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一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
一元函数积分学及其应用.ppt
分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式， x称为积分变量．
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
一元函数积分学概论
一元函数积分学概论
一元函数积分学指的是对一元函数进行积分的学科，即研究如何求解一元函数的不定积分和定积分。
一元函数是指只有一个自变量的函数，例如$f(x)$，其中$x$是自变量。
一元函数积分学的主要内容包括：定积分的意义、性质和计算方法；不定积分的定义、性质和计算方法；换元积分法、分部积分法、三角函数积分等积分方法；反常积分的概念和判定等。
定积分的意义是求曲线$y=f(x)$和$x$轴之间的面积，其性质包括线性性、可加性、保号性等。
计算方法包括定积分的定义式、图形面积加减法、化成简单积分等方法。
不定积分是指求出函数$f(x)$的原函数$F(x)$，常用的计算方法包括换元积分法、分部积分法、三角函数积分等。
换元积分法是将积分中的自变量用另一个变量代替，使积分式化为更容易求解的形式。
分部积分法是将积分式分解为两部分，然后将其中一部分求导，另一部分积分，最终得到原积分式的解。
三角函数积分是针对含有三角函数的积分进行求解。
反常积分是指积分区间为无限或在有限区间内函数存在无限大或无界时的积分，其判定方法包括比较判别法、极限判别法、积分测试法等。
总的来说，一元函数积分学涉及到多种方法和技巧，需要掌握一定的数学知识和思维方式才能有效求解。
一元函数微分公式
【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。
这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。
除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。
由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。
为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。
借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。
这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。
然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。
这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。
牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。
一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：(1)Ф’(t)在[α,β]上连续；(2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。
(2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。
(3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。
一元函数积分学
ห้องสมุดไป่ตู้
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数，若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx，则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。
例
(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )（可导）
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ －1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
11
(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;
2
3.1.1 原函数与不定积分的概念
定义 设f ( x )是区间 I内的函数，若存在函数 F ( x ), 3.1 使得对 ∀x ∈ I , 恒有F ' ( x ) = f ( x )或
dF ( x ) = f ( x )dx，则称 F ( x )是f ( x ) 在区间 I内的一个原函数。
例
(sin x ) = cos x sin x 是 cos x 的原函数.
15
3.2.1 换元换元法
1、第一类换元法 问题
∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t = 2 x ⇒ dx = dt , 2 1 1 1 ∫ cos 2 xdx = 2 ∫ cos tdt = 2 sin t + C = 2 sin 2 x + C .
16
在一般情况下： 设 F ′( u) = f ( u), 则
∫ f (u)du = F (u) + C .
如果 u = ϕ ( x )（可导）
( F [ϕ ( x)])' = f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)
∴
∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = F [ϕ ( x )] + C
x
x µ ≠ －1两种情况求。 a x + C (a 0, a ≠ 1); (4) a dx = ln a
x
2
(7)∫
1
1 − x2
dx = arcsin x + C ;
11
(8)∫ sin xdx = − cos x + C ;
一元函数积分学及其应用(课件)
注意：利用MATLAB的int函数求不定积分时，只是求出被积函数的一个原函数，不 会自动补充常数项 C 。
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
一元函数积分学
2
xdx dx cot x x C .
1 5 x 3 e x 例11 dx ( ( ) ( )( ) )dx x 1 2 2 2 2 2 1 5 x 3 e x ( ) dx ( ) ( ) dx 2 2 2 2 1 5 x 3 e x ( ) ( ) C. 2(ln 5 ln 2) 2 2(1 ln 2) 2
2 2 x a C a
dx 2 1 1 x
2
k f ( x ) dx . （k 是常数，k 0)
例5 (
1 x 1 x 1 x 3 arctan x 2 arcsin x C.
2
2
) dx 3
1
2
dx
例6
1 x x
2
2
x (1 x )
dx
x (1 x ) dx 2 x (1 x )
例3
dx
(2)
x C.
二、 基本积分表
积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一 个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。 将基本导数公式从右往左读，（然后稍加整理） 可以得出基本积分公式（基本积分表）。
(1 )
kdx
kx C
x
1
( k 是常数);
C ( 1);
2
2
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x 1 .
2
注
f ( x )的 一 个 原 函 数 的 图 形 称 为 f ( x )的 一 条
积分曲线.
求不定积分得到一个积分曲线族 y=F(x)+C.
y=F(x)+C
一元函数积分学(不定积分的概念与性质)
一、原函数的概念 1. 问题
(1)已知速度v( t ), 求路程s( t ).
即 s( t ) v( t )(已知), 求s( t ).
(2)已知曲线上每一点处的 切线斜率k ( x ), 求曲线y f ( x ).
即 y k ( x )(已知), 求y f ( x ).
2. 原函数的定义
例11. 计算 cot 2 xdx. 解:
2 2 cot x dx (csc x 1)dx
cot x x C .
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行恒等 变形，才能使用基本积分表.
cos 2 x dx. 例12. 计算 2 2 cos x sin x
解:
x
90 x 2 2 3 cos x x C ln 90 3
3
(2x x x 3 x ) x 例4. 计算 dx. 2 x
(2 x x x 3 x ) x 解: dx 2 x
(2 x
1 2
3 )dx x
2 x 2 x 3 ln x C
x x e dx e C; x a x C; (13) a dx ln a (14) sinh xdx cosh x C ;
(12)
(15) cosh xdx sinh x C ;
(16) 0dx C .
四、不定积分的性质
不定积分的基本性质：
d (1) f ( x )dx f ( x ), 或 d[ f ( x )dx] f ( x )dx, dx
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
3.1 不定积分
问题
3.1.1 原函数的概念
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(3-15)
例3. (93. 5分) 计算
xe x dx.
ex 1
解法1: 被积函数是两类函数相乘, 应使用分部积分法.
原式=2xd( ex 1) 2xex12 ex1dx
又
ex 1dx
ex 1 t
2t2 1+ t2
dt
2
1 1ln|1cosx|c. 4(cosx1) 8 1cosx
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解法2: 由半角公式得
dx sin2x 2sinx
dx 2sinx(1cosx)
4sin
x
dx cos x
2cos2
x
4sin
d(x) 2
x cos x cos2
1 t, 则 ex 1 t2,
(1t2)ln(1t2) 2t
t
1t2
x dt
ln(1t2), d x
2tdt 1 t2
2 ln(1t2)dt
.
2 [tln (1 t2)td ln (1 t2)]2[tln(1t2)
2t2 1+t2 dt]
2[tln(1t2)2(1+ 1+ t2t)21dt]
cosx =
u
1
du
2 (1u2)(u1)
1 (1u)(1u)du
4 (1u2)(u1)
14(udu1)2 141duu2 4(u11)14(1ud)u(1u) 4(u11)8 1((1 1u)1 1u)du4(u11)81ln|11 uu|c
积分就可求得 f ( t ) .
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(3-29)
例2.(99. 3分) 设 f (x) 是连续函数, F(x)是f (x)的原函数, 则( A ).
(A) 当f (x)是奇函数时, F (x) 必是偶函数. (B) 当f (x)是偶函数时, F (x) 必是奇函数. (C) 当f (x)是周期函数时, F (x) 必是周期函数. (D) 当f (x)是单调增函数时, F (x) 必是单调增函数.
x
1 4
d (tan x ) 2
tan x cos2 x
2
2
2
22 2
22
1 4
(tan2
x +1)d(tan 2
tan x
x) 2
1tan2x1ln|tanx|c 8 24 2
2
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解法3: 用万能代换, 令 t a n x t ,
2 [tln (1 t2 ) 2 t 2 a rc ta n t]+ c
t e x 1 2 xe x 1 4e x 1 + 4 a r c ta ne x 1 + c .
注释:本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.
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(3-33）
t
f (t) =
lnt t
dt
= lntd(lnt)
=
1 2
ln 2t
c .由
f
(1)
=
0
, 得c
=
0
.
故 f (x) = 1 ln2x. 应填 1 l n 2 x .
22ຫໍສະໝຸດ 注释: 本题考查对于导函数 f ' ( e x ) 的理解和不定积分.
解决此类问题的方法是先作变量代换求出 f ' ( t ) , 然后
(t2 1) 1 1+t2 dt
2(tarctant)c2( ex1arctanex1)c.
原式= 2 xe x 1 4 (e x 1 a rc ta ne x 1 ) c .
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解法2: 令
xex dx ex 1
ex
解:通过举例即知选项(C)与(D)均不正确.对于选项(A) ,
由于f (x)的原函数F (x)
则
F(x)
x
f(t)dt+c
0
可表示为:
F(x)
x
f(t)dt+c.
令 t
u
0 x
f (u)du+c
0
x
0 f (u)du+c = F ( x). 故 (A)正确选项.
注释: 本题考查原函数的概念及变上限函数的表示法.
1 2[e2xarctanex(d ee x)x2+1+ d (e exx)2]
1[e 2xarctan exexarctan ex]+c. 2
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解法2: 令 e x t , 则 x lnt,dx dt .
t
arctane x e2x dx
arctant t3 dt
1 2
arctantd(1) t2
1 2[t1 2arctantt1 2d(arctant)]1 2[t12arctantt2(11t2)dt]
1[1arctant
2t2
(1t2+(1t2)t2)t2dt]1 2[t1 2arctant1 tarctant]+c.
第三节
第二章
一元函数积分学(二)(62)
五、历年试题解析
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五、历年试题解析
题型(一) 不定积分计算
(3-38)
例1.(04.4分)已知
f
'(ex)
xex,且
f
(1)
=
0
,则
f
(x)
=
_12 _l n _2 x .
解: 令 e x t , 则 x lnt, 代入 f'(ex)=xex得f ' (t ) = lnt .
t = e x 1[e 2xarctanexexarctanex]+c. 2
注释: 本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.
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(3-18)
例5. (94,5分)
求
dx . sin2x 2sinx
解法1:
原式=
dx 2sinx(cosx 1)
12(1coss2inxx)(dcxosx1)
例4. (01.6分)求
arctan e x e2x dx.
解法1:
arctane x e2x dx
1 2
arctanexd(e2x)
1[e 2xarctanexe 2xd(arctan ex)] 2
1[e2xarctanex
2
dex e2x(1e2x)]
1 2[e2xarctanex(1 e 2xe (1 2x )e 2e x)2xdex]