高等数学讲义-一元函数微分学
第2章 一元函数微分学
第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。
(完整版)一元函数微分学课件
（一）求曲线的切线方程与法线方程
当
≠0时，法线方程为
-1/
（二）函数的单调性与极值
1 函数单调性
定理
2 函数的极值
定理（极值的必要条件） 设f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则f'(x0)=0.
（三）函数的最大值与最小值
设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有定义，x0∈[a,b],若对于任意x∈[a,b], 恒有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)),则f(x0)为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 的最大值（或最小值），称点x0为f(x)在[a,b]上的最大值点（或最 小值点）。 注 极值与最值的区别
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
★ 如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a)及
f(b)都存在，就说 f ( x) 在闭区间a, b上可导.
f
(x)在点 x0处的导数
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
dx
x x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
高等数学讲义-一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
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x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
高等数学 一 微积分》讲义
2
11/69
（ 2 ） 因 为 ex2 − 1 ~ x2 ，
sin 3x
~
3x
，1−
cos 2x
~
1 2
(2
x
)2
=
2x2
，
ln(1 + x) ~ x
( ) 所以
e x2 − 1 sin 3 x lim x→0 (1 − cos 2 x)ln(1 +
x)
= lim x→0
x2 ⋅(3x) (2x2)⋅ x
3n+2
=
lim
1 5
−
1 52
( 4 )n−1 5
n→∞ 1 + 3( 3 )n+1
5
=
1− 5
1 52
lim( 4 )n−1 n→∞ 5
=
1
1 + 3lim( 3 )n+1 5
n→∞ 5
（2）
lim
x − cos x
=
lim
1−
cos x x
=1
x→+∞ x − sin x x→+∞ 1 − sin x
=
⎛
1⎜
2
lim
x→0
⎜ ⎜
sin x 2
x
⎞2 ⎟ ⎟ ⎟
=
1 2
2
⎝2⎠
π
(4)lim(nsin π ) =
n→∞
n
limπ
n→∞
sin
⋅
n
π
=π
π
lim(nsin )
n→∞
n
n
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注意：等价无穷小
x → 0时， x ~ sin x, x ~ tan x, x ~ arcsin x ， 1 − cos x ~ x2 2
第2章--一元函数微分学
即 y lim f ( x x) f ( x)
x0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
或 f ( x) lim f ( x h) f ( x) .
h0
h
注意: 1. f ( x0 ) f ( x) xx0 .
12
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函 数.
播放 13
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 y f (x x) f (x);
,
解得
x01
1,
x02
1,
从而知过点(0,-1)可作两条直线与 y x2 相切，
其斜率分别为 k1 2, k2 2,
二直线方程分别为 y 1 2x, y 1 2x.
19
四、可导与连续的关系
定理 若函数y=f(x)在点x0 处可导 则它在点x0 处必定连续 .
证明 设函数 f ( x)在点 x0可导,
x1
2 3
x2
2 3
切点为 2, 4 6 3 9
2, 4 6 3 9
所求切线方程为 y 4 6 和 y 4 6
9
9
57
三、复合函数和隐函数的求导法
1、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
★ 若函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导，且在左端 点处右可导和右端点处左可导，则称函数f(x)在闭 区间[a,b]内可导。
11
★对于任一x∈ I,都对应着 f (x) 的一个确定的 导数值， 这个函数叫做原来函数f ( x) 的导函数.
记作 y, f ( x), dy 或 df ( x) . dx dx
《大学数学课件一元函数微积分学》
曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然 后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函 数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的 量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成 的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能 够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股 息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶 导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一 个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象 的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积 分：代换法、分部积分法、 三角函数积分法、有理函 数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第 二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例 子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐 渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、 功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的 形式，从而来研究一些不易计算的函数。
第二章-一元函数微分学.docx
第二章一元函数微分学导数的概念定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。
处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)・f(xo),若果极限点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。
处不可导.下面是两种等价形式：f'(Xo)= __________________ = ___________________ •当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= • 注意：f'(xo)工［f(x°)y■.・ /(兀0 +山)一/(旺)如果y=f(x)在点X 。
及其左侧邻域内有定义，当hm —T —存在时，则称该极值为f(x)在点X 。
处的 ______ 记为—.同理，定义右导数性质 函数y=f(x)在点x 0处可导<・・> ________左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。
处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_•可导函数与连续性的关系函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).导数的运算3.1基本初等函数的导数公式c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________存在,则称此极限值为函数沪f(x)在2.(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________3.2导数的四则运算法则设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)3.3反函数的求导法则设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对应区间内也可导，且有f(x)= ____ •3.4复合函数的求导法则设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则旷 -------- = ---------3.5隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.3.6由参数方稈确定的函数的求导法则设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则空_ 一一------ 一--------3.7对数求导法对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.如y = u：两端取对数：___________ ,化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.3.8高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .常见n阶导数公式：(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m<n ）（sin 工）（"）= _____ _______（cos x ）（n ） = ________ _______4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件：① 在点X 。
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lim
n
an
a.
例 1 用定义证 l i mqn 0 n 0 ， 去找 N
q( 1 )常用
可从 an a 出发解不等式．
例 2 证 lim n a 1 ( a 0 ) 常用 n
例
2例证3 lim证n n
alim1 n
2nn22(a31n
0)1
2
．常用
法 2 提供了一种求 N 的技巧．将 an a 适当放大，使 an a bn ， ――― 插项
an a ，
则称数列an以 a 为极限，或称 an 收敛于 a ，记作
lim
n
an
a
或
an a ( n ) ．
Note:
(1)
一般情况下，用定义证
lim
n
an
a
0 ，去找 N ， 可从 an a 出发解不等式．
(2) 0 , N 的取法不唯一．未必要取到最小的 N
(3)一个数列收敛与否，与前面有限项无关．
的一般项
n
(1)n1 1 n 当n
无 (限1增n)n大1 时越，来a越n 无接限近接于近常于数常1数.
1，
an 1 无a限 •2 接近a•4于零a•6．
O
1 3 51
2 46
a5
•
a• 3
64
53
a1
•
2x
an
n (1)n1 n
1
(1)n1 n
，
an
1
1 n
，
an
1
1 n
任 给 总存在正整数 使当
分段函数
在定义域的不同子区间上用不同的表达式
表示的对应规律．
例
sin x, x 0, f ( x) 2x 1, x 0.
常见的分段函数
（1）符号函数
1,
x 0, x 0.
（2）取整函数 y [x] N
当 n x n1， n 0, 1, 2,L 时， y [x] n N
已知 S 1 g t 2 ，求在 t 2 时的瞬时速度V (2) ． 2
落体在[2, t] 上的平均速度：
V (t) S(t) S(2) 1 g(t 2) ， t2 2
当 t 无限地接近于2 时，V (t) 无限地接近于V (2)2g ．
t 2.1
2.01
2.001 2.0001 2.00001
V (t ) 2.05 g 2.005 g 2.0005 g 2.00005 g 2.000005 g
§2 数列的极限
数列 按自然数顺序排列的一列数：
a1, a2 , L , an , L ， 记为an ．
数列分为无穷数列和有限数列
例
(1)
1 2n
:
11
1
, 2
, 4
L,
2n ,
L
(2)
（3）Dirichlet（狄利克雷）函数 1, x Q,
D(x) 0, x Q.
十分经典的函数
是不是所有的周期函数都有最小的正周期？
Ch2 一元函数的极限与连续性
§1 问题的提出
例1 圆的面积
两个实例
正六边形
正十二边形
割圆术： 割之弥细，所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体而无所失也。
恒有
1 4 1 100 1 1000
4 100 1000
n4 n 100
n1000
1 an 1 4
1 an 1 100
1 an 1 1000
0
N?
n N an 1
Def 1. （ N 定义）
设an为一数列， a --定常数．若对 0 ，
总 正整数 N ，使得当 n N 时，恒有
(1)n
n
:
1
(1)n
1, , L ,
,L
2
n
(3)
an :
0, 1 , 0, 1 , 0, 1 , L 4 16 64
例
(4)
n
n
1
:
0, 1 , 2 , L , n 1 , L
23
n
(5)
1 (1)n
2
:
0, 1, 0, 1, L
(6)
2( 1)n n
:
11 , 4, , 16, L
再解不等式 bn 来确定 N ．
① 原理： A B, B C A C
② bn 不能放得太大，要保证bn 0，且 bn 要比较简单．
例 4 证 an (1)n 发散．
证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N ，
总有 n0 N ，使 an0 a 0 ．
例5
证
例 1, 2, 3, L , 10, 1 , 1 ,L , 1 , L 11 12 n
因此，一个数列去掉或添加有限项
不影响其敛散性与其极限值．
Note:
（4）如何证
lim
n
an
a
方法： 某个 0>0 ，使 N N ，
比较
总有 n0 N ，使 an0 a 0
0, N N , n N , 恒有 an a .
Ch1 一元函数
一、基本初等函数（5 类）
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数．
二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算， 且只能用一个解析表达式表示的函数．
如
xes i nx ln(1 x )2
y
x5 x4 1
三、非初等函数 高数中常见的非初等函数： 分段函数．
n2
lim
n
a
n
0
(a 1) ．
28
极限存在：n 无限增大时， an 无限地接近于某个常数 a
极限不存在（或发散）： 1．振荡 2．发散到
如n : 1, 2, 3, L ,
当 n 时， an n ；
如n : 1, 2, L ,
当 n 时， an n ．
如何描述数列的极限
例，
n
无限增大时，数列
n(
1)n1 n
A 表示半径为 R 的圆的面积，
An 圆内接正62n1 边形的面积
62n1
1 2
R 2 s in622n1
，
R
圆内接正62n1 边形的面积数列为：
A 1 ，A 2 ，A 3 ，…，A n ，…，
n 无限增大时，圆内接正 62n1 边形无限地接近于圆， An 就无限地接近于常数 AR2 ．
例 2 自由落体运动的瞬时速度