，可联立关系式，根据根的判别式分别讨论b＞0、b＜0和b＝0时b的取值范围．针对训练1.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3a＋2(a≠0)和抛物线y＝x2－ax的图象相交于P，Q 两点．若P，Q都在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．满分技法二次函数的交点问题：1.解决一次函数与二次函数的交点问题的一般步骤如下：(1)找/确定一次函数、二次函数解析式；(2)联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程；(3)根据一次函数与二次函数图象的交点个数，利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac，求未知系数的取值范围．反之，亦可利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac判断一次函数与二次函数图象的交点个数；①一次函数与二次函数图象只有2个交点⇔b2－4ac＞0；②一次函数与二次函数图象只有1个交点⇔b2－4ac＝0；③一次函数与二次函数图象没有交点⇔b2－4ac＜0.2.若题干中给定自变量的取值范围时，一般要对取值范围的端点进行讨论；3.若函数的交点有特定的特点时，需要根据题意解出函数关系式，采用数形结合的思想，画出函数图象的草图，根据函数图象及函数性质来解题．考向2裁剪方式不确定典例精讲例2沿三角形的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的平行四边形，经测量这个四边形的相邻两边长为10、6，一条对角线的长为8，则原三角形纸片的周长是________．例2题图【思维教练】根据题意画图，补全三角形，注意有两种情况，再根据平行四边形各边平行且相等的性质求得三角形的周长．针对训练2.如图，有一张面积为3的锐角三角形纸片，其中一边BC为2，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为________．第2题图考向3图形形状不确定作图微技能等腰三角形腰和底边不确定3.如图，已知▱ABCD点E为边BC上一点．(1)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为底边的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(2)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(3)连接AE，找出当△ABE为等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)．满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况进行讨论．作图找点：①情况一：以AB为腰．分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求；②情况二：以AB为底．作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求．代数法求解：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP 三种情况，列方程求解．作图微技能直角三角形直角顶点不确定4.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、AD上的点，且BE＝DF，连接EF，点P是矩形ABCD的边上一点．(1)找出当△PEF是以EF为直角边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)(2)找出当△PEF是以EF为斜边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P 为直角顶点，即∠APB＝90°.作图找点：①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为所求．代数法求解：①设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分BP2＝AB2＋AP2，AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三种情况，列方程求解，若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在；②找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造相似三角形；③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解．典例精讲例3在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形，且MA＝MD时，AP的长为________．针对训练5.如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝a，点D为BC边上的任一点，且CD＝12a，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，若△BDE是直角三角形，则a的值为________．第5题图拓展考向4对应关系不确定典例精讲例4如图，△ABC是边长为6例4题图的等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，AD＝2，连接BE交CD于点F，且∠BFD＝60°，点M是射线CA上一点，当以C、D、M为顶点的三角形与△BCF相似时，CM的长为________．满分技法1.三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)则需要分类讨论；2.图形旋转方向不确定分两类讨论：①图形绕旋转中心顺时针旋转；②图形绕旋转中心逆时针旋转；3.图形平移时，平移方向未确定时则需要分类讨论不同的平移方向．针对训练6.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为________．第6题图拓展考向5点的位置不确定典例精讲例5在△ABC中，AB＝AC＝52，∠BAC＝90°，点D在BC边上，DE⊥BC，分别交射线BA、射线CA于点E、F，若DE＝2EF，则线段BD的长为________．【思维教练】满足题中条件时有E点在F点上方，E点在F点下方两种情况，分别画图，根据等腰直角三角形的各边关系即可求解．针对训练7.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EF∥BC，点A关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则AD长为________．第7题图参考答案形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1①②④【解析】①a ＋c ＝－b ，∴a ＋c 2b ＝－b 2b＝－12，故①正确；②将x ＝1代入ax ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＋c ＝0，故②正确；③abc ≠0，可得a ≠0，b ≠0，c ≠0，a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c 中至少有1个正数，至少有1个负数．abc 不一定大于0，故③错误；④c ＝0，ab ≠0，则a ＋b ＝0，1a ＋1b ＝a ＋b ab＝0，故④正确．针对训练1.①②④【解析】①∵ab ＋bc ＝ac ，∴b (a ＋c )＝ac ，∴a ＋c ac＝1b ，∴1a ＋1c ＝1b ，故①正确；②∵b ＝12a ，∴a ＝2b ，将a ＝2b 代入ab ＋bc ＝ac 得2b 2＋bc ＝2bc ，∴2b ＋c ＝2c ，∴b ＝12c ，故②正确；③若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，代入ab ＋bc ＝ac 得－b 2＋bc ＝－bc ，∴b 2＝2bc ，∴b ＝2c ，∴a ＝－2c ，故③错误；④若b ＝c ，则ab ＋b 2＝ab ，∴b 2＝0，则b ＝0，∴b ＝c ＝0，同理可得当其他两个数相等时，这两个数也都为0，故④正确．考向二几何类典例精讲例2C 【解析】如解图，过点A 作AM ∥CE 交BD 于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，∵CE ⊥BD 于点F ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∠DCB ＝∠DFE ＝90°，∴△DEF ∽△BDC ，故选项A 正确；∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC ＝DF BF，∵DE ＝12AD ＝12BC ，∴DF BF ＝12，∴BF ＝2DF ，故选项B 正确；设EF ＝a ，CF ＝2a ，∵∠CFD ＝∠DFE ＝90°，且∠EDF ＋∠FDC ＝∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠EDF ＝∠FCD ，∴△DFC ∽△EFD ，∴DF EF ＝CF DF，则DF 2＝EF ·CF ＝2a 2，得DF ＝2a ，∴DF ＝2EF ，故选项C 错误；∵△DEF ∽△BCF ，点E 是AD 边的中点，∴EF CF ＝DE BC ＝12，∴S △DEF ＝12S △DCF ，S △DCF ＝16S 矩形ABCD ，S 四边形BAEF ＝S △DBA －S △DEF ＝12S 矩形ABCD －112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ，即可得到S 四边形BAEF ＝52S △DCF .故选项D正确．例2题解图安徽近年真题精选2.①②④【解析】序号逐个分析正误①∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD ，∵AD ＝2AB ，∴AB ＝DF ＝CD ，∴∠DFC ＝∠DCF ，又由AD ∥BC 得∠DFC ＝∠BCF ，∴∠DCF＝∠BCF ，∴∠DCF ＝12∠BCD √②如解图，延长BA 、CF 交于点G .∵∠GFA ＝∠DFC ，∠GAF ＝∠D ，AF ＝DF ，∴△AFG ≌△DFC ，∴GF ＝CF ，∴在Rt △GEC 中，EF＝CF√③由②可知点F 是△GEC 斜边GC 上的中点，∴S △CEG ＝2S △CEF ＝12GE ·CE ，S △BEC ＝12BE ·CE ，又∵GE ＝AG ＋AE ＝CD ＋AE >BE ，∴S △CEG >S △BEC ，即S △BEC <2S △CEF×④由②可知∠G ＝∠GEF ，∴∠EFC ＝2∠GEF ，∵∠G ＝∠DCF ，∠DCF ＝∠DFC ，∴∠GEF ＝∠DFC ，∴∠DFE ＝∠DFC ＋∠EFC ＝3∠AEF √第2题解图针对训练3.D 【解析】∵△PBC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，PC ＝BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝45°，∴∠ACP ＝60°－45°＝15°，∴A 正确；∵∠ABC ＝90°，∠PBC ＝60°，∴∠ABP ＝90°－60°＝30°，∵BC ＝PB ，BC ＝AB ，∴PB ＝AB ，∴∠BPA ＝∠PAB ＝12(180°－30°)＝75°，∵∠ABP ＝30°，∠BAC ＝45°，∴∠AEP ＝45°＋30°＝75°＝∠BPA ，∴AP ＝AE ，∴△APE 为等腰三角形，∴B 正确；∵∠APB ＝∠APB ，∠AEP＝∠PAB ＝75°，∴△PAE ∽△ABP ，∴AP BA ＝PE AP，∴AP 2＝PE ·BA ，∴AE 2＝PE ·AB ，∴C 正确；如解图，连接PD ，过点D 作DG ⊥PC 于点G ，过点P 作PF ⊥AD 于点F ，设正方形的边长为2a ，则S 2＝4a 2，等边△PBC 的边长为2a ，高为3a ，∴PF ＝2a －3a ＝(2－3)a ，∴S △APD ＝12AD ·PF ＝(2－3)a 2，∴∠PCD ＝90°－60°＝30°，∴GD ＝12CD ＝a ，∴S △PCD ＝12PC ·DG ＝a 2，S △ACD ＝2a 2，∴S 1＝S △ACD －S △APD －S △PCD ＝2a 2－(2－3)a 2－a 2＝(3－1)a 2＜a 2，∴S 1∶S 2≠1∶4，∴D 错误．第3题解图4.C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴∠CAB ＝60°，BC ＝3，AB ＝2，如解图，连接AB ′.A .当AB ′⊥AC 时，如解图①，B ′C ＝BC ＝3，AC ＝1，∴AB ′＝3－1＝2，正确；B .当点P 为AB 中点时，如解图②，在Rt △ACB 中，CP ＝AP ＝BP ＝B ′P ，∴∠CB ′P ＝∠B ′CP ＝30°，∵∠CAP ＝60°，∴△ACP 是等边三角形，∴∠APC ＝60°，∴∠APB ′＝60°，又∵B ′P ＝BP ＝AP ，∴△APB ′为等边三角形，∴AC ＝CP ＝PB ′＝B ′A ，∴四边形ACPB ′是菱形，正确；C .当∠B ′PA ＝30°时，如解图③，C 、A 、B ′三点共线，由折叠的性质知B ′C ＝BC ＝3，∴AB ′＝AP ＝3－1，∵AB ＝2，∴PB ＝2－(3－1)＝3－3，∴AP PB ＝3－13－3＝33，错误；D .当CP ⊥AB 时，如解图④，B ′和A 、P 、B 三点在一条直线上，此时AP ＝12，∵B ′C ＝BC ＝3，∴B ′P ＝32，∴AB ′＝1，BP ＝B ′P ＝32，∴AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3，正确．图①图②图③图④第4题解图形式二双空题考向1代数类典例精讲例1(1)(2，4)；(2)4＜n ＜5【解析】(1)由y ＝－ax 2＋2ax ＋4知无论a 取何值，此抛物线都会经过定点(0，4)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2a －2a＝1，∵(0，4)关于对称轴x ＝1的对称点为(2，4)，∴无论a 取何值，此抛物线也会经过定点(2，4)；(2)如解图，点B 在点A 正上方，函数y ＝x ＋3(x ≥1)图象是射线，x ＝1时，y ＝x ＋3＝4；x ＝2时，y ＝x ＋3＝5，∴B (2，5)．∵抛物线经过定点(2，4)．结合函数草图可知，若抛物线与函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象有交点M ，则y A <y M <y B ，∴点M 纵坐标n 的取值范围为4＜n ＜5.例1题解图安徽近年真题精选1.(1)0；(2)2【解析】(1)把点(－1，m )代入该抛物线的解析式中，得1－(a ＋1)＋a ＝m ，解得m ＝0；(2)该抛物线顶点的纵坐标为4a －（a ＋1）24＝－（a －1）24－14(a －1)2＋2，∵－14＜0，∴当a ＝1时，平移后的纵坐标有最大值为2.针对训练2.(1)1；(2)2≤m <7【解析】(1)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x ＝－－42a＝2，解得a ＝1；(2)设平移m 个单位后，函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2＋m (此时不分上下，用正负替代)．当顶点在x 轴上时，(－4)2－4×1×(2＋m )＝0，解得m ＝2，即需向上平移2个单位，不符合条件；由于抛物线关于直线x ＝2对称，∴抛物线在0<x <4内对称，若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x 轴的交点只能在－1<x ≤0，故当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，当x ＝－1时，y ＝7＋m >0，解得m >－7，∴－7<m ≤－2，∵抛物线向下平移，∴m 的取值范围是2≤m <7.3.(1)－12；(2)1【解析】(1)将点(0，－14)代入函数表达式y ＝(x －k )2＋k 中得，k 2＋k ＝－14，移项得，k 2＋k ＋14＝0，化简得，(k ＋12)2＝0，解得k ＝－12；(2)∵点A (m ，n )在二次函数y ＝(x －k )2＋k (k ≠0)的图象上，也在二次函数y ＝(x ＋k )2－k＝（m －k ）2＋k ＝（m ＋k ）2－k，＝12＝k 2＋14，∴m ＋n ＝12＋k 2＋14＝k 2＋34，∴m ＋n 的最小整数值是1.考向2几何类典例精讲例2(1)32；(2)52【解析】(1)由折叠可得：DF ＝DC ＝5，CE ＝EF ，∴在Rt △ADF 中，AF ＝DF 2－AD 2＝3，∴BF ＝5－3＝2，设BE ＝x ，则FE ＝CE ＝4－x ，在Rt △BEF 中，22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，即BE ＝32；(2)当BP ＝CP 且四边形BGPH 为矩形时，点P 在BC 的垂直平分线上，即PH 垂直平分BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝2，又∵BE ＝32，∴EH ＝12，EC ＝52，∵PH ∥DC ，∴PH CD ＝EH EC ，即PH 5＝1252，解得PH ＝1，在Rt △PEH 中，PE ＝PH 2＋EH 2＝12＋（12）2＝52，∴PE 的长为52.安徽近年真题精选4.(1)30；(2)3【解析】(1)如解图，由折叠的性质得∠AQP ＝∠B ，∠C ＋∠D ＝∠PRQ ＋∠ARQ ＝180°，∠DQA ＝∠RQA ，∠CQP ＝∠RQP ，且∠DQA ＋∠RQA ＋∠CQP ＋∠RQP ＝180°，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠AQP ＝90°，即∠BAD ＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折叠性质知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ ＝∠2＝30°；(2)当四边形APCD 为平行四边形时，∠C ＝∠DAP ＝∠1＋∠2＝60°，∴△PQR 为等边三角形，QR ＝QP ，∠RPQ ＝60°，tan ∠APQ ＝AQ QP＝3，由折叠的性质得AB ＝AQ ，∴AB QR ＝ 3.第4题解图针对训练5.(1)36；(2)23【解析】(1)由折叠性质可得△A 1PQ ≌△APQ ，∴PA 1＝PA ＝BP ，∠PA 1Q＝∠PAQ ＝90°，∴∠PA 1F ＝90°，在Rt △PBF 和Rt △PA 1F ＝PA 1，＝PF ，∴Rt △PBF ≌Rt △PA 1F (HL)，∴∠BPF ＝∠A 1PF ，又∵∠APQ ＝∠A 1PQ ，∴∠APQ ＋∠BPF ＝12∠APB ＝90°，∵∠APQ ＋∠AQP ＝90°，∴∠BPF ＝∠AQP ，在△PBF 和△QAP B ＝∠A ＝90°，BPF ＝∠AQP ，∴△PBF ∽△QAP ，∴AP BF ＝AQ BP ，∴AQ ·BF ＝AP ·BP ＝12AB ·12AB ＝36；(2)∵△A 1PQ ∽△A 1FE ，∴QA 1EA 1＝PA 1FA 1，∠FEA 1＝∠PQA 1＝∠FPA 1,∴EF ＝PF ，PA 1＝EA 1，∴∠QFP ＝∠QFE ，∴△QFP ≌△QFE ，∴∠PQA 1＝∠FQE ＝∠PQA ＝60°，∴∠BPF ＝60°，∴BF ＝BP ·tan60°＝63，∵AP BF ＝AQ BP ，PA ＝PB ，∴AQ PA ＝PA BF ，∴AQ ＝PA ·PA BF＝2 3.形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1－5≤b ＜－2或b ＝98【解析】①当b ＞0时，抛物线与y ＝3x 只有一个交点，则联立二次函数与y ＝3x 并整理得：2x 2－3x ＋b ＝0，Δ＝9－8b ＝0，解得：b ＝98；②当b ＝0时，则抛物线与正比例函数交点为(0，0)和(32，92)，即两个交点，不符合题意；③当b ＜0时，当x ＝－1时，y ＝3x ＝－3，当x ＝2时，y ＝3x ＝6，临界点为(－1，－3)，将(－1，－3)代入y ＝2x 2＋b 得－3＝2＋b ，解得b ＝－5，此时抛物线不过(2，6)点，将(2，6)代入y ＝2x 2＋b 得b ＝－2，此时二次函数在x ＝－1处的纵坐标为0，在(－1，－3)的上方，故此时二次函数与正比例函数在－1≤x ≤2范围内有两个交点，则b ≠－2，故－5≤b <－2，综上所述－5≤b＜－2或b ＝98.针对训练1.a ＞0或－23＜a ＜0【解析】函数y ＝x 2－ax 的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x 轴的交点为(0，0)和(a ，0)，①当a ＞0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图①，此时当x ＝a 时，y ＝－x ＋3a ＋2＝－a ＋3a ＋2＝2a ＋2＞0，解得a ＞－1，故a ＞0；②当a ＜0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图②，此时当x ＝0时，y ＝－x ＋3a ＋2＝3a ＋2＞0，解得a ＞－23，故－23＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是a ＞0或－23＜a ＜0.第1题解图考向2裁剪方式不确定典例精讲例248或(32＋813)【解析】如解图①，周长为2×(10＋8＋6)＝48；如解图②，∵BD ＝6，BC ＝8，CD ＝10，∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴AC ＝12，AB ＝AC 2＋BC 2＝413，∴周长为2×(10＋413＋6)＝(32＋813)；综上所述，原三角形的周长是48或(32＋813)．图①图②例2题解图针对训练2.8或7【解析】如解图①，作AD⊥BC于点D且AC，AB交EF于点G，H，作线段CD，BD的垂直平分线，过点A作EH∥BC与CD，BD的垂直平分线交于点E，H，可得矩形EFGH.∵12·BC·AD＝3，BC＝2，∴AD＝3，∴EF＝GH＝AD＝3，EH＝FG＝1，∴矩形的周长＝2×(3＋1)＝8.如解图②，作AD⊥BC于点D，且AC、AB交EF于点G、F，作线段AD的垂直平分线，分别过点C、B作CE∥AD，BF∥AD，与AD的垂直平分线交于点E，F，可得矩形EFBC，易知OD＝EC＝BF＝12AD＝32，EF＝BC＝2，∴矩形EFBC的周长＝2×(32＋2)＝7，故周长为8或7.图①图②第2题解图考向3图形形状不确定作图微技能3.(1)如解图①，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图①(2)如解图②，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图②(3)如解图③，等腰三角形ABE即为所求．第3题解图③4.(1)如解图①，Rt△PEF即为所求；第4题解图①(2)如解图②，Rt△PEF即为所求；第4题解图②典例精讲例352或10【解析】当点P在线段AD上时，如解图①，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，延长HM交BC于点F.∵MA＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝12AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，FH＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵点A关于BP的对称点为M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝BM2－BF2＝52－42＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP2＝54，∴AP＝52；当点P在线段AD的延长线上时，如解图②，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP8＝54，∴AP＝10，综上所述，AP的长为52或10.例3题解图针对训练5.6或52【解析】如解图①，∠DEB＝90°，由折叠的性质得∠AED＝90°＝∠C，ED＝CD＝12a，AE＝AC＝a，∴BE＝10－a，∴sin B＝12aBD＝a10，解得BD＝5，在Rt△BDE中，(12a)2＋(10－a)2＝52，解得a1＝6，a2＝10(舍去)；如解图②，∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，ED＝CD＝12a，∴四边形CDEF是正方形，∴DE∥AC，∵CF＝CD＝12AC，∴点D是BC的中点，BC＝2CD＝a，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a＝22AB＝52，综上所述，a的长为6或52.第5题解图典例精讲例44或7【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝6，∠BCA ＝60°＝∠BFD ，∴∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCD ＋∠CBE ，∴∠CBE ＝∠DCA ，如解图，当点M 在AC 上时，作∠CDM ＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CDM ，∵∠CDM ＝∠BCD ，∴∠DMA ＝∠DCA ＋∠CDM ＝∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCA ＝60°，∴∠DMA ＝∠DAM ＝60°，∴△DMA 是等边三角形，∴DA ＝DM ＝AM ＝2，∴CM ＝4；当点M ′在CA 的延长线上时，如解图，作∠ADM ′＝∠CBE ，∵∠BAC ＝∠ADM ′＋∠M ′＝60°，∠BFD ＝∠BCD ＋∠CBE ＝60°，∴∠M ′＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CM ′D ，∵∠ADM ′＝∠ACD ，∠CDM ＝∠M ′，∴△CDM ∽△DM ′A ，∴CM AD ＝DM AM ′，∴42＝2AM ′，∴AM ′＝1，∴CM ′＝7.综上所述，CM 的长为4或7.例4题解图针对训练6.43或23－2【解析】如解图①，当∠PA ′B ＝∠C ＝90°时，设PA ＝PA ′＝x .在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4，BC ＝3AC ＝23，∵∠B ＝∠B ，∠BA ′P ＝∠C ＝90°，∴△BPA ′∽△BAC ，∴PB BA ＝PA ′AC ，∴4－x 4＝x 2，∴x ＝43；如解图②，当∠BPA ′＝90°时，△BPA ′∽△BCA ，∴BP BC ＝PA ′CA ，∴4－x 23＝x 2，∴x ＝23－2.第6题解图典例精讲例54或203【解析】如解图①，∵AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝∠BAF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ＝∠F ＝45°，∴BD ＝DE ，AE ＝AF ，设BD ＝DE ＝2x ，则BE ＝22x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝x ，∴AE ＝22EF ＝22x ，∵AB ＝AE ＋BE ，∴22x ＋22x ＝52，∴x ＝2，∴BD ＝4；如解图②，∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴BC ＝10，∠C ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠CDF ＝90°，∴∠CFD ＝∠AFE ＝∠E ＝45°，∴CD ＝DF ，AE ＝AF ，设CD ＝x ，则CF ＝2x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝DF ＝x ，∴AF ＝22EF ＝22x ，∵AC ＝AF ＋CF ，∴2x ＋22x ＝52，∴x ＝103，∴CD ＝103，∴BD ＝203，综上所述，线段BD 的长为4或203.例5题解图针对训练7.3或83【解析】如解图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵EF ∥BC ，∴AH ⊥EF ，∵点D 与点A 关于EF 对称，∴点D 在AH 上，在Rt △ABC 中，BC ＝62＋82＝10，∵12AH ·BC ＝12AB ·AC ，∴AH ＝6×810＝245，∴BH ＝62－（245）2＝185，当点D 为∠CBA 的平分线BM 与AH 的交点时，如解图①，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∴MA ＝MN ，∴BN ＝BA ＝6，∴CN ＝4，设MA ＝MN ＝x ，则CM ＝8－x ，在Rt △CMN 中，x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∵DH∥MN ，∴DH MN ＝BH BN ，即DH 3＝1856，解得HD ＝95，∴AD ＝245－95＝3；如解图②，当点D 为∠BCA 的平分线CG 与AH 的交点时，CH ＝BC －BH ＝325，过点G 作GQ ⊥BC 于Q ，则GQ ＝GA ，∴CQ ＝CA ＝8，∴BQ ＝2，设GQ ＝GA ＝t ，则BG ＝6－t ，在Rt △BGQ 中，22＋t 2＝(6－t )2，解得t ＝83，∵DH ∥GQ ，∴DH GQ ＝CH CQ ，即DH 83＝3258，解得DH ＝3215，∴AD ＝245－3215＝83，综上所述，AD 的长为3或83.第7题解图。

安徽中考数学压轴题训练

安徽省中考数学试题分类解析汇编————押轴题汇总（1）一、选择题1. （2001安徽省4分）⊙O 1、⊙O 2和⊙O 3是三个半径为1的等圆，的等圆，且圆心在同一条直线上．若⊙O 2分别与⊙O 1，⊙O 3相交，⊙O 1与⊙O 3不相交，则⊙O 1与⊙O 3的圆心距d 的取值范围是的取值范围是。

2-1. （2002安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝a ，B 1，B 2，B 3，B 4是AB边的五等分点；边的五等分点；C C 1，C 2．C 3．C 4是AC 边的五等分点，则B 1C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝．2-2.（2002安徽省4分）（华东版教材实验区试题）如图是2002年6月份的日历，现有一矩形在日历任意．．框出4个数a b c d，请用一个等式表示，请用一个等式表示a 、b 、c 、d 之间的关系：之间的关系：。

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，中，AC=4AC=4AC=4，，BD=6BD=6，，P 是BD 上的任一点，过P 作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F 。

设BP=x BP=x，，EF=y EF=y，则能反映，则能反映y 与x 之间关系的图象为【之间关系的图象为【】A ：B ：C ：D ：4. （2004安徽省4分）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t t 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是【】．】．(A)(B) (C) (D)5. （2005安徽省大纲4分）下图是某地区用水量与人口数情况统计图．日平均用水量为400万吨的那一年，人口数大约是【年，人口数大约是【】A 、180万B 、200万C 、300万D 、400万6. （2005安徽省课标4分）如图所示，圆O 的半径OA=6OA=6，以，以A 为圆心，为圆心，OA OA 为半径的弧交圆O 于B 、C 点，则BC 为【为【】 A. 63 B.62 C. 33 D. 32 7. （2006安徽省大纲4分）生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y 和月份n 之间函数关系式为2y n 14n 24=-+-，则该企业一年中应停产的月份是【应停产的月份是【】 A ．1月、月、22月、月、33月 B ．2月、月、33月、月、44月 C ．1月、月、22月、月、1212月 D ．1月、月、1111月、月、1212月8. （2006安徽省课标4分）如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图（图1）和梅花图案和梅花图案（图（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为【】A ．36° B．42° C．45° D．48°9. （2007安徽省4分）如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=【】 A ．60° B．65° C．72° D．75°10. （2008安徽省4分）如图，在△ABC 中，中，AB=AC=5AB=AC=5AB=AC=5，，BC=6BC=6，点，点M 为BC 中点，MN⊥AC于点N ，则MN 等于【等于【】 A.65 B. 95 C. 125 D. 16511. （2009安徽省4分）△ABC 中，中，AB AB AB＝＝AC AC，∠A ，∠A 为锐角，为锐角，CD CD 为AB 边上的高，边上的高，I I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是【的度数是【】 A ．120° B．125° C．135° D．150°12. （2009安徽省4分）甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4m/s 和6m/s 6m/s，起跑前乙在起点，甲在乙前面，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y （m ）与时间t （s ）的函数图象是【）的函数图象是【】 A ． B ． C ． D ．13. （2011安徽省4分）如图，点P 是菱形ABCD 的对角线AC 上的一个动点，过点P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点．设AC AC＝＝2，BD BD＝＝1，AP AP＝＝x ，△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致形状是【状是【】 14. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【的斜边长是【】 A.10 B.54 C. 10或54 D.10或172 二、填空题1. （2001安徽省4分）如图，如图，AB AB 是⊙O 的直径，的直径，l l 1，l 2是⊙O 的两条切线，且l 1∥AB∥l 2，若P 是PA PA、、PB 上一点，直线PA PA、、PB 交l 2于点C 、D ，设⊙O 的面积为S 1，△PCD 的面积为S 2，则12S S =【】 A ．π B ．2p C ．4p D ．8p 2. （2002安徽省4分）如图，在矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝3，AD AD＝＝4．P 是AD 上的动点，PE⊥AC 于E ，PE⊥BD 于F ．则PE PE＋＋PF 的值为【的值为【】 A ．512 B ．2 C ．25 D ．5133. （2003安徽省4分）如图，如图，l l 是四形形ABCD 的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD ②AB=BC ③AB⊥BC ④AO=OC 其中正确的结论是其中正确的结论是。

2024安徽中考数学压轴题

选择题在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -4)B. (3, -4)（正确答案）C. (-3, 4)D. (4, 3)已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为直线x = 1，则a的值为：A. 1B. -1C. 3（正确答案）D. -3下列四边形中，不一定是平行四边形的是：A. 两组对边分别平行的四边形B. 两组对角分别相等的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形但不等长（正确答案）若圆O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与圆O的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交（正确答案）D. 无法确定已知三角形ABC的三边长为a, b, c，且满足a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca，则三角形ABC是：A. 直角三角形（正确答案）B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形函数y = (x - 1)/(x2 - 1)的自变量x的取值范围是：A. x ≠ 1B. x ≠ -1C. x ≠ ±1（正确答案）D. x为任意实数在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 8，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE的长为：A. 3B. 5（正确答案）C. 6D. 8已知关于x的一元二次方程x2 - (2k + 1)x + 4(k - 1/2) = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. 1B. 2C. 3（正确答案）D. 4下列说法中，正确的是：A. 无限小数都是无理数B. 有理数都是有限小数C. 无理数都是无限不循环小数（正确答案）D. 数轴上的点都能表示无理数。

安徽省宣城市名校2024届中考数学押题卷含解析

安徽省宣城市名校2024届中考数学押题卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（）之间.A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B3．如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm4．已知a-2b=-2,则4-2a+4b的值是()A．0 B．2 C．4 D．85．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A 与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）A．160米B．（3C．3D．360米6．我国的钓鱼岛面积约为4400000m2，用科学记数法表示为（）A．4.4×106B．44×105C．4×106D．0.44×1077．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y=2x+6x+m，则m的值是（）A．-4或-14 B．-4或14 C．4或-14 D．4或148．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似9．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（）A．B．C．D．10．下列计算正确的是（）A．2a a=B．（﹣a2）3=a6C．981-=D．6a2×2a=12a3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．Rt△ABC的边AB=5，AC=4，BC=3，矩形DEFG的四个顶点都在Rt△ABC的边上，当矩形DEFG的面积最大时，其对角线的长为_______．12．已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为．13．一个几何体的三视图如左图所示，则这个几何体是( )A．B．C．D．14．如图，点A为函数y=9x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=4x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△OBC的面积为____．15．一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为：_________________16．计算：（π﹣3）0+（﹣13）﹣1=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知函数kyx=（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．若AC=32OD，求a、b的值；若BC∥AE，求BC的长．18．（8分）如图，AB是半圆O的直径，D为弦BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC，求证：CF为⊙O的切线；若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．19．（8分）反比例函数kyx=的图象经过点A(2，3)．(1)求这个函数的解析式；(2)请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．20．（8分）求抛物线y=x2+x﹣2与x轴的交点坐标．21．（8分）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．求AB的长（结果保留根号）；已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时1.5秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）22．（10分）已知，数轴上三个点A、O、P，点O是原点，固定不动，点A和B可以移动，点A表示的数为a，点B表示的数为b.a b的值.（1）若A、B移动到如图所示位置，计算+-.（2）在（1）的情况下，B点不动，点A向左移动3个单位长，写出A点对应的数a，并计算b a（3）在（1）的情况下，点A不动，点B向右移动15.3个单位长，此时b比a大多少？请列式计算.23．（12分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．24．如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为40米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°，底端B的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，2≈1.41，3≈1.73）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别2、A【解题分析】试题分析：在计算器上依次按键转化为算式为﹣=-1.414…；计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．故选A．考点：1、计算器—数的开方；2、实数与数轴3、C【解题分析】试题分析：已知，△ABE向右平移2cm得到△DCF，根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，又因△ABE的周长为16cm，所以AB+BC+AC=16cm，则四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm．故答案选C．考点：平移的性质.4、D【解题分析】∵a-2b=-2，∴-a+2b=2，∴-2a+4b=4，∴4-2a+4b=4+4=8，故选D.5、C【解题分析】过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长. 【题目详解】如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×33；在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×31203m.∴BC＝BD＋DC＝40312031603＋＝故选C.【题目点拨】本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.6、A【解题分析】4400000=4.4×1．故选A．点睛：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．7、D【解题分析】根据顶点公式求得已知抛物线的顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得另一条抛物线的顶点，根据题意得出关于m的方程，解方程即可求得．【题目详解】∵一条抛物线的函数表达式为y=x2+6x+m，∴这条抛物线的顶点为（-3，m-9），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（-3，9-m），∵它们的顶点相距10个单位长度．∴|m-9-（9-m）|=10，∴2m-18=±10，当2m-18=10时，m=1，当2m-18=-10时，m=4，∴m的值是4或1．故选D．【题目点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是掌握二次函数的顶点坐标公式，坐标和线段长度之间的转换，关于x轴对称的点和抛物线的关系．8、B【解题分析】根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案．【题目详解】解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.故选B．【题目点拨】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．特别注意，本题是选择错误的，一定要看清楚题．9、D【解题分析】试题分析：根据三视图的法则可知B 为俯视图，D 为主视图，主视图为一个正方形.10、D【解题分析】根据平方根的运算法则和幂的运算法则进行计算，选出正确答案.【题目详解】 2a a =，A 选项错误；（﹣a 2）3=- a 6，B 错误；9838-=-，C 错误；. 6a 2×2a=12a 3 ，D 正确；故选：D. 【题目点拨】本题考查学生对平方根及幂运算的能力的考查，熟练掌握平方根运算和幂运算法则是解答本题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、52或76910【解题分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题【题目详解】情况1：如图1中，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，设DE=CF=x ，则BF=3-x ∵EF ∥AC ，∴EF AC =BF BC∴4EF =3x 3- ∴EF=43(3-x) ∴S 矩形DEFG =x•43(3-x)=﹣43(x-32)2+3 ∴x=32时，矩形的面积最大，最大值为3，此时对角线=52．情况2：如图2中，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，设DE=GF=x ，作CH⊥AB于H，交DG于T．则CH=125，CT=125﹣x，∵DG∥AB，∴△CDG∽△CAB，∴CT DG CH AB=∴12x DG 5125 5-=∴DG=5﹣2512x，∴S矩形DEFG=x（5﹣2512x）=﹣2512（x﹣65）2+3，∴x=65时，矩形的面积最大为3，此时对角线226552（）（）+769∴矩形面积的最大值为3，此时对角线的长为52769故答案为52769【题目点拨】本题考查相似三角形的应用、矩形的性质、二次函数的最值等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题12、y=﹣1x+1．【解题分析】由对称得到P′（1，﹣2），再代入解析式得到k的值，再根据平移得到新解析式.【题目详解】∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，∴P′（1，﹣2），∵P′在直线y=kx+3上，∴﹣2=k+3，解得：k=﹣1，则y=﹣1x+3，∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣1x+1．故答案为y=﹣1x+1．考点：一次函数图象与几何变换．13、A【解题分析】根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱.【题目详解】根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱.主视图中间的线是实线. 故选A.【题目点拨】考查简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键.14、6【解题分析】根据题意可以分别设出点A 、点B 的坐标，根据点O 、A 、B 在同一条直线上可以得到A 、B 的坐标之间的关系，由AO=AC 可知点C 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC 的面积．【题目详解】设点A 的坐标为(a,9a),点B 的坐标为(b,4b )， ∵点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，∴点C 的坐标是(2a,0)，设过点O(0,0),A(a,9a )的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a=k ⋅a ，解得k=29a ，又∵点B(b,4b )在y=29a x 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32(舍去)， ∴S △OBC =422a b=6.故答案为：6.【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.15、【解题分析】如图，正方形ABCD为⊙O的内接四边形，作OH⊥AB于H，利用正方形的性质得到OH为正方形ABCD的内切圆的半径，∠OAB＝45°，然后利用等腰直角三角形的性质得OA＝OH即可解答.【题目详解】解：如图，正方形ABCD为⊙O的内接四边形，作OH⊥AB于H，则OH为正方形ABCD的内切圆的半径，∵∠OAB＝45°，∴OA＝OH，∴即一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为,故答案为：．【题目点拨】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．理解正多边形的有关概念．16、-1【解题分析】先计算0指数幂和负指数幂，再相减.【题目详解】（π﹣3）0+（﹣13）﹣1，=1﹣3，=﹣1，故答案是：﹣1．【题目点拨】考查了0指数幂和负指数幂，解题关键是运用任意数的0次幂为1，a-1=1 a .三、解答题（共8题，共72分）17、（1）a=34，b=2；（2）【解题分析】试题分析：（1）首先利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k的值，再得出A、D点坐标，进而求出a，b的值；（2）设A点的坐标为：（m，4m），则C点的坐标为：（m，0），得出tan∠ADF=42AF mDF m-=，tan∠AEC=42AC mEC=，进而求出m的值，即可得出答案．试题解析：（1）∵点B（2，2）在函数y=kx（x＞0）的图象上，∴k=4，则y=4x，∵BD⊥y轴，∴D点的坐标为：（0，2），OD=2，∵AC⊥x轴，AC=32OD，∴AC=3，即A点的纵坐标为：3，∵点A在y=4x的图象上，∴A点的坐标为：（43，3），∵一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，∴43 {32a bb+==，解得：34a=，b=2；（2）设A点的坐标为：（m，4m），则C点的坐标为：（m，0），∵BD∥CE，且BC∥DE，∴四边形BCED为平行四边形，∴CE=BD=2，∵BD∥CE，∴∠ADF=∠AEC，∴在Rt △AFD 中，tan ∠ADF=42AF m DF m -=，在Rt △ACE 中，tan ∠AEC=42AC m EC =，∴42m m -=42m ，解得：m=1，∴C 点的坐标为：（1，0），则BC=5．考点：反比例函数与一次函数的交点问题.18、 (1)见解析;(2)13. 【解题分析】（1）连接OC ，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B ，∠OCB=∠F ，根据垂径定理得到OF ⊥BC ，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；（2）过D 作DH ⊥AB 于H ，根据三角形的中位线的想知道的OD=12AC ，根据平行四边形的性质得到DF=AC ，设OD=x ，得到AC=DF=2x ，根据射影定理得到CD=2x ，求得BD=2x ，根据勾股定理得到AD=226AC CD +=x ，于是得到结论．【题目详解】解：（1）连接OC ，∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ，∵∠B=∠F ，∴∠OCB=∠F ，∵D 为BC 的中点，∴OF ⊥BC ，∴∠F+∠FCD=90°，∴∠OCB+∠FCD=90°，∴∠OCF=90°，∴CF 为⊙O 的切线；（2）过D 作DH ⊥AB 于H ，∵AO=OB ，CD=DB ，∴OD=12AC ， ∵四边形ACFD 是平行四边形，∴DF=AC ，设OD=x ，∴AC=DF=2x ，∵∠OCF=90°，CD ⊥OF ，∴CD 2=OD•DF=2x 2，∴x ，∴x ，∴，∵OD=x ，x ，∴x ，∴DH=CD BD OB ⋅=x ， ∴sin ∠BAD=DH AD =13．【题目点拨】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．19、（1）y=6x（2）点B(1,6)在这个反比例函数的图象上【解题分析】（1）设反比例函数的解析式是y=k x ，只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．【题目详解】()1设反比例函数的解析式是k y x =，则32k -=，得6k =-．则这个函数的表达式是6y x =-； ()2因为1666⨯=≠-，所以B 点不在函数图象上．【题目点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=k x（k 为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 20、（1，0）、（﹣2，0）【解题分析】试题分析：抛物线与x 轴交点的纵坐标等于零，由此解答即可．试题解析：解：令0y =，即220x x +-=．解得：11x =，22x =-．∴该抛物线与x 轴的交点坐标为（－2，0），（1，0）．21、 (1)163 ;(2)此校车在AB 路段超速，理由见解析.【解题分析】（1）结合三角函数的计算公式，列出等式，分别计算AD 和BD 的长度，计算结果，即可．（2）在第一问的基础上，结合时间关系，计算速度，判断，即可．【题目详解】解：（1）由题意得，在Rt △ADC 中，tan30°＝＝，解得AD ＝24．在 Rt △BDC 中，tan60°＝＝，解得BD ＝8所以AB ＝AD ﹣BD ＝24﹣8＝16（米）．（2）汽车从A 到B 用时1.5秒，所以速度为16÷1.5≈18.1（米/秒），因为18.1（米/秒）＝65.2千米/时＞45千米/时，所以此校车在AB路段超速．【题目点拨】考查三角函数计算公式，考查速度计算方法，关键利用正切值计算方法，计算结果，难度中等．22、（1）a+b的值为2；（2）a的值为3，b|a|的值为3；（1）b比a大27.1．【解题分析】（1）根据数轴即可得到a,b数值，即可得出结果.（2）由B点不动，点A向左移动1个单位长，即可求解.可得a=3，b=2，b a（1）点A不动，点B向右移动15.1个单位长，所以a=10，b=17.1，再b-a即可求解.【题目详解】（1）由图可知：a=10，b=2，∴a+b= 2故a+b的值为2．（2）由B点不动，点A向左移动1个单位长，可得a=3，b=2∴b|a|=b+a=23= 3故a的值为3，b|a|的值为3．（1）∵点A不动，点B向右移动15.1个单位长∴a=10，b=17.1∴b a=17.1（10）=27.1故b比a大27.1．【题目点拨】本题主要考查了数轴，关键在于数形结合思想.23、（1）①点C的坐标为（－3，9）；②滑动的距离为63﹣1）cm；（2）OC最大值1cm.【解题分析】试题分析：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．试题解析：解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=1，OB=6，则BC=6，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，∴BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（﹣3，9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=1×cos∠BAO=1×cos30°=6．∴A'O=6﹣x，B'O=6+x，A'B'=AB=1在△A'O B'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2=12，解得：x=6（﹣1），∴滑动的距离为6（﹣1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=﹣x，OD=y，∵∠ACE+∠BCE=90°，∠DCB+∠BCE=90°，∴∠ACE=∠DCB，又∵∠AEC=∠BDC=90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y=﹣x，OC2=x2+y2=x2+（﹣x）2=4x2，∴当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，如图，即当C'B'旋转到与y轴垂直时．此时OC=1，故答案为1．考点：相似三角形综合题．24、30.3米．【解题分析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△DEB中，求出BE的长即可得.试题解析：过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠1=AEDE，∠1=30°，∴AE=DE× tan∠1=40×tan30°=40×33≈40×1.73×13≈23.1在Rt△DEB中，∠DEB=90°，tan∠2=BEDE，∠2=10°，∴BE=DE× tan∠2=40×tan10°≈40×0.18=7.2 ∴AB=AE+BE≈23.1+7.2=30.3米．。

【备考期末】六安市中考数学几何综合压轴题易错专题

【备考期末】六安市中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现① 当0α︒=时，AEBD=；② 当时，AEBD=（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，AEDB的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.解析：（1）55.（2）无变化；理由参见解析.（3）5125.【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出AEBD的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据AC BCAE BD=，求出AEBD的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据5EC ACDC BC==△ECA∽△DCB，即可求出AE BD 的值是多少，进而判断出AEBD的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【详解】（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴2222(82)845AB BC+÷+=∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴4525AE==，∴25542AE BD ==． ②如图1，，当α=180°时，可得AB ∥DE ，∵AC BC AE BD =， ∴45582AE AC BD BC === （2）如图2，，当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小没有变化， ∵∠ECD=∠ACB ，∴∠ECA=∠DCB ，又∵5EC AC DC BC ==， ∴△ECA ∽△DCB ，∴5AE EC BD DC ==．（3）①如图3，，∵5CD=4，CD ⊥AD ，∴2222(45)480168AC CD ---∵AD=BC ，AB=DC ，∠B=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴BD=AC=45②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=45，CD=4，CD⊥AD，∴AD=2222(45)480168AC CD-=-=-=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE=111(82)4222AB=⨯÷=⨯=2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得5AEBD=，∴BD=1255=．综上所述，BD的长为45或125．2．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中90C∠=︒，30B E∠=∠=︒．（1）操作发现：如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是________；②设BDC的面积为1S，AEC的面积为2S，则1S与2S的数量关系是_____．（2）猜想论证：当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中1S与2S的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究：已知60ABC∠=︒，BD平分ABC∠，BD CD=，9BC=，DE AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使DCF BDES S=△△，请求相应的BF的长．解析：（1）DE∥AC；S1=S2；（2）成立，证明见解析；（3）BF的长为3或6．【分析】（1）①根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；②根据等边三角形的性质可得AC=AD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的AB，然后求出AC=BD，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等一半求出AC=12于点D到AC的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；（2）根据旋转的性质可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角边”证明△ACN和△DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；（3）过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后勾股定理求出EG的长，即可得解【详解】（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=1AB，2∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：S1=S2；（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC=CE ，AC=CD ，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，∴∠ACN=∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，ACN DCM CMD NAC CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△DCM （AAS ），∴AN=DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S 1=S 2；（3）如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时S △DCF1=S △BDE ；过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=12∠ABC=30°，∠F 2DB=90°，∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1=DF 2，过点D 作DG ⊥BC 于G ，∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，BG=12BC=92， ∴∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF 1=∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，∴∠CDE=360°-∠CDF 2-∠F 2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°，∴∠CDG=90°-∠DCG=60°，又∵∴，设EG 为x ，则DE=2x,()222+2x x =⎝⎭ , 解得x=1.5,∴BE=BG-EG=4.5-1.5 =3，∴BF 1=3，BF 2=BF 1+F 1F 2=3+3=6，故BF 的长为3或6．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个． 3．探究：如图1和2,四边形ABCD 中,已知AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．（1）①如图 1,若B 、ADC ∠都是直角，把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，则能证得EF BE DF =+，请写出推理过程；②如图 2，若B 、D ∠都不是直角，则当B 与D ∠满足数量关系_______时，仍有EF BE DF =+;（2）拓展：如图3,在ABC 中，90BAC ∠=︒,AB AC ==D 、E 均在边BC 上,且45DAE ∠=︒．若1BD =，求DE 的长．解析：（1）①见解析；②180B D ∠+∠=︒，理由见解析；（2）5=3DE 【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，BE ＝DG ，求出∠EAF ＝∠GAF ＝45°，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案； ②根据旋转的性质得出AE ＝AG ，∠B ＝∠ADG ，∠BAE ＝∠DAG ，求出C 、D 、G 在一条直线上，根据SAS 推出△EAF ≌△GAF ，根据全等三角形的性质得出EF ＝GF ，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC ＝∠C ＝45°，BC ＝4，根据旋转的性质得出AF ＝AE ，∠FBA ＝∠C ＝45°，∠BAF ＝∠CAE ，求出∠FAD ＝∠DAE ＝45°，证△FAD ≌△EAD ，根据全等得出DF ＝DE ，设DE ＝x ，则DF ＝x ，BF ＝CE ＝3−x ，根据勾股定理得出方程，求出x 即可．【详解】（1）①如图1，∵把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，使AB 与AD 重合，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，BE DG =∵90BAD ∠=︒，45EAF ∠=︒，∴45BAE DAF ∠+∠=︒，∴45DAG DAF ∠+∠=︒，即45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS ≌，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；②180B D ∠+∠=︒，理由是：把ABE △绕A 点旋转到ADG ，使AB 和AD 重合，则AE AG =，B ADG ∠=∠，BAE DAG ∠=∠，∵180B ADC ︒∠+∠=，∴180ADC ADG ∠+∠=︒，∴C ，D ，G 在一条直线上，和①知求法类似，45EAF GAF ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中AF AF EAF GAF AE AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EAF GAF SAS △≌△，∴EF GF =，∵BE DG =，∴EF GF BE DF ==+；故答案为：180B D ∠+∠=︒（2）∵ABC 中，22AB AC ==，90BAC ∠=∴45ABC C ∠=∠=︒，由勾股定理得：2222(22)(22)4BC AB AC =+=+= ，把AEC 绕A 点旋转到AFB △,使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF AE =，45FBA C ∠=∠=︒，BAF CAE ∠=∠，∵45DAE ∠=︒，∴904545FAD FAB BAD CAE BAD BAC DAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒， ∴45FAD DAE ∠=∠=︒，在FAD △和EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FAD EAD △≌△，∴DF DE =，设DE x =，则DF x =，∵1BC =，∴413BF CE x x ==--=-，∵45FBA ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴90FBD ∠=︒，由勾股定理得：222DF BF BD =+，222(3)1x x =-+，解得：5=3x ，即5=3DE ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高．4．综合与实践（1）（探索发现）在ABC ∆中. AC BC =，ACB α∠=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．如图（1），当点D 在线段BC 上，且90α=︒时，试猜想：①AF 与BE 之间的数量关系：______；②ABE ∠=______．（2）（拓展探究）如图（2），当点D 在线段BC 上，且090α︒<<︒时，判断AF 与BE 之间的数量关系及ABE ∠的度数，请说明理由．（3）（解决问题）如图（3），在ABC ∆中，AC BC =，4AB =，ACB α∠=，点D 在射线BC 上，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ．当3BD CD =时，直接写出BE 的长．解析：（1）①AF BE =；②90︒；（2）AF BE =，ABE α∠=．理由见解析；（3）BE的长为1或2．【分析】（1）由“SAS”△ADF ≌△EDB ，可得AF=BE ，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题；（2）结论：AF=BF ，∠ABE=a ．由“SAS”△ADF ≌△EDB ，即可解决问题；（3）分当点D 在线段BC 上和当点D 在BC 的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解．【详解】解：（1）如图1中，设AB 交DE 于O ．∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠ABC=45°，∵DF ∥AC ，∴∠FDB=∠C=90°，∴∠DFB=∠DBF=45°，∴DF=DB ，∵∠ADE=∠FDB=90°，∴∠ADF=∠EDB ，且DA=DE ，DF=DB∴△ADF ≌△EDB （SAS ），∴AF=BE ，∠DAF=∠E ，∵∠AOD=∠EOB ，∴∠ABE=∠ADO=90°故答案为AF=BE ，90°．（2）AF BE =，ABE α∠=.理由：∵//DF AC ，∴FDB ACB α∠=∠=，CAB DFB ∠=∠.∵AC BC =，∴ABC CAB ∠=∠.∴ABC DFB ∠=∠.∴DB DF =∵ADE FDB α∠==∠，ADF ADE FDE ∠=∠-∠，EDB FDB FDE ∠=∠-∠，∴ADF EDB ∠=∠.又∵AD DE =，∴ADF EDB ∆≅∆.∴AF BE =，AFD EBD ∠=∠.∴AFD ABC FDB ∠=∠+∠，DBE ABD ABE ∠=∠+∠， ∴ABE FDB α∠=∠=. （3）1或2.解：当点D 在线段BC 上时，过点D 作//DF AC 交直线AB 于点F ，如图（1）. ∵//DF AC ，∴3BF BDAF CD==. ∵4AB BF AF =+=，∴1AF =.∵//DF AC ，∴BDF C ADE α∠=∠=∠=，DFB CAB ∠=∠. ∵ADF ADE FDE ∠=∠-∠，EDB FDB FDE ∠=∠-∠， ∴ADF EDB ∠=∠.∵AC BC =，∴CAB CBA ∠=∠.∴DFB DBF ∠=∠.∴DF DB =. 又AD DE =，∴ADF EDB ∆≅∆，1BE AF ==.当点D 在线段BC 的延长线上时，过点D 作//DF AC '交BA 的延长线于点F '，如图（2）. ∵//DF AC '， ∴2AB BCAF CD=='. ∴24AB AF '==. ∴2AF '=.同理可得2BE AF '==. 综上可得，BE 的长为1或2.【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．观察猜想：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，点D 与点C 重合，点E 在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则EFAD＝______，sin ∠ADE ＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝13AC ，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求EFAD和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）解析：（1612；（2）不变；（3）EFAD222cos sinnnαα+-sin∠ADE＝sinnα．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A＝∠ACE＝30°，△BEC是等边三角形，据此求得CE的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，构造直角三角形：△ADG，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E作EG⊥AD于点G，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD33．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF2CE，∴EFAD 2CE3CE6．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝12．故答案是：6；12；（2）不变，理由：如图2，过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，则△ADG 是直角三角形． ∵∠DAG ＝30°，DE ＝AE ，设DG ＝x ，∴∠AED ＝30°，AD ＝3x ，∠DEG ＝∠DGE ＝60°． ∴DE ＝DF ＝x ，sin ∠ADE ＝12． ∵∠EDF ＝90°， ∴EF ＝2x ． ∴EF AD ＝23x x＝6． ∵∠ADE ＝30°， ∴sin ∠ADE ＝12．（3）过点E 作EG ⊥AD 于点G ，设AE ＝x ，则DE ＝nx ． ∵∠CAB ＝a ，∴AG ＝cosα•x ，EG ＝sinα•x ．∴DG ＝22()(sin )nx x α-⋅＝22sin n α-•x ． ∴AD ＝cosα•x+22sin n α-•x ． ∵∠EDF ＝90°，DE ＝DF ， ∴EF ＝2DE ＝2nx ． ∴EFAD ＝222cos sin nx x n x αα⋅+-⋅＝222cos sin n n αα+-， sin ∠ADE ＝GE DE＝sin x nx α⋅＝sin n α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．6．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC 内部，有一点P ，若∠APB=150°，求证：AP 2+BP 2=CP 2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转60°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）k=3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证PP′=3PA，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，2，PC=P’B，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P2+BP2=P’B2，∴2PA2+PB2=PC2．（3）3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’，可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠=== 60APB ︒∠= 90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC +=3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键． 7．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________．猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''， ∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒， ∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒， ∴120B AC ''∠=︒， ∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12．②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒， ∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴=AB AB '，=AC AC '， ∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌， ∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形， ∴1122AD B B C C ''==，又∵8BC =，∴11=8=422AD BC=⨯．故答案为：4．（2）12AD BC=，如图5，延长AD到M，使AD DM=，连接B M'、C M'，图5∵=B D DC''，AD DM=，∴四边形AC MB''是平行四边形，∴AC B M AC''==，∵+=180BAC B AC''∠∠︒，+=180B AC AB M'''∠∠︒，∴=BAC AB M'∠∠，∵=AB AB'，∴在BAC∆和AB M'∆中，==AC B MBAC AB MAB AB''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M'∆∆≌，∴BC AM=，∴12AD BC=．（3）存在，如图6，延长AD交BC的延长线于M，作BE AD⊥于E，作直线BC的垂直平分线交BE 于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作PDC∆的中线PQ，连接DF交PC于O，图6∵+=120A B∠∠︒，∴=180=60M A B∠︒-∠-∠︒，∵=90C∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴=23CM ，=43DM ，=60M ∠︒，在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+=，=30MDC ∠︒， ∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-=， ∵=63AD ，∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中， ∵=6CD ，=63CF ， ∴tan 3CDF ∠=， ∴60CDF CPF =︒=∠∠， ∴FCP CFD ∆∆≌， ∴CD PF =， ∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形， ∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒， ∴ADP ∆是等边三角形， ∴==63PA PD AD =， ∵=60BPF CPF ∠∠=︒， ∴120BPC ∠=︒， ∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，63PD PA AD ===，132DQ CD ==，∴()2222=363313PQ DQ DP +=+=．【点睛】本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性． 8．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.解析：（1）PM=PN，；（2）等腰直角三角形，理由详见解析；（3）.【详解】试题分析：(1)已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得,,,根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠NPD=∠ADC，在中，，，，可得BD=EC，∠DCE+∠ADC=90°，即可得PM=PN，∠DPM+∠NPD=90°，即；（2）是等腰直角三角形，根据旋转的性质易证△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形的中位线定理及平行线的性质（方法可类比（1）的方法）可得PM="PN," ∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，所以∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD，∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN，即可得∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN为等腰直角三角形；（3）把绕点旋转到如图的位置，此时PN=(AD+AB)="7,"PM=(AE+AC)=7,且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN，，所以面积的最大值为 .试题解析：（1）PM=PN ，；（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得∠BAD=∠CAE ，又AB=AC,AD=AE ∴△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ， ∵点，分别为，的中点∴PM 是△DCE 的中位线 ∴PM=CE ，且,同理可证PN=BD ，且∴PM="PN," ∠MPD=∠ECD ，∠PNC=∠DBC ， ∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠ABD ， ∠DPN=∠PNC+∠PCN =∠DBC+∠PCN ，∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠PCN=∠ABC+∠ACB=90°，即△PMN 为等腰直角三角形. (3).考点：旋转和三角形的综合题.9．（基础巩固）（1）如图1，在ABC 中，M 是AB 的中点，过B 作//BD AC ，交CM 的延长线于点D ．求证：AC BD =；（尝试应用）（2）在（1）的情况下载线段CM 上取点E （如图2），已知34BE AC ==2CE =，4EM =，求tan D ；（拓展提高）（3）如图3，菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且2CP AP =，点E 为线段DP 上一点，BE BC =．若2PE =，3PD =，求菱形ABCD 的边长．解析：（1）证明见解析；（2）35；（3）21．【分析】(1)证明()ACM BDM AAS △≌△，即可求解；(2)过点B 作BH CD ⊥于点H ，得到()22234253BH BD DH =-=-=，进而求解；(3) 延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ，可得BE BF BC ==，所以90CEF ∠=︒，设菱形边长为x ，进而可得出结论．【详解】解：（1）证明：//AC BD ，A MBD ∴∠=∠，ACM D ∠=∠，M 是AB 的中点，AM MB ∴=，ACM BDM ∴△≌△，AC BD ∴=．（2）由（1）得6CM MD CE EM ==+=，34BE AC BD ===，作BH CD ⊥，垂足为H ，如图所示：5EH HD ∴==，在Rt BDH △中，()22234253BH BD DH =--=，3tan 5BH D HD ∴==．（3）延长DP 交AB 于G ，交CB 延长线于F ，连结CE ，如图所示：//,AB CD,APG CPD ∴∽1,2AG PG AP CD PD CP ∴=== 1113,,2222AG CD AB PG PD ∴==== 393,8,22FG DG FE ∴==+== 过B 作BH CD ⊥于,H 由//,AB CD∴ BE BF BC ==，90CEF ∴∠=︒，设菱形边长为x ，在Rt CDE △和Rt CFE ∆中22222CD DE CE CF EF -==-，即221464x x -=-，解得21x =（舍负），∴菱形ABCD 的边长为21．【点睛】本题考查四边形综合题，主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质，解直角三角形、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．10．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式．（探究）在图②中，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．（应用）P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m的取值范围．解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【详解】试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF的坐标，根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值；【应用】：先求DE的长，根据三角形面积求高的取值h≥1；分三部分进行讨论：①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，根据h≥1，列不等式解出即可；②如图③，作对称轴由最大面积小于1可知：点P不可能在DE的上方；③P与O或A重合时，符合条件，m=0或m=4．试题解析：【问题】∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+如图②，图象G对应的函数解析式为：y=；【探究】：如图③，由题意得：当y=1时，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F（2+，1），当y=1时，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；【应用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE•h≥1，∴h≥1；①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴当点P 不可能在DE 的上方；③∵MN=1，且O （0，0），a （4，0），∴P 与O 或A 重合时，符合条件，∴m=0或m=4；综上所述，△PDE 的面积不小于1时，m 的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考点：二次函数综合题．11．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M 是BC 上的一点，1cm BM =，2cm CM =，将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，连接MN ，则AM =___________cm ．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD 中，,,AB AD a CB CD AB BC ===⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，点P 、Q 分别是AB AD 、上的点，且PCB QCD PCQ ∠+∠=∠，求APQ 的周长．（结果用a 表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD ，,60,75,22,2AD CD ADC ABC AB BC =∠=︒∠=︒==，求四边形ABCD 的面积．解析：（1102）2a ；（3）32 【分析】（1）由旋转的性质可得△ABM ≌△ACN ，从而得出∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，再根据勾股得出AM 的长；（2）将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，利用SAS 得出△QCP ≌△QCM ，从而得出APQ 的周长（3）连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；易证△AFB ′是等腰直角三角形，△AEB 是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE =B ′E 2BB ′=25△ABB ′和△BDB ′的面积和即可．【详解】（1）∵90,BAC AB AC ∠=︒=，∴∠B =∠ACB =45°，将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，此时AB 与AC 重合，由旋转可得：△ABM ≌△ACN ，∴∠BAM =∠CAN ，AM =AN ，BM =CN =1，∠B =∠ACN =45°，∴∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，∠MAN =∠ABC =90°， ∴2222215MN CM CN =+=+=∴21052AM AN ==⨯=；（2）∵AD CD ⊥，,CB CD AB BC =⊥，∴将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，此时BC 与DC 重合，∴△BCP ≌△DCM ，∴∠DCM =∠PCB ，BP =DM ，PC =CM ，∵PCB QCD PCQ ∠+∠=∠，∴DCM QCD PCQ ∠+∠=∠，∴QCM PCQ ∠=∠，∵PC =CM ，QC =QC ,∴△QCP ≌△QCM ，∴PQ =QM ，∴APQ 的周长=AQ +AP +PQ = AQ +AP +QM = AQ +AP +DQ +DM = AQ +AP +DQ +BP =AD +AB ， ∵==AB AD a ，∴APQ 的周长=2a ；（3）如图3，连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；AD CD CDB ADB BD B D '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩∴△BCD ≌△B ′AD∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A ，∵∠ABC =75°，∠ADC =60°，∴∠BAB ′=135°∴∠B ′AE =45°，∵2B A BC '==∴B ′E =AE =2， ∴BE =AB +AE =22+2=32，∴()()2235222BB '=+=∵等边△DBB ′，∴BB ′上的高=32515=⨯=， ∴11.222222ABB S AB B E ''∆=⋅⋅=⨯⨯= ∴ 12155325S BDB '∆=⨯⨯=， ∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A =S △BDB ′-S △ABB ′=532=-；【点睛】本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．12．问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），垂直于AE 的一条直线MN 分别交AB 、AE 、CD 于点M 、P 、N ．判断线段DN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由．问题探究：在“问题情境”的基础上，（1）如图2，若垂足P 恰好为AE 的中点，连接BD ，交MN 于点Q ，连接EQ ，并延长交边AD 于点F ．求∠AEF 的度数；（2）如图3，当垂足P 在正方形ABCD 的对角线BD 上时，连接AN ，将△APN 沿着AN 翻折，点P 落在点P'处．若正方形ABCD 的边长为4 ，AD 的中点为S ，求P'S 的最小值．问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 、N 分别为边AB 、CD 上的点，将正方形ABCD 沿着MN 翻折，使得BC 的对应边B'C '恰好经过点A ，C'N 交AD 于点F ．分别过点A 、F 作AG ⊥MN ，FH ⊥MN ，垂足分别为G 、H ．若AG ＝52，请直接写出FH 的长．解析：问题情境：DN MB EC +=.理由见解析；问题探究：（1）45AEF ∠=︒；（2）P S '2514. 【分析】问题情境：过点B 作BF ∥MN 分别交AE 、CD 于点G 、F ，证出四边形MBFN 为平行四边形，得出NF ＝MB ，证明△ABE ≌△BCF 得出BE ＝CF ，即可得出结论；问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI ∥AB ，分别交AD 、BC 于点H 、I ，证出△DHQ 是等腰直角三角形，HD ＝HQ ，AH ＝QI ，证明Rt △AHQ ≌Rt △QIE 得出∠AQH ＝∠QEI ，得出△AQE 是等腰直角三角形，得出∠EAQ ＝∠AEQ ＝45°，即可得出结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，则△APN 的直角顶点P 在OB 上运动，设点P 与点B 重合时，则点P′与点D 重合；设点P 与点O 重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA ＝∠ADO′＝45°，当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作PG ⊥CD 于点G ，过点P′作P′H ⊥CD 交CD 延长线于点H ，连接PC ，证明△APB ≌△CPB 得出∠BAP ＝∠BCP ，证明Rt △PGN ≌Rt △NHP'得出PG ＝NH ，GN ＝P'H ，由正方形的性质得出∠PDG ＝45°，易得出PG ＝GD ，得出GN ＝DH ，DH ＝P'H ，得出∠P'DH ＝45°，故∠P'DA ＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S 作SK ⊥DO'，垂足为K ，即可得出结果；问题拓展：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ，得出AE ＝5，由勾股定理得出BE ＝22AE AB -＝3，得出CE ＝BC ﹣BE ＝1，证明△ABE ∽△QCE ，得出QE ＝AE ＝203，AQ ＝AE+QE ＝203，证明△AGM ∽△ABE ，得出AM ＝258，由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，求出B'M ＝2'278AM AB -=，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF ＝25253,DF 4777=-=，证明△DFP ∽△DAQ ，得出FP ＝57，得出FH ＝FP ＝15FP 214=．【详解】问题情境：因为四边形ABCD 是正方形，所以90ABE BCD AB BC CD DC AB ∠=∠=︒==，，∥.过点B 作BF MN ∥分别交AE CD 、于点G F 、.所以四边形MBFN 为平行四边形.所以NF MB =.所以90BF AE BGE ∠=︒⊥，，所以90CBF AEB ∠+∠=︒，又因为90BAE AEB ∠+∠=︒，所以CBF BAE ∠=∠.ABE BCF △△≌，所以BE CF =.因为DN NF CF BE EC ++=+，所以DN NF EC +=，所以DN MB EC +=.问题探究：（1）连接AQ ，过点Q 作HI AB ∥，分别交AD BC 、于点H I 、.易得四边形ABIH 矩形. 所以HI AD HI BC ⊥⊥，且HI AB AD ==.因为BI 是正方形ABCD 的对角线，所以45BDA ∠=︒.所以DHQ 是等腰直角三角形，HD HQ =.所以AH QI =.因为MN 是AE 的垂直平分线，所以AQ QE =.所以Rt Rt AHQ QIE △≌△.所以AQH QEI ∠=∠.所以90AQH EQI ︒∠+∠=.所以90AQE ∠=︒.所以AQE 是等腰直角三角形，45EAQ AEQ ∠=∠=︒，即45AEF ∠=︒.（2）如图所示，连接AC 交BD 于点O ，由题意易得APN 的直角顶点P 在OB 上运动. 设点P 与点B 重合，则点P '与点D 重合；设P 与点O 重合，则点P 的落点为O '.易知45ADO '∠=︒. 当点P 在线段BO 上运动时，过点P 作CD 的垂线，垂足为G ，过点P '作P H CD '⊥，垂足为点H . 易证：Rt PGN Rt NHP '△△≌，所以PG NH G H P N '==，，因为BD 是正方形ABCD 的对角线，所以45PDG ∠=︒，易得PG GD =，所以GN DH =. 所以DH H P '=.所以45P DH '∠=︒，故45P DA '∠=︒. 所以点P '在线段DO '上运动. 过点S 作SK DO '⊥，垂足为K ，因为点S 为AD 的中点，所以2DS =，则P S '的最小值为2.问题拓展：解：延长AG 交BC 于E ，交DC 的延长线于Q ，延长FH 交CD 于P ，如图4：则EG ＝AG ＝52，PH ＝FH ，∴AE ＝5，在Rt △ABE 中，BE 22AE AB -3， ∴CE ＝BC ﹣BE ＝1，∵∠B ＝∠ECQ ＝90°，∠AEB ＝∠QEC ， ∴△ABE ∽△QCE ，∴1520QE AE ,AQ AE QE 333===+=∵AG ⊥MN ， ∴∠AGM ＝90°＝∠B ， ∵∠MAG ＝∠EAB ， ∴△AGM ∽△ABE ， ∴AM AGAE AB=，即5254AM =，解得：25AM 8=，由折叠的性质得：AB'＝EB ＝3，∠B'＝∠B ＝90°，∠C'＝∠BCD ＝90°，∴B'M 2'27,AC 18AM AB '-==，∵∠BAD ＝90°， ∴∠B'AM ＝∠C'FA ， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴''1,25788AF AC AF AM MB ==，解得：25253AF ,DF 4777==-=∵AG⊥MN，FH⊥MN，∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ，∴FP DFAQ DA=，即372043FP=，解得：FP＝57，∴FH＝15FP214=．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．13．如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．解析：（1）全等，理由见解析；（2）BD133）△ACD 3AD3【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；（3）过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．【详解】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB +∠ACD ＝∠DCE +∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△BCD （SAS ）；（2）如图3，由（1）得：△BCD ≌△ACE ， ∴BD ＝AE ，∵△DCE 都是等边三角形， ∴∠CDE ＝60°，CD ＝DE ＝2， ∵∠ADC ＝30°，∴∠ADE ＝∠ADC +∠CDE ＝30°+60°＝90°，在Rt △ADE 中，AD ＝3，DE ＝2， ∴229413AE AD DE =+=+=， ∴BD ＝13；（3）如图2，过点A 作AF ⊥CD 于F ， ∵B 、C 、E 三点在一条直线上， ∴∠BCA +∠ACD +∠DCE ＝180°， ∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形， ∴∠BCA ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACD ＝60°，在Rt △ACF 中，sin ∠ACF ＝AFAC， ∴AF ＝AC ×sin ∠ACF ＝331=∴S △ACD ＝1133222CD AF ⨯⨯=⨯=∴CF ＝AC ×cos ∠ACF ＝1×1122=，FD ＝CD ﹣CF ＝13222-=，在Rt △AFD 中，AD 2＝AF 2+FD 2＝223332⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴AD 3。

安徽省2023中考数学题型3选择压轴题之几何最值问题习题

题型三选择压轴题之几何最值问题高分帮类型1利用“垂线段最短”求最值1.[2020贵州贵阳]如图,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使BE=BD;分别以点D,EDE的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P为AB上一为圆心、以大于12动点,则GP的最小值为(C)A.无法确定B.12C.1D.2(第1题)(第2题)2.[2021四川凉山州中考改编]如图,等边三角形ABC的边长为4,☉C的半径为√3,P为AB边上一动点,过点P 作☉C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为(C)A.1B.2C.3D.43.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D,E分别在边AC,AB上,AD=14,点P是边BC上一动点,当PD+PE 的值最小时,AE=15,则BE的长为(B) A.30 B.29 C.28 D.27(第3题)(第4题)4.如图,△ABC中,∠BAC=45°,∠ABC=60°,AB=4,D是边BC上的一个动点,以AD为直径画☉O分别交AB,AC于点E,F,则弦EF长度的最小值为(B) A.√3 B.√6 C.2√2 D.2√35.[2021合肥45中三模]如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为边AD上一点,且AE=1,F为边AB上一动点,将线段EF绕点F顺时针旋转90°得到线段GF,连接DG,则DG的最小值为(A)A.5√22B.4 C.2√2 D.3√22(第5题)(第6题)6.[2021湖南郴州中考改编]如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sin A=45,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+35PB的最小值为(D)A.95B.115C.135D.165类型2利用“轴对称”求最值7.如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边BC,CD的中点,P是对角线BD上一动点,已知菱形边长为5,对角线AC长为6,则△PMN周长的最小值是(C) A.11 B.10 C.9 D.8(第7题)(第8题)8.[2021黑龙江佳木斯中考改编]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=4,OB=6,以点O为圆心,3为半径的☉O,与OB交于点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点,则PC+PD的最小值为(B)A.4B.2√10C.4√3D.2√159.如图,在矩形ABCD中,点E是AB边的中点,点F在AD边上,点M,N分别是CD,BC边上的动点.若AB=AF=2,AD=3,则四边形EFMN周长的最小值是(C) A.2+√13 B.2√2+2√5C.5+√5D.8(第9题)(第10题)10.如图,矩形ABCD 中,AB=20,BC=10,若在AB ,AC 上分别取点N ,M ,使得BM+MN 的值最小,则最小值为 (C)A.12B.10√2C.16D.2011.[2021江苏连云港]如图,正方形ABCD 内接于☉O ,线段MN 在对角线BD 上运动,若☉O 的面积为2π,MN=1,则△AMN 周长的最小值是 (B)A.3B.4C.5D.6(第11题) (第12题)12.如图,四边形ABCD 是矩形,AB=6,BC=8,点M ,N 是对角线AC 上的点,且AM=CN=14AC.点P 是矩形ABCD 边上的动点,则满足PM+PN=10的点P 的个数是 (C)A.2B.4C.6D.8类型3利用“隐形圆”求最值13.如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F 在边AC 上,且CF=2,点E 为边BC 上的动点,将△CEF 沿直线EF 翻折,点C 落在点P 处,则点P 到边AB 距离的最小值是 (D)A.0.9B.1C.1.1D.1.2(第13题) (第14题)14.[2021湖北鄂州]如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2√3,BC=3.点P 为△ABC 内一点,且满足PA 2+PC 2=AC 2.当PB 的长度最小时,△ACP 的面积是 (D)A.3B.3√3C.3√34D.3√3215.[2021湖北十堰中考改编]如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点P 是平面内一个动点,且AP=3,Q 为BP 的中点,在P 点运动过程中,设线段CQ 的长度为m ,则m 的取值范围是 (B)A.1≤m ≤7B.72≤m ≤132 C.2≤m ≤8D.72≤m ≤6(第15题)(第16题)16.[2021山东威海中考改编]如图,在正方形ABCD中,AB=2,E为边AB上一点,F为边BC上一点.连接DE,AF交于点G,连接BG.若AE=BF,则BG的最小值为(A)A.√5-1B.2C.√3D.√3+117.[2020合肥瑶海区一模]如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点E为边DC上不与端点重合的一个动点,连接BE,将△BCE沿BE翻折得到△BFE,连接AF并延长交线段CD于点G,则线段CG长度的最大值是(D) A.1 B.1.5 C.4-√5D.4-√7(第17题)(第18题)18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,D为BC上一动点,AD的垂直平分线交AC于点E、交AB于点F,则BF的最大值为(D) A.2√26-2 B.8C.43D.8319.[2021淮南地区一模]如图,已知正方形ABCD的边长为8,点E是正方形内部一点,连接BE,CE,且∠ABE=∠BCE,点P是AB边上一动点,连接PD,PE,则PD+PE的最小值为(D) A.8√2 B.4√10C.8√5-4 D.4√13-4(第19题)(第20题)20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作☉O,连接BD交☉O 于点E,连接AE,则AE的最小值为(A) A.2√26-2 B.8C.8√2-3D.2√21-121.[2020安庆模拟]如图,在边长为2√3的等边三角形ABC中,点D,E分别是边BC,AC上的动点,且AE=CD,连接BE,AD相交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为(B)A.1B.2C.√3D.2√3-1类型4利用“旋转”求最值22.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,点P是AC边上的一个动点,将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ,连接CQ,则在点P运动过程中,CQ长的最小值为(C) A.2 B.3 C.4 D.5(第22题)(第23题)23.[2021山东滨州中考改编]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2.若点P是△ABC内一点,则PA+PB+PC的最小值为(D) A.3 B.√2+1 C.√6 D.√7类型5利用二次函数的性质求最值24.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C 向点B移动,若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则△PCQ面积的最大值为(C) A.4cm2 B.6cm2C.8cm2D.10cm2(第24题)(第25题)25.[2021四川自贡]如图,直线y=-2x+2与坐标轴交于A,B两点,点P是线段AB上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线y=-x+3于点Q,△OPQ绕点O顺时针旋转45°,边PQ扫过区域(阴影部分)面积的最大值是(A)A.23π B.12πC.1116πD.2132π【参考答案】题型三选择压轴题之几何最值问题1.C 根据题中的作图步骤可知,BG 平分∠ABC,易知当GP ⊥AB 时,GP 的值最小.∵BG 平分∠ABC,GP ⊥AB,GC ⊥BC,∴GP=GC=1,故选C.2.C 连接CP,CQ,过点C 作CH ⊥AB 于点H,则CH=2√3.由切线的性质可得PQ ⊥CQ,∴PQ=√CP 2-CQ 2=√CP 2-3,∴CP 最短时,PQ 最短.根据“垂线段最短”可知,当点P 与点H 重合时,CP 最短,此时CP=CH=2√3,∴PQ 长的最小值为√(2√3)2-3=3.3.B 作点D 关于BC 的对称点G,连接PG,则PD+PE=PG+PE,根据“两点之间,线段最短”及“垂线段最短”可知,当G,P,E 共线,且GE ⊥AB 时,PD+PE 的值最小,如图.∵∠ACB=90°,∠B=30°,∴∠A=60°,∴AG=2AE=30,∴DG=2CD=30-14=16,∴CD=8,∴AC=22,∴AB=2AC=44,∴BE=44-15=29.(第3题) (第4题)4.B 设DC 与☉O 的另一个交点为点H,连接OE,OF,AH,如图,则∠AHD=90°.∵∠EOF=2∠EAF=2×45°=90°,OE=OF=12AD,∴EF=√2OE,当OE 的值最小时,EF 的值最小,此时AD 最小.易知AD 的最小值为AH 的长.在Rt △ABH 中,sin ∠ABH=AHAB =sin 60°,∴AH=√32AB=2√3,∴OE 的最小值为√3,∴EF 的最小值为√3×√2=√6.故选B. 5.A 如图(1),过点G 作GH ⊥AB,垂足为H.由旋转可知∠EFG=90°,EF=FG,根据“一线三直角”模型易证△AEF ≌△HFG,∴FH=AE=1,AF=HG.在AB 上取一点P,使得AP=1,连接PG.∵AP=FH=1,∴AP+PF=FH+PF,即AF=PH,∴PH=HG.又∠GHP=90°,∴∠HPG=45°,∴点G 在过点P 且与AB 所夹锐角为45°的直线上,故当DG ⊥PG 时,DG 的长最小,如图(2),连接BG,易知此时点D,G,B 共线,易知BD=4√2,BP=3,∴BG=√22BP=3√22,∴DG=BD-BG=4√2-3√22=5√22,即DG 的最小值为5√22.图(1) 图(2)6.D 如图,过点P 作PE ⊥AB 于点E,过点C 作CH ⊥AB 于点H.∵BD ⊥AC,∴∠ADB=90°.∵sin A=BD AB =45,AB=5,∴BD=4,∴AD=3,∴sin ∠ABD=PE BP =AD AB =35,∴PE=35BP,∴PC+35PB=PC+PE.易知当C,P,E 三点共线时,PC+PE 最小,即PC+35PB 最小,最小值为CH 的长.∵S △ABC=12×AC ×BD=12×AB ×CH,∴4×4=5×CH,∴CH=165,∴PC+35PB 的最小值为165.(第6题) (第7题)7.C 设AC,BD 交于点O,∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA=OC=12AC=3.在Rt △DOC中,OD=√CD 2-OC 2=√52-32=4,∴BD=2OD=8.易知MN 是△CBD 的中位线,∴MN=12BD=4,∴△PMN 的周长=PM+PN+MN=PM+PN+4,∴PM+PN 的值最小时,△PMN 的周长也最小.如图,作点N 关于BD 的对称点E,则点E 为AD 的中点,连接EM,则EM=CD=5.根据“将军饮马”模型可知EM 的长即为PM+PN 的最小值,∴PM+PN 的最小值为5,∴△PMN 的周长的最小值为5+4=9.8.B 如图,延长CO 交☉O 于点E,连接ED,与OA 交于点P,此时PC+PD 的值最小,最小值为线段DE 的长.易知BC=CO,CD ∥OA,∴CD 是△OAB 的中位线,∴CD=2.又CE=6,∴DE=√22+62=2√10,∴PC+PD 的最小值为2√10.9.C 作点E 关于直线BC 的对称点E',点F 关于直线CD 的对称点F',连接E'F',分别交CD,BC 于点M,N,此时四边形EFMN 的周长最小,如图.在Rt △AEF 中,∠A=90°,AE=12AB=1,AF=2,∴EF=√12+22=√5.在Rt △AE'F'中,AE'=2+1=3,AF'=3+1=4,∴E'F'=√32+42=5,故四边形EFMN 周长的最小值为5+√5.10.C 易知AC=√202+102=10√5.作点B 关于AC 的对称点B',连接B'M,则BM+MN=B'M+MN,根据“两点之间线段最短”及“垂线段最短”可知,当B',M,N 共线,且B'N ⊥AB 时,BM+MN 的值最小,最小值为B'N 的长,如图.易证△BB'N ∽△CAB,∴BB′AC=B′N AB.根据三角形面积公式可知,AB ×BC=AC ×12BB',即20×10=10√5×12BB',∴BB'=8√5,∴√510√5=B′N20,∴B'N=16,即BM+MN 的最小值为16.11.B 由☉O 的面积为2π,易得☉O 的半径为√2.∵MN=1,∴当AN+AM 最小时,△AMN 的周长最小.方法一:如图(1),连接CM,作CS ∥BD,在CS 上截取CT=MN,连接NT,则CM=AM,四边形NTCM 是平行四边形,∴NT=CM,∴AN+AM=AN+NT.连接AT 交BD 于点E,易知当点N 与点E 重合时,AN+AM 最小,最小值为AT 的长.连接AC.在Rt △ATC 中,AC=2√2,CT=MN=1,∴AT=√AC 2+CT 2=3,∴△AMN 周长的最小值为4.方法二:由对称性可知,当AM+AN 最小时,点O 在MN 上.如图(2),连接OA,则OA ⊥BD.设ON=a,则OM=1-a.根据勾股定理,得AN=√(√2)2+a 2=√2+a 2,AM=√(√2)2+(1−a)2=√2+(1−a)2.易知√2+a 2可表示平面直角坐标系中点(√2,0)与点(0,a)之间的距离,√2+(1-a)2可表示平面直角坐标系中点(√2,1)与点(0,a)之间的距离,∴AN+AM的最小值即为点(0,a)到点(√2,0),(√2,1)的距离之和的最小值.在如图(3)所示的平面直角坐标系中,已知点P(√2,0),Q(√2,1),作点Q 关于y 轴的对称点Q',连接Q'P,则Q'P 的长即为AN+AM 的最小值.易知PQ'=√(2√2)2+12=3,∴AN+AM 的最小值为3,∴△AMN 周长的最小值为4.图(1) 图(2) 图(3)12.C 当点P 与点A 或点C 重合时,易求得PM+PN=10.如图(1),当点P 与点B 重合时,分别过点M,N 作ME ⊥AB于点E,NF ⊥BC 于点F.易知EM=2,BE=92,BF=6,FN=32,∴BM=√EM 2+BE 2=√972,BN=√BF 2+FN 2=√1532,∴BM+BN=√97+√1532>10.如图(2),当点P 位于AB 边上时,以AB 为对称轴作点M 的对称点M',连接M'N,当点P,M',N共线时,PM+PN 的值最小.过点M'作AB 的平行线,过点N 作BC 的平行线,两线交于点G,则△M'GN 是直角三角形,易求得M'G=3,GN=8,∴M'N=√M′G 2+GN 2=√73,即PM+PN 的最小值为√73<10.同理,当点P 位于BC(或AD)边上时,求得PM+PN 的最小值为2√13<10.根据矩形的对称性及上述分析,可知在矩形ABCD 的四条边上(不含端点)各有1个点P 使得PM+PN=10.综上所述,符合条件的点P 有6个.图(1) 图(2)13.D ∵∠C=90°,AC=6,BC=8,CF=2,∴AB=10,AF=4.由折叠可知FP=CF=2,∴点P 在以点F 为圆心,2为半径的☉F 上,如图,过点F 作AB 的垂线,垂足为点G,当点P 为☉F 与线段FG 的交点时,点P 到AB 的距离最小.易证△AFG ∽△ABC,∴AF AB =FGBC ,即410=FG8,∴FG=165,∴点P 到AB 的最小距离为165-2=65=1.2.(第13题) (第14题)14.D ∵PA2+PC2=AC2,∴∠APC=90°,∴点P 在以AC 为直径的圆上.如图,取AC 的中点O,连接OP,BO,则BP ≥BO-OP.当点P 在线段BO 上时,BP 最小.∵点O 是AC 的中点,∠APC=90°,∴PO=AO=CO=√3,∴tan ∠BOC=BCCO =√3,∴∠BOC=60°,∴△COP 是等边三角形,∴S △COP=√34OC2=3√34.∵OA=OC,∴S △ACP=2S △COP=3√32,故选D.15.B 如图,取AB 的中点M,连接QM,CM.易知MQ 是△ABP 的中位线,则MQ=12AP=12×3=32,∴点Q 在以点M 为圆心,32为半径的圆上.在Rt △ABC 中,CM 是斜边AB 上的中线,∴CM=12AB=12×√AC 2+BC 2=5.易知CM-MQ ≤CQ ≤CM+MQ,∴当点C,M,Q 三点共线,且点Q 在线段CM 上时,m 取得最小值,最小值为5-32=72;当点C,M,Q 三点共线,且点Q 在线段CM 的延长线上时,m 取得最大值,最大值为5+32=132.综上所述,m 的取值范围为72≤m ≤132.(第15题) (第16题)16.A 易证△ABF ≌△DAE,∴∠ADE=∠FAB.又∠FAB+∠DAG=90°,∴∠ADE+∠DAG=90°,∴∠AGD=90°,∴点G 在以AD 为直径的圆上,如图,取AD 的中点M,连接MG,BM,则MG=12AD=1,BM=√5.易知当点G 在线段BM 上时,BG 的长最小,此时BG=BM-MG=√5-1,即BG 的最小值为√5-1.17.D 由题意可知点F 在以点B 为圆心、BC 的长为半径的圆上,如图.易知当AG 与☉B 相切时,CG 取得最大值,此时∠AFB=∠BFG=90°=∠BFE,∴点E,G 重合.易知AB ∥CD,∴∠ABE=∠BEC.由折叠的性质可知,∠BEF=∠BEC,∴∠BEF=∠ABE,∴AG=AB=4,∴DG=√AG 2-AD 2=√42-32=√7,∴CG=CD-DG=4-√7,即线段CG 的最大值为4-√7.(第17题) (第18题)18.D 连接DF,则AF=DF,故点D 在以点F 为圆心,AF 的长为半径的☉F 上.分析可知,当☉F 与BC 相切时,AF 的长最短,此时BF 最长,如图,易知此时FD ⊥BC,∴BF=2FD.在Rt △ABC 中,AC=2,∠ACB=90°,∠B=30°,∴AB=4,∴AF+2FD=4,∴FD=43,∴BF=83.19.D ∵四边形ABCD 是正方形,∴∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°.∵∠ABE=∠BCE,∴∠BCE+∠CBE=90°,∴∠BEC=90°,∴点E 在以BC 为直径的半圆上运动,如图,设BC 的中点为O,作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形ABGF,则点D 的对应点是F,连接FO 交AB 于点P,交半圆O 于点E,此时线段EF 的长即为PD+PE 的最小值.∵OE=4,FG=BG=AB=8,∴OG=12,又∠G=90°,∴OF=√FG 2+OG 2=4√13,∴EF=4√13-4,∴PD+PE 的最小值为4√13-4.(第19题) (第20题)20.A 如图,连接CE.∵CD 为☉O 的直径,∴∠DEC=90°,∴∠CEB=90° ,∴点E 在以BC 为直径的圆上.取BC 的中点F,连接AF,EF.∵BC=4,∴EF=CF=2.又∵∠ACB=90°,AC=10,∴AF=√AC 2+CF 2=2√26.在点D 的运动过程中,AE ≥AF-EF,且A,E,F 三点共线时取等号,此时AE=AF-EF=2√26-2,即AE 的最小值为2√26-2.21.B 在△ABE 和△CAD 中,AB=AC,∠BAE=∠ACD,AE=CD,∴△ABE ≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.又∠BAP+∠CAD=60°,∴∠BAP+∠ABE=60°,∴∠APB=120°,∴点P 在如图所示的定圆☉O 中的AB⏜上.连接OC 交AB 于点F,交☉O 于点P,此时CP 的长最短,连接OA,OB,则OA=OB.又CA=CB,∴OC 垂直平分线段AB,∴PA=PB,CF=√32AC=√32×2√3=3,∴∠BAP=∠ABP=30°,∴FP=√33AF=√33×12AB=1,∴CP=CF-FP=3-1=2.故选B. (第21题) (第22题)22.C 如图,将Rt △ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到Rt △EBD,则E,C,B 三点在同一直线上,点Q 在线段ED 上运动.易知当CQ ⊥ED 时,CQ 的长度最小.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=16,∴BC=8,∴EC=BE-BC=8.∵∠E=∠A=30°,∴CQ=12EC=4.23.D 如图,将△APB 绕点A 顺时针旋转60°,得到△AP'B',连接PP',易知△APP'是等边三角形,∴AP=PP',∴PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC.当点C,P,P',B'共线时,PA+PB+PC 取最小值,最小值即为CB'的长,此时∠CAB'=90°,AB'=2,AC =√3,∴CB'=√(AC)2+(AB′)2=√(√3)2+22=√7.24.C 设点Q 的运动时间为t s,则AP=CQ=t,CP=8-t.S △PCQ=12(8-t)t=-12(t-4)2+8.∵0≤t ≤6,∴当t=4时,△PCQ 的面积最大,为8 cm2.25.A 如图,由旋转可知,△OPQ 与△OP'Q'全等,则S △OPQ=S △OP'Q'.延长P′P ⏜交OQ 于点M,设OQ'与P′P ⏜的交点为N.易得S 扇形OP'N=S 扇形OPM,∴S 阴影部分=S 扇形OQ'Q-S 扇形ONM.当点P 在其他位置上时,同样可以得到S 阴影部分=S 扇形OQ'Q-S 扇形ONM.设点P 的横坐标为m(0<m ≤1),则P(m,-2m+2),Q(m,-m+3),∴OP=√m2+(−2m+2)2,OQ=√m2+(−m+3)2,∴S阴影部分=S扇形OQ'Q-S扇形ONM=45π×OQ2360-45π×OP2360=45π×[m2+(−m+3)2]360-45π×[m2+(−2m+2)2]360=-3π8(m-13)2+2π3.∵0<m≤1,∴当m=13时,阴影部分面积最大,最大面积为2π3.。

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几何压轴题练习1.已知四边形ABCD，AD//BC，连接BD.（1）小明说：“若添加条件BD2=BC2+CD2，则四边形ABCD是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.（2）若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD是正方形．2.如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE 交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．3.（2017）已知正方形ABCD，点M为AB边的中点.（1）如图1，点G为线段CM上一点且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交点E、F.①求证：BE=CF；②求证：=BCCE.（2）如图2，在BC上取一点E，满足=BCCE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，求tan∠CBF的值.A BCDEFGMMGFED CBA图1 图2DCBA4.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5. 已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）6.（2011安徽23）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3(h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0)． (1)求证：h 1＝h 2；(2)设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12；(3)若 32h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积S随h 1的变化情况．B B M BC N CN MC N M 图1 图2 图3 A A A DD D D F B A D CE G 第24题图②F B A C E 第24题图③ F BAD C EG第24题图① 图1 图2 图3ABDl 1 l 2 l 3 l 4h 1 h 2 h 37．（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN、AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BNAM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．（3）如果将(1)中的“正三角形”改为正五边形…正n边形(如图3),其余条件都不变,请你根据(1)、(2)的求解思路,将你推断的结论填入下表：(注：的各个角都相等)8.如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE，将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F.(1) 当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）.(2) 当点F在DC的延长线上时如图（2）,当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明.9.如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE 和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.正五边形…正n边形∠BQM的度数…10.猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．11.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90。

．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为_________，数量关系为__________．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90。

，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求（3）若AC=2线段CP长的最大值．【练习】1.如图，已知正方形ABCD 边长为1，∠EAF=45°，AE=AF ，则有下列结论：①∠1=∠2=22.5°；②点C 到EF 的距离是1-2③△ECF 的周长为2； ④BE+DF>EF ．其中正确的结论是___．（写出所有正确结论的序号）2.已知,正方形ABCD 中,点E,F 分别为线段BC,C 栋上的一点,且∠EAF=45°,AE,AF 分别交对角线BD 于点H,G 两点。

（1）如图1，若F 为线段CD 的三等分点，AB=6，求线段BE 的长。

（2）如图2，廉洁EG ，求证AG ⊥GE 。

（3）如图3，李连杰HF ，若CF=3CE ，请你直接写出AHFABGS S ∆∆的值。

3.如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF=45°，连接EF ．延长CD 至G ，使GD=EB ，连接AG ，易证△AFG ≌△AFE ．所以EF ，BE ，DF 之间的数量关系为 EF=DF+BE ．（1）如图2，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 的延长线上，∠EAF=45°，连接EF ．试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系；（直接写出结果，不需证明）（2）如图3，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CB ，DC 的延长线上，∠EAF=45°，连接EF ．试猜想EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并加以证明；（3）如图4，点E ，F 在正方形ABCD 的对角线BD 上，∠EAF=45°，若BE=2，DF=1，请直接写出EF 的长．4.已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N，．当MAN=时（如图1），易证BM DN MN+=．∠绕点A旋转到BM DN（1）当MAN，和MN之间有怎样的数≠时（如图2），线段BM DN∠绕点A旋转到BM DN量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当MAN，和MN之间又有怎样的数量关∠绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM DN系？请直接写出你的猜想．5． (1)、问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°．求证：AD·BC=AP·BP．(2)、探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．(3)、应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当DC的长与△ABD底边上的高相等时，求t的值．6．（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB 的中点．（1）求证：△PCE≌△EDQ；（2）延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．7.（2015安徽23题）．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．(1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF；(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值．8.（东营中考）（1）如图（1）,已知：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE ．（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在△ABC 中,AB=AC,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE 是否成立?如成立,请你给出证明；若不成立,请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3）,D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD 、CE,若∠BDA =∠AEC=∠BAC,试判断△DEF 的形状．9.如图1，菱形ABCD 中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF 的顶点G 在菱形对角线AC 上运动，角的两边分别交边BC 、CD 于点E 、F ，t CGAC（1）如图2，当顶点G 运动到与点A 重合时，求证：EC+CF=BC ；（2）知识探究：①如图3，当顶点G 运动到AC 中点时，探究线段EC 、CF 与BC 的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系（不需要写出证明过程）；（3）问题解决：如图4，已知菱形边长为8，BG=7，CF=56，当t ＞2时，求EC 的长度．。