第三章-一元函数积分学

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一元函数积分学——不定积分与定积分的概念、性质及应用

解
原式＝∫
x2 − x
1 dx
−
2∫
1 dx
1− x2
=
∫
xdx
−
∫
dx x
−
2
arcsin
x
= 1 x2 − ln x − 2arcsin x + C
2
例4
求积分
∫
1
+
1 cos
2
x
dx.
解
原式＝
∫
1+
1 2 cos2
x
dx −1
=
1 2
∫
1 cos2
x
dx
= 1 tan x + C.
2
13
∫ 例5 求积分
如 cos x 的原函数的一般表达式为
sin x + C(C为任意常数)
1 在(0,+∞)的原函数的一般表达式为
x ln x + C(C为任意常数)
4
定义3.2（不定积分的定义）
若F(x) 是 f (x)在区间I内的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式 F(x) + C (C为任意常数)
∫3
2
例2 求积分
( x2 −
)dx. 1− x2
1
1
解
原式＝ 3∫ x2 dx − 2∫
dx 1− x2
= − 3 − 2arcsin x + C x
9
2. 基本积分公式
实例
x µ+1 ′ = x µ
µ +1
∫ ⇒ xµdx = xµ+1 + C . µ+1 (µ ≠ −1)

高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)

第三章一元函数微分学不定积分基本概念原函数不定积分原函数的存在性连续函数一定有原函数区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数存在第二类间断点，可能有，可能无不定积分的性质基本积分公式三种主要积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法分部积分法三种常见可积函数积分有理函数积分三角有理式积分①万能代换（一般法）②三角变形，换元，分部（特殊法）简单无理函数积分令根号下的一堆=t反常积分（广义积分）无穷区间上的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分无界函数的反常积分定义定理1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分定积分应用几何应用平面图形的面积直角坐标系极坐标系空间体体积旋转体体积二重积分、元素横截面面积的体积常用曲线：双纽线摆线星形线心形线（数三）经济学中的应用常见函数边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析注意需求价格弹性的正负！定积分概念分匀合精几何意义一重：线与坐标轴围成的面积二重：线与线围成的面积有正负可积性（存在）充分条件函数在[a,b]连续，积分存在在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在必要条件积分存在，函数在[a,b]有界计算（值）牛顿莱布尼茨公式换元积分分部积分利用奇偶性、周期性公式点火公式∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx变上限积分定积分性质不等式积分中值定理积分中值定理、广义积分中值定理常见题型不定积分计算不定积分不定积分杂例多做，积累题型定积分概念、性质、存在准则定积分概念、性质、几何意义连乘形式：①夹逼②取对数也有不等式和积分中值定理的使用定积分计算先考虑下奇偶性，但有些题可能直接做更简便总结计算方法变上限积分函数及其应用连续性：f（x）在[a,b]可积，则变上限积分在[a,b]连续可导性：变上限积分在区间除x0点外均连续，则在x0处①连续②可去③跳跃的可导性及值理解！！记住！P112奇偶性：第一章函数奇偶性处理变上限积分常用:洛必达、等价无穷小代换、积分中值定理积分不等式定积分不等式性质变量代换积分中值定理变上限积分可以将f（x）与其导数联系起来柯西积分不等式反常积分反常积分的敛散性1)比较判别法2）比较法的极限形式3）P积分反常积分计算核心用法：换元、分部要积累！定积分应用几何应用先画草图！经济学中的应用关联。

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出，在求切线斜率的过
程中，需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.

《大学数学课件一元函数微积分学》

曲线长度与曲率
曲线长度公式
曲线长度的计算需要对曲线进行参数化，然后对其微分求和。实数的曲线长度困难，函数的曲线长度一般参数化之后再求积分。
计算曲率
曲率定义为在曲线某一点处曲线凝聚程度的量，凡是具有确定的曲率的曲线上的点组成的集合，成为曲线的曲率线。
微积分的实际应用举例
金融领域应用
微积分在金融等经济学领域中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解时间价值、股市价格、股息、衍生证券等。
龙虾曲线
一种分段光滑的曲线，通过迭代形成，是高阶导数比较经典的应用之一。
复分析
复函数又叫做复变量函数，它是一个变量为一个复数的函数。复分析是以复函数为研究对象的数学分支。
不定积分的概念与求法
基本积分法
通过多种方法计算不定积分：代换法、分部积分法、三角函数积分法、有理函数积分法、分式分解。
应用于牛顿第二定律
在物理领域中，微积分的应用非常广泛，牛顿第二定律是牛顿—莱布尼茨公式的一个重要应用例子。
定积分的概念与性质
定积分概念
在一定区间内，用先进（上）的近似值与落后（下）的近似值的平均数来逐渐缩小误差范围的整个过程，那么最后这个误差的范围越来越小。
牛顿—莱布尼茨公式
定积分的本质意义就是计算曲线下对应的面积，和物理中的质量、体积密度、功力密度有关，是牛顿—莱布尼茨公式的重要应用场景。
极限概念
当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个限的极限。
高阶导数及其应用
高阶导数的定义
高阶导数指的是对导数的导数（即二阶导数、三阶导数……）
泰勒展开式
泰勒公式是一个非常重要的工具.利用泰勒公式，可以把函数转化成为一些比较简单的多项式的和的形式，从而来研究一些不易计算的函数。

D第三章一元函数积分学

(1)1 dx arcxsC in arcxc C o； s 1x2
( 1)2 d x arc x tC a n ac rc o x tC ； 1 x 2
(1)3 sh xdxcx hC；
(1)4 cx h dxsx hC.
例 3 求不定积分
1
a
例 1 求 si n3x(2)dx.
解对照基本积分表，上式与si表 x ndx相中，似
如果把 dx 写成了 d(3x + 2)，那么就可用定理 1 及
sin xdxcox sC, 为此将 dx 写成 dx1d(3x2), 3
代入式中，那么
sin3(x2)dx 1 sin3x(2)d(x32). 3
令 3x + 2 = u 则
1
3
sinudu 1cosuC1co3sx(2)C.
six n dxcox sC;
(3)因(为 arc x)ta 1 1 n x2或(arccox)t11x2,
所以得
d xarc x tC a n ar cc o x tC ; 1x2
(4)因(为 ex)ex, 所以得
exdxexC.
例2
求不定积分

1 x
dx.
解被积函 1的数定义x域 0.为 x
当 x > 0 时，因为(lnx)1, 所以 x
1dxlnxC; x
当 x < 0 时，因l为 n x ()1(1)1,
x x
所以
1dxln( x)C. x
合并以上两种情况，当 x 0 时，得
1dxln| x|C. x
(1)积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条(例如，曲线 y = F(x) ) 沿 y 轴平行移动|C|单位而得到. 当 C > 0 时，向上移动；当 C < 0 时，向下移动；

(整理)第三章一元函数的积分学

第三章一元函数的积分学§1 不定积分【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和简单无理函数的积分.一、基本概念1．原函数与不定积分定义若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.若()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰.2．不定积分与原函数的关系（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此()d ()f x x F x ≠⎰.（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相平行.3．原函数存在定理设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函数.4．不定积分的基本性质（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；（3）求导与求不定积分互为逆运算① (()d )()f x x f x '=⎰ ，d ()d ()d f x x f x x =⎰；② ()d ()f x x f x C '=+⎰，d ()()f x f x C =+⎰；5．基本积分公式(熟练掌握)（1）d k x kx C =+⎰；（2）11d 1x x x C μμμ+=++⎰；（3）1d ln ||x x C x=+⎰；（4）d ln x x a a x C a=+⎰；（5）e d e x x x C =+⎰；（6）sin d cos x x x C =-+⎰；(7) cos d sin x x x C =+⎰；(8) 2sec d tan x x x C =+⎰；（9）2csc d cot x x x C =-+⎰；；（10）sec tan d sec x x x x C ⋅=+⎰；（11）csc cot d csc x x x x C ⋅=-+⎰；（12）d arcsin xx C =+⎰；（13）2d arc ta n 1x x C x=++⎰；（14）tan d ln |cos |x x x C =-+⎰；（15）cot d ln |sin |x x x C =+⎰；（16）d arcsin xx C a =+⎰；（17）22d 1arctan x x C a x a a=++⎰；（18）sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰；（19）csc d ln |csc cot |x x x x C =-+⎰；（20）22d 1ln 2x a x C a x a a x +=+--⎰；（21）d ln x x C =++⎰；（22）21arcsin 22a x x C a =++⎰. 6．初等函数的原函数初等函数在其定义区间内必有原函数，但它的原函数不一定是初等函数．不能用初等函数来表示（积不出来）的不定积分如下：2e d x x ⎰， 2e d x x -⎰， sin d x x x ⎰， cos d x x x⎰， 2sin d x x ⎰， 2cos d x x ⎰， d ln x x ⎰，e d x x x⎰，e ln d x x x ⎰，ln |sin |d x x ⎰等．二、不定积分的积分法1．公式法将被积函数变形，直接利用公式．2．换元法引入新的变量，再积分．第一类换元法(凑微分法)设()f u 的原函数为()F u ，()u x ϕ=有连续的导数，则[()]()d f x x x ϕϕ'⋅⎰ [()]d ()f x x ϕϕ=⎰()u x ϕ=()()d [()][()]u x f u u F u C F x C ϕϕ==+=+⎰凑微分换元积分变量还原常见的凑微分公式（1）1()d ()d()f ax b x f ax b ax b a+=++⎰⎰，0a ≠；（2）11()d ()d()n n n n f x x x f x x n -=⎰⎰；（3）(e )e d (e )d(e )x x x x f x f =⎰⎰；（4）d 1(ln )(ln )d(ln )x f x f x x x n =⎰⎰；（5）21111()d ()d()f x f x x x x=-⎰⎰；（6）12f x f =⎰⎰；（7）(sin )cos d (sin )d(sin )f x x x f x x =⎰⎰；（8）(cos )sin d (cos )d(cos )f x x x f x x =-⎰⎰；（9）2(tan )sec d (tan )d(tan )f x x x f x x =⎰⎰；（10）2(cot )csc d (cot )d(cot )f x x x f x x =-⎰⎰；（11）21(arctan )d (arc tan )d(arc tan )1f x x f x x x ⋅=+⎰⎰；（12）1(arcsin )d (arcsin )d(arcsin )f x x f x x ⋅=⎰⎰；（13）d xf x f ⋅=⎰⎰；（14）()d ()d ln |()|()()f x f x x f x C f x f x '==+⎰⎰．第二类换元法设()x t ϕ=单调，有连续的导数，且()0t ϕ'≠，如果[()]()d ()f t t t F t C ϕϕ'=+⎰，则()d f x x =⎰ ()x x ϕ=[()]()d f t t t ϕϕ'⎰1()[()]t x F t C ϕ-==+1[()]F x C ϕ-=+.换元积分变量还原3．分部积分法设()u u x =，()v v x =具有连续的导数，则d d uv x uv u v x ''=-⎰⎰ 或 d d u v uv v u=-⎰⎰称为分部积分公式.4．特殊函数类的积分有理函数：先化为多项式与简单分式，再逐项积分．三角函数有理式：令tan 2x u =，化为有理函数的积分．简单无理函数：引入代换去掉根号，化为有理函数的积分．常用的分项公式如下：（1）111(1)1x x x x=-++；（2）111(1)1x x x x=+--；（3）2211(1)1x x x x x=-++；（4）22211111(1)(1)(1)1(1)x x x x x x x x x =-=--+++++；（5）2222111(1)1x x x x=-++. 常用的三角公式如下：（1）21cos 2cos 2x x +=；（2）21cos 2sin 2x x -=；（3）21sin (sin cos )22x x x ±=±三、典型例题题型1 直接积分法（即将被积函数分解为几个简单函数的代数和再分项积分）例1 求下列不定积分（1） 231d 5x xx x ++⎰；（2）10d (2)x x x +⎰；（3） 42d x x x +⎰；解原式2222d 111d arctan (1)1x x x C x x xx x ⎡⎤==-=--+⎢⎥++⎣⎦⎰⎰.（4）2222+sin sec d 1x x x x x ⋅+⎰；解原式精品文档()()2222221+sin 11sec d sec d d 11xx x x x x xx x +-=⋅=-++⎰⎰⎰tan arctan x x C =-+.题型2 换元积分法（第一类和第二类）例1 求下列不定积分（1）2sin cos d 1sin x xx x ⋅+⎰；（2）d x⎰解原式ln dln d u x x u ========⎰⎰⎰11d()2arcsin arc 12u u C --==+=⎰ .（3）3xx ⎰；解原式23221122u x x x x x u========⎰⎰⎰32111(1(1)d(1)222u u u u =+-=++-⎰⎰⎰535222212211[(1)(1)](1)(125353u u C x =+-++=+-+ . （4）sin 222esin d exxxx ⋅⎰；解原式sin 222sin 22sin11esin d e d(sin 22)e44x xx x x x x x --=⋅=--=-⎰⎰（5）1d (1e )xxx x x ++⎰；（6）ln(tan )d sin cos x x x x ⋅⎰.例2 求x ⎰.解：原式2[ln()3x x =+=+⎰例3 求 342e ed e 2e 1x xx xx +-+⎰. 解：原式2222e (e e )d(e e )1d e (e e )(e e )e ex x x x x x x x x x x x x C -----+-===-+---⎰⎰ 例4 求 241d 1x x x ++⎰.解：原式22221111d()1d arctan 11()2x x x x x C x x x x+--===++-+⎰⎰例5 求下列不定积分（1）xx ⎰；（2）3d x x ⎰；解令π323sec ,0,d sec tan d 22x t t x t t t ⎛⎫=<<=⋅ ⎪⎝⎭ ，原式23233tan 34tan 4sec tan d d sin 23sec 33sec 2t t t t t t t t =⋅⋅==⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰241231sin 2arccos 324322t t C x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.（3）d x ⎰.解令2tan ,d sec d x t x t t ==，原式2222sec d cos d dsin arcta (2tan 1)sec 1sin 1sin t t t t tt t t t ====+++⎰⎰⎰arctanx C =+.注 1ο，令s i n x a t = 或 cos x a t =；2ο，令sec x a t = 或 csc x a t =或 ch x a t =；3ο，令tan x a t = 或 cot x a t =或 sh x a t =；4ο三角代换变量还原时利用辅助三角形．例6 求下列不定积分（1）d x⎰；解原式()d31d13xx-==⎰⎰1ln|31|3x C=-++.（2）21d446xx x-+⎰.解原式()()2111212d21arctan221xx C x-=-=⋅+ -+⎰.（注对二次三项式2ax bx c++或其平方根，配方后使用公式）．例7求下列不定积分（1）d x⎰（2）21lnd(ln)xxx x--⎰.（注1xt=称为倒代换，当分母的次数高于分子的次数时，可考虑用此代换）．例8 求e (1e )d x xx +⎰（注可考虑指数代换e xu =或e sin xt =）．例9 求d x x⎰，（令：t =）解令t =，22tan 1tan d 2tan sec d .t x t x t t t =⇒=+⇒=⋅原式(2222arctan 2sec tan d 2tan d 2sec 1tan t t t t t t t t t t t ⋅=⋅⋅=⋅=⋅+⎰⎰⎰()222sec 1d 2d(tan )2tan tt t t t t t t t =⋅-=-=⋅-⎰⎰⎰22tan 2ln |cos |t t t t C =⋅+-+212ln ||arctan x=⋅+-+22ln ||arctanx =⋅--+.题型3 分部积分法关键：正确地选择u 和v ，选择u ，v 的原则：1οv 好求； 2οd v u ⎰要比d u v ⎰简单．例1 求下列不定积分（1）2(22)e d xx x x +-⎰；（2）2(1)ln d xx x +⎰；（3）e cos d xx x x ⎰；（4）sin ln d x x ⎰ 解原式1sinln dsinln sinln cosln d x x x x x x x x xx=-=-⋅⋅⎰⎰sinln cosln d sinln cox x x x x x x ⎡=-=-⋅⎣⎰()()1sinln cosln sinln d x x x x x xx=-+-⎰()sinln cosln sinln d x x x x x =--⎰所以原式()sinln cosln 2xx x C =-+.（5）22arctan d (1)xx x x +⎰；解原式22arctan arctan 1d d arctan d(-)arctan d 1x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰⎰()221111arctan d arctan 12x x x x x x =-+⋅-+⎰()()22221111arctan d arctan 221x x x x x x =-+-+⎰ 22211111arctan d 212x x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭⎰()()22111arctan ln ln 122x x x x =-+-+-()22111arctan ln arctan 212x x x x x =-+-+.（6）ln(x x x +⎰.解原式ln(x x x =+⋅⎰dln(x =⋅+-⋅⎰ln(d x x =⋅+-=⎰.例2 求 22sin d (cos sin )xx x x x -⎰. 解原式2sin sin sin 1d d (cos sin )cos sin x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅= ⎪--⎝⎭⎰⎰sin 11cos sin cos sin x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪--⎝⎭⎰2sin 11s d cos sin (cos x x x x x x x x x ⎛⎫=⋅-=⎪-⎝⎭⎰．例3 求ed xx x ⎰．（先换元，后分部积分）解：原式222222d d 12ln(1)d 2[ln(1)2d ]1tt x t t ttt t t t t =++=+-+⎰⎰24arctan C =-++.题型4 分项--分部积分法（将积分分成两项（或多项）的积分和，然后利用分部积分抵消不可积部分）例1 求 2ln 1d ln x x x-⎰；例2求 22e (tan 1)d x x x +⎰．题型5 有理函数积分例1 求25d 613x x x x +-+⎰；例2 求221d (1)x x x +⎰.题型6 三角有理函数积分例1 求 d sin 22sin xx x+⎰ 例2 求d 1sin cos xx x --⎰题型7 简单无理函数积分例1求d x⎰；例2 求d x⎰.例3求d x⎰(0,0)a b x <<>.解：原式2=⎰2arcsin C =+；题型8 分段函数的积分例1 求|1|ed x x -⎰．例2 求2()max(1,)x x ϕ=的一个原函数()F x ，且(0)1F =．题型9 含有抽象函数的不定积分例1设()d arcsin xf x x x C =+⎰，求1d ()x f x ⎰．例2设()f x 为非负连续函数，当0x ≥时，有20()()d e 1xxf x f x t t ⋅-=-⎰，求()d f x x ⎰. 解方程化为20()()d ()()d =e 1xxxf x f x t t f x f x t t ⋅-=--⎰⎰，()d ()d u x txxf x t t f u u =--====⎰⎰，代入原方程得()20()d e 1xxf x f u u ⋅=-⎰，令()()()()()20()d exxF x f u u F x f x F x F x ''=⇒=⇒⋅=⎰，两边积分()()()2d e 1d xF x F x x x '⋅=-⎰⎰，得()2211e 22xF x x C =-+，又()()22100,e 212xF C F x x =⇒=-∴=--，()()(F x F x ∴=≥.()()d f x x F x C =+=⎰.例3设(,)f x y 可微，且(,)ff x y x∂=-∂，e cos xf y y-∂=∂，(0,0)0f =，求(,)d f x x x ⎰. 例4设()f x 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足01()()()d 01xf x f x f t t x '-+=+⎰，求[()()]e d xf x f x x -'''-⎰.四、不定积分常用的计算技巧总结（考生自看）1．加减常数法例1 求 cos d 1cos xx x-⎰. 解：原式2cos 111()d (1)d 1cos 1cos 2sin (/2)x x x x x x x -=+=-+=----⎰⎰.2．加减函数法例2 求 21d 1exx +⎰. 解：原式2222221e e e 1d (1)d ln(1e )1e 1e 2x x xx x xx x x C +-==-=-++++⎰⎰.例3 求 d (1)nxx x +⎰. 解：原式1111d d d ln ||ln |1(1)1nnn n n nx x x x x x x x x x x x n -+-==-=-+++⎰⎰⎰.3．乘除函数法例4 求 d e ex x x-+⎰.解：原式22e d de arctane 1(e )1(e )x xxx x x C ===+++⎰⎰. 4．分母整体化法例5 求 2100d (1)xx x +⎰. 解：原式2219899100100100(1)(1)d d (2)d u xu u u u u u u uu u=+-----=====-+⎰⎰⎰9798991212979899u u u C ---=-+-+.例6 求 2sin d (sin cos )xx x x +⎰.解：原式π4222πsin()sin csin 114d d π2sin 2sin ()4u x u x u x x u u x =+-=====+⎰⎰⎰2d d(sin )()[l n |csc(4sin sin 4u u x u u =-=+⎰⎰.5．依分母分解法例7 求 3cos 4sin d cos 2sin x xx x x-+⎰. 解：因为cos x 与sin x 的导数互相转化，所以可设3cos 4sin (cos 2sin )(cos 2s x x A x x B x -=+++(2)cos (2)sin A B x A B x =++- 故得：231,224A B A B A B +=⎧⇒=-=⎨-=-⎩. 原式cos 2sin (cos 2sin )d 2d cos 2sin cos 2sin x x x x x x x x x x '++=-+=-++⎰⎰.6．还原法例8 求 11(1)ed x xx x x++-⎰.解：11121ed (1)ed ed d(ex x x x xxx x x x x x+++=+-=+⎰⎰⎰⎰1111ed eed ex x x x xxxxx x x x C ++++=+-=+⎰⎰.7．待定函数法例9 (上例)解：因为被积函数是一个函数与1ex x+的乘积，它的一个原函数必定也是某一个函数与1e x x+的乘积.令 111(1)ed ()ex x xxx x F x C x +++-=+⎰，其中()F x 为待定函数，两边求导数11211(1)e[()()(1)]ex x xxx F x F x xx++'+-=+-，22111(1)()()(1)()x F x F x F x x x'∴+-=+-⇒=，故原式1ex xx C +=+.8．相关积分法例10 求 221e sin d x I x x =⎰,221e cos d xI x x =⎰.解：221222211e d e ,21e cos2d e (cos2sin 2),4xx x x I I x C I I x x x x C ⎧+==+⎪⎪⎨⎪-==++⎪⎩⎰⎰ 1I ∴=22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =-++； 2I =22111e e (cos2sin 2)224x x x x C⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2211e e (cos2sin 2)48x xx x C =+++.五、练习题31-1．若()f x 的导函数是e cos xx -+，则()f x 的一个原函数为（）.(A) e cos xx -- (B) esin x x --+ (C)ecos xx --- (D) esin xx -+2．若()f x '为连续函数，则(2)d f x x '=⎰（）.(A) (2)f x C + (B) ()f x C + (C)1(2)2f x C + (D) 2(2)f x C + 3．若()f x 是以l 为周期的连续函数，则其原函数（）.(A) 是以l 为周期的连续函数 (B)是周期函数，但周期不是l(C) 不是周期函数 (D)不一定是周期函数4．设cos x x 是()f x 的一个原函数，求()d xf x x '⎰． 5．2222221sin cos d d sin cos sin cos x x x x x x x x +=⋅⋅⎰⎰. 6. 22e 1e (1)d (e )d sin sin xxxx x x x--=-⎰⎰.7．11e ed d 1e 1e xxx xx x +-=++⎰⎰. 8.45422sincos d sin (1sin )dsin x x x x x x =⋅-⎰⎰.9．1515sin cos d (sin cos )d(sin cos )(sin cos )x xx x x x x x x +=---⎰⎰.10．21111d d d(1)111n n n nnn n n x x x x x x x x x x --⋅+-==++++⎰⎰⎰. 11．cos sin d(sin cos )d cos sin cos sin x x x x x x x x x-+=++⎰⎰.12．321()arctan d arctan d()33x x x x x x x ++=⎰⎰. 13.2d x x⎰. 14．d 1d(3)3xx =⎰⎰ 15．22222d 2ln 2d d 2d 1d 12(14)2(12)ln 2(1)ln 2xxxu x x x x u x x x u u u =========+++⎰⎰⎰.16．22sin d x x x ⎰.17．arcsin 2arcsin x =-⎰⎰.18．2arctan tan 3d sec d 22ed sin d (1)xx ttx t tx x e t t x ==+====⎰⎰. 19.241d 1x x x -+⎰. 20.421d (1)x x x +⎰21. 1183848282821d d d (1)(1)4(1)x x x x x x x x x x ⋅==+++⎰⎰⎰42221d 4(1)x tt t t =+===⎰2tan 24d sec d 1tan sec d 4sec t u t u u u u u u ======⎰.22. 112d d x x x x +-+=⎰⎰22112d[(1)3]2x =-++⎰⎰.23. 2d d d x xx x x =+⎰⎰⎰.24．313(1)4d d x x x x +-+=⎰⎰.25．d 4sin 3cos 5x x x ++⎰（可令tan 2xt =）；26. 3sin 2cos d 2sin 3cos x x x x x ++⎰（可令tan 2xt =或依分母分解法）；27．设(cos )sin f x x '=(0)x π<<，求()f x ． 28．设()F x 是()f x 的一个原函数，且当0x ≥时，有2e()()2(1)xx f x F x x ⋅=+，又(0)1F =， ()0F x >，求()f x ．29．()d ()f x x F x C =+⎰，且当0x ≥时，有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．30．求2[ln ()ln ()][()()()]d f x f x f x f x f x x ''''++⎰.31．设ln(1)(ln )x f x x +=，计算()d f x x ⎰.32．2()(1)()d exxf x x f x x x '-+⎰. 33．1e (ln )d x x x x +⎰.3-1参考答案1.A2.C3.D 4．2cos sin xx C x--+. 5．tan cot x x C -+.6．e cot xx C ++. 7．ln(1e )xx C -++.8．579111sin sin sin 579x x x C -++9．455(sin cos )4x x C -+.10．1[(1)ln |1|]n nx x C n+-++.11．ln|cos sin|x x C++.12．32arctan36x x xx C+-+.13．arcsin x Cx--+14．1ln|3|3x C++. 15．11(arctan2)ln22xxC-++.16．321sin2cos2sin26448x x xx x x C --++.17．arcsin C-++.18arctan1e+xxC-.1ln C+. 20.311arctan 3x C x x-+++. 21. 44811arctan 881x x C x-⋅++. 22. 2ln |1|x C +-++.23. 1arcsin 22x x C --+. 244ln |1|x C +-++.25. 1tan 22C x -++. 26．125ln |2sin 3cos |1313x x x C -++.27. 1()arcsin 22x f x x C =++. 28．232e()2(1)xx f x x =+.29．2sin 2()xf x =.30．()()[ln ()()1]f x f x f x f x C ''-+. 31．e ln(1e )ln(1e )xxxx C --++-++.32．()ex f x C x +. 33．e ln xx C +.§2 定积分【考试要求】 1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及定积分中值定理.2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法.3．理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿 –莱布尼茨公式.4．了解反常(广义)积分的概念，会计算反常（广义）积分.一、基本概念 1．定积分定义设()f x 在[,]a b 上有定义且有界，做下述四步：（1）分割：用1n -个分点分割区间[,]a b011i ia x x x x -=<<<<；（2）作乘积：()i i f x ξ∆，其中1[,]i i i x x ξ-∈，1i i i x x x -∆=-；（3）求和：1()ni i i f x ξ=∆∑；（4）取极限：01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑，其中1max ||i i nx λ≤≤=∆，如果上述极限存在，则称()f x 在[,]a b 上可积，并称上述极限为()f x 在[,]a b 上的定积分，记作1lim ()()d nbi i ai f x f x x λξ→=∆=∑⎰.注 ()d baf x x ⎰的值与对区间[,]a b 的分法无关，与i ξ的取法无关，与积分变量用什么字母表示无关；与[,]a b 有关，与()f x 有关，即()d ()d bbaaf x x f t t =⎰⎰.2．定积分的存在性定理设()f x 在[,]a b 上连续，或在[,]a b 上有界且只有有限个第一类间断点，则()d ba f x x ⎰一定存在．3．几何意义定积分()d baf x x ⎰表示由曲线()y f x =，,x a x b ==及x 轴所围平面图形面积的代数和．4．定积分的运算性质：（1）()d ()d a abbf x x f x x =-⎰⎰．（4）[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.（2）()d 0aaf x x =⎰. （5）()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.（3）d bax b a =-⎰. （6）()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.5．定理定理1 （定积分的比较定理）若在[,]a b 上恒有()()f x g x ≤，则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰.推论1 若()f x 与()g x 在[,]a b 上连续，()()f x g x ≤，且至少有一点0[,]x a b ∈，使00()()f x g x <，则()d ()d bbaaf x xg x x<⎰⎰.推论2 若在[,]a b 上恒有()0f x ≥，则()d 0baf x x ≥⎰.推论3 ()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．定理2（估值定理）若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤，则()()d ()ba mba f x x Mb a -≤≤-⎰．定理3（积分中值定理）（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则[,]a b ξ∃∈，使()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰．（2）若()f x 在[,]a b 上连续，()g x 在[,]a b 上不变号，且在[,]a b 上可积，则[,]a b ξ∃∈，使()()d ()baf xg x x f ξ=⎰⎰.定理4（变上限积分函数及其导数）设()f x 在[,]a b 上连续，()()d xa F x f t t =⎰称为变上限积分函数，则导数为d ()()d ()()d xt x aF x f t t f t f x x ='===⎰.推论1 设()()()d x aF x f t t ϕ=⎰，则()d ()()d [()]()d x aF x f t t f x x x ϕϕϕ''==⋅⎰.推论2 设21()()()()d x x F x f t t ϕϕ=⎰，则21()2211()d ()()d [()]()[()](d x x F x f t t f x x f x x x ϕϕϕϕϕϕ'''==⋅-⋅⎰.推论3 设()()()()d x aF x f t g x t ϕ=⎰，则()()()()d x a F x g x f t t ϕ'⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦⎰()()()d ()[()](x ag x f t t g x f x ϕϕϕ''=+⎰.定理5（变上限积分函数与不定积分的关系）设()f x 在[,]a b 上连续，则变上限积分函数()()d xaF x f t t =⎰是()f x 的一个原函数，即()d ()d xaf x x f t t C =+⎰⎰.注：不定积分()d f x x ⎰只能作为运算符号，不能表示一个具体的原函数，特别当()f x 为一个抽象的函数时，无法用()d f x x ⎰来讨论它的某一原函数的性质；而()d xa f t t ⎰为某一确定的原函数，可以用它来讨论此原函数的性质.定理6（牛顿－莱布尼兹公式）设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 的一个原函数，则()d ()()()bb aaf x x F x F b F a ==-⎰． 6．定积分的计算方法（1）换元法：设()f x 在[,]a b 上连续，()x t ϕ=在[,]αβ上有连续的导数，且当t 从α变到β时，()t ϕ从()a ϕα=单调地变到()b ϕβ=，则()d [baf x x f βαϕ=⎰⎰要点：换元要换限，变量不还原，不换元则不换限．（2）分部积分法：设()u x ，()v x 在[,]a b 上有连续的导数，则d d bbb aaauv x uv u v x ''=-⎰⎰或 d d b b b aaau v uv v u =-⎰⎰．注：求不定积分时适用的积分法，相应地也适用定积分的求法．7．广义积分的概念与计算（1）无穷限的广义积分ο1 设()f x 在[,)a +∞上连续，则()d lim()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰；ο2 设()f x 在(,]b -∞上连续，则()d lim()d b baa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰；ο3 设()f x 在(,)-∞+∞上连续，则()d lim()d lim ()d bbaaa b f x x f x x f x x +∞-∞→-∞→+∞=+⎰⎰⎰．仅当等式右边的两个极限都存在时，左边的无穷限广义积分收敛，否则发散.注意： ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则()d f x x +∞-∞⎰发散.（2）无界函数的广义积分（瑕积分） ο1 设()f x 在(,]a b 上连续，lim ()x af x +→=∞，则()d lim ()d bbaa f x x f x x εε++→=⎰⎰，x a =称为瑕点．ο2 设()f x 在[,)a b 上连续，lim ()x bf x -→=∞，则0()d lim ()d bb aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰，x b =称为瑕点．ο3 设()f x 在[,]a b 上除点c 外均连续，lim ()x cf x →=∞，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰12120lim ()d lim ()d c bac f x x f x x εεεε++-+→→=+⎰⎰．x c =称为瑕点．仅当等式右边的极限存在时，瑕积分收敛，否则发散.注意：ο3式中等式右边的两个极限若有一个不存在，则瑕积分()d ba f x x ⎰发散.二、重要结论（1）利用定积分定义求n 项和的极限设()f x 连续，则ο1 1()d lim ()nban k b a b af x x f a k n n →∞=--=+⋅∑⎰.ο2 111()d lim ()nn k k f x x f n n →∞==⋅∑⎰.（2）奇、偶函数的积分ο1 设()f x 连续，若()f x 为偶函数，则()d xf t t ⎰为奇函数；若()f x 为奇函数，则对任意a ，()d xaf t t ⎰为偶函数.ο2 设()f x 在[,]a a -上连续，则()d [()()]d aaaf x x f x f a x-=+-⎰⎰（3）周期函数的积分设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且以T 为周期，则ο1 202()d ()d ()d T a TTT af x x f x x f x x +-==⎰⎰⎰；ο2 0()d ()d nTT a f x x n f x x =⎰⎰；ο3 0()d ()d a nT Taf x x n f x x +=⎰⎰.即：周期函数在每个周期长度区间上的积分均相等，与起点无关．（4）常用结论ο1 ππ22(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰，令π2x t =-；ο2 ππ00π(sin )d (sin )d 2xf x x f x x =⎰⎰，令πx t =-；ο3 ππ2(sin )d 2(sin )d f x x f x x =⎰⎰，。

高等数学all教材

高等数学all教材高等数学 All 教材高等数学是大学教育中的重要学科之一，主要包含微积分、线性代数和概率论等内容。

以下是对高等数学 All 教材的简要介绍和重要章节的概述。

第一章：极限与连续本章主要介绍极限和连续的概念，包含极限的定义、性质以及计算方法。

还探讨了函数的极限、无穷小量和无穷大量的关系。

此外，连续函数的基本性质和中值定理也是重要内容。

第二章：一元函数微分学这一章重点研究函数的导数及其应用。

涉及导数的基本概念、运算规则以及常见函数的导数。

同时探讨了微分中值定理和函数的凸凹性质。

第三章：一元函数积分学本章主要介绍函数的不定积分、定积分和定积分的计算方法。

还包括牛顿-莱布尼茨公式、微积分基本定理和变量替换法等内容。

此外，重要的积分方法如分部积分、换元积分法也是必学内容。

第四章：多元函数微分学这一章研究多元函数的偏导数、全微分和导数的应用。

重点介绍了二元函数的极值与条件极值、函数的隐函数和映射等。

第五章：重积分与曲线曲面积分本章主要涉及二重积分、三重积分以及曲线曲面积分的概念和计算方法。

包括重积分的性质、计算与应用、曲线曲面积分的定义和计算公式等内容。

第六章：常微分方程这一章重点研究常微分方程的基本概念、解的存在唯一性和解的性质。

涉及一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解法以及常系数线性微分方程组的解法。

第七章：无穷级数本章介绍无穷级数的概念、性质和收敛判定方法。

包括常见数项级数的判敛法则、幂级数的性质以及泰勒级数展开与应用等。

以上是对高等数学All 教材的概述。

这本教材内容丰富、重点明确，适合大学本科学习高等数学课程的学生使用。

它将为学生打下坚实的数学基础，为更深入的学习和应用数学奠定基础。

一元函数积分学

一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。

在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。

在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。

一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。

其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。

不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。

变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。

分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。

在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。

此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。

总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。

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第三章一元函数积分学§3-1 不定积分不定积分是计算定积分、重积分、线面积分和解微分方程的基础，要求在掌握基本积分法的基础上，更要注重和提高计算的技巧。

一、基本概念与公式1. 原函数与不定积分的概念2. 不定积分与微分的关系（互为逆运算）3. 不定积分的性质 4．基本积分表 2222223122232max{1}d .,1max{1,}1,11,,111max{1,}d d 311max{1,}d 1d 11max{1,}d d .3x x x x x x x x x x x x x x C x x x x x C x x x x x xC ⎧<-⎪=-≤≤⎨⎪>⎩<-==+-≤≤==+>==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1求，因当时；当时；当时例解()()31113211123231lim lim 3,1lim lim 323,232133max{1,}d 1 1.2133x x x x x C x C x C x C C C C C x C x x x x C x x C x -+-+→-→-→→⎧⎛⎫+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰由原函数的连续性,有得故，，，二、不定积分的基本方法1. 第一类换元法（凑微分法） ()d ()[()]d []d [].f u u F u C f x x x f x x F x C ϕϕϕϕϕ=+'()=()()=()+⎰⎰⎰若，则2. 第二类换元法()10[]()()d []d ()[].x t t x x t t f t t G t f x xf t t t G t CG x C ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ-1=()=-''=()()≠()()'()()=+()+⎰⎰令代回若是单调可导函数，且，又具有原函数，则有换元公式3. 分部积分法()()d ()()()()d d d .u x v x x u x v x u x v x xu v uv v u ''=-=-⎰⎰⎰⎰或4. 有理函数的积分法化有理真分式为部分分式.5. 三角函数有理式的积分(sin cos )d ()tan2R x x x R u v u v xt =⎰对于，(其中，表示关于，的有理函数)，可用“万能代换”化为有理函数的积分.三、题解示例(2222225sin 25sin25sin25sin 25sin 225s .22.sin 4d .sin 4d 2sin 2cos 2d 1sin 2d sin 2d(5+sin 2)212xxxxxx x C e x x ex x e x x xe x x e x e ++++++==+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰23求求例解例解2in 2322222..ln(2[ln()].31ln d .(ln )1ln 1ln d d (ln )ln 1xC x x x x C xx x x x x xx x x x x x +==++----=⋅-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰45求求例解例解21ln 1d 1ln ln 11.ln x C x x x x x xC x x⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-⎰sin tan (d ((n nt ax bax b t cx dx a tx a tR x x R x xR x x R x x=++=+==⎛ ⎝⎰⎰⎰⎰令令令令化为有理函数的积分.化为有理函数的积分.化为三角函数有第二类换元法常用来去根号,如式.：理的积分sec (x a tR x x=⎰令化为三角函数有理式的积分.化为三角函数有理式的积分.355323232.1d 6d 6d d 6d 6(1)d 6112366ln |1|1).x t x t tt t t t t t t t t t t t t t t t CC +====-+-+++=-+-++=+⎰⎰⎰⎰6求令，则原式例解2222222222(1)1d 12d d ,11(1)12d 2d 1ln .(1)11x x xI xx xx t t tt x x x t t t t t t t I C t t t t +=+===+---+=⋅==+---⎰⎰⎰法一：令，则，故解222211ln2ln(1).11111ln 22411221ln .2xx C x x C x xI x x Cx x x x C ++=+=+++-+⎛⎫⎛⎫ ⎪==+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰法二：222222222(2)413(2)(2)33tan 23sec d 1cos d 9tan 3sec 9sin 1413.9sin I x x x x x x t t t ttt t tx x C C t ==++++++=-==⋅++=-+=-+⎰⎰⎰⎰8求令原式例解2222222222arcsin d .1arcsin sin d cos d (1sin )d csc d d cot cot d sin 211cot ln |sin |arcsin ln ||(arcsin ).22x I x x xx t x t x t tt t t I t t t t t t t t t t t t x t t t C x x x C =⋅-===+==+=-++-=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰9求令，，例解 ()d ()sin d ()cos d ()()d sin d cos d d ()ln ()d ()(arcsin )d ()arctan d ln ()(arcsin )arctan (axm m m ax m m n n m m n n m P x e x P x ax x P x bx x P x m P x u e x ax x bx x v P x ax b x P x x x P x x x ax b x x u P ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰一般地，形如，，的积分(其中为次多项式),选取为，，，为应用分部积分降幂；形如，，的积分，选取，，为，)d d x x v 为应用分部积分超越函数代数化.2222111111ln d ln d 122121111ln .21xx x x x I x xx x x x x x x C x -⎛⎫++⎛⎫==-+ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭-+=++-⎰⎰解3233322233sin ()()d .sin cos sin ().()d d ()()3()d cos sin 3(sin sin )d cos 4sin 6cos .d .(1)d d (1)xx xx xf x x f x x xx x x xf x x x xf x x x f x x f x x f x xx x x x x x x x x x x x x C xe I x e e u x v x e v ''-⎛⎫== ⎪⎝⎭'==-=---=--+=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰1112已知是的一个原函数，求求令，，则例解例解322222211d .(1)2(1)11d .2(1)2(1)d 1111d d (1)1(1)1111d ln |1|ln ||11ln |1|1111ln |2(1)21x x x x x x x x x x x x x x e te x e e x x I e e x t t e t t t t t t e e C t t t t e x Ce x I x e e -==---=-⋅+--⎡⎤=====⋅=-⎢⎥-++⎣⎦⎛⎫=---=---++ ⎪+⎝⎭=---++-=-+----⎰⎰⎰⎰⎰⎰令故又所以1|.xe C ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦arcsin arccos d .arcsin arccos d arcsin arccos (arccos arcsin arcsin arccos arcsin )d arcsin arcc I x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x =⋅=⋅-=⋅+-=⋅-⎫--=⋅⎰⎰⎰13求例解os arcsin )2.x x x x C -++22211sind.1cos12cos sin122d sec d tan d2222cos2tan tan d tan d tan.2222().1(1xx x xx x x xnn nxI e xxx xx xI e x e x e xxx x x xe e x e x e CI nI n xx--+=++==+=-+=+====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1415求求为自然数例解例解(2221(1)(1)().2.1ln..n nn nn x n I InI InI x CI C--=-=-+-=-==+=+移项得而有理函数的不定积分用分解为部分公式之和再分项积分是行之有效的方法，但有时计算比较烦琐，如果针对被积函数的某种特点，可应用更简便的方法。

例如：22(1)tan.(2)111()(3)()d d.(4)d.()n nnmx a x a tR tR x x t x tx n txx x a tx a+==-=-⎰⎰⎰被积函数分母中出现因子时，宜用代换当被积函数分子为，分母为较高次数的多项式时，往往可采用倒代换化为假分式.形如的积分可通过代换化为形如的积分宜用代换23tan423222d.(1)d311cos d sin2sin4(1)84323(53)arctan.88(1)x txxxt t t t t Cxx xx Cx=+====+++++=+++⎰⎰⎰16求例解8289101282282864222753753d .(1)1(1)11101d 1d 11111arctan 75311111arctan .753xI x x A A x A A A x x x x x x x t t I t t t t t t t t t t t t CC x x x x x =++=++++++=⎡⎤=-=--+-+⎢⎥++⎣⎦=-+-+-+=-+-+-+⎰⎰⎰17求若将被积函数分解成部分分式之和，需确定个常数．令，则例解 2100219899100100d .(1)21d d 2d d x txI x x t t I t t t t t t t t -=---=--+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰18令求例解979899979899111974999111.97(1)49(1)99(1)t t t C C x x x---=-++=-++--- 三角函数有理式的不定积分通过万能变换tan2xu = 总可化为有理函数积分，但有时很繁，可用如下代换:(1)(sin cos )(sin cos )cos .(2)(sin cos )(sin cos )sin .(3)(sin cos )(sin cos )tan .R x x R x x t x R x x R x x t x R x x R x x t x -=-=-=-=--==当，，时，可用代换当，，时，可用代换当，，时，可用代换44119d .sin cos I x x x =+⎰例444224421d .sin cos (sin cos )(sin cos )tan sec 111d d d tan 11121.I x x xR x x R x x t x x t I x t t x t t t t t C C =+--==+⎛⎫===- ⎪++⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-==⎰⎰⎰⎰19求因，，，故令例解4144242223231d .sin cos (sin cos )(sin cos )sin cos d d d sin (1sin )(1)111111d ln 13221111sin ln .3sin sin 21sin u tI x x xR x x R x x u x x u t I x tx x u u t t t t t t C t t xC x x x ==-=-===----⎛-⎫⎛⎫=-++=-+++ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭-=---++⎰⎰⎰⎰⎰20令求因，，，故令，例解7sin cos d .3sin 4cos x xI x x x +=+⎰21求例sin cos 7sin cos (3sin 4cos )(3sin 4cos )(34)sin (43)cos .3474311.13sin 4cos (3sin 4cos )d ln |3s 3sin 4cos x x x x A x x B x x A B x A B x A B A B A B x x x x I x x x x'+=+++=-++-=⎧⎨-=⎩=⎧⎨=-⎩'+-+==-+⎰被积函数的特点是分子、分母均为和的线性组合，不一定用万能变换，可用待定系数法.令故有，解得所以解in 4cos |.x x C ++ 杂例(222222.ln(1)ln(1)2211d 2d 1111112ln arctan 21n .x x x xI x t x t t t t I t t t t t t t t t C t e C I x -==+--⎡⎤⎡⎤=+=-⎢⎥⎢⎥+--+⎣⎦⎣⎦⎡+⎤=-+⎢⎥-⎣⎦=-==⎰⎰22求法一：令，，则法二：例解ln arcsin .x x e e C -=++ln ln (1ln )d .d(ln ).xx x x x x I x x x I e x x e C x C =+==+=+⎰⎰23求例解23222322()()()d .()()()()()()()()()()d d ()()()()()1()d .()()2()f x f x f x I x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x I x xf x f x f x f x f x f x C f x f x f x ''⎛⎫=- ⎪''⎝⎭'''''--==⋅'''⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪'''⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰24求例解22222222322(sin )cos 2tan ()(01)(sin )(sin )d(sin )(cos 2tan )d(sin )(cos 2tan )sin d 1sin cos 2d(cos 2)2d 2cos 11cos 22d cos 2cos d cos 4cos 1cos 22ln |cos 4f x x x f x x f x f x x x x x x x x xxx x xx x x x xx x x '=+<<'==+=+=-+=--+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰25设，求法一：因例解2242212222|cos 3ln(1sin )sin .43()ln(1)ln(1).4sin (sin )12sin 1sin 1()122.11x Cx x C f x x x C x x C xf x x xx f x x x x x++=---+=---+=---+'=-+-'=-+=-+--所以法二：因故21()2d ln(1).1f x x x x x C x ⎛⎫=-+=---+ ⎪-⎝⎭⎰从而§3-2 定积分一、重要概念及公式1. 定积分定义11101(),()d lim ().()[,].[,]()d lim .0,1,1()d lim .nb i i ai i i nb an i nn i f x f x x f x f x a b a b n b a b a f x x f a i n n a b i f x x f n n λξξξ→=→∞=→∞==∆--⎛⎫=+ ⎪⎝⎭==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑⎰∑⎰∑⎰若可积则注：定积分的存在与区间的分法和的取法无关,仅与被积函数与区间有关如果把分成等份,取每个小区间的右端点,则有特别地,若则有2. 定积分的性质(略)()[,],()[,][,]()()d ()()d .()1,()[,],[,]()d ()().b baab af x C a bg x C a b a b f x g x x f g x x g x f x C a b a b f x x f b a ξξξξ∈∈∃∈=≡∈∃∈=-⎰⎰⎰积若且不变号,则使特别地,取则有积若则使分第一中值定理分中值定理3. 积分上限函数的导数d [,],()d ()().d xa f C ab f t t f x a x b x ∈=≤≤⎰若则()()d ()d ()[()]()[()].d u x v x f t t u x f u x v x f v x x ''=-⎰一般地, 4. Newton-Leibniz 公式[,],()()[,],()d ()()().b ba af C a b F x f x a b f x x F x F b F a ∈==-⎰若是在上的原函数则5. 定积分的换元公式和分部积分公式[,],[,]([,])(),(),()d [()]()d .()d ()()()()d ().b a b b ba aaf C a b C a b f x x f t t t u x v x u x v x v x u x βαϕαββαϕαϕβϕϕ∈∈=='==-⎰⎰⎰⎰若或且则6. 反常积分定义略.反常积分是常积分的极限问题. 7. 一些常用的公式2202020[,],2()d ,()()d 0,().[0,1],(sin )d (cos )d (sin )d 2(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d .2(,),()()(0)a a af C a a f x x f x f x x f x f C f x x f x x f x x f x x x f x x f x x f x x f C f x l f x l πππππππππ-∈-⎧⎪=⎨⎪⎩∈====∈-∞+∞+=>⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则当是偶函数；当是奇函数若则；；若0,()d ()d ()d ()d Cauchy-Schwarz ,[,],a l la a nl laf x x f x x a f x x n f x x a k Z fg C a b +++==∈∈⎰⎰⎰⎰则(为常数).(为常数,).不等式若则222()()d ()d ()d .b a a a b b f x g x x f x x g x x ⎡⎤≤⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰二、利用定积分的定义计算数列的极限[]111001ln 1ln(1)d (1)ln(1)2ln 212)(2).1lim e 4e ee .e ni n i n n n n x xx x x n n =→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞+++--∑⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎭⎝⎭⎰====1求极限原式例解111100112sin sin sin lim .11122sin sin sin 11sin sin ,11112112lim sin sin d cos ,1lim sin lim 1n nn i i n n i n n n i n n n n n n n n n n i i n n n n n n n n n n n ni x x xn n n i n n n n ππππππππππππππ→∞==→∞=→∞→∞=⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭⋅≤+++≤++++==-=⋅=+∑∑∑⎰∑2求极限因又例解112lim sin ,12sin sin sin2lim .1112n n i n i n n n n n n n n n n n ππππππ→∞=→∞⋅=+⎛⎫ ⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭∑由夹逼准则知三、利用定积分的几何意义和定积分的性质[]123[,]()0,()0,()0.()d ,1()(),()()(),2baa b f x f x f x S f x x S f b b a S f a f b b a '''><>==-=+-⎰3设在闭区间上记则()例213()[,][,]()()()()()(),()()()d ()d ()()d ,,(D).bb b a a a y f x a b x a b f b f a f b f x f a x a b af b f a f b x f x x f a x a x b a S S S =-≤≤+---⎡⎤≤≤+-⎢⎥-⎣⎦<<⎰⎰⎰由已知条件,曲线在闭区间上是位于由上方的单调下降的(向上)凹弧,故在上从而有即故选解()2sin 222sin sin sin 20002sin 2sin 20sin sin sin ()e sin d ,(A)(B)(C)(D)()e sin d e cos e cos d e cos d 0[0,2]ecos 0()e sin d e sin d e sin d x t xt t t t tt t t F x t t F x t t t t tt t t F x t t t t t πππππππππ+--===-+=>≥==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4设则为正常数；为负常数；恒为零；不为常数；因因在上；或例解()()sin sin 0sin sin 0sin sin e sin d e sin d ee sin d 0[0,]ee ,sin 0(A).u tu t tt tt tu u t tt t t πππππ=----=======+=->≥≥⎰⎰⎰⎰前一式令因在上,故选44120012122121tan d d tan (A)1(B)1(C)1(D)1.x xI x I x xx I I I I I I I I ππ==>>>>>>>>⎰⎰5设,,则()；；；例()122222tan 0,,tan ,,.4tan tan sec tan sin cos 00sin ,cos x x x x x I I x x x x x x x x xx x x x x x x π⎛⎫∈>>> ⎪⎝⎭'--⎛⎫==>>> ⎪⎝⎭当时因故从而又因当时故解444100tan tan 4,0,,4tan 4d d 1.(B).x x xx x xx I x x xππππππ=⎛⎫<=∈ ⎪⎝⎭=<=⎰⎰从而故选四、积分上限函数的导数的应用20(1)22202000020()d ,(0)0,(0)0,lim.()d 2()2()limlim2()d ()2()d ()4()4()limlim()3()()3()lim ()lim ()(0)x xx xx x x x x x x f t tf C f f xf t tx f x f x x f t t x f x f t t x f x x f x f x f x f x x f x f x xf x f x f →→→→→→→'∈=≠==++''=='+'+'''==⎰⎰⎰⎰6设求原式因例解000,()limlim ()(0)04(0)1.3(0)(0)x x f x f x f x f f f →→≠''==≠'==''+故原式1ln 1d .lim lim lim 2,n n tt t t x →+∞→+∞⎛⎝===7求极限因故例解1ln 1d 2.n n x ⎛= ⎝()22222224500032054020024300,1lim e d ,e d 31e limlim ,5lim 31e 0,1,31e62e limlim 520xt x xt xx x xx x x x x a b ab t x x x ax x b tax b xx ax b b ax ax x x x -→--→→-→--→→⎛⎫++ ⎪⎝⎭++++====++==-+-+=====⎰⎰8型型确定的取值,使得极限存在并求出极限值.原式由原极限存在知故得于是原式例解()222200222003e lim ,10lim 3e 0,1,3e 11lim lim .101010xx xx x x x a x a a x x x -→-→-→→++==---===-由原极限存在知故得且原式2222(),(0)1,()||()d ().0,()()()d ()()d ()d ()d ()d ()d ,()()d ()()x xx x xxx x xxxg x T g f x x t g t t f T x f x x t g t t t x g t tx g t t tg t t tg t t x g t t f x g t t xg x xg x ==-'>=-+-=-+-'=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰90000设是以为周期的连续函数,求设因故例解22204(2)()()d 2(2)()()d ()d 2(2),()()d ()d 2(2)()d ()d 2(0)2.x xxx xTT T T Txg x xg x g t t xg x xg x g t t g t t xg x f T g t t g t t Tg T g t t g t t Tg T +---+=-+'=-+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰000所以1012010()(,),lim2.()()d ,()().01()()d ()d ,1()()()d .()(0)lim ()lim 0,(0)(0)d 0,(0)limx xt uxx x x x f x f C xx f xt t x x x x f xt t f u u x f x x f u u x xf x f f x x xf t ϕϕϕϕϕϕϕ→=→→→∈-∞+∞==''≠====='=-+==⋅==='=⎰⎰⎰⎰⎰10令已知且设试求并讨论的连续性当时故又故例解02002200()d ()(0)1()limlim1,21()()d ,0().1,1()1()lim ()lim ()d lim 21(0),2x x x x x x x x f u u x f x xxxf x f u u x x x xx f x f x x f u u xx x ϕϕϕϕϕ→→→→→-===⎧-+≠⎪'=⎨⎪=⎩⎡⎤''=-+=-+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰所以因()(,).x ϕ'-∞+∞故在上连续1223012231123002223002()()()d ()d ,().()d ,()d ,(),111()d ()d ,2348()d ()d 24,33,1,83()8f x f x x x f x x x f x x f x A f x x B f x x f x x Ax Bx A f x x x Ax Bx x A B B f x x x Ax Bx x A B A B f x x x x =++===++==++=++==++=++==-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11设连续函数满足求设则从而有解得故例解312.()d ()d f x x f x x ⎰⎰注：和都是常数.五、定积分和反常积分的计算2012101111010101011,01(),1,01e (1)d .(1)d ()d ()d ()d 11e d d d ln(1)1e 11e ln(1e )ln 2ln(1).x t x tt tt x xf x x f x x f x x f t t f t t f t tt t t t t e =---------⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩--======+=+=+++++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12令设求例解222212220011min ,d .||1122min ,d 2d d 2ln 2.3I x x x I x x x x x x x -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎡⎤==+=+⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰13求易见被积函数为偶函数,故例解404,.()|sin cos |d (cos sin )d (sin cos )d .n I x n Z f x x I n x n xn x x x n x x x x x x ππππππππ+=∈===⎡⎤=-=-+-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰14计算因是周期为的周期函数,故例解121211222001122220011222201(cos )lnd .11ln112ln d [ln(1)ln(1)]d()111[ln(1)ln(1)]d 11111ln 32d ln 32ln 414131ln 3.4xI x x x xxxx I x x x x x xx x x x x x x x x x x x x -+=+-+-+==+---⎛⎫=+---+ ⎪+-⎝⎭+⎡⎤=-=--+⎢⎥--⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰⎰15计算因为奇函数,故例解2020,2I x t I ππππ==-===⎰⎰⎰16计算令有例解2200211d d.2240,sind.sin cos4pp pI x xpxxx xπππππ⎡⎤===>=+⎰⎰⎰所以类似地,对任意常数有12404444004400ln(1)d.1tan,ln(1tan)d ln1tan d41tan2ln1d ln d.1tan1tanln2d ln(1tan)d ln2,4ln2.8u txI xxx tI t t t uuu uu uu u u IIππππππππππ=-+=+=⎡⎤⎛⎫=+====-+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-⎡⎤=+=⎢⎥++⎣⎦=-+=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰17求令则所以例解111100010,d ln.ln1d,ln ln11d d d d d d ln.ln11b aby b ab yaab ab b by ya a ax x ba b xx ax x xx yx xx x b x x x y y x x yx y a-+<<=+-==-+==========++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰18交换积分次序设证明因故例解121111000()arctan(1)(0)0,()d.()d()d(1)(1)()(1)()dy x x y y x xy x x y x x x y x x y x x'=-='=-=---⎰⎰⎰⎰19若,计算例解2(1)1120011(1)arctan(1)d arctan d ln2.284x tx x x t tπ-==---=======-⎰⎰令)(32123121321121222ln ln2.2xπ==+==+=++⎰⎰⎰20计算因为无穷间断点(瑕点),故原式例解2122211d.(1)11,(1)11d ln ln2.1xIx xxx x x xxI x xx x+∞+∞+∞+∞=+=-++⎛⎫⎡=-=-==⎪⎣+⎝⎭⎰⎰21计算因故例解151011101,111555111ln525utIt xIu+∞=+∞====⎛⎫=++=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰22令求令则有例解六、定积分的证明题4tan d,1,nnI x x nπ⎰23设=为大于的整数试证：例11(1)111(2).2222n nnI InIn n-+=+<<+-；222442001422222(1)(tan tan)d tan sec d11tan.11(2)0,,tan1,tan tan(1),,412,11.2212,11.2212n n nn nnn nn nn n nnn nn n nnI I x x x x x xxn nx x x x n I II I InInI II I InInππππ-------+++=+=⋅==--⎡⎤∈≤≤≥≤⎢⎥⎣⎦≤+=-≤-≥≥+=+≥+⎰⎰当时故从而故即同理,由得即所以证1.222nIn n≤≤+-[]202220002020()[0,2],()0.2()sin d (2)(0).11()sin d ()cos ()cos d 11(2)(0)()cos d 11(2)(0)()cos d .()0,f x f x n f x nx x f f n f x x x f x nx f x nx xn n f f f x nx x n n f f f x nx x n n f x ππππππππππ'≥≤-⎡⎤'=-+⎢⎥⎣⎦'≤-+'≤-+'≥⎰⎰⎰⎰⎰24设函数在上导数连续求证对任意正数有因故例证()()(0)0,f x f f π2-≥为单调增函数,从而又[][]2200()cos ()(),112()sin d (2)(0)()d (2)(0).f x nx f x f x f x x x f f f x x f f n n n ππππ'''≤='≤-+=-⎰⎰所以0000000000000()()d ()d d ,().()()d ()d ()d ()()d ()d d ()d d .()()()d ()d x x ux x uxu x ux ux uf u x u u f t t u f x f u x u u x u f t t x u f t t f t t u f t t u F x f u x u u f t t ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰25证明：其中为连续函数法一法二令例证00000000d ,()()d ()d ()d d ,()()d ()()()d 0,().(0)0,0,()0,()()d ()d d .x x x x uxxx x uu F x x f u u u f u u f t t u F x f u u x f x x f x f t t F x C F C F x f u x u u f t t u ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦'=+--≡====⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于故所以又故因此有即1100111[0,1]()0,ln ()d ln ()d ..111ln ln ,n i nni i f C f x f x x f x x i f n n i i f f n n n n n ===⎡⎤∈>≥⎢⎥⎣⎦⎛⎫≥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→∞⎰⎰∑∑∑26设且证明：法一用定积分的定义由于两边取对数,有令取极限,注意到例证10111011100111lim ln ln lim ln ()d ,1lim ln ln ()d ,ln ()d ln ()d .()d ,0,()()lnln 11nn n n i i nn i i i f f f x x n n n n i f f x x n n f x x f x x a f x x a f x f x a a →∞→∞==→∞=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤== ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫= ⎪⎝⎭⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦=>⎡⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎣∑∑⎰∑⎰⎰⎰⎰即得法二令由题设有故11110000111000()1,()1ln ()d ln d 1d ()d 10,ln ()d ln d ln ln ()d .f x a f x f x x a x x f x x a a f x x a x a f x x ⎤≤-⎢⎥⎦⎛⎫-≤-=-= ⎪⎝⎭⎡⎤≤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰两边积分得所以110111000111000[0,1],()d 0,()d 1.[0,1]() 4..[0,1]() 4.11()d ()d ()d 1,221111()d ()d 4d 1,222[0,f C f x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x x x f x x x f x x x x ξξξ∈==∃∈≥∀∈<⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=-≤-<-= ⎪⎝⎭∃∈⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰27设且证明：使用反证明法设有由题设从而有矛盾.所以假设不成立,即例证1]() 4.f ξ≥使(1)2[,][,],()()0,4max |()||()|d .()(,),()[,][,]Lagrange b ax a b f C a b f a f b f x f x x b a x a b f x a x x b ∈∈=='≥-∈⎰28设且证明设因在区间和上满足中值定理条例证1122[,]222()()()()((,)),()()()()((,)),max |()|,()()0,|()|(),|()|(),|()|d |()|d |()|d ()d ()d x a b a b b ba b aaa b af x f a f x a a x f b f x f b x x b M f x f a f b f x M x a f x M b x f x x f x x f x xM x a x M b x x ξξξξ∈+++'-=-∈'-=-∈'===≤-≤-=+≤-+-⎰⎰⎰⎰件,故记并注意到得于是222[,](),44max |()||()|d .()ba b b ax a b b a M f x f x x b a +∈-='≥-⎰⎰即2(2)0[0,2]222222201[0,2],(1)0.()d 3max |()|.Taylor ()()()(1)(1)(1)(2)(1)(1)(2),2!2()1()d (1)(1)d (2)d ()(2)d 22x f C f f x x M M f x f f f x f f x x f x x f f x x f x x x x f x x ξξξξ∈∈=≤''=''''''=+-+-=-+-'''''=-+-=-⎰⎰⎰⎰29已知证明：，其中由一阶公式故例证222222000220,11()d ()(2)d ()(2)d 2211(2)d .23f x x f x x f x x M x x M ξξ''''=-≤-≤-=⎰⎰⎰⎰⎰从而1100d 8[0,1],1()2,()d .()91()2,x f C f x f x x f x f x ∈≤≤≤≤≤⎰⎰30设且证明：因有例证[][]21101101100()1()20,()3()20.()0,2() 3.()d ()d 2 3.()d ()d 2()d 8()d .()9f x f x f x f x f x f x f x xf x x f x xf x x f x x f x x f x --≤-+≤>+≤+≤+≥≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即又因故有积分得由于故2[,],()[,],0,1()()d d .()4b b aaf C a b f x a b M m m M m f x x x f x M m∈>+≤⎰⎰推广：设在上的最大值和最小值分别为和且则有(1)2113002300300[,],(0,1),0()1,(0)0.()d ()d .()0,()(0)0,(0,1).()()d ()d ,[0,1],(0)0,()2()()d ()()2()d x xx xf C a b x f x f f x x f x x f x f x f x F x f t t f t t F C F F x f x f t t f x f x f t t '∈∈<<=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦'>>=∈⎡⎤=-∈=⎢⎥⎣⎦'=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰31设当时证明：因故有设则且例证[]220().()2()d (),[0,1],(0)0,()2()2()()2()1()0,(0,1),xf x x f t t f x C x f x f x f x f x f x x ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-∈='''=-=->∈⎰令则且211300(0,1)()(0)0,()0((0,1)),()[0,1](1)(0)0,()d ()d .x x F x x F x F F f x x f x x ϕϕ∈>='>∈>=⎡⎤<⎢⎥⎣⎦⎰⎰从而当时于是即在上单调增加,因此有即21201()[0,],()cos d ()sin d 0,(0,),,()()0.()[0,](0,)sin 0()sin d 0()(0,).()[0,](0,),()0f x f x x x f x x x f f f x x f x x x f x f x f πππππξξξξπππππξξ====>==⎰⎰⎰3211设在上连续且证明：在内存在相异的两点使不妨设在上不恒为零.由在上及条件可知在内必定变号又由在上的连续性可知,在内至少有一点使例证1111111101110.()(0,),()(0,)(,)sin()(0,)(,)()sin()(0,)()sin()d 0.()sin()d cos ()sin d sin ()cos d 0,.()(0,f x f x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x x f x ππππξπξξπξξξπξπξξξξπ---≠-=-=⎰⎰⎰⎰假设是在内的唯一零点则在和上异号.又因在和上异号,故在内不变号.于是另一方面矛盾因此在212)(),()0f ξξξξ≠=2内至少存在一点使.0000()()0,(),11[()]d ()d (0).1()d ,()d .()0,Taylor a a aay f x f x u u t f u t t f u t t a a a b u t t a ab u t t f x ''=≥=⎡⎤≥>⎢⎥⎣⎦==''≥⎰⎰⎰⎰33设二次可微,且求证：对任意连续函数必有记即由于由公式知例证20000()[()]()()[()][()]2!()()[()],[()]d ()()[()]d ()()()d ().0,11[()]d ()()d .a aaa a f f u t fb f b u t b u t b f b f b u t b f u t t a f b f b u t b ta fb f b u t t ab a f b a f u t t f b f u t t a a ξ'''=+-+-'≥+-'≥+-⎡⎤'=+-=⎢⎥⎣⎦>⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰于是又因故有01010100011()[0,1](0)(1)0,()0,|()|d 4max |()|.()0,max |()|0.(0)(1)0,max |()|(0,1),(0,1)|()|max |()|.Lagrange ()x x x x f x f f f x f x x f x f x f x f f f x x f x f x f ξ≤≤≤≤≤≤≤≤==≡/''≥≡>==/∃∈='⎰341设在上具有二阶连续导数,且证明：因故又因故在内取得即使由中值定理,有例证221100100000220002100001000000()(0)(),(0,),(1)()()(),(,1).11|()|d |()|d ()d |()()|()()11|()|max |()|,1(1)(1)x f x f f x x x x f f x f x f x x x f x x f x x f x x f f f x f x f x f x x x x x x x x ξξξξξξξξξ≤≤-==∈--'==∈--''''''''≥≥=--=-=⋅=---⎰⎰⎰10因此而200001111(1),424|()|d 4max |()|.x x x f x x f x ≤≤⎛⎫-=--≤ ⎪⎝⎭''≥⎰10所以§3-3 定积分的应用本节最重要的知识是元素法。