专题02导数与零点个数-2019年高考数学总复习之典型例题突破(压轴题系列)版含解析

专题02 导数与零点个数

导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。

【题型示例】

1、设为实数,函数．

(1)求的极值点；

(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．

【答案】

（1）的极大值点为,极小值点为．（2）或．

2、已知函数.

（1）求的极值；

（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围. 【答案】

（1）极大值，无极小值；

（2）.

【解析】

（1）的定义域为, ,令得，

当时，，是增函数；

当时，，是减函数，

所以在处取得极大值,

无极小值.

（2）①当时，即时，

由（1）知在上是增函数，在上是减函数，

所以，

因为的图象与的图象在上有公共点,

所以，解得，又，所以.

②当时，即时，在上是增函数，

所以在上最大值为，

所以原问题等价于,解得.

又，所以此时无解.

综上,实数的取值范围是.

3、设函数（其中）．

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求函数在上的最小值；

（Ⅲ）若，判断函数零点个数．【答案】

（1）极小值，不存在极大值；

（2）

（3）1个．

【解析】

（Ⅰ），

由得，由得，

在单调递增，在单调递减．

极小值，不存在极大值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．

当时，在单调递减，单调递增，

∴．

当时，在单调递增，

；

（Ⅲ）由题意

求导得，

由得或，由得

所以在上单调递增，在上单调递减

当时，，

故函数只有一个零点．

4、已知函数.

（I）若，求的极值；

（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

【答案】

（I）的极小值为；（II）或.

【解析】

（I）时，，其中

则得

当时，单调递减，当时，单调递增，

因而的极小值为；

（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，分离参数得，设，则，

又设，，而

因而当时，当时，

那么当时，单调递增，