安徽省2017年中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第六单元圆第21讲圆的基本性质课件
中考数学一轮复习宝典第1部分 第6章 课题21 与圆有关的位置关系
点与圆、直线与圆的位置关系
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是 相交 ．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
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练习 1－1 ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3cm，则
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练习 4－1 (2019 荆门)如图，△ABC 的内心为 I，连接 AI 并延长，交 △ABC 的外接圆于点 D，则线段 DI 与 DB 的关系是( A )
A．DI＝DB C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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命题点 切线及其性质
1．(2013，T7，3分)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线
EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AG＝BG
B．AB∥EF
C．AD∥BC
D．∠ABC＝∠ADC
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2．(2012，T8，3分)如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
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证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE.∴∠1＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴ ∠A＝∠1.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠A＝90°.∵∠2＝ ∠3，∴∠3＋∠A＝90°.∴∠3＝∠ACE.∴EC＝ED.
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切线的判定
线或角平分线，根据“三 已知OA＝OB，AC＝BC，证明
初三数学圆的总复习
两个圆有且仅有一个公共点，且该点在两个圆的内部时，称 这两个圆内切。
圆与圆的相交
相交
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。此时两个公共点连成的线段叫 做两圆的公共弦。
特殊相交
当两个圆的半径相等且相交于两点时，这两点连成的线段既是两圆的公共弦也是 两圆的直径。
05 圆的综合应用
圆的面积与周长计算
01
02
03
圆的面积公式
$S = pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆的半径。这个公 式用于计算圆的面积。
圆的周长公式
$C = 2pi r$ 或 $C = pi d$，其中 $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆的直径。这两个 公式用于计算圆的周长。
扇形面积公式
$S_{扇形} = frac{npi r^{2}}{360}$，其中 $n$ 是扇形的圆心角，$r$ 是 圆的半径。这个公式用于 计算扇形的面积。
线的性质。
圆的拓展应用问题
圆锥曲线问题
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。在解决这类问题时，需要掌握圆锥曲线的定义、标 准方程和性质等知识点。
极坐标与参数方程问题
极坐标是一种用距离和角度来描述平面上点的方法，参数方程则是用参数来描述曲线上点 的坐标的方法。在解决这类问题时，需要掌握极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普 通方程的互化等知识点。
通过一般方程，可以计算出圆心坐标$left( frac{D}{2},-frac{E}{2} right)$和半径 $r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
方程变形
通过配方等方法，可以将一般方程转化为标准方 程。
圆的图形与方程的关系
图形与方程对应
01
安徽省2023中考数学第一部分中考考点过关第六章圆课件1
考点帮 圆内接四边形的概念和定理
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
一个四边形的四个顶点都在同
一个圆上,这个四边形叫做圆的 概念
内接四边形,这个圆叫做这个四
定理
边形的外接圆.
圆内接四边形的对角⑯ 互补 ,且任何一个外角都等于它的⑰
. 内对角
∠A+∠BCD=⑱ 180° ,
∠B+∠D=⑲ 180° , ∠DCE=
例1
思路分析 由等弧所对的圆心角相等可得∠COD的度数,从而可知
∠BOC的度数,根据圆周角定理即可得到∠BPC的度数.
解析
B
∵
,∠AOB=40°,∴∠COD=∠AOB=40°.
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°,∴∠BOC=100°,
∴∠BPC= ∠BOC=50°.故选B.
方法帮 命题角度 2 垂径分弦⑳.∠APART 02
方法帮
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
例1
(直观想象、逻辑推理)[2019广西贵港]如图,AD是☉O的直径,
,连
接OB,OC,PB,PC,若∠AOB=40°,则圆周角∠BPC的度数是
( B)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
方法帮 命题角度 1 圆周角定理及其推论
顶点在⑥ 圆心 的角叫做圆心角,如∠AOB.
圆周角 顶点在圆上,并且⑦ 两边 都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角,如∠ACB.
考点帮
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
与圆有关的概念
3.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 4.圆的对称性 (1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆 心的直线.
安徽省中考数学总复习 系统复习 第六章 圆 第22讲 圆的基本性质课件
第22讲 圆的基本性质
考点1 圆的有关概念与圆的对称性
1．圆的有关概念 (1)圆：圆是到定点的距离等于定长的点的集合；这个 定点 叫做圆心， 这个 定长 叫做半径；圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小． (2)弧：圆上任意两点间的部分叫做弦；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半 圆的弧叫做优弧． (3)弦：连接圆上两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆 中最大的弦． (4)圆心角：顶点在 圆心 的角叫做圆心角． (5)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． (6)等圆：半径 相等 的圆叫做等圆． (7)等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． (8)弦心距：圆心到弦的 距离 叫做弦心距．
2．圆的基本性质 (1)同圆或等圆的半径 相等 ． (2)圆的直径等于同圆或等圆半径的 2 倍． (3)圆既是中心对称图形，圆心是对称中心，也是轴对称图形，过圆 心的每一条直线都是它的对称轴，还是旋转对称图形，绕圆心旋转 任何一个角度都与原图形重合．
3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对弦的弦心距相等． (2)推论：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②弦相等，③弦的弦心 距相等，④弦对的弧相等，如果以上四条中有一条成立，那么另外 三条也成立．
由(1)，得四边形AECD为平行四边形， ∴AD＝EC. ∵AD＝BC，∴EC＝BC. ∵OC＝OC，OE＝OB， ∴△OCE≌△OCB(SSS)． ∴∠ECO＝∠BCO，即CO平分∠BCE.
4．[2014·安徽，T19，10分]如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直， 垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线 与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长． 解：∵OC为小圆的直径，
安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第六单元 圆单元测试(六)圆试题
单元测试(六) 圆(时间：100分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠AOB ＝135°，则∠ACB 的度数为( D ) A ．35° B ．55° C ．60° D ．67.5°2．已知⊙O 的半径是4，OP ＝3，则点P 与⊙O 的位置关系是( A ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆上 C ．点P 在圆外 D ．不能确定3．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC⊥AB 于点D ，且AB ＝8，OC ＝5，则OD 的长为( D ) A ．1 B ．2 C ．2.5 D ．34．在平面直角坐标系中，以点O(1，－2)为圆心，1为半径的圆，必与( B ) A ．x 轴相切 B ．y 轴相切 C ．x 轴相交 D ．y 轴相交 5．如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( B ) A ．2 B ．2 3 C ．3 D. 36．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cosC 的值为( B ) A.35 B.45 C.33 D.327．一个圆锥的高为3 cm ，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的侧面积是( A )A ．6π cm 2B ．9π cm 2C ．63π cm 2D ．93π cm 28．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧瓶盖后放倒，水平放置在桌面上．水杯的底面如图所示，已知水杯内径(图中小圆的直径是8 cm ，水的最大深度是2 cm ，则杯底有水部分的面积是( A ) A ．(163π－43)cm 2 B ．(163π－83)cm 2C ．(83π－43)cm 2D ．(43π－23)cm 29．如图，等腰△ABC 的三边分别与⊙O 相切于点D ，E ，F ，且DE∥BC，AB ＝5，AD ＝3，则DE 的长为( C ) A ．2 B ．2.3 C ．2.4 D ．2.510．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A(6，0)、B(0，6)，⊙O 的半径为2(O 为坐标原点)，点P 是直线AB 上的一动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长P Q 的最小值为( D ) A.7 B ．3 C ．3 2 D.14提示：连接OQ ，OP ，在Rt △OPQ 中，PQ ＝OP 2－OQ 2，∵OQ ＝2，故当OP 取最小值时，PQ 最小．又∵OP≥32，∴PQ ≤14.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为6cm.12．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若点A 的坐标为(－1，0)，则点B 的坐标为(－12，－2)．13．(2013·安徽考纲样卷)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E＝50°．14．(2016·安徽十校联考)如图，在正方形ABCD 中，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：①DQ 与半圆O 相切；②PQ BQ ＝43；③∠ADQ＝2∠CBP；④cos ∠CDQ ＝35.其中正确的是①③(请将正确结论的序号填在横线上)．提示：①连接OD ，OQ ，证明△AOD 与△QOD 全等即可；②连接AQ ，借助三角函数和勾股定理求出PQ ，BQ 的长度即可求解；③借助①②的相关结论，结合三角形外角的性质和同角的余角(补角)相等即可求解； ④过点Q 作QH⊥CD 于点H ，求出三角形DQH 的三边长度即可确定相关的三角函数． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．在⊙O 中，直径AB ＝10 cm ，弦AC 与AB 的夹角为30°，求弦AC 的长．解：连接BC. ∵AB 为直径，∴△ABC 为直角三角形． 又∵∠A＝30°， ∴AC ＝AB·cos30°＝10×32＝53(cm)．16．如图，一条赛道的急转弯处是一段圆弧AC ︵，点O 是这段弧所在圆的圆心，AC ＝10 m ，B 是AC ︵上一点，OB ⊥AC ，垂足为D ，BD ＝1 m ，求这段弯路的半径．解：∵OB⊥AC，∴AD ＝12AC ＝5 m ，设OA ＝r ，则OD ＝r －1，在Rt △AOD 中，∵AD 2＋OD 2＝OA 2，即52＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝13，即OA ＝13.答：这段弯路的半径是13 m.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，以AC 为直径画⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，连接CE. (1)求证：BD ＝CD ； (2)求CE 的长．解：(1)证明：连接AD.∵AC 为直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD. (2)在Rt △ADC 中，∵AC ＝13，CD ＝12BC ＝5，∴AD ＝132－52＝12.∵AC 为直径，∴∠AEC ＝90°，∴12CE·AB＝12AD·BC，∴CE ＝12×1013＝12013.18．(2016·利辛中疃模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E. (1)求证：△ACE∽△CBE；(2)若AB ＝8，设OE ＝x(0＜x ＜4)，CE 2＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式．解：(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBA＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠AE C ＝∠BEC＝90°.∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.∴∠CBA ＝∠ACE.∴△ACE ∽△CBE. (2)连接OC.∵AB ＝8，∴OC ＝4.在Rt △OCE 中，OE ＝x ，OC ＝4，根据勾股定理得CE ＝16－x 2，∵CE 2＝y ，∴y ＝－x 2＋16(0<x<4)．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．(2015·天津)已知A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，四边形OABC 是平行四边形，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点D.(1)如图1，求∠A DC 的大小；(2)如图2，经过点O 作CD 的平行线，与AB 交于点E ，与AB ︵交于点F ，连接AF ，求∠FAB 的大小．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°，∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AD ，∴∠ADC ＝180°－90°＝90°. (2)连接OB.由圆的性质知OA ＝OB ＝OC ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ＝AB.∴OA＝OB ＝AB.∴△OAB 是等边三角形．∴∠AOB＝60°. ∵OF ∥CD ，∠ADC ＝90°，∴OF ⊥AB. 由垂径定理，得AF ︵＝BF ︵， ∴∠FAB ＝12∠BOF＝14∠AOB＝15°.20．小明将自己的一块三角板ABC 的AC 边放在直线MN 上，然后以点C 为中心，将三角板顺时针旋转90°，使BC 边落在MN 上，若三角板的∠ABC＝30°，AC ＝5 cm ，求三角板旋转过程中扫过的阴影部分的面积．解：设AA′︵与AB 的交点为D ，连接CD.∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°∴∠BAC ＝60°又∵AC＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． ∴S 扇形CAD ＝60360π×52＝256π，S △BCD ＝12S △ABC ＝12×12×5×53＝2543，S 扇形CBB′＝90360π×(53)2＝754π.∴S 阴影＝256π＋2543＋754π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27512π＋2543cm 2.六、(本题满分12分)21．(2016·合肥蜀山二模)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E.(1)求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝8.⊙O 的半径为5，求DE 的长．解：(1)证明：连接OD.∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA.∵AD 平分∠BAC，∴∠CAD ＝∠OAD. ∴∠CAD ＝∠ODA.∴AC∥OD.∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠ODE＝90°. 又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 是⊙O 的切线． (2)连接BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∠CAD＝∠OAD，∴△EAD ∽△DAB. ∴AE AD ＝AD AB，∴AD 2＝AE·AB＝8×10＝80，AD ＝4 5. 在Rt △EAD 中，DE ＝AD 2－AE 2＝80－64＝4.七、(本题满分12分)22．清水浴池的王老板要为锅炉烟筒的顶端增设一个圆锥形的防水帽，方案如图所示，底面直径AB ＝24 cm ，高CO ＝5 cm.王老板拿来一块足够大的铁皮，想请正在上九年级的同学吴军把图形给画出来．那么吴军该怎样画呢？(写出计算过程，并简述画法)．解：计算：由题意可知，OA ＝12AB ＝12 cm ，∴AC ＝122＋52＝13(cm)． ∴展开后扇形的半径为13 cm.∵底面圆的周长为π×24，∴展开后扇形的弧长为24π.设展开后扇形的圆心角为n °，根据弧长公式有：n π×13180＝24π，∴n ≈332.画法：先用圆规画一个半径为13 cm 的圆，然后用量角器画一个332°的圆心角，即可得到所需扇形．八、(本题满分14分)23．(2016·宿州灵璧县一模)如图，△ABC 中，BE 是它的角平分线，∠C ＝90°，D 在AB 边上，以DB 为直径的半圆O 经过点E ，交BC 于点F. (1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若∠A＝30°，连接EF ，求证：EF ∥AB ；(3)在(2)的条件下，若AE ＝2，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OE.∵OB ＝OE ，∴∠BEO ＝∠EBO.∵BE 平分∠CBO，∴∠EBO ＝∠CBE. ∴∠BEO ＝∠CBE.∴EO∥BC.∵∠C ＝90°，∴∠AEO ＝∠C＝90°. ∴AC 是⊙O 的切线．(2)证明：∵∠A＝30°，∴∠ABC ＝60°. ∴∠OBE ＝∠FBE＝30°.∴∠BEC ＝90°－∠FBE＝60°. ∵∠CEF ＝∠FBE＝30°，∴∠BEF ＝∠BEC－∠CEF＝60°－30°＝30°. ∴∠BEF ＝∠OBE.∴EF∥AB. (3)连接OF.∵EF ∥AB ，BF ∥OE ，OB ＝OE ，∴四边形OBFE 是菱形． ∴S △EFB ＝S △EOF. ∴S 阴影＝S 扇EOF.设圆的半径为r ，在Rt △AEO 中，AE ＝2，∠A ＝30°，∴r ＝OE ＝233.∴S 阴影＝S 扇EOF ＝60π×（233）2360＝2π9.。
安徽省中考数学总复习第一轮中考考点系统复习第六单元圆第21讲圆的基本性质试题
15．（2016·聊城)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是错误!上一点，且错误!＝错误!,连接 CF
并延长交 AD 的延长线于点 E,连接 AC.若∠ABC＝105°,∠BAC＝25°,则∠E 的度数为
（B）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
16．（2016·濉溪县模拟 )如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝8,BC＝10,AC＝6,D 是弧 AB 的中点，
45°.若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 3错误!．
提示：当 AC 为直径时，MN＝错误!AC 最大． 18．（2016·聊城)如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O,交斜边 AC 于点 D,点 E 为 OB 的中点，连接 CE 并延长交⊙O 于点 F，点 F 恰好落在错误!的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延 长线相 交于点 G，连接 OF. （1）求证:OF＝错误!BG； (2）若 AB＝4，求 DC 的长．
连接 CD 交 AB 于点 E，则 DE∶CE 等于（ B ）
A．2∶5
B．1∶3
C．2∶7
D．1∶4
提示：连接 DO，交 AB 于点 F，利用垂径定理的推论得出 DO⊥AB，AF＝BF，进而求出 DF 的长,
再由△DEF∽△CEA，即可求出 DE∶CE。
17．（2016·繁昌模拟)如图，AB 是⊙O 的弦,AB＝6，点 C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB＝
13．（2016·利辛中疃模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(10，0)，点 B 的坐 标为（8，0），点 C，D 在以 OA 为直径的半圆 M 上，且四边形 OCDB 是平行四边形．求点 C 的 坐标．
安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
安徽省中考数学决胜一轮复习第章圆第节圆的基本性质
由以上可以预测2019年的中考，也会延续近五年的中考，考一个带 有综合性的选择题或填空题，难度在中等左右，尤其可能延续近两年的 中考，考一个有关“圆的基本性质”的解答题，会是一个综合性的题 目，难度中等．
基础知识梳理
●考点一 圆的有关概念及性质
1．圆的有关概念 (1)圆：圆是到定点的距离等于_定__长___的点的集合；这个定点叫做圆 心，这 个定长 叫做半 径；圆 心确定 了圆的 _位__置___ ，半径确定 了圆的 _大__小___； (2)弧：圆上两点间的部分叫做__弧____；小于半圆的弧叫做_劣__弧___， 大于半圆的弧叫做_优__弧___；
为
(C)
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
3．(2018·临沂)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将
10 3 △ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是___3___cm.
4．(原创)如图，量角器边缘上有 P，Q 两点，它们表示的读数分别
为 60°，30°，已知直径 AB＝4 3，连接 PB 交 OQ 于 M，则 QM 的长为 __2___3_－__3__.
选择
4
圆周角定理与平行四边形的判定、平行 2017 线 的 性 质 、 全 等 三 角 形 的 判 定 、 圆 心 解答 10
角、弧、弦、弦心距四者关系的综合
2018 尺规作图、垂径定理、勾股定理的综合 解答 10
难度星级 ★★★★
★★★ ★★★★
★★★ ★★★
说明：由以上分析可以看出，安徽的中考，每年都会考一个有关 “圆的基本性质”知识的题目，有时是选择题或填空题，有时是解答 题，不论是何种题型，都会是综合性较强的题目，这也是与圆这部分知 识的特性所决定的，有的题目可能会综合几何中的几乎所有重要的知识 点，尤其是近四年都是考的有关“圆的基本性质”的解答题，综合了垂 径定理、勾股定理、圆周角定理及相似三角形、解直角三角形的有关知 识．
中考数学总复习 第一板块 基础知识过关 第21课时 与圆有关的位置关系课件
三角形的内切圆
【例5】 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径
r=
.
命题点5
解析:如图,在Rt△ABC中,
AB= 2 + 2 = 62 + 82 =10.
1
1
∵S△ACB= AC·BC= ×6×8=24,
2
2△
∴r=++
2
=
48
=2.
(bànjìng)画圆,则☉O与直线AB的位置关系是(
A.相交
B.相切 C.相离
D.不能确定
答案:A
第八页，共二十四页。
)
基础自主导学
考点梳理
(shūlǐ)
自主(zìzhǔ)
测试
4.如图,正三角形的内切圆半径(bànjìng)为1,则这个正三角形的边长
为
.
答案:2 3
第九页，共二十四页。
命题
命题
cm,∠ACD=30°,那么AC=
cm.
图①
图②
第十五页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
规律方法探究
命题点4
命题点5
解析:(1)由于△OAB为等腰三角形,要求∠AOB,即需求∠OAB.因为PA是
☉O的切线,所以∠OAB+∠PAB=90°,所以∠OAB=90°-30°=60°,所以
第21课时
(kèshí)
与圆有关的位置关
系
第一页，共二十四页。
基础自主导学
考点(kǎo
diǎn)梳理
自主(zìzhǔ)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。