一元函数微分学
一元函数微分学总结
一元函数微分学总结
一元函数微分学是微积分中的一个重要分支，研究的是一元函数的变化率以及相关的性质。
在这篇总结中，我们将介绍一元函数微分学的基本概念和公式，并拓展一些应用和实际问题。
一元函数微分学的基本概念包括导数、微分和微分方程。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率。
计算导数的方法有几何法和代数法，其中代数法包括极限、求导法则和链式法则等。
微分是导数的微小变化，表示函数的增量与自变量的增量之间的关系。
微分方程是含有未知函数及其导数的方程，研究的是函数与其导数之间的关系。
在一元函数微分学中，有许多重要的公式和定理。
其中，导数的四则运算规则包括常数法则、幂法则、指数函数法则、对数函数法则等。
另外，还有著名的中值定理，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理等，用于分析函数在某一区间内的变化情况。
一元函数微分学的应用十分广泛。
在物理学中，微分学的应用包括速度、加速度、力等的计算，以及运动学和动力学问题的解决。
在经济学和金融学中，微分学的应用包括边际效应、收益曲线和成本曲线的分析，以及最优化问题的求解。
在工程学中，微分学的应用包括电路分析、控制论和信号处理等。
此外，一元函数微分学还可以用于解决
最优化问题、曲线拟合、数据分析和预测等实际问题。
总之，一元函数微分学是微积分的重要组成部分，研究的是一元函数的变化率和相关性质。
通过导数、微分和微分方程等概念和公式的运用，可以解决各种实际问题，并在许多学科领域中发挥重要作用。
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
(完整版)一元函数微分学课件
（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b], 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
f
(x)在点 x0处的导数
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
《数学分析》第三章 一元函数微分学
第三章一元函数微分学一、本章知识脉络框图二、本章重点及难点微分学是数学分析的核心内容之一，导数是微分学的重要概念，用导数研究函数的性质是数学分析研究函数的一个特征.数学分析中的积分学、级数理论等也与导数有密切的联系.本章首先引入了函数导数与微分的概念；分析了可导性与连续性的联系；进而又讲述了导数的计算与高阶导数；最后介绍了几个比较重要的微分中值定理与导数的应用. 在学习过程中我们要注意导数与微分的概念及其实际意义；微分中值定理及其应用.本章的重点与难点主要有以下几个方面：● 函数导数的概念、可导性与连续性的关系；费马定理、导函数的介值定理；导数的运算（复合函数、反函数的求导法则）；掌握参变量方程所确定的函数的导数；高阶导数的概念及其求法.● 微分（含高阶微分）概念的理解及其运算法则；函数连续性、可导性、可微性之间的关系.● 拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理及它们定理的应用推广；极值的三个充分条件及其证明过程；对函数凸性概念的理解及相关命题的证明；函数图象性态的列表表示法.三、本章的基本知识要点（一）导数与微分1. 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若极限)()(lim00x x x f x f x x --→存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为函数f 在点0x 处的导数，记作)(0x f ' 类似的，定义函数f 在点0x 处的左导数与右导数：x x f x x f x f x ∆-∆+='-→∆-)()(lim )(0000，)(0x f +'xx f x x f x ∆-∆+=+→∆)()(lim 000右导数和左导数统称为单侧导数．2. 设函数()x f y =定义在点0x 的某邻域()0x U 内．当给0x 一个增量x ∆，()00x U x x ∈∆+时，相应地得到函数的增量为()()00x f x x f y -∆+=∆.如果存在常数A ，使得y ∆能表示成()x x A y ∆+∆=∆则称函数f 在点0x 可微，并称()1式中的第一项x A ∆为f 在点0x 的微分，记作x A dy x x ∆==0或 ()x A x df x x ∆==0.由定义可见，函数的微分与增量仅相差一个关于x ∆的高阶无穷小量，由于dy 是x ∆的线性函数，所以当0≠A 时，也说微分dy 是增量y ∆的线性主部．容易看出，函数f 在点0x 可导和可微是等价的. 3. 导数与微分的基本性质.（1）（有限增量公式）若f 在点0x 可导，则()()x x x f y ∆+∆'=∆ 0（0→∆x ）；（2）（可导的充要条件）若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)(0x f '存在⇔)(0x f +'与)(0x f -'都存在，且)(0x f +'=)(0x f -'； （3）（可导与可微的关系）函数f 在点0x 可导和可微是等价的；（4）（可微与连续性的关系）若f 在点0x 可微，则f 在点0x 必连续（反之不真）；（5）（导数的几何意义）导数的几何意义解释是曲线的斜率，即函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点)(0,0y x 的切线斜率若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则)(0x f '.tan α=从而0)(0>'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为锐角；0)(0<'x f 意味着切线与x 轴正向的夹角为钝角；0)(0='x f 示切线与x 轴平行；（6）（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导．若点0x 为f 的极值点，则必有.0)(0='x f我们称满足方程)(x f '的点为稳定点．（7）（达布定理）若函数f 在],[b a 上可导，且)()(b f a f -+'≠'，k 为介于)(a f +'，)(b f -'之间任一实数，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得k f =')(ξ.4.求导（微分）法则.（1）（线性法则）'')'(g f g f βαβα±=±（其中βα,为常数）； （2）（乘积法则）'')'(g f g f g f +=； （3）（商法则）22')'1(,'')'(g g g g fg g f g f -=-=（其中0≠g ）； （4）（复合函数求导法则）)())(()))(((x g x g f x g f ''='（也称链式法则）；（5）（反函数求导法则）dxdydx dy 1=； （6）（莱布尼茨法则）()(),)(0)(k k n kn nk n g f C g f -=∑= 其中)!(!!k n k n C k n -=是组合系数.5. 若函数f 的导函数'f ，在点0x 可导，则称'f ，在点0x 的导数为f 在点0x 的二阶导数，记作()0''x f，即()()()0''00''0limx f x x x f x f x x =--→同时称f 在点0x 为二阶可导．利用数学归纳法可由f 的1-n 阶导函数定义f 的n 阶导函数(或简称n 阶导数)，二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f 在点0x 处的n 阶导数记作 ()()()00||,0x x n n x x n n dxyd yx f==或 相应地，n 阶导函数记作: ()()n n n n dx y d y f或,.这里n n dx y d 亦写作为y dxd n n．6. 一阶微分形式不变性：不管u 是自变量还是中间量，f 的一阶微分始终具有()du u f u df '=)(的形式.7.基本初等函数的求导公式 （1）0)'(=c (c 为常数)； （2）1)'(-=αααxx (α为任意实数)；（3）x x x x sin )'(cos ,cos )'(sin -==； （4）x x x x 22csc )'(cot ,sec )'(tan -== x x x x x x c o t c s c )'(csc ,tan sec )'(sec -== （5）xxxxe e a a a ==)'(,ln )'(；（6）).1(ln ,ln 1)'(log xx a x x a == （二）微分中值定理1.罗尔中值定理 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续；(ii)f 在开区间()b a ,内可导；(iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线.注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立.2. 拉格朗日(Lagrange )中值定理 若函数满足如下条件：()fi 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()ab a f b f f --='ξ. 显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论即为罗尔定理的结论，这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形．拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线俩短点的连线，我们在证明中引入的辅助线函数)(x F ，正是曲线=y )(x f 与直线ab a f b f a f y AB --+=)()()(()(a x -)之差.定理的结论称为拉格朗日公式。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
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α、β、γ等表示。
注: (1)无穷小量是一个特殊的变量
(2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的 充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和
即 lim y A y A (lim 0)
定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。
如：lim kx 0(其中k为常数)
x0
1
x0
x
x0
x x0
1
f
(0 )
lim (1
x0
x
)
1 x
2
lim
x0
(1
x 2
)
2 x
2
1
e2
e
f(x)在x=0处有极限存在，必须
得 b e
三、函数的连续性
1、函数的连续与连续函数
定义6 设函数f(x)在点x0及其邻域内有定义并满
足
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y
x0
0
(△x为x0点处自变量的改变量，△y为相应的函数 改变量)
分母的最高次幂系数之比。如
lim
x
2x3 5x3
x2 2x
1 3
2 5
②当分子的最高次幂小于分母的最高次幂时，其极限值
=0
③当分子的最高次幂大于分母的最高次幂时，其极限值
=∞
2、两个重要极限
(1) lim sin x 1
x0 x
注：①该极限呈 " 0 "型
0
②一般形式为： lim
sin (x) 1
(6)对于连续函数(基本初等函数在其定义区间上都是连续
函数)，极限符号与函数符号可以互相交换。
即
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
f (lim xx0
x)
2、函数的间断点
若函数f(x)在点x0处不连续，则称f(x)在点x0处发生间断， 使f(x)发生间断的点x0称为f(x)的间断点。
若函数f(x)在点x0处有下列三种情况之一，则f(x)在点x0处 间断：
引例： 例1 数列 例2 数列
1,
1 2
,
1 4
,
1 , 8
1 2n
,
1,1,1,1(摆动数列)
例3 数列 1, 2, 3, 4, n ,
定义1，给定一个数列 Xn ，若当n无限增大时，Xn无
限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数
列 Xn以A为极限，记作
lim Xn A 或Xn→A(n→∞)
x0
x0
lim f (x) f (0)即f (x)在x 0处连续 x0
(5)若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称f(x)在 区间(a,b)内连续，这时 (a,b)称为f(x)的连续区间。若 函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a右连续， 在右端点b左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]连续。
单调有界数列必有极限。
0
1
1
n
3
n
记 lim (1 1)n e
n n
2、函数的极限
（重要极限）
(1)x→∞
①x→+∞ 引例:考察
y1
,当x>0且趋于正无穷时的变化趋势。
x
定义2 设函数y=f(x)，若当x无限增大时，函数f(x)`无限
趋近于某个固定的常数A，则称当x趋于正无穷时，
f(x)以A为极限，记作
lim
xx0
f
(x)
A或f
(x)
A(x
x0 )
若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，
如：则lxim称2函x数2 f(x4)在点lxxi m0处1 x没x2有11极限2。
而 lim 1 不存在，lim sin 1 不存在
x0 x
x0
x
注：极限的实质是描述在自变量的某个变化过程中函数 是否有确定的变化趋势。函数有确定的变化趋势，就 可能有极限；否则函数就一定无极限。
x0
f(x)=
x
(1
x
)
1 x
2
x0
试求当b等于何值时，f(x)在x=0处的极限存在。
[分析]该函数是分段函数,x=0是它的分段点，在x=0的左 右两侧函数的表达式不同，因此需要考虑在此点处的 左、右极限。
解 f (0) lim (xsin 1 b) lim (xsin 1) lim b b
lim f (x) A或f (x) A(x )
x
如
lim 1 0或 1 0(x )
x x
x
1
lim
x
2x
0
②x →- ∞
定义2, 若当x<0,而|x|无限增大时,函数f(x)无限地趋近于某
个固定常数A,则称当x趋于负无穷时,f(x)以A为极限。
记作 lim f (x) A或f (x) A(x )
x0 lim
x
2
2、导数概念
定义7 设函数y=f(x)在点x0的邻域内有定义，当自变量x在
x0处取得改变量△x(≠0)时，函数y取得相应的改应量
y f (x0 x)
若△x→0时，两个改变量之比
yf的( x极0限)
x
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称函数函数y=f(x)在点x0处可导。并称此极限值 为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为
g(x)
在其有定义的区间内也连续。
(2)连续函数的有关结论
①多项式函数：
y an xn an1xn1 a1x a0
在(-∞,+∞)内连续;
②有理函数
y
an xn bm xm
an1xn1 a1x a0 bm1xm1 b1x b0
在分母不为0的点都是连续的。 ③初等函数在其定义区间内都是连续的。
f
(x)
L或f
(x0 )
L
若当x>x0且x无限趋于x0(即x以x0的右侧趋于x0，记为 x→x0+)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数R，则称当 x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作
lim
x x0
f (x) R或f (x0 )
R
举例：
x x<0
设函数f(x),求f(x)= 1 x≥0
n
此时,也称数列
Xn收敛于A,否则,若当n无限增大时,Xn
不能趋近某个固定的常数A,则称当n→∞时,数列 Xn
发散。
如数而：列数数列 n列n1(12)1是nn1收是敛收 n的敛 都，的是且，发且lnim散lnni 的mn1。21n1 0
例4
求lim (1 n
1)n n
分析：由列表观察，当n→∞时,
lim (1
x
3 x
)
x •3
3
lim (1 x
3 x
)
x 3
3
e3
20
lim (1
x
)
1 x
11
lim (1
x
)
1 x
• lim (1
x )11
x0
2
x0
2
x0
2
lim
x0
1
(
x 2
)
2 x
•(
1 2
)
•111
lim x0
1
(
x 2
)
2 x
1 2
1
e2
书P84例15，设函数
x sin 1 b
x
如:
lim 1 0 x x
lim 2x 0
x
(2)x→x0
引例:①讨论当x→2时,函数y=x2的变化趋势。
②讨论当x→1时,函数 y x2 1 的变化趋势。 x 1
一般地，若自变量无限接近于某一x0时，函数f(x)有接近 于某一固定常数的变化趋势，就称函数f(x)在点x0处 有极限。
定义3 设函数f(x)在点x0的邻域内（点x0可以除外）有定 义，若当x无限趋于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限地趋 近于某个固定常数Ａ，则称当x趋于x0时，f(x)以Ａ为 极限，记作
3、左极限和右极限
引入：书 P76,讨论左、右极限的必要性。
定义4 设函数f(x)在点x0的邻域内(x0点可以除外)有定义， 若当x<x0且x无限趋于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为 x→x0-)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当 x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作
lim
x x0
f
(x)
f (x0
)B
②当x→x0时，若 ③当x→x0时，若
lim
xx0
lim
xx0
A 0 lim B 0 xx0
A 0, lim B 0即 "
0则"型x。limx0
xx0
0
f
(x)
则采取约去0因子法(因式分解、分母或分子有理化)
(3)当x→x0时，" " 型
①当分子与分母的最高次幂相等时，其极限值等于分子，
例如：书p85练习：16, 19, 20
16 lim (x sin 3 tan x) lim x sin 3 lim sin x
x0
x 2x
x0
x x0 2x • cosx
0 1 lim sin x • lim 1 1 11 1
2 x0 x x0 cos x 2
2
19
lim ( x 3)x x x
(x)0 (x)
举例：书P83
(2) lim (1 1 )x e 或