3.4函数的应用(一)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件.
①通话2分钟，需要付电话费__3_._6____元； ②通话5分钟，需要付电话费___6_____元； ③如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为
_____y___0．.7x 1.5
例1 课本第94页例2
分析：阴影面积:vt(速度乘以时间)=路程
解：(1) 阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行 驶的路程为360 km.
9x 90; x 18
由题意可知，12 x 18,所以16 x 36 48, 解得x 14
课本第96页第4题
（1）
（2）
（3）
(1）点A，B实际意义：当乘客为0时，亏损1（单位）；当乘客量为1.5时， 收支持平。射线AB上的点的实际意义 当乘客小于1.5时，公司将亏损，当 乘客量大于1.5时，公司将盈利。
(2）图2的建议：降低成本面保持票价不变。 图3的建议：提高票价而保持成本不变
例1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超 过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一 次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.
v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
O
1
2
3
4
5t
v9080分析：根据图所示，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，
70
60 50 40 30 20 10
O
1
2
3
4
5t
[3,4)，[4,5]内行驶的平均速率分别为50 km/h， 80
km/h， 90 km/h， 75 km/h， 65 km/h，因此在每个
（2）当x 1500件时，该公司亏损； 当x 1500件时，公司不赔不赚， 当x 1500件时，公司盈利
解 : 设居民用水量为x,应缴的水费y
3x;0 x 12
3x;0 x 12
y 36 6(x 12);12 x 18 6x 36;12 x 18
72 9(x 18); x 18
x
x
当仅且当x 100即x 10时，等号成立。此时，y有最小值 x
课堂练习：完成课本第95页练习第1、3题；第96页习题第3题
【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得 即表达式为
，解得
当 因为
时，解得
，所以这辆车没有超速.
3、（1）y1
150
0.25 x;
y2
150 x
0.25;
y3 0.35 x; y4 0.1x 150
O
t 1 2 3 45
课堂练习：完成课本第95页习题3.4第1题
60t;0 t 2.5 汽车与A地的距离x关于t的函数：x(t) 150;2.5 t 3.5
325 50t;3.5 t 6.5
x
160
x, 2.5, 150 x, 3.5, 150
140
120
100
80
60
40
20
0
x, 0, 0
x, 6.5, 0
0
1
2
3
4
5
6
7
60;0 t 2.5 车速v关于时间t的函数: v(t) 20;2.5 t 3.5
50;3.5 t 6.5
二次函数模型的应用 例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于
55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平 均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系
池壁的造价为95元 / m2,池底造价为135元 / m2,如何设计水池
的长和宽，才能使水池的总造价最低。
解：由题意可知水池的底面积600 100.设水池的长为x,则水池的宽为100
6
x
水池的造价y 2(x 100) 695 135100 x
1140(x 100) 13500 1140 x 100 13500 24900
新高考新教材
高中数第一册第一章集合与常用逻辑用语
3.4 函数的应用（一）
本节课程学习目标
初步体会一次函数、二次函数、幂函 数、分段函数模型的广泛应用，能运用函 数思想处理现实生活中的简单应用问题.
情景引入
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为 了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ C ）
解：设广告牌的长为x,则广告牌的宽为l x 2
广告牌的面积S x( l x) x2 l x
2
2
(x l )2 l2 4 16
当x l , S有最大 l 2
4
16
(0 x l ) 2
即广告牌的长和宽都为 l , 广告牌面积 S有最大 l 2
4
16
例3、要建造一个容积为600m3 , 深为6m的长方体无盖蓄水池
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
(1)解：设y kx b 把点（60，6）, (80，10）代入可得
60k 80k
b b
6 10
k k
1 5 6
y与x的函数关系: y 1 x 6 5
(2)令y 1 x 6 0，解得x 30 旅客最多可免费携带行李的50公斤 5
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的 电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分
段表述.
s
(2) 根据已知图，有
2400
50t 2004, 0 t 1,
s
9800tt
1 2
2054, 2134,
1 t 2, 2 t 3,
75t 3 2224, 3 t 4,
65t 4 2299, 4 t 5.
2300 2200 2100 2000
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,. 又50≤x≤55,x∈N,当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润1 125元.
练习2：告公司要为客户设计一幅周长为l 的矩形广告牌，如何设计
这个广告牌可以使它的面积最大？
式;
(3)解当每:(箱1)苹根果据的售题价意为多,得少元y=时9,可0-以3获(x得-5最0大),利润?最大利润是多少? 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)销售利润=销售量×每箱销售利润
w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
_____y___0．.7x 1.5
例1 课本第94页例2
分析：阴影面积:vt(速度乘以时间)=路程
解：(1) 阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行 驶的路程为360 km.
9x 90; x 18
由题意可知，12 x 18,所以16 x 36 48, 解得x 14
课本第96页第4题
（1）
（2）
（3）
(1）点A，B实际意义：当乘客为0时，亏损1（单位）；当乘客量为1.5时， 收支持平。射线AB上的点的实际意义 当乘客小于1.5时，公司将亏损，当 乘客量大于1.5时，公司将盈利。
(2）图2的建议：降低成本面保持票价不变。 图3的建议：提高票价而保持成本不变
例1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超 过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元)是行李质量x(kg)的一 次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.
v
90 80 70 60 50 40 30 20 10
O
1
2
3
4
5t
v9080分析：根据图所示，在时间段[0,1)，[1,2)，[2,3)，
70
60 50 40 30 20 10
O
1
2
3
4
5t
[3,4)，[4,5]内行驶的平均速率分别为50 km/h， 80
km/h， 90 km/h， 75 km/h， 65 km/h，因此在每个
（2）当x 1500件时，该公司亏损； 当x 1500件时，公司不赔不赚， 当x 1500件时，公司盈利
解 : 设居民用水量为x,应缴的水费y
3x;0 x 12
3x;0 x 12
y 36 6(x 12);12 x 18 6x 36;12 x 18
72 9(x 18); x 18
x
x
当仅且当x 100即x 10时，等号成立。此时，y有最小值 x
课堂练习：完成课本第95页练习第1、3题；第96页习题第3题
【解】由题意，把(60，20)代入表达式中，得 即表达式为
，解得
当 因为
时，解得
，所以这辆车没有超速.
3、（1）y1
150
0.25 x;
y2
150 x
0.25;
y3 0.35 x; y4 0.1x 150
O
t 1 2 3 45
课堂练习：完成课本第95页习题3.4第1题
60t;0 t 2.5 汽车与A地的距离x关于t的函数：x(t) 150;2.5 t 3.5
325 50t;3.5 t 6.5
x
160
x, 2.5, 150 x, 3.5, 150
140
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80
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x, 0, 0
x, 6.5, 0
0
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60;0 t 2.5 车速v关于时间t的函数: v(t) 20;2.5 t 3.5
50;3.5 t 6.5
二次函数模型的应用 例1 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于
55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平 均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系
池壁的造价为95元 / m2,池底造价为135元 / m2,如何设计水池
的长和宽，才能使水池的总造价最低。
解：由题意可知水池的底面积600 100.设水池的长为x,则水池的宽为100
6
x
水池的造价y 2(x 100) 695 135100 x
1140(x 100) 13500 1140 x 100 13500 24900
新高考新教材
高中数第一册第一章集合与常用逻辑用语
3.4 函数的应用（一）
本节课程学习目标
初步体会一次函数、二次函数、幂函 数、分段函数模型的广泛应用，能运用函 数思想处理现实生活中的简单应用问题.
情景引入
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为 了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ C ）
解：设广告牌的长为x,则广告牌的宽为l x 2
广告牌的面积S x( l x) x2 l x
2
2
(x l )2 l2 4 16
当x l , S有最大 l 2
4
16
(0 x l ) 2
即广告牌的长和宽都为 l , 广告牌面积 S有最大 l 2
4
16
例3、要建造一个容积为600m3 , 深为6m的长方体无盖蓄水池
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少？
(1)解：设y kx b 把点（60，6）, (80，10）代入可得
60k 80k
b b
6 10
k k
1 5 6
y与x的函数关系: y 1 x 6 5
(2)令y 1 x 6 0，解得x 30 旅客最多可免费携带行李的50公斤 5
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的 电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象．根据图象填空：
时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分
段表述.
s
(2) 根据已知图，有
2400
50t 2004, 0 t 1,
s
9800tt
1 2
2054, 2134,
1 t 2, 2 t 3,
75t 3 2224, 3 t 4,
65t 4 2299, 4 t 5.
2300 2200 2100 2000
(3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,. 又50≤x≤55,x∈N,当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润1 125元.
练习2：告公司要为客户设计一幅周长为l 的矩形广告牌，如何设计
这个广告牌可以使它的面积最大？
式;
(3)解当每:(箱1)苹根果据的售题价意为多,得少元y=时9,可0-以3获(x得-5最0大),利润?最大利润是多少? 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)销售利润=销售量×每箱销售利润
w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
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2023新教材高中数学第三章函数的概念与性质3-4函数的应用一课件新人教A版必修第一册
解析 由已知得，该户每月缴费 y 元与实际用水量 x 立方米满足的关系 式为 y＝m2mx，x－0≤ 10xm≤，1x0>，10. 由 y＝16m，得 x>10，所以 2mx－10m＝16m.解 得 x＝13.故选 A.
7．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为 y
4x，1≤x<10，x∈N， ＝2x＋10，10≤x<100，x∈N，
1.5x，x≥100，x∈N，
其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人
数，若面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 0，若 4x＝60，则 x＝15>10，不符合题意；若 2x＋10＝ 60，则 x＝25，满足题意；若 1.5x＝60，则 x＝40<100，不符合题意．故拟 录用人数为 25.
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12 日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？最 大利润是多少？
解 设每桶水在进价的基础上上涨 x 元出售，利润为 y 元，由表格中的 数据可知，价格每上涨 1 元，日销售量就减少 40 桶，所以涨价 x 元后，日 销售桶数 480－40(x－1)＝520－40x>0，∴0<x<13.
答案 C
解析 设公司在甲地销售 x 辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为 L ＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－x－1292＋30＋1492，∴当 x＝9 或 10 时，L 最大为 120 万元．
4．某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为 200 元，每 桶水进价为 5 元，销售单价与日销售量的关系如下表：
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：3.4 函数的应用(一)
ห้องสมุดไป่ตู้
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时 间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
√
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行 于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线.
12345
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产
量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
x2 5
－48x＋8
000，已知此生产线年产
量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以
获得最大利润？最大利润是多少？
12345
课堂小结
解 根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只， 则蓄养率为mx ，故空闲率为 1－mx ， 由此可得 y＝kx1－mx (0<x<m).
(2)求羊群年增长量的最大值； 解 对原二次函数配方，得 y＝－mk (x2－mx) ＝－mk x－m2 2＋k4m. 即当 x＝m2 时，y 取得最大值k4m.
反思
感悟 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列 式、求解.
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质 量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元) 是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.
√C.[(1＋0.06)4－1]万元
D.[(1＋0.06)3－1]万元
预习小测 自我检验
YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN
1.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时 间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是
√
解析 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行 于x轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线.
12345
5.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产
量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝
x2 5
－48x＋8
000，已知此生产线年产
量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以
获得最大利润？最大利润是多少？
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课堂小结
解 根据题意，由于最大蓄养量为m只，实际蓄养量为x只， 则蓄养率为mx ，故空闲率为 1－mx ， 由此可得 y＝kx1－mx (0<x<m).
(2)求羊群年增长量的最大值； 解 对原二次函数配方，得 y＝－mk (x2－mx) ＝－mk x－m2 2＋k4m. 即当 x＝m2 时，y 取得最大值k4m.
反思
感悟 一次函数模型的特点和求解方法 (1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线. (2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列 式、求解.
跟踪训练1 某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质 量的行李.若超过规定的质量，则需购买行李票，行李费用y(元) 是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示. (1)根据图象数据，求y与x之间的函数关系式.
√C.[(1＋0.06)4－1]万元
D.[(1＋0.06)3－1]万元
2024春新教材高中数学3.4函数的应用(一)教学设计新人教A版必修第一册
（3）实验法：在教学过程中，教师引导学生利用计算机软件绘制函数图像，观察函数2.教学手段
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示函数的性质和图像，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）教学软件：教师运用教学软件，如数学建模软件、函数图像绘制工具等，辅助教学，使学生更好地理解函数的应用。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要围绕数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象四个方面展开。
首先，通过实际问题引入函数模型，培养学生从复杂问题中抽象出函数关系的能力，即数学抽象素养。学生需要能够识别实际问题中的数量关系，自主构建函数模型，从而培养其抽象思维能力。
其次，通过对实际问题进行数学建模，让学生学会如何用函数来描述现实世界中的变化规律，培养学生的数学建模素养。学生需要能够将现实问题转化为数学问题，运用函数理论知识进行分析，进而提高其解决实际问题的能力。
（3）学生可以利用在线函数图像绘制工具，自主探索函数的性质和变化规律，加深对函数概念的理解。
（4）建议学生学习一些数学软件的使用方法，如MATLAB、Python等，掌握这些软件在函数分析和应用方面的功能，提高自己的实际问题解决能力。
内容逻辑关系
①函数应用的基本概念：
-重点词汇：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等。
选择几个典型的函数应用案例进行分析。
详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解函数应用的多样性或复杂性。
引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用函数解决实际问题。
4.学生小组讨论（10分钟）
目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。
过程：
将学生分成若干小组，每组选择一个与函数应用相关的主题进行深入讨论。
高中数学必修第一册人教A版3.4《函数的应用(一)》名师课件
用二次函数模型 = 2 + + ( , , 为常数, > 0).
(3)幂函数模型: = + (, , 为常数, ≠ 0, ≠ 1).
(4)反比例函数模型: = + (, 为常数, ≠ 0 ).
(5)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规
得最大纯利润,并求出最大纯利润.(均精确到0.1万元)
解析
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示:
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
解析
据此,可考虑用函数 = − − 4
2
+ 2( > 0)
①表示投资A种商品的
金额与其纯利润的关系,用函数 = ( > 0)
每辆每月要维护费50 元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为(3600 − 3000) ÷ 50 = 12,所以这
时租出了100 − 12 = 88辆车.
1200.
由①②知 = 1225.故该种商品的日销售额的最大值为1225元.
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品
各多少万元才最合算.请你帮他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获
5
2
1
2 ,即
(3)幂函数模型: = + (, , 为常数, ≠ 0, ≠ 1).
(4)反比例函数模型: = + (, 为常数, ≠ 0 ).
(5)分段函数模型:一种比较复杂的函数模型,可以用来描述在不同区间上有不同变化规
得最大纯利润,并求出最大纯利润.(均精确到0.1万元)
解析
以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示:
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
解析
据此,可考虑用函数 = − − 4
2
+ 2( > 0)
①表示投资A种商品的
金额与其纯利润的关系,用函数 = ( > 0)
每辆每月要维护费50 元.
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为(3600 − 3000) ÷ 50 = 12,所以这
时租出了100 − 12 = 88辆车.
1200.
由①②知 = 1225.故该种商品的日销售额的最大值为1225元.
典例讲解
例3、某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润制成
下表：
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品
各多少万元才最合算.请你帮他制订一个资金投入方案,使得该经营者能获
5
2
1
2 ,即
人教A版高中数学必修第一册 3.4函数的应用公开课课件(最新、经典、好用)
巩固练习
练习1 某广告公司要为客户设计一幅周长为 l（单位：m）的矩形广告牌，
如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
解：设矩形广告牌的一边长为x m，则 令一边长为 l x m. 2
l x 2 x
则面积 S x l x
2 x2
l
x x2
l
x
x
l
2
l2
2 2 4 16
人教版高中数学新教材必修第一册
第三章 函数的概念与性质 3.4-函数的应用
导入
我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数 、分段函数等都与现实世界有紧密联系．下面通 过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数 模型解决实际问题的过程与方法．
例2 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 v（单位：km/h）与
75t 3 2224，3 t 4，2000 65t 4 2299，4 t 5.
O
11 22
33 44 5 5 tt
函数图象表示为
例3
用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙．
要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为多少？
解： 设隔墙的长为 x m，矩形场地的面积为 S，则
（1）利用已知函数模型解决问题． （2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，
对某些发展趋势进行预测．
知识梳理
3.常用到的函数模型：
①正比例函数模型：y＝kx(k≠0)； ②反比例函数模型：y＝acxx＋＋db(a≠0)； ③一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； ④二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ⑤幂函数模型：y＝k·xn＋b(k≠0)．
S＝x·24－4x＝x(12－2x)
函数的应用-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
2.函数零点存在定理
【函数零点存在定理】 条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0 结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点.
①两个条件缺一不可； 若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点. ②其逆定理不成立. 即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立.
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
x －1 0 1 2 3 设f(x)=ex－(x+2)
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 f(-1)=0.37-1<0 x＋2 1 2 3 4 5 f(0)=1-2<0
f(1)=2.72-3<0
f(2)=7.39-4>0 f(3)=20.09-5>0
一元二次方程 01 根的分布问题
一元二次方程根的分布问题①
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2,
两根与0比较(a>0)：
两根与0比较(a<0)：
两个负根 两个正根 一正根一负根 两个负根 两个正根
一正根一负根
0
b 2a
0
f 0 0
0
x1
x2
b a
0
x1x2
开口系数±、△、
对称轴、临界点函数值±
0
b 2a
k0
ff (0k)00
0
b 2a
k0
ff(0k)00
f (k) 0 0
一元二次方程根的分布问题③
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根为x1, x2,
两根在区间上的分布(a>0)：
两根都在 两根仅有一根 一根在(m,n)内
3.4函数的应用(一)(4大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件
解：根据④，当 = 249600时，
= 0.08 − 14256 = 5721.
所以，小王全年应缴纳5721元的综合所得个税.
利用函数解决实际问题的步骤
例题
例2.一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率(单位：/ℎ)与时间(单位：ℎ)的关
系如图所示，
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
这段路程时汽车里程表读数(单位：)与时间的函数解析式，并画出相应的图
象.
+ , ⩽ < ,
( − ) + , ⩽ < ,
解：根据图，有 = ( − ) + ,
( − ) + ,
⩽ < ,
( − ) + ,
燃气费用/元
7
40
105．2
9
50
142．5
12
30
127．5
（2）用气价格1月-7月按照第一档执行， 8月-10月
50 = 142.5，解得 =
按照第二档执行，11月-12月按照第三档执行，
30 = 127.5，解得 = 4.25，
综上： = 2.63， = 2.85， = 4.25．
（2）该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
【解析】（1）当 = 10时，代入 = 40 中，故成
本 = 40 × 10 = 400，
故收益为100 × 10 − 40 × 10 = 600（元）；
（2）设日纯收益为
当0 ≤ ≤ 20时， = 100 − 40 = 60 ，
必修第一册 第三章
函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
= 0.08 − 14256 = 5721.
所以，小王全年应缴纳5721元的综合所得个税.
利用函数解决实际问题的步骤
例题
例2.一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率(单位：/ℎ)与时间(单位：ℎ)的关
系如图所示，
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
这段路程时汽车里程表读数(单位：)与时间的函数解析式，并画出相应的图
象.
+ , ⩽ < ,
( − ) + , ⩽ < ,
解：根据图，有 = ( − ) + ,
( − ) + ,
⩽ < ,
( − ) + ,
燃气费用/元
7
40
105．2
9
50
142．5
12
30
127．5
（2）用气价格1月-7月按照第一档执行， 8月-10月
50 = 142.5，解得 =
按照第二档执行，11月-12月按照第三档执行，
30 = 127.5，解得 = 4.25，
综上： = 2.63， = 2.85， = 4.25．
（2）该公司每日处理的厨余垃圾为多少吨时，获得的日纯收益最大？
【解析】（1）当 = 10时，代入 = 40 中，故成
本 = 40 × 10 = 400，
故收益为100 × 10 − 40 × 10 = 600（元）；
（2）设日纯收益为
当0 ≤ ≤ 20时， = 100 − 40 = 60 ，
必修第一册 第三章
函数的概念与性质
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用(一)
人教A版高中数学必修第一册第三章3-4函数的应用(一)课件
分析：根据3.1．2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收 入额x的解析式t＝g(x)，再结合y＝f (t)的解析式③，即可得出y关于x 的函数解析式． 解：(1)由个人应纳税所得额计算公式，可得 t＝x－60 000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－9 600－560＝0.8x－70 160． 令t＝0，得x＝87 700． 根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤x≤87 700时，t＝0．所以， 个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为
√D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
) 题号
1 2 3 4
D [因为自行车为x辆，所以电动车为(4 000－x)辆，
存车总收入y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)．]
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电
线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方 题号
1
故选C．]
2
3
4
2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车
存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车
存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
探究建构
探究1 一(二)次函数模型的应用 [典例讲评] 1．为了迎接五一小长假的购物高峰，某商场决定将一批 进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单 价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系．
《函数的应用》人教高中数学A版必修一PPT课件(8篇)
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
通过建立函数模型解决实际问
使用的函数模型)的广泛应用.
题，培养数学建模素养.
2.能够利用给定的函数模型或建立 2. 借助实际问题中的最值问题，提
确定的函数模型解决实际问题．(重 升数学运算素养.
点、难点)
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3
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第三章
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3.4 函数的应用(一)
2
学习目标
核心素养
1.了解函数模型(如一次函数、二次 函数、分段函数等在社会生活中普遍 1.
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2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册课件：3.4 函数的应用(一) (2)
解 由图象可设 y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点 B(30，35)，C(30，15)
分别代入 y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得 k1＝16，k2＝12.∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥0). (2)令 y1＝y2，即16x＋30＝12x，则 x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当 x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.
3.4 函数的应用(一)
课标要求
素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变 通过本节课的学习，使学生体会常见
量关系和规律的重要性.
函数的变化异同，提升学生数学抽象、
2.会利用已知函数模型解决实际问题. 数学建模、数据分析等素养.
教材知识探究
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车 销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
[微训练] 1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.
解析 由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0<x≤10. 答案 y＝20－x(0<x≤10)
2.某工厂生产某种产品的固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增 加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是________万元. 解析 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000＝－210Q2＋30Q－2 000＝－210(Q－300)2＋ 2 500，当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元.
年份
2015
2016
分别代入 y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得 k1＝16，k2＝12.∴y1＝16x＋30(x≥0)，y2＝12x(x≥0). (2)令 y1＝y2，即16x＋30＝12x，则 x＝90. 当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当 x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.
3.4 函数的应用(一)
课标要求
素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变 通过本节课的学习，使学生体会常见
量关系和规律的重要性.
函数的变化异同，提升学生数学抽象、
2.会利用已知函数模型解决实际问题. 数学建模、数据分析等素养.
教材知识探究
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车 销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
[微训练] 1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.
解析 由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0<x≤10. 答案 y＝20－x(0<x≤10)
2.某工厂生产某种产品的固定成本为 2 000 万元，并且每生产一单位产品，成本增 加 10 万元.又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数，K(Q)＝40Q－210Q2，则总利润 L(Q)的最大值是________万元. 解析 L(Q)＝40Q－210Q2－10Q－2 000＝－210Q2＋30Q－2 000＝－210(Q－300)2＋ 2 500，当 Q＝300 时，L(Q)的最大值为 2 500 万元.
年份
2015
2016