空间点、线、面的位置关系

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专题四
立体几何与空间向量
[典型例题] (2018· 高考全国卷Ⅱ)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝ BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 ( 1 A． 5 5 C． 5 ) 5 B． 6 2 D． 2
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Байду номын сангаас 专题四
立体几何与空间向量
【解析】 如图，连接 BD1，交 DB1 于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM，易知 O 为 BD1 的中点，所以 AD1∥OM，则∠MOD 为异面直 线 AD1 与 DB1 所 成 角 ． 因 为 在 长 方 体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3， AD1 ＝ AD AB ＋AD
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专题四
立体几何与空间向量
平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性 质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
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专题四
立体几何与空间向量
[对点训练] 1. (2018· 陕西省质量检测(一))在三棱锥 PABC 中，△PAC 和 △PBC 都是边长为 2的等边三角形， AB＝2， O， D 分别是 AB， PB 的中点．
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专题四
立体几何与空间向量
设 AB＝BC＝1，则 AC＝ 2， BD＝ 3，CD＝ 2， CD 在 Rt△ACD 中，tan∠DAC＝ AC ＝1， 所以∠DAC＝45° .
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专题四
立体几何与空间向量
(2)因为 E 是 AC 的中点，AB＝BC， 所以 BE⊥AC.又 CD⊥平面 ABC， 所以 BE⊥CD. 所以 BE⊥平面 ACD. 而 AD⊂平面 ACD， 所以 BE⊥AD， 即 AD 与 BE 所成的角为 90° .
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专题四
立体几何与空间向量
空间几何体中的空间角(综合型)
异面直线所成的角 已知两条异面直线 a、b，经过空间任意一点 O，作 a′∥a， b′∥b，我们把 a′与 b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角是直线和它在平面内的射影所成的角．当 直线和平面平行时，称直线和平面成 0° 角，当直线和平面垂直 时，称直线和平面成 90° 角．
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专题四
立体几何与空间向量
3． 设有两条直线 m， n 和三个平面 α， β， γ.给出下面四个命题： ①α∩β＝m，n∥m⇒n∥α，n∥β； ②α⊥β，m⊥β，m⊄α⇒m∥α； ③α∥β，m⊂α⇒m∥β； ④α⊥β，α⊥γ⇒β∥γ. 其中正确命题的个数是( A．1 C．3 ) B．2 D．4
专题四
立体几何与空间向量
年份 卷别
考查内容及考题位置
卷Ⅱ 线面平行的证明、四棱锥体积的计算· T18 2017 卷Ⅲ 空间中线线垂直的判断· T10 线线垂直的判定、四面体体积的计算· T19 求异面直线所成的角· T11 卷Ⅰ 线线垂直、线面垂直的判定与性质、几何体体积的 2016 计算· T18 卷Ⅱ 线线垂直、空间几何体体积的计算· T19 卷Ⅲ 线面平行、空间几何体体积的计算· T19
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专题四
立体几何与空间向量
解析：选 B．①α∩β＝m，n∥m 不能得出 n∥α，n∥β.因为 n 可能在 α 或 β 内，故①错误；②α⊥β，m⊥β，m⊄α，根据直线 与平面平行的判定，可得 m∥α，故②正确；③α∥β，m⊂α，根 据面面平行的性质定理可得 m∥β，故③正确；④α⊥β，α⊥γ， 则 γ 与 β 可能平行也可能相交，故④错误．
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专题四
立体几何与空间向量
2．(2017· 高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B 为 正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正 方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )
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专题四
立体几何与空间向量
解析：选 A．对于选项 B，如图所示，连接 CD，因为 AB∥CD，M，Q 分别是所在棱的 中点， 所以 MQ∥CD， 所以 AB∥MQ， 又 AB ⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，所以 AB∥平 面 MNQ.同理可证选项 C，D 中均有 AB∥平面 MNQ.故选 A．
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立体几何与空间向量
[对点训练] 1．(2018· 高考全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互 相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30° .若△SAB 的面积为 8，则 该圆锥的体积为________．
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专题四
立体几何与空间向量
解析：由题意画出图形，如图，设 AC 是底面 圆 O 的直径， 连接 SO， 则 SO 是圆锥的高． 设 圆锥的母线长为 l，则由 SA⊥SB，△SAB 的 12 面积为 8，得 l ＝8，得 l＝4.在 Rt△ASO 中，由题意知∠SAO 2 1 3 ＝30° ，所以 SO＝ l＝2，AO＝ l＝2 3. 2 2 1 1 2 故该圆锥的体积 V＝ π×AO ×SO＝ π×(2 3)2×2＝8π. 3 3 答案：8π
2 2
＋DD2 1 ＝ 2 ， DM ＝
AD
2
1 2 ＋2AB ＝
5 ， DB1 ＝ 2
2
2 ＋DD1 ＝
1 1 5 5， 所以 OM＝ AD1＝1， OD＝ DB1＝ ， 2 2 2
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立体几何与空间向量
52 52 － 1 2 2 于是在△DMO 中， 由余弦定理， 得 cos∠MOD＝ 5 2×1× 2
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直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒ l⊥ α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒ a⊥β.
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(2)证明：如图，连接 OC， 因为 AC＝CB＝ 2，AB＝2， 所以∠ACB＝90° . 又 O 为 AB 的中点， 所以 OC⊥AB，OC＝1. 同理，PO⊥AB，PO＝1. 又 PC＝ 2，而 PC2＝OC2＋PO2＝2，所以 PO⊥OC. 又 AB∩OC＝O， AB⊂平面 ABC， OC⊂平面 ABC， PO⊄平面 ABC， 所以 PO⊥平面 ABC.
求证：(1)AB∥平面 A1B1C; (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
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2．如图所示，AB⊥平面 BCD，BC⊥CD，AB＝BC，AD 与平 面 BCD 所成的角为 30° ，E 为 AC 的中点．
(1)求 AD 与平面 ABC 所成的角； (2)求 AD 与 BE 所成的角．
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立体几何与空间向量
解： (1)如图所示， 因为 AB⊥平面 BCD， 所以∠ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角， 即∠ADB＝30° . 因为 AB⊥平面 BCD， 所以 CD⊥AB. 又 CD⊥BC， 所以 CD⊥平面 ABC， 所以∠DAC 就是 AD 与平面 ABC 所成的角．
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立体几何与空间向量
[考法全练] 1．已知 α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m⊄ α，n⊂α，且 A∈m，A∈α，则 m，n 的位置关系不可能是( A．垂直 C．异面 B．相交 D．平行 )
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专题四
立体几何与空间向量
解析：选 D．因为 α 是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个 点，m⊄α，n⊂α， 所以 n 在平面 α 内，m 与平面 α 相交， 因为 A∈m，A∈α， 所以 A 是 m 和平面 α 相交的点， 所以 m 和 n 异面或相交，一定不平行．
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立体几何与空间向量
命题分析 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以 选择、填空题的形式，题目难度较小． 2．以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体 的表面积、体积相渗透.
专题四
立体几何与空间向量
空间线面位置关系的判断(基础型)
判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定 定理和性质定理进行判断． (2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中 观察线面位置关系，结合有关定理，进行判断． (3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出 与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．
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专题四
立体几何与空间向量
(3)由(2)可知 PO⊥平面 ABC， 所以 PO 为三棱锥 PABC 的高，且 PO＝1.
1 1 1 1 所以 VA­PBC＝VP­ABC＝ S△ABC·PO＝ × 2×2×1 ×1＝ . 3 3 3
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立体几何与空间向量
2．(2018· 高考江苏卷)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1 ＝AB，AB1⊥B1C1.
2
＋
5 5 ＝ ，即异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 ，故选 C． 5 5
【答案】 C
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立体几何与空间向量
求空间角的一般步骤 (1)找出或作出有关的平面角． (2)证明它符合定义． (3)归到某一三角形中进行计算，为了便于记忆，可总结口诀： “一作、二证、三计算”．
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立体几何与空间向量
[典型例题] (2018· 高考北京卷)如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点．