一元微分学应用(一)

例1
讨论 y 2x 8 的单调性. x
解 定义域: (, 0) (0, )
y
2
8 x2
2 x2
(x2
4)
令 y 0 , 得 x1 2 , x2 2 ,
x ( , 2) 2 (2, 0) 0 (0, 2) 2 (2, )
y
0
0
y
综上所述 , 函数 y 2x 8 x
在 (, 2) , (2, )内单调增加； 在 (2, 0) , (0, 2)内单调减少.
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 两侧函数的单调性. 对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号.
定理
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 Uˆ (x0 )内可微 , 点 x0 为 f (x) 的极值可疑点,
自己总结求 极值的步骤
定理
设 f (x) C(U(x0 )) , 在 x0 有二阶导数,
原不等式为证明 x 0, F x F 0 F x 1 cos x 0, x 0
等号仅在离散点处成立,不影响函数的严格单调性
F x F 0 0 x 0 x sin x x 0
二、函 数 的 极 值
函数的极值是个局部性的概念. 在 U(x0 )内比较 f (x) 与 f (x0 ) 的大小.
2
例5
求 f (x) (x2 1)3 的极值 .
解 f (x) 的定义域：x (, ) ,
f
(x)
2
(x2
1
1) 3
2x
4x
3
3 3 (x 1)(x 1)
令 f (x) 0 , 得驻点 x 0 ,
又 x 1, x 1时, f (x) 不存在,
故 极值可疑点为 x 1, x 0 , x 1.
列表讨论单调性, 判别极值:
f (2) 0 f (0.5) 0 f (0.5) 0 f (2) 0
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, )
y
0
y
极
极
极
小
大
小
f (x) 的极小点为： x 1, x 1;
极小值为： f (1) 0 , f (1) 0 .
f (x) 的极大点为： x 0 ; 极大值为： f (0) 1.
费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” .
使 f (x0 ) 0的点称为函数 f (x) 的驻点.
由费马定理可知, 驻点只是函数的极值可疑点.
函数在驻点处不一定取极值.
y
例如, y x3 在点 x 0 处, y 0 , 但 此时 y x0 不是极值 .
x0 O
y x3 x
使得函数导数不存在的点也是极值可疑点.
费马毕业于法国奥尔良大学，以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作.
1637年费马研究丢番图的《算术》时, 写下了著名的 费马大定理:
不存在满足 xn yn zn (n 2) 的正整数 x, y, z .
例如, y | x | x (, )
y y | x|
在点 x 0 处不可导,
但 x 0 恰好是它的极小点 .
O x0 x
极值可疑点
驻点: f (x) 0 的点. 使 f (x) 0 不存在点.
如何判断极值可疑点是否确为极值点?
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法
首先考察下列函数的图形:
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
y
y
y
O x0 x0 x0 x O x0 x0 x0 x
高 等 数 学（文）
—— 一元微积分学
一元微积分的应用(一) ——函数的单调性、极值
一、函数的单调性
若函数 f (x) 在区间 I 内可导, 则
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0
f (x) I
f (x) 0的点可以作为函数 f (x) 单调性的分界点.
观察下面的图形, 你能得出什么结论？
极大点
极小点
O x0 x0 x0 x
不是极值点
定理
可微函数 f (x) 在点 x0 处取极值的必要条件是f (x0 ) 0 .
实质上就是费马定理 .
费马 Pierre de Fermat (1601－1665)
费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店.
列表可使问题明朗化
例2 证
证明：xn n n (n 3) 是单调减少的数列.
1
令 f (x) x x , x [3, ) ,
利用函数 处理数列
f
( x)
1
xx
1
ln x2
x
当x 3时, f (x) 0 ,
故 f (x) [3, ) ,
由此可得 : {xn} , (n 3) .
例3 证明:当 x 0时,x sin x 证明: 设辅助函数 F x x sin x
(1) 若 x x0 时 , f (x) 0 ; (单调增加) x x0 时 , f (x) 0 , (单调减少)
则x0 为 f (x) 的极大点, f (x0 ) 为极大值. (2) 若 x x0 时 , f (x) 0 ; (单调减少)
x x0 时 , f (x) 0 , (单调增加) 则x0 为 f (x) 的极小点, f (x0 ) 为极小值.
y
y
O
x
O
x
使得函数的导数 f (x) 不存在的点也可作为 函数单调性的分界点.
综上所述, 可知: 使得函数 f (x) 的导数 f (x) 0 或 f (x) 不存在的点
可以作为函数单调性的分界点. 提供了判断函数单调性的方法
在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少.