04-第四章-一元函数微分学的应用
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
一元函数微积分的基本原理与方法
一元函数微积分的基本原理与方法微积分是数学中非常重要的一门学科，是数学中的一种基础理论，又是现代科学的一种重要工具。
一元函数微积分是微积分中最基本的部分之一，掌握一元函数微积分的基本原理与方法是学习微积分的第一步。
一、导数与微分导数是微积分的核心概念之一，是函数在一个点上的变化率或斜率。
在一元函数微积分中，导数有多种不同的定义方式，但它们都是等价的。
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 充分接近$x_0$ 时，$$f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$如果这个极限存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，并把它的导数记为 $f'(x_0)$。
导数的几何意义是曲线在 $x_0$ 点处的斜率。
对于一元函数 $y=f(x)$，如果在某一点 $x_0$ 处导数$f'(x_0)$ 存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
函数在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 也可以表示为$$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{x=x_0}$$它表示在点 $x_0$ 处函数 $y=f(x)$ 的每单位 $x$ 的变化量，也就是函数的瞬时变化率。
微分是导数的一种应用。
设 $y=f(x)$，$x$ 发生一个无限小的增量 $\Delta x$，相应地 $y$ 也发生了一个无限小的增量 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$，则称 $dy=f'(x)dx$ 为 $y=f(x)$ 的微分。
它表示在 $x$ 处函数值的微小增量与 $x$ 的微小增量之比。
在微积分中，微分是一种将无限小的变化转换为实际的数值计算的技术方法。
二、函数的基本性质函数是微积分的基础，掌握函数的基本性质对学习微积分非常重要。
1. 连续性一个函数如果在某一点连续，则表明函数在该点的值可以通过函数在该点的极限来确定。
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
电子教案-高等数学(工科类)(魏寒柏 骈俊生)ppt-第四章一元函数积分学及其应用-电子课件
计
算
A
1 x2dx
0
1x3 3
1 0
1 3
0
1 3
例 计算下列定积分
41
第 二
(1)
1
dx x
(2) 2 cosxdx 0
节
解：先运用相应的积分公式求出原函数，再
定 积
利用牛顿-莱布尼兹公式计算它在上、下限处
分 的
函数值的差。
计 算
(1)
4 1
1 dx 2 x
x
4 1
4
2
2
(2)
2
2 cosxdx sin x 1 0 1
第
点x1 x2 , , xn1 ，如果记x0 a, xn b，这样就把区
一 节
间[a,b] 任意分成了n 个小区间[xi1, xi ], i 1,2, , n，其长
度对应记为xi xi xi1 ，且将所有小区间长度的最
定 积 分 的 概
大值记为 max{ xi}。在每个小区间[xi1, xi ]上任取一
一 节
“取极限”四个步骤.
定
(1) “分割”
积 分
在区间[0,1]内均匀地插入n 1个分点：
的 概 念
x1
1 n , x2
2 , n
, xn1
n 1 n
得到n个等分小区间，记
小区间对应的小曲边形
面积为si (i 1,2, , n) ，于
是有：A
n
si
i 1
(2) “近似”
第 一 节
以 点每xi 个ni 处小的区函间数的值长度f (xi)x作i 1n高作，底就，可区得间到的n右个端小 矩形，如果把它们的面积分别记作Ai ,(i 1,2, ,n)
一元函数积分学及其应用(课件)
18
第、。 二节 不定积分的运算
、
【例 5】求 sin2 x d x 。 2
解
sin2 x d x 1 cos x d x
2
2
1 d x 1 cos x d x
2
2
1 x 1 sin x C 22
1 3
x3
x2
，
所以
1 3
x3
是
x
2
的一个原函数
因此
x2 d x 1 x3 C 。 3
8
第一节 不定积分的概念与性质
【例２】求 1 d x ， x (∞,0)∪(0,∞) 。 x
解 当 x > 0 时，由于 (ln x) 1 ，所以 ln x 是 1 在 (0,∞) 内的一个原函数。因此，在 (0,∞)
该性质可推广到被积函数是有限多个函数代数和（差）的情况，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]d x f1(x) d x f2 (x) d x fn (x) d x 。
法则 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面，即
kf (x)d x k f (x)d x ( k 是常数, k 0 )。
第、 一节不定积分的概念与性质
、
三、不定积分的性质 求不定积分和求导数（微分）互为逆运算，即当微分号与积分号放在一起时会“抵 消”掉，显然有以下两条基本性质：
性质 4.1 [ f (x)d x] f (x) 或 d f (x)d x f (x)d x ； 性质 4.2 F(x)d x F(x) C 或 d F(x) F(x) C 。
间 I 内的不定积分，记为 f (x)d x ，即
第四章一元函数积分知识点梳理
一元函数积分学（1）（第十一周周三）题型•定积分概念（定积分求极限）•定积分性质及其应用（比较定积分大小，估计积分值）•变限定积分函数求导•变限积分函数极限•定积分表示变量的极限•分段求定积分•求解含定积分符号的函数方程•定积分等式与定积分不等式证明3定积分定义求极限其中极限与分点x i 的取法及x i 的取法无关.当函数f (x )在[a , b ]上连续时, 有可用于求某些通项为和式数列的极限，根据积分合式确定被积函数和积分区间→==∑⎰01()d lim ()n b i i a i f x x f x λx ()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→+∞++++++11011211cos 1cos 1cos 1cos 1lim 1cos 1cos(n i n n i n i n n nn n n i x dx n nππππππ=→∞=++++++=++=+∑∑⎰()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n求极限).21(lim 22222nn n n n n n n ++++++∞→ 原式n n 1lim ∞→=∑=+n i ni 12)(11x x d 11102⎰+=4π=()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：11sin k n n k k n π=<<+∑已知11012lim sin sin d ,n n k k x x n n πππ→∞=⋅==∑⎰利用夹逼准则可知2.I π=∑=⋅+n k nn k n n 11sin 1π∑=⋅nk n n k 11sin π11lim =+∞→n n n 求()→∞=--+=∑⎰1lim ()d .n b n a i b a b a f a i f x x n n关于定积分重要性质保号性：()0,f x ≥则有()d 0.ba f x x ≥⎰若f (x )在[a ,b ]上连续, ()0,f x ≥且()0,[,]f x x a b ≡∈/则()d 0.b a f x x >⎰若f (x )在[a , b ]上连续, ≥()0,f x =⎰()d 0,b a f x x 且则()0.f x ≡积分中值定理：若f (x )在[a , b ]上连续, 则至少存在一点(,),a b x ∈使得()d ()().ba f x xb a f x =-⎰第一积分中值定理：若函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续, g (x )在[a , b ]上不变号,则在(a , b )内至少存在一点x , 使=⎰⎰()()d ()()d .b b a af xg x x f g x x x 估值定理：若f (x )在[a , b ]上连续，≤≤(),m f x M -≤≤-⎰()()d ()b am b a f x x M b a令,)(x e x f x-=]0,2[-∈x ,0)(>x f ,0)(02>-∴⎰-dx x e x dx e x ⎰-∴02,02dx x ⎰->于是dx e x ⎰-20.20dx x ⎰-<比较积分值dx e x ⎰-20和dx x ⎰-20的大小.比较定积分大小（积分区间相同，比较函数大小）比较定积分大小（积分区间不同）2222202220cos cos x x x x e dx e dx e xdx e xdx ππππππ---->>⎰⎰⎰⎰22222()2()200cos cos ()cos x u x u x e xdx e u dx e xdx ππππππππ--+-+=-=+=⎰⎰⎰设函数f (x )在[0, 1]上连续, 且单调减少, 试证对任意(0,1),a ∈有≥⎰⎰100()d ()d .a f x x a f x x 证明1：-⎰⎰100()d ()d a f x x a f x x =-⎰⎰00()d ()d a a f x x a f x x -⎰1()d aa f x x=-⎰0(1)()d a a f x x -⎰1()d aa f x x (0,),a α∈(1)()a af α=-(1)()a af β--(,1)a β∈()(1)()()a a f f αβ=--0.≥1100011000()()()01,01()()()()()aa f x dx x at a f at dt a f ax dx a x ax x f ax f x a f x dx a f ax dx f x dx ⇒=⇒=<<<<⇒<⇒≥≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明2：12222200sin cos d d .11x x x x x x ππ<++⎰⎰-+⎰220cos sin d 1x x x x π-=+⎰420cos sin d 1x x x x π-++⎰224cos sin d 1x x x x ππ=-+-++⎰⎰42220411(cos sin )d (cos sin )d 11x x x x x x πππx η0=--≥++2211(21)()011x η,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x ,31sin 31410030dx dx xdx ⎰⎰⎰πππ≤+≤.3sin 31403π≤+≤π∴⎰πdx x 估计积分dx x ⎰π+03sin 31的值. 估计积分值大小证明证:令则令得故变限积分求导2(1)2()sin ,(2)x x x f t dt t f π+==⎰22((1))(23)2(2)cos f x x x x f x xππ++-=15(2)2(2)(2)3x f f f ππ=⇒-=-⇒=-()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰sin '0()(sin )(),()xF x x t f t dt F x =-⎰求sin 'sin sin 00sin 0()(sin ()())(sin ())()cos ()x x x xd F x xf t tf t dt dx d d x f t tf t dt dx dx x f t dt=-=-=⎰⎰⎰⎰20cos()x d x t dt dx -=⎰2211211x x d x dt dx x t x x -+=++++⎰1x t u+=解：提示：2解：先求定积分，再求导4030sin lim xdt t x x ⎰→求极限00解：此极限为型414sin lim 330==→x x x 原式变限积分函数极限（洛必达，积分中值，等价无穷小）200cos lim x x t dt x →⎰0|sin |limx x t dt x →+∞⎰(1)00|sin ||sin |sin 2,(1)k kt dt t dt tdt x n n x n ππππππ+===∀∃≤<+⎰⎰⎰(1)000(1)0000|sin ||sin |sin |sin |2,sin 2(1)|sin |22(1)(1)|sin |2lim n x n n n x x x t dt t dt tdt t dt n tdt n t dt n n n x n t dt x πππππππ++→+∞≤<==++≤<+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰周期性.lim 222dx e x n n x n ⎰+-∞→计算)2(lim lim 22222n n e dx e x n n x n -+=-∞→+-∞→⎰x x x 22lim 2x x x e ∞→=.0=定积分表示变量的极限.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 证明,10n nx xx ≤+≤ dx x dx x x n n ⎰⎰≤+≤∴101010,11+=n ,011lim =+∞→n n 且.01lim 10=+⎰∞→dx x x nn 由夹逼准则可知注意:x x +=+∞→∞→⎰1lim 1lim 10nn n n dx x x (01)x ≤≤.0=错误，可用第一积分中值定理=⎰⎰()()d ()()d .bba a f x g x x f g x x x分段求定积分（含有max,min,取整符号，绝对值，被积函数含参变量）10()|()|F x t t x dt =-⎰101010()()3211()()23x x F x t t x dt x x F x t t x dt ≤⇒=-=-≥⇒=--=-⎰⎰10201()()()11323x x x F x t t x dt t t x dt x x <<⇒=--+-=-+⎰⎰=+⎰21()()1()()设连续，，求f x f x x f x dx f x 求解含定积分符号的函数方程212211()()1()(1)3122()12a f x dx f x ax f x dx ax dx a a a f x x=⇒=+⇒=+⇒=+⇒=-⇒=-⎰⎰⎰令已知函数f (x )满足方程=-⎰120()3()d ,f x x f x x 试求f (x ).解令=⎰120()d ,f x x a 则()f x =-3.x a ⎰120()d f x x a =()=-⎰1203d x a x ()=+-⎰122096d x a ax x =-+233,a a ⇒-+=2430,a a 3a ⇒=或=1,a 故=-()33f x x 或=-()31f x x定积分等式与定积分不等式证明(1) 变上限积分;(2) 积分中值定理;(3) 微分中值定理;(4) 常用不等式（柯西-施瓦茨不等式）;(5) 利用Taylor公式;(6) 利用闭区间上连续函数性质.1证明恒等式证:令则因此,)0()(2π<<=x C x f 又4π=故所证等式成立.试证使分析:要证即⎰xaxxg d)(⎰-x a xxf d)(故作辅助函数至少存在一点证明: 令⎰⎰⎰⎰-=ba x ab a x a x x g x x f x x f x x g x F d )(d )(d )(d )()(在上连续,在至少使即0d )()(d )()(=-⎰⎰b a ba x x g f x x f g x x 因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点7设解法1:设且试证:t t f x F x a d )()(⎰=⎰x a t f t )(d 则=')(x F )(2a x --⎰⎢⎣⎡=x a )(t f )(t f t d 2⎥⎦⎤-t t f x f t f x f x a d )()()]()([2⎰-=故F (x ) 单调不减,即②成立.②⎰x a t t f d )(⎰x at f t )(d 2)(a x --8设函数f (x )在[0, 1]上是非负、单调减的连续函数,且0 < a < b < 1, 求证≥⎰⎰0()d ()d .a b a a f x x f x x b ⎰0()d af x x ⎰()d ba f x x 1()f a x =2()()fb a x =-1(0,)a x ∈2(,)ab x ∈(),f a a ≥()()f a b a ≤-(),bf a ≤⎰0()d af x x ()f a a ≥≥⎰()d .ba a f x xb 证明由积分中值定理, 得设f 在[0, π]上连续, 在(0, π)内内可导, 且==⎰⎰00()cos d ()sin d 0,f x x x f x x x ππ证明: 存在(0,),x π∈使得()0.f x '=证明因为在(0, π)内, sin x 0,>又=⎰0()sin d 0,f x x x π故f (x )在(0, π)内必有零点α .若在(0, π)内, f (x )恒正, 则>⎰0()sin d 0;f x x x π若在(0, π)内, f (x )恒负, 则<⎰0()sin d 0;f x x x π零点不唯一：若(0,)απ∈是f (x )的唯一零点, 则,(0,),x x απ≠∈f (x )在x = α的两侧异号. 于是sin()()x f x α-必恒正或恒负，从而-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα39-≠⎰0sin()()d 0.x f x x πα-⎰0sin()()d x f x x πα0()(sin cos f x x πα=⎰-cos sin )d x xα=⎰0cos ()sin d f x x x πα-⎰0sin ()cos d f x x x πα0=与上式矛盾.故f (x )在(0, π)内零点不惟一,Rolle 定理：在(0,),x π∈使得()0.f x '='11,[]()[](){(1)(2)...([])}aa x f x dx a f a f f f a >=-+++⎰证明：1'201[0,1],()()0,()()3x f x f x f x dx f ∈<≤⎰二阶可导，证明：222()[,]()cos ()sin [()]b b b a a a f x a b f x kxdx f x kxdx f x dx ∀+≤⎰⎰⎰在连续且非负,证明：k,满足：[][]sin 2'0()(),()xF x f tx dt F x =⎰222sin 2011()()x x u tx dt du xF x f u du x =⇒==⎰提示：考虑X=0？).2212(lim 12121n n n n n n n n n ++++++∞→()''()(())(())()(())()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰=-⎰()d ()().b af x x b a f x =⎰⎰()()d ()()d .bb aa f x g x x f g x x x 222[()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ≤⎰⎰⎰变限积分求导公式：积分中值定理：第一积分中值定理：柯西施瓦茨积分不等式：<<a b x。
一元函数微分专升本
一元函数微分专升本
一元函数微分是专升本考试的重要知识点之一，主要涉及导数、微分、可导性、连续性、可积性等方面的概念和应用。
导数表示函数在某一点处的瞬时变化率，可以通过极限来定义，并可以利用导数的性质和运算法则进行计算。
微分则是导数的几何意义，表示函数在某一点处的切线的斜率。
一元函数微分的应用非常广泛，包括函数的单调性、极值、拐点、曲线的弯曲方向等方面的研究，还可以应用于最大值、最小值问题的求解。
在专升本考试中，一元函数微分通常会以选择题、填空题、计算题等形式出现，要求考生掌握基本概念和性质，能够熟练运用导数和微分的运算法则进行计算和应用。
为了更好地备考一元函数微分，建议考生认真学习相关课程，掌握基本概念和性质，多做练习题，提高计算能力和应用能力。
同时，还要注意理解导数和微分的几何意义，以便更好地理解其应用。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
新编高等数学第二版教材答案
新编高等数学第二版教材答案第一章：函数和极限1. 函数的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 极限的运算法则4. 无穷大与无穷小量5. 函数的连续性6. 一元函数的导数和微分第二章：一元函数的微分学1. 导数的定义和性质2. 导数的几何意义和物理意义3. 微分的概念和性质4. 微分中值定理5. 函数的高阶导数6. 复合函数的导数第三章：一元函数的积分学1. 不定积分和定积分的概念2. 基本积分公式3. 定积分性质和计算方法4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 定积分的几何意义和物理意义6. 定积分和不定积分的关系第四章：一元函数的应用1. 曲线的切线和法线2. 函数的单调性和凹凸性3. 函数的极值和最值4. 弧长和曲线的曲率5. 定积分的应用：面积和体积计算6. 微分方程的应用第五章：数列和级数1. 数列的概念和性质2. 数列的极限和收敛性3. 数列极限的运算法则4. 单调数列的性质5. 级数的概念和性质6. 常见级数的收敛性判别第六章：无穷级数1. 可数无穷集合和不可数无穷集合2. 数列极限存在准则3. 函数项级数的收敛性4. 幂级数的收敛性5. 傅里叶级数的收敛性6. 项级数的运算性质和收敛域第七章：多元函数的微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 多元复合函数的导数4. 隐函数的导数5. 方向导数和梯度6. 条件极值和拉格朗日乘子法第八章：多元函数的积分学1. 二重积分和三重积分的概念2. 二重积分和三重积分的性质3. 二重积分和三重积分的计算方法4. 广义积分的概念和性质5. 广义积分的收敛性判别6. 曲线积分和曲面积分第九章：多元函数的应用1. 向量场及其运算2. 向量场的散度和旋度3. 曲线、曲面的方程4. 曲线积分和曲面积分的应用5. 散度定理和高斯公式6. 斯托克斯公式及其应用第十章：常微分方程1. 方程的解和初值问题2. 一阶线性微分方程3. 二阶线性常系数齐次微分方程4. 二阶线性非齐次微分方程5. 微分方程的应用6. 线性微分方程组该教材答案包含了新编高等数学第二版教材中各个章节的题目答案，以方便学生们辅助学习和复习。
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x0 称为函数 f (x) 的极值点.
⑵ 驻点 使 f (x) 0 的点 x 称为函数 f (x) 的驻点.
⑶ 极值的必要条件 设函数 f (x) 在 x0 处可导，且在点 x0 处取得极 值，那么 f (x0 ) 0 .
⑷ 极值第一充分条件
设函数 f (x) 在点 x0 连续，在点 x0 的某一去心邻域内的任一点 x 处 可导,当 x 在该邻域内由小增大经过 x0 时，如果
①若在(a,b) 内 f (x) 0 ，则函数 Leabharlann (x) 在[a,b] 上单调增加；
②若在(a,b) 内 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在[a,b] 上单调减少.
4 . 函数的极值、极值点与驻点
⑴ 极值的定义 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果对于 该邻域内任一点 x(x x0 ) ，都有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的 极大值；如果对于该邻域内任一点 x(x x0) ，都有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极小值.
1
如果函数 y f (x) 满足下列两个条件：
①在闭区间[a,b] 上连续；
②在开区间(a,b) 内可导, 则至少存在一点
(a,b) ， 使 得 f ( ) f (b) f (a) , 或
ba
f (b) f (a) f ( )(b a) .
⑶ 柯西（Cauchy）中值定理
如果函数 f (x) 与 g(x) 满足下列两个条件：
的.
⑶拐点 若连续曲线 y f (x) 上的点 P(x0, y ) 是曲线凹、凸部分的 0
分界点，则称点 P 是曲线 y f (x) 的拐点.
7. 曲线的渐近线
⑴水平渐近线 若当 x (或 x 或 x
)时，有 f (x) b （
b 为常数），则称曲线 y f (x) 有水平渐近线 y b .
4
⑵垂直渐近线 若当 x a (或 x a 或 x a )（ a 为常数）时，
3
设函数 f (x) 在点 x0 处有二阶导数，且 f x0 0 ， f x0 0 ，则 x0 是 函数 f (x) 的极值点， f (x0 ) 为函数 f (x) 的极值，且有
①如果 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在点 x0 处取得极大值； ②如果 f (x0 ) 0 ，则 f (x) 在点 x0 处取得极小值. 5.函数的最大值与最小值
① f (x) 由正变负，那么 x0 是 f (x) 的极大值点， f (x0) 是 f (x) 的极大
值；
② f (x) 由负变正，那么 x 是 f (x) 的极小值点， f (x ) 是 f (x) 的极小
0
0
值；
③ f (x) 不改变符号，那么 x0 不是 f (x) 的极值点. ⑸ 极值的第二充分条件
例 1 求下列极限
（
1）
lim
x0
x
cot x
x
2
lim[ 1 xx
1 x
ln(1
x)]
0 （42） lim (n x ln x)
①在闭区间[a,b] 上连续； ②在开区间(a,b) 内可导，且 g (x) 0, x (a,b) ,
则在(a,b) 内至少存在一点 ，使得
f (b) f (a) g(b) g(a)
f g
( (
) )
.
2.洛必达法则
如果
① lim f (x) 0, lim g(x) 0 ;
x x0
xx
0
② 函数 f (x) 与 g(x) 在 x0 某个邻域内（点 x0 可除外）可导，且
第四章 微分学的应用 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理. 2.会用洛必达法则求未定式的极限. 3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法. 4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法， 会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题. 5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数 的图形. 重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单 调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单 一元函数的最大值与最小值的应用题. （二）内容提要 1. 三个微分中值定理 ⑴ 罗尔（Rolle）定理 如果函数 y f (x) 满足下列三个条件： ①在闭区间[a,b] 上连续; ②在开区间(a,b) 内可导; ③ f (a) f (b) , 则至少存在一点 (a,b),使 f ( ) 0 . ⑵ 拉格朗日（Lagrange）中值定理
有 f (x) ，则称曲线 y f (x) 有垂直渐近线 x a .
⑶斜渐近线
若函数 y
f (x) 满足 a
lim
x
f (x) x
，
b
lim[ f (x) ax]
x
(其
中自变量的变化过程 x 可同时换成 x
或x
)，则称曲线
y f (x) 有斜渐近线 y ax b .
二 、主要解题方法
1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法
在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭
区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区
间的端点处取得.
6. 函数图形的凹、凸与拐点
⑴曲线凹向定义 若在区间(a,b) 内曲线 y f (x) 各点的切线都位
于该曲线的下方，则称此曲线在(a, b) 内是向上凹的（简称上凹，或
称下凸）；若曲线 y f (x) 各点的切线都位于曲线的上方，则称此曲
线在(a,b) 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.
⑵曲线凹向判定定理 设函数在区间(a,b) 内具有二阶导数，
① 如果在区间(a,b) 内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是上凹的.
② 如果在区间 (a,b) 内 f (x) 0 ，则曲线 y f (x) 在 (a,b) 内是下凹
g (x) 0 ；
③
f (x)
lim
x x0
g
(x)
A(A为有限数,也可为 ,
或
) ,则
lim f (x) x x0 g(x)
lim
x
f g
(x) (x)
A.
x
注意 上述定理对于 x
时的
0 0
0
型未定式同样适用,对于
x
x0
或 x 时的 型未定式也有相应的法则.
3. 函数的单调性定理
2
设函数 f (x) 在闭区间[a,b] 上连续，在开区间(a,b) 内可导，则有