同济大学高等数学教案第三章一元函数积分学及其应用

一、基本概念：
1、有理函数：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：
, ， .
2、真分式：假设多项式 之间没有公因子，且 的次数小于 的次数，这时称该有理函数为真分式，而 的次数大于或等于 的次数时称该有理函数为假分式.
3、最简分式：下列四类分式称为最简分式,其中 为大于等于2的正整数, 、 、 、 、 、 均为常数,且 为二次质因式.
教学难点
第二换元法
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握不定积分的换元法和分部积分法。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、第一类换元法的关键是：在求 时,如何将 化为 的形式.其具体作法可按如下步骤进行：
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
有理函数分解式
教学难点
有理三角式变换
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
会求简单的有理函数的积分。
教 学 基 本 内 容
大纲要求
理解定积分的概念及性质，了解可积条件。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、定积分设函数 在 上有界，在区间 上任意插入 个点，则有
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解原函数与不定积分的概念及性质。
掌握不定积分的基本公式。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、原函数
已知 是定义在某区间 内的函数，若存在函数 ，使得
或者 , ，
则称 为区间 上 的原函数.
2、不定积分
在区间 上,函数 的带有任意常数项的原函数称为 在区间 上的不定积分,记作 ，即
例20求（1） ；（2） .
例21求 .
例22求下列积分（1） ；（2） .
例23求（1） ；（2） .
例24求（1） ；（2） .
例25求 .
*例26求（1） ；（2） .
例27求 .
例28求不定积分 .
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第三节几种特殊类型的不定积分
课的类型
新知识课
教学方法
(1)变换积分形式，即直接或间接地令 ，且保证 可导及 ，于是有
；
（2）求出 的原函数 ，即得 ，
从而 ；
（3）回到原来变量，即由 解出 ，从而得所求的积分
3、分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，它是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法.
若 具有连续导数，则 ，即 .两边积分，得 ，即 .也可写作
第三章第四节定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
定积分几何意义，定积分性质
教学难点
定积分定义
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例6求(1) ；(2) .
例7求 .
例8求不定积分
例9求下列不定积分:
(1) (2)
例10求 .
例11求不定积分 .
例12求(1) ；(2) .
例13(1) ；(2) ；
(3) ；(4) .
例14求(1) ；(2) .
例15求(1) ; (2) ;
例16求 .
例17求 .
*例18求 .
例19求不定积分
高等数学教学教案
第三章一元函数积分学及其应用
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第一节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数，不定积分概念，不定积分性质
教学难点
原函数存在性
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
（1）变换积分形式（或称凑微分），即 ；
（2）作变量代换 ，有 ；
（3）利用常用的积分公式求出 的原函数 ，即得 ,
从而 ；
（4）回到原来的变量，将 代入即得 .
2、如果在积分 中，令 ，且 可导， ，则有
若上式右端易求出原函数 ，则得第二换元积分公式 ，其中 为 的反函数，即 .
其具体作法可按如下步骤进行.
，
其中符号 称为积分号，称 为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 是 的一个原函数.
二、定理与性质：
基本积分公式
(1) ；(2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
(13) ; (14) .
性质1(积分与微分关系)设函数 及 的原函数存在，则
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） ；（10） ；
（11） ；（12） .
例7已知 求满足条件的函数 .
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第二节不定积分的换元法与分部法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
不定积分第一换元法，分部积分法
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
二、定理与性质：
三、主要例题：
例1把分式 分解为最简分式之和.
例2把分式 分解为最简分式之和.
例3分解有理分式 .
例4求 .
例5求 .
例6求 .
例7求
例8求不定积分
例9求不定积分 .
例10求 .
例11求 .
例12求 .
授课序号04
教 学 基 本 指 标
教学课题
.
二、定理与性质：
定理1设 具有原函数 ， 可导，则 是 的原函数，有换元公式
.
定理2设 是单调的可导的函数，且 ，又 具有原函数 ，则 是 的原函数，即有换元公式
.
三、主要例题：
例1求 .
例2求不定积分 .
例3求不定积分：
(1) ; (2) .
例4求（1） ;（2） .
例5求下列不定积分:
(1) ;(2)
（1） ；
（2） .
性质2（线性运算）设函数 及 的原函数存在，则
，
其中 为任意常数.
三、主要例题：
例1设 和 均连续，问 与 是否相等?
例2求 .
例3求 （即 ）.
例4求 .
例5设曲线通过点 ，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方，求此曲线的方程.
例6求下列不定积分:
(1) ；(2) ；
（3） ;（4） ;