一元函数积分学的应用
一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用
解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学是微积分的重要分支，它研究的是函数的积分、面积、弧长等概念和性质。
通过对函数的积分，我们可以得到函数的原函数，进一步求解曲线下的面积、曲线的弧长等问题，同时也可应用于物理、经济、工程等领域的实际问题中。
在进行一元函数积分学及其应用的实验过程中，我获得了以下总结和反思：
1. 实验准备要充分：在进行实验之前，我需要对相关的理论知识进行复习和准备，确保自己对一元函数积分学的基本概念和方法有清晰的理解。
同时，还需要准备好实验所需的材料和工具，确保实验可以顺利进行。
2. 实验过程要仔细：在进行实验过程中，我需要认真观察和记录实验现象，遵循实验操作规范，确保数据的准确性和可靠性。
同时，还需要注意实验环境的安全，避免实验过程中出现意外情况。
3. 实验结果要进行分析和总结：在实验结束后，我需要对实验结果进行仔细的分析和总结，找出规律和问题。
如果实验结果与理论知识不符，我需要思考可能的原因，并尝试解决问题。
同时，还可以通过实验结果对理论知识进行验证，加深对知识的理解。
4. 实验中的创新思维：在进行一元函数积分学及其应用的实验中，我也可以尝试一些创新思维，比如探索新的实验方法、设计新的实验方案等。
通过创新思维，我可以更好地理解和应用一元函数积分学的知识，提高自己的实践能力。
总的来说，一元函数积分学及其应用的实验是提高自己对知识理解和应用能力的重要途径。
通过认真准备、仔细实施和精确分析，我可以更好地掌握一元函数积分学的知识，并将其应用于实际问题中。
同时，也可以培养自己的创新思维和实践能力。
一元积分学的几何应用与重积分计算
一元积分学的几何应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积{(,),()()}[()()]baDX D x y a x b g x y f x S dxdy f x g x dx =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()bay f x y g x x a x b a S f x g x dx ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;{(,)()(),}[()()]dcDY D x y g y x f y c y d S dxdy f y g y dy =≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;(),(),()()dcx f y x g y y c y d c S f y g y dy ====>=-⎰由曲线与直线所围图型的面积为;221{(,),()()}[()()]2DD g f S d d f g d βαθρθαθβθρθρρθθθθ=≤≤≤≤==-⎰⎰⎰型区域的面积为;2、旋转体体积22{(,),0()()}[()()]bx aX D x y a x b g x y f x x V f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,,()()bx ay f x y g x x a x b a x V f x g x dx π=≥=≥==≥-⎰所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,)0()(),}[()()]dy cY D x y g y x f y c y d y V f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;22()0,()0,()()dy cx f y x g y y c y d c y V f y g y dy π=≥=≥==≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;{(,)0,()()}2[()()]by aX D x y a x b g x y f x y V x f x g x dx π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),,02()()by ay f x y g x x a x b a y V x f x g x dx π====≥≥-⎰所围图形绕轴旋转一周生成的=;{(,)()(),0}2[()()]dx cY D x y g y x f y c y d x V y f y g y dy π=≤≤≤≤≤-⎰型区域绕轴旋转一周的=;(),(),02()()dx cx f y x g y y c y d c x V y f y g y dy π====≥≥-⎰,所围图形绕轴旋转一周的=;22{(,),()()}{[()][()]}baD x y a x b k g x y f x y k V f x k g x k dx π=≤≤≤≤≤=---⎰绕旋转一周的=;22(),(),,[()][()]bay f x k y g x k x a x b a y k V f x k g x k dx π=≥=≥==≥=---⎰所围图形绕旋转一周的=;{(,),()()}2()[()()]baD x y k a x b g x y f x x k V x k f x g x dx π=≤≤≤≤≤=--⎰绕旋转一周的=;注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示,x y3、曲线的弧长:(),(),[,]t LaL x f t y g t t a b L ds ==∈=⎰⎰的弧长=;:(),[,]LL f L ds θαρθθαβθ=∈=⎰⎰的弧长=;4、旋转体的侧面积:()0,[,]2()2(bx LaL y f x x a b x S f x ds f x ππ=≥∈=⎰⎰绕轴旋转一周的侧面积=;()(){(,),0()()}2()()x y f x y g x D x y a x b g x y f x x S f x ds g x dsπ===≤≤≤≤≤+⎰⎰绕轴旋转一周的=2[((baf xg x dx π=⎰（二）重积分计算法则1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域D 对称于x 轴时，令D '是D 关于x 轴某一侧的部分，则有(,)'2(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)f x y D Df x y d f x y f x y y f x y d f x y f x y y σσ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩⎰⎰=⎰⎰连续若关于为偶若关于为奇 上述性质可类似地应用于关于y 轴的对称性与函数关于x 的奇偶性（3）当积分域关于原点对称时，若),(),(y x f y x f -=--，则有.0),(⎰⎰=Dd y x f σ（4）若将,x y 互换，积分域D 不变，（D 关于y x =对称） 则1(,)(,)[(,)(,)]2DDDf x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换性） 2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域Ω对称于xoy 面时，令'Ω是Ω关于xoy 面某一侧的部分，则有(,,)'2(,,),(,,)(,,)(,,)0,(,,)(,,)f x y z f x y z dv f x y z f x y z z f x y z dv f x y z f x y z y ΩΩ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰=⎰⎰⎰连续若关于为偶若关于为奇 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将,,x y z 互换，积分域Ω不变， 则(,,)(,,)(,,)f x y z dv f x z y dv f y z x dv ΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （轮换性）3、记忆重积分的算法对{(,),()()}X D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤型区域， ()()(,)(,)b h x ag x Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰对{(,)()(),}Y D x y g y x h y c y d =≤≤≤≤型区域，()()(,)(,)d h y cg y Df x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰对{(,),()()}D g h θρθαθβθρθ=≤≤≤≤型区域，()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )h g DD f x y d f d d d f d βθαθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰特别地，2211(cos ,sin )(cos ,sin )r r r r d f d d f d ββααθρθρθρρρρθρθρθ=⎰⎰⎰⎰对{(,,)(,),(,)(,)}x y z x y D g x y z h x y Ω=∈≤≤（疑似）柱体区域，D 为Ω在xoy 面的投影 则(,)(,)(,,)(,,)h x y g x y Df x y z dv dxdy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，此为先二后一法对(,)0F y z x =⎧⎨=⎩绕z 轴（a z b ≤≤）的旋转体区域Ω，z D 为Ω在z 处的横截面区域，则(,,)(,,)zbaD f x y z dv dz f x y z dxdy Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，此为先一后二法特别地，截面面积为已知的立体体积()()b baaD x V A x dx dx dydz dv Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=对由球面与锥面所围成的区域Ω，可利用球坐标法计算：2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r r drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、典型例题（一）一元积分学的几何应用例1、求由曲线23x y =及22x y -=在上半平面围成图形的面积A 及周长S . 解： 251]2[210322π+=--=⎰dx x x A^^2()2[]OMMPS SS =+=+⎰⎰)422781313(2π+-=. yx例2、设图形A 由x y x 222≤+与x y ≥确定，求A 绕直线2=x 旋转一周所得的y V .解：（一）用元素法，相应于上的任一小区间],[dy y y +的薄片体积的元素为dy y y dy y y dv ])1(1[2})2()]11(2[{22222---=-----=πππ∴ 21223y V dv ππ==-⎰（二）用特殊的元素法 对于该题有21022(2]23y v x x dx πππ=-=-⎰. 例3、设闭曲线)()(442322y x a y x +=+所围成图形的面积.解：其极坐标方程为222(1sin 2r a θ=-，由封闭性知πθ20≤≤但由于图形上、下、左、右的对称性，知所求面积⎰⋅=202)(214πθθd r A 234a π=.例4、求曲线)cos 1(4θ+=r 和直线2,0πθθ==所围成图形绕极轴旋转一周的x V .解：⎰⎰==022282cos sin πθθππdr r dx y V x πθ160)21()1()1(122cos =+-+=⎰=dt t t t t .例5、2()f x =位于第一象限的图像与x 轴、y 轴所围区域的面积为529．解：面积44400001()[()]'()2A f x dx xf x xf x dx ==-=⎰⎰⎰3233220001252(1)(1)399du u u ==+=+=⎰⎰． 例6、设221()t x f x e dt -=⎰，求其所示曲线与直线1x =及x 轴，y 轴围成的区域绕y 轴旋转一周生成的旋转体体积V ． 解：111221202()()[()]()V xf x dx f x dx x f x x df x ππππ===-=⎰⎰⎰1(1)2e π--．例7、已知曲线的斜率为x cos ，则该曲线在]2,0[π中的弧长为2．例8、求曲线⎰=xdt t y 8sin 的全长S ．解：ππ32≤≤x ，而x x y sin )(=' ∴ 41322=+=⎰dy y S ππ．例9、设函数)(x f 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足223)()(x a x f x f x +=' (a 为常数) , 又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围成的图形S 的面积值为2,求)(x f ,并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小. 提示： 当 0≠x 时，有[]3()2a f x x '=，则Cx x a x f +=223)( 由)(x f 边连续性知0)0(=f .又由已知条件得2=12032a x Cx dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰22C a +，有a C -=4 因此x a x a x f )4(23)(2-+=，体积为[]ππ)31631301()()(2210++==⎰a a dx x f a V , 令 0)31151()(=+='πa a V ,得 5-=a .又 0151)5(<=-''V ,故知当5-=a 时,体积最小. 注：有时，平面图形的面积或旋转体体积可表示成关于参量的变限积分，在求极值时，可对此变限积分求（偏）导.例10、设()y f x =是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线，M(x,y)为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点. 若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求()f x 的表达式. 提示 ： 316)()](1[213+=++⎰x x dt t f x f x ， 两边关于x 求导，得当0≠x 时，得211()()x f x f x x x-'-=，当x=0时，f(0)=1.2()1,f x x Cx =++由)(x f 边连续性知2()(1).f x x =-（二）重积分计算例1、交换二次积分的积分顺序112(,)ydy f x y dx --⎰⎰=2110(,)xdx f x y dy -⎰⎰.解：画出积分区域D ，知道它是由三条直线：1x y +=，2x =，0y =围成， 原式0211(,)ydy f xy dx --=-⎰⎰2021111(,)(,)xxdx f x y dy dx f x y dy --=-=⎰⎰⎰⎰.例2、212y x dx edy -⎰⎰221120y yedy dx -=⎰⎰2122(1)y ey dy -=-⎰ 12e -=.例3、计算2122222200101111xx I dx dy dx dy x y x y -=+++++⎰⎰⎰⎰. 解: 022422200041ln 3 118r Dr I dxdy d dr x y r ππθπθ≤≤≤≤===+++⎰⎰⎰⎰. 例4、设区域222{(,):}D x y x y R =+≤，求2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰.解：因互换x y 、，区域D 不变，则22222222()()D Dx y y x dxdy dxdy a b a b +=+⎰⎰⎰⎰故原式2223222200111111()()22R D x y dxdy d r dr a b a b πθ=++=+⎰⎰⎰⎰（）22422()4a b R a b π+=例5．计算22DI x y d σ=+⎰⎰，其中{}22222(,),2x y a x x D x y y a +≤+≥=解：令{}222122(,),,20x y a x y a D x y y x +≤+≥=≥，由二重积分奇偶对称性性质知，1222D I x y d σ=+⎰⎰2cos 222332[]aa d d d d ππθππθρρθρρ=-⎰⎰⎰⎰34[(8)23]9a π=-+.例6、计算221()x y x y dxdy +≤+⎰⎰.解：原式22220,00,0114()8x y y y y x x x x y dxdyxdxdy ≥≥+≤+≥≥≤=+=⎰⎰⎰⎰轮换性122008cos d r dr πθθ=⎰⎰83=. 例7、求,122σd y xD⎰⎰-+ {}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤.[解] 如图,原式12122222222(1)(1)(1)2(1)D D DD x y d x y d xy d x y d σσσσ=--++-=+-+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰211122200001(1)2(1)43dx x y dy d r rdr ππθ=+-+-=-⎰⎰⎰⎰.例8、设{}2222(,)0,0,1x y x y D x y x y ⎡⎤=+≤≥≥++⎣⎦表示不超过221x y ++的最大整数，计算二重积分22D1xy x y dxdy ⎡⎤++⎣⎦⎰⎰. [解1] 原式 dr r r d ]1[cos sin 222034+=⎰⎰πθθθ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰4213103221dr r dr r 38=.[解2] {}0,0,1),(221≥≥<+=y x y x y x D ，{}0,0,21),(222≥≥≤+≤=y x y x y x D则有122),(,1]1[D y x y x ∈=++，222),(,2]1[D y x y x ∈=++原式122D D xydxdy xydxdy =+⎰⎰⎰⎰dr r d dr r d θθθθθθππcos sin 2cos sin 4213202103⎰⎰⎰⎰+=38=. 例9、设()f x 连续，求22[1()]DI y xf xy dxdy =++⎰⎰，D 由,1y x y ==-与1x =所围. 解: 22221112[1()][1()]3y x x y x y I y xf x y dxdy y xf x y dxdy ydxdy ≤≤≤-≤≤-≤=+++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 例10、连续函数)(x f 的定义域为),0[+∞，且⎰⎰+++=Ddxdy y x f x t f 1)()sin 1()(222007，其中}0,|),{(22≥≤+=y t y x y x D ,求)(x f . 解：由二重积分奇偶对称性性质知，⎰⎰=+D dxdy y x f x 0)(sin 22200722220()()1()1()1Df t f x y dxdy d f d f d πθρρρπρρρ=++=+=+⎰⎰⎰将上式两端同时对t 求导)(21)()(t f t t t f t f ππ=⋅='，即2(),()2t df t dt f(t)ce f t ππ==⎰⎰又(0) 1 f =，得1c =，故xe xf 2)(π=.例11、求2611lim sin()t txt dx xy dy t +-→⎰⎰20265sin()1lim sin()lim 6t t yt t xt dx dy xy dx t t ++→→==⎰⎰⎰22406500sin 2sin 1limlim 63618t xt ut t u du t t t t ++=→→===⎰. 例12、设f (r )在[0，1]上连续，则()()0d d lim 1222222=++⎰⎰≤+∞→y x nn y x y xfy x．证明：()()()()⎰⎰⎰⎰⎰++≤+==++1121122012222d 2d d d 22r r f r r r f rd y x y xfyxn n πy x nπϑ，设()r f M r 10max ≤≤=，则()22122210120d d 2d 22nn x y Mxyfx y M r r n ππ++≤≤+≤=+⎰⎰⎰注意到：1lim01n n →∞=+，于是由夹逼定理可知要证结论成立．例13、()f x 可导， ()g x 为其反函数，，(1)0f =，证明：1()100()2()f x dxg y dy xf x dx =⎰⎰⎰．提示：令'()'()F x xf x =，则左111200[()]'()()xF x xF x dx x df x =-=-=⎰⎰右．例14、⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22，其中Ω由锥面222x y z +=与平面z a =（0a >）围成的区域. 【解1】原式22222220510)a a ax y a dxdy x y dz d d dz a πρθρρρπ+≤=+==⎰⎰⎰⎰⎰.【解2】原式2222223050()1aa zx y z dzx y dx dz a dy d d ππθρρ+≤=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.【解3】原式222222224cos 00(sin cos sin sin )sin a d d r r r dr ππϕθϕϕθϕθϕ=+⎰⎰⎰2344cos 000sin a d d r dr ππϕθϕϕ=⎰⎰⎰510a π=.例15、222(23)x y z dv Ω-+⎰⎰⎰，其中Ω是由球面1222=++z y x 所围成的闭区域. 【解1】因区域Ω具有轮换性，则222x dv y dv z dv ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故原式22220()2()z x y dv x y dv Ω≤=++=⎰⎰⎰对称奇偶22212220012)2x y dxdy x y dz d d dz πθρρ+≤=+=⎰⎰⎰⎰815π=. 【解2】原式2221122230182()215x y z dzx y dxdy dz d d πθρπ+≤-=+==⎰⎰⎰⎰⎰. 【解3】原式2222()3x y z dv Ω=++⎰⎰⎰212200028..sin 315d d r r dr ππθϕϕπ==⎰⎰⎰. 例16、计算dv y x ⎰⎰⎰Ω+22，Ω由平面8,2==z z 以及曲面S 围成，其中S 是由曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转所生成的旋转面. 解：原式228822222198415x y zdzdz d d πθρπ+≤===⎰⎰⎰⎰⎰. 例17、计算1I dxdydz Ω=，其中1z Ω≤≤．解：121)(1I dxdydz dxdydz ΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1221224cos 40(1)sin (1)sin 1)6d d r r dr d d r r dr ππππϕπθϕϕθϕϕ=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例18、求222{(,,)|1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥上的连续函数(,,)f x y z ，使(,,)4(,,)3f x y z x y zf x y z dv Ω=++-⎰⎰⎰．提示：令(,,)f x y z dv A Ω=⎰⎰⎰，则4444,1A A zdv A A πππππΩ=-=-=-⎰⎰⎰．三、课后练习（一）一元积分学的几何应用1、曲线(1)(2)y x x x =--与x 轴所围成图形的面积可表为（C ）A dx x x x ⎰---20)2)(1( Bdx x x x dx x x x ⎰⎰-----211)2)(1()2)(1(C dx x x x dx x x x ⎰⎰--+---2110)2)(1()2)(1( Ddx x x x ⎰--2)2)(1(2、设()()f x g x m <<在区间[,]a b 上连续，则曲线(),()f x g x 夹在[,]a b 之间的平面图形绕直线y m =旋转而成的旋转体体积为（B ）Adx x g x f x g x f m ba )]()([)]()(2[-+-⎰π Bdx x g x f x g x f m ba )]()([)]()(2[---⎰π C dx x g x f x g x f m ba )]()([)]()([-+-⎰π D dx x g x f x g x f m ba)]()([)]()([---⎰π3、假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L ，x 轴和y 轴所围成区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，0>a 则3=a4、已知曲线)0(>=a x a y 与曲线x y ln =在点),(00y x 处有公切线，求①常数a 及切点),(00y x ；②两曲线与x 轴围平面区域面积A ；③该区域绕x 轴旋转一周所得旋转体体积x V [①)1,(,12e e a =②21612-=e A ③2π=x V ] 5、已知一抛物线通过)0,3(),0,1(B A①求证：两坐标轴与该抛物线所围成区域面积等于轴与该抛物线所围成图形面积 ②计算上述两平面图形绕轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比（819） 6、求曲线3,1,0,22===-=x x y x x y 所围的面积图形面积A ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积y V （π9,2==y V S ）7、求0),0(sin =≤≤=y x x y π 围成的平面图形绕x 轴旋转所得的曲面面积x S ，并求其绕y 轴旋转所得的旋转体体积y V （2ln(1π，22π）8、设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴一周所得到的旋转体的表面积[)1511(6-=πS ]9、过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D ，①求D 的面积②求D 绕e x =旋转一周所得的旋转体的体积V[①121-=e A ②)3125(62+-=e e V π]10、设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ，则该曲线上相应于θ从0边到π2的一段弧与极轴所围成的图形面积为)(414πa e a 11、双钮线，所围成区域面积可表示为（A ）A θθπd ⎰42cos 2 B θθπd ⎰402c o s 4 C θθπd ⎰402cos 2 D θθπd ⎰402)2(c o s 2112、求摆线⎩⎨⎧-=-=tt y tx sin cos 1一拱)20(π≤≤t 的弧长8=S13、求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长，其中0>a （a S 8=）14、设xoy 平面上有}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D 及t y x l =+: )0(≥t ，若)(t S 表示D 位于直线l 左下方部分的面积，试求⎰xdt t S 0)( )0(≥x .（ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤≤-+-+-=⎰221101316161)(2330x x x x x x x x dt t S x ） 15、曲线2xx e e y -+=与直线0=x ,)0(>=t t x 及0=y 围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为)(t V ，侧面积为)(t S ，在t x =处的底面积为)(t F ,①求)()(t V t S ②计算)()(lim t F t S t +∞→（① 2 ② 1）16、点)2,3(是曲线C 的一个拐点，1l 、2l 分别是曲线C 在)0,0(与)2,3(处的切线，其交点为)4,2(，设函数)(x f 具有三阶连续导数，求'''+32)()(dx x f x x （20）.y0 2 3 4 x 17、求曲线x y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线2,0==x x 所围成图形面积最小（212:+=x y l ） 18、设曲线)0,0(2≥>=x a ax y 与21ax y -=交于点A ，过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2ax y =围成一平面曲线，问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（π1875532,4max ==V a ） 19、设直线ax y =与抛物线2x y =所围面积为1S ，它们与1=x 所围面积为)1(,2<a S ①试确定a ，使达到最小21S S +，并求出最小值②求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积x V①62221min -==S a ，②π3012+=x V21、设)(x f 在),1[+∞上连续，若由)(x f y =， )0(,1>==t t x x 与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积)]1()([3)(2f t f t t V -=π，2(2)9f =，则()f x =31xx +．22、设)(x f 是正值连续函数，1)0(=f ，且对任何0>x ，曲线)(x f y =在],0[x 上的一段弧长总是等于由过x 轴上点x 且垂直于x 轴的直线及x 轴，y 轴与这段弧围成的曲边梯形面积，求这条曲线的方程．（x e y y =-+12）（二）重积分计算1、交换次序2sin 0(,)xdx f x y dy π=⎰⎰2sin 1sin 1arcsin 0arcsin (,)(,)arc yarc yyydy f x y dy dy f x y dy πππ+---+⎰⎰⎰⎰.2、设D 由22222,,x y a x y ax y x +=+==-所围成，如图中阴影部分所示，将二重积分 (,)DI f x y d σ=⎰⎰（a >0）化为极坐标系下的二次积分.20I d πθ=⎰cos (cos ,sin )aa f r r rdr θθθ+⎰⎰⎰ardr r r f d 0432)sin ,cos (θθθππ.3、求120sin y xdy dx x x =-⎰1cos1-.4、计算241222x x x xdx dy dx dy y yππ+⎰⎰=38(1)2ππ+. 5、计算22221yy x y x dy edx dy dx ----+=⎰⎰⎰1(1)8e π--．6、设D 由,2y x y x ==及2π=x 所围，若⎰⎰=+Ddxdy y x A 1)2cos(，求A =3-.7、设D 是xoy 面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的∆区域，1D 是D 在第一象限的部分， 则(sin cos )Dxy y x d σ+⋅=⎰⎰（A ）A 12sin cos D y xd σ⋅⎰⎰ B 12D xyd σ⎰⎰ C 14(sin cos )D xy y x d σ+⋅⎰⎰ D 08、设(,)f x y 连续，则111[(,)(,)1]xdx f x y f x y dy ---+=⎰⎰1．9、若{}22222(,),2x y a x x D x y y a +≤+≥=，求DI σ==322()33a π- . 10、()f x 为区域{}0,0,4,22≥≥≤+=y x y x y x D 上的正值连续函数，,a b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()(2a bπ+. 11、设,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩，其它，D 为整个平面区域，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰14．12、设{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤，则1Dxy dxdy -=⎰⎰3ln 22+．13、设:0,0D x y ππ≤≤≤≤，计算cos()Dx y d σ+=⎰⎰32π+.xy -=a-a2ayx42(222a y a x =+-222a y x =+14、设{(,):01,01}D x y x y =≤≤≤≤，计算22max{,}x y De dxdy =⎰⎰1e - .15、设函数)(x f 在]1,0[上连续，求证：()()11201212ydy f x x dx f x dx -+=⎰⎰⎰． 16、设函数)('x f 连续，求证：())]0()4([8'204222f f dx y x f dy yy-=+⎰⎰-π．17、求22{(,)|1}D x y x y =+≤上的连续函数),(y x f ， 使21(,)()(,)2Df x y x y f x y d σπ=+-⎰⎰.（21()6x y +-）． 18、设)(x f 连续，且满足16181120()()89x x x x ds f xt dt t f t dt C -+-=++⎰⎰⎰，则C =19-．19、已知32(0,0)1,(,)3,(,),22x y x x f f x y x y f x ===则||||1(,)x y f x y dxdy +≤=⎰⎰95． 20、22()201lim t xx y t dx e dy t-→=⎰⎰2．21、设222:,r D x y r +≤则2221lim cos()d d rxy r D e x y x y r +-→+=⎰⎰π．22、若Ω为平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体， 则3(1)x y z dv -Ω+++=⎰⎰⎰ln 22516-． 23、记曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围的立体区域为Ω，求2221dv x y z Ω=++⎰⎰⎰43ln 3π． 24、设Ω：2222221x y z a b c++≤，则dv Ω=⎰⎰⎰43abc π． 25、设22221:,0x y z R z Ω++≤≥，22222:,0,0,0x y z R x y z Ω++≤≥≥≥，则有（C ）A124xdv xdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B 124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D 124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰26、设Ω：2222x y z R ++≤，则2(3)x z dv Ω+=⎰⎰⎰5163R π． 27、设z Ω≤2()I xy dv Ω=+=⎰⎰⎰24π．28、由面上的区域绕轴旋转一周而成的空间区域， 则=．。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C (T )=q (T ).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x xx m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()ba w F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x Rx R x dx x xdx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
一元函数积分学(定积分几何应用和物理应用)
此 折 线 的 长|M i 1M i|的 极 限 存 在 ， 则 称 此 极 限 为
i 1
曲 线 弧 A的 B 弧 长 .
1. 直角坐标情形
y
设曲线弧为y f(x)
(a xb)，其中f(x)
dy
在[a,b]上有一阶连续导数
取 积 分 变 量 为 x， 在 [a,b]
o a x xdxb x
上 任 取 小 区 间 [x,xd]x ，
w02Rdw4 3gR3[(1)HR].
例12 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解
设木板对铁钉的阻力为
f(x)kx ,
dw f(x)d xkx, dx
第一次锤击时所作的功为
三、变力沿直线所作的功
变力作功包括有：电场力作功、气体压力作功、 克服阻力作功、万有引力作功、 弹力作功等.
由 物 理 学 知 道 ， 如 果 物 体 在 作 直 线 运 动 的 过 程
中 有 一 个 不 变 的 力 F作 用 在 这 物 体 上 ， 且 这 力 的 方
向 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致 ， 那 么 ， 在 物 体 移 动 了 距
d s (d)x 2(d)y 2[2 (t)2 (t)d ])( 2t
2(t)2(t)dt
弧长
s
2(t)2(t)d.t
3. 极坐标情形
曲线弧为
rr() ()
其 中 ()在 [, ]上 具 有 连 续 导 数 .
xyrr(())scions ()
d s (d)x 2(d)y 2r2()r2()d,
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一元函数积分学的应用
一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。
一元积分主要分为不定积分
⎰dx x f )(和定积分⎰
b
a
dx x f )(。
化为函数
图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。
所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。
而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。
因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。
积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。
故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。
微元法建立积分表达式
在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。
而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。
其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q
在该区间上局部量的Q ∆的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx
x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值
⎰⎰==b a
b
a
dx x f dQ Q )(。
（分割，近似，求和，取极限）
在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ∆所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(=。
定积分在几何中的应用
在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。
下面我们来分类讨论：
一、 平面图形的面积
求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。
而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。
1、直角坐标情形
在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。
如设曲
y
O
线)0()(≥=x f y 与直线
)
(,b a b x a x <==及 x 轴所围曲边梯形面积为 A ,则
x x f A d )(d = x
x f A b
a d )(⎰=
右图所示图形面积为
x
x f x f A b
a
d )()(21⎰-=
2、极坐标情形
0)(,],[)(≥∈θϕβαθϕC 设求由曲线
)(θϕ=r 及
βθαθ==,射线围成的曲边扇形的面积 .
)
1f y =y
)
(2x f y =a
o
x x
x d +b
x
在区间
],[βα上任取小区间
]d ,[θθθ+则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
[]θθϕd )(21
d 2=
A 所求曲边扇形的面积为
θθϕβαd )(2
12
⎰=
A
二、 平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,当折线段的最大 边长
→0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,则称此极
限为曲线弧 AB 的弧长 ,即
0lim
→=λs ∑
=n
i 1
i
i M M 1-并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(b x a x f y ≤≤=
弧长元素(弧微分) :
22)(d )(d d y x s +=x y d 12'+=
因此所求弧长
x y s b
a
d 12⎰
'+=x
x f b
a
d )(12⎰
'+=
(2) 曲线弧由参数方程给出:
)()()
(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==t t y t x
弧长元素(弧微分) :
2
2
)(d )(d d y x s +=t t t d )()(2
2
ψϕ'+'=因此所求弧长
t
t t s d )()(22⎰
'+'=β
α
ψϕ
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
)()(βθαθ≤≤=r r ,sin )(,cos )(θθθθr y r x ==令则得
弧长元素(弧微分) :
=s d θθθd )]([)]([22y x '+'θθθd )()(2
2r r '+=因此所求弧长
θ
θθβ
α
d )()(22⎰
'+=r r s
y
三、 已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ],[)(b a x A 在上连续,则对
应于小区间]d ,[x x x +的体积元素为x x A V d )(d =因此所求立体体积为
d
)(x A V b
a
⎰=
特别 , 当考虑连续曲线段轴绕x b x a x f y )()(≤≤=轴旋转一周围成的立体体积时,
有dx [f(x)]V 2
b
a
x ⎰
=
π当考虑连续曲线段)()(d y c y x ≤≤=ϕ绕 y 轴旋转一周围成的立
体体积时,有=y V ⎰
d
c
2)]([y ϕπdx
x
a
b x
y
o a
b
x
o
y
)
(y x ϕ=
说明:
也可按柱壳法求出
y V （以摆线为例）
⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x
a
π2
⎩⎨
⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x
四、 旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
,],[)(1
b a C x f y ∈=,0)(≥x f 求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:位于【x ，x+dx 】上的圆台的侧面积
dS=2πyds=2πf （x ）
x x f d )(12'+积分后得旋转体的侧面积
x
x f x f S b
a
d )(1)(22'+=⎰
π
注意：侧面积元素
s y S d 2d π=≠x y d 2π
2πydx 不是薄片侧面积△S 的线性主部。
若光滑曲线由参数方程)()()
(βαψϕ≤≤⎩⎨
⎧==t t y t x
给出，则它绕x 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为
⎰
=β
α
S )(2t ψπt t t d )()(2
2ψϕ'+'
x
y
o
a
b
x
y
o )
(x f y =b
小结：1、平面图形的面积
边界方程：直角坐标方程 参数方程
⎰'⋅=2
1
d )()(t t t
t t A ϕψ
极坐标方程
θθϕβαd )(212
⎰=
A
2、平面曲线的弧长
弧微分：2
2)(d )(d d y x s +=
曲线方程：直角坐标方程 参数方程 极坐标方程
θθθd )()(d 22r r s '+=
3.已知平行截面面积函数的立方体体积
⎰=b
a
x
x A V d )(
旋转体的体积
)(x y y =：绕x 轴：2)(y x A π= 绕y 轴：y x x A π2)(=（柱壳法）
4、旋转体的侧面积
,)( x x y y =绕x 轴旋转，侧面积元素为dS=2πyds
（注意在不同坐标系下ds的表达式）
定积分在物理学中的应用
在物理学中，一元积分主要应用于变力沿直线做功、液体的静压力、连续函数的平均值。
下面让我们来分类讨论：
1、变力沿直线做功
在高中物理中，优势会碰到一些变力做功的问题，这些问题通常不能按一般恒力做功的方法进行求解，但可以利用微积分巧妙的进行解决。
（1）水池抽水做功问题。