一元函数积分学练习题

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一元函数积分学

一元函数积分学一．定积分的定义【例1】（用定义）求极限1lim_______n n →∞++= . 说明：若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积，于是由积分的定义，有1()lim().nb an i i b af x dx f a b a n n →∞=-⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑⎰。

解11lim 11limcos 2n nn k n n x dx πππππππ→∞→∞=+++====∑⎰⎰【例2】（定义及夹逼定理）求2sin sin sin lim 1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭解由于sinsin sin 12i i i n n n i n nn πππ<<++，故111sin11sinsin12nnni i i i i i n i n nn nn πππ===<<++∑∑∑. 又1011112limsin lim .sinlim sin 111nnn n n i i i n i n xdx n n n nn n πππ→∞→∞→∞==⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑⎰，由夹逼定理知：原式=2π.二．积分计算基本方法：换元法，分部积分法，万能变换等.基本题型：带根号的积分常用换元法去根号. 下面几种类型的积分常用分部积分法处理：12320sin ,arctan ,ln ,,cos .x axx xdx xdx x xdx x e dx ebxdx -⎰⎰⎰⎰⎰熟悉2111dx dd xx -==等.【例1】（分部积分）arcsin arccos x xdx ⋅⎰分析：与arctan xdx ⎰类型同. 解原式arcsin arccos x x x x dx ⎛⎫=-⎝⎰()a r c s i na r c c o s a r c c o s1x x x x x x=--⎰arcsin arccos x x x dx ⎫=---⎝⎰a r c s i n a r c c o s 2x xx x c=-+【例2】（三角变形）2sin cos _________(cos sin )x x xdx x x x +=-⎰. （赛.2004.苏）分析：变形使被积函数的个数变少.解222sin cos sec tan (cos sin )(1tan )x x xx x x dx dx x x x x x ++=--⎰⎰=211tan (tan 1)tan 1dx x c x x x x =-+--⎰.【例3】（变量代换）12arctan _______.(1)x dx x =+⎰（赛.2006.苏）解作变量代换arctan t x =，则原式24441sec (1cos 2)sec 2t tdt t t dt tππ==+⎰⎰22444011sin 2sin 24464168||tt t tdt πππππ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭⎰. 【例4】(奇偶性)222(cos())sin ________.x x xdx ππ-+=⎰（赛.1991.苏）分析：注意被积函数的奇偶性和积分区间的对称性.解 2222022(cos())sin sin 2sin 2x x xdx x xdx x xdx πππππ--+===⎰⎰⎰.【例5】（轮换对称）计算2011tan J dx xπ=+⎰解原式20cos sin cos x dx x x π=+⎰，记20sin sin cos x I dx x xπ=+⎰，作变量代换2u x π=-则20cos sin cos uI du u uπ=+⎰J =. 又2I J π+=，故4J π=.注 1作变量代换tan u x =, 也可计算. 2 一般地，若f 连续，则（i ）2200(sin )(cos );f x dx f x dx ππ=⎰⎰(ii ）0(sin )(sin ).2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰【例6】（递推计算）求定积分220tan.nn I xdx π=⎰解 442212221sin 11sincos21cosn n n nn x I dx xdxn xππ--==-⎰⎰4222(1)2111(21)sincos 1,2121cos21n n n n x xdx I n n xn π----=-=----⎰所以12111(1)(1).2123254n nn I n n n π+=-+-+-+----三. 变限积分的应用基本公式：()'()()x af t dtf x =⎰拓广公式：()'()''()()(())()(())()x x f t dtf x x f x x ψϕψψϕϕ=-⎰.【例1】设()f x 在[0,)+∞上连续，且11()1()xf x f t dt x=+⎰，求()f x .解对等式1()()xxf x x f t dt -=⎰两边求导，得'()()1().f x xf x f x +-=即'1().f x x=且(1)1f =. 因此()ln 1.f x x =+【例2】设'()f x 连续，'(0)0,(0)0,f f =≠求22()lim()x x x f t dtxf t dt→⎰⎰.（赛.2000.苏）解原式222002()2()limlim2()()2()()xxx x xf x f x x f t dt x f x f t dt xf x →→==++⎰⎰'2'2'''''4()4()4(0)limlim13[()(0)]3()()3(0)(0)()x x xf x f x f f x f f x xf x f f f x x→→====-+++.【例3】()2()51lim1_____.x tx x edt x-→-=⎰（赛.2006.苏）解作变量代换u tx =，则原式=()()224440654411.211limlimlimlim.6333x uxxx x x x eduexex xxxx---→→→→----====-⎰【例4】设()f x 在[0,1]上可导，'0()1f x ≤≤且(0)0f =，证明：()2113()()f x dxf x dx ≥⎰⎰.证只需证明一般情形()23()()x x f t dtf t dt ≥⎰⎰.令()23()()()x x F x f t dtf t dt =-⎰⎰, 则'3200()2()()()()2()(),x xF x f x f t dt f x f x f t dt f x ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰再令2()2()(),xG x f t dt f x =-⎰ 则'''()2()2()()2()1()0,G x f x f x f x f x f x ⎡⎤=-=-≥⎣⎦从而()0.F x ≥【例5】设0sin (),x tf x dt tπ=-⎰计算0().f x dx π⎰解由于'sin (),xf x xπ=- 用分部积分法得'sin sin ()()()sin sin 2.|txf x dx xf x xf x dx dt xdxtxx xdx xdx xππππππππππππ=-=----===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰四．定积分的证明题.熟悉柯西-许瓦滋不等式：()222()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx≤⋅⎰⎰⎰积分中值定理：若()f x 在[,]a b 上连续，则存在a b ξ<<，使()()().b af x dx f b a ξ=-⎰【例1】（柯西-许瓦滋不等式）设f 为[0,1]上正连续函数，证明：2110()1()()4dxm M f x dx f x m M+≤≤⎰⎰.其中0101max (),min ().x x M f x m f x ≤≤≤≤==证由柯西-许瓦滋不等式得21101()()dxf x dx f x ⎡⎤=≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.另一方面10()1()f x m m dx M f x M ⎡⎤⎛⎫+≤+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰，即11011()()m M f x dx m dx Mf x M++≤⎰⎰.而上式左端≥2112()()()4m dxm M f x dx Mf x M+≤⎰⎰.【例2】（积分中值定理）设f 为[0,1]上连续函数，()()0bb xaaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证：()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.解方法一：令()(),()x aF x f t dt a x b =≤≤⎰，则()()0F a F b ==. 于是()()()()()()()|b b bbbxxxxx caaaaaf x e dx e dF x e F x F x e dx F x e dx F c e b a ==-=-=--⎰⎰⎰⎰ 其中(,)c a b ∈. 于是()0F c =. 在[,]a c 和[,]c b 上应用Roll 定理，存在 12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使''12()()0F F ξξ==，即12()()0f f ξξ==. 于是()f x 在(,)a b 内至少有两个零点.方法二：由积分中值定理，11()()(),baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰，得1()0f ξ=.（反证）设()f x 在(,)a b 内仅有一个零点1ξ，不妨设1a x ξ<<时，()0f x >，1x b ξ<<时，()0f x <. 由条件得 1()()0b xae ef x d x ξ-=⎰. 又11111()()()()()()000b bxxxaaee f x dx ee f x dx ee f x dx ξξξξξ-=-+->+=⎰⎰⎰,从而导出矛盾.【例3】（计算型证明）设"()f x 在[0,1]上连续，且(0)(1)0f f ==，求证：（1）11"001()(1)()2f x dx x x f x dx =-⎰⎰，（2）1"011|()|m ax |()|12x f x dx f x ≤≤≤⎰.证：（1）11"'11(1)()(1)()22x x f x dx x x df x -=-⎰⎰=11''11(1)()()(21)22|x x f x f x x dx ---⎰=111111(21)()[()(21)()]()22|x df x f x x f x dx f x dx --=---=⎰⎰⎰.（2）11"01|()||(1)()|2f x dx x x f x dx =-⎰⎰1""010111m ax |()|(1)m ax |()|212x x f x x x dx f x ≤≤≤≤≤-=⎰.【例4】（'()()()b af b f a f x dx -=⎰的应用）设:[0,1]f → 具有二阶连续导数，又设(0)(1)0f f ==，且对一切(0,1)x ∈有()0f x >，证明："10()4()f x dx f x >⎰.证记01max ()x M f x ≤≤=，则存在0(0,1)x ∈使得0()f x M =，且'0()0f x =. 由微分中值定理，存在,()a b a b <使''000()(0)(1)()(),()1f x f f f x f a f b x x --==-，于是""1''0()()1()()()()()b af x f x dx dx f b f a f x f x f x ≥≥-⎰⎰000000()()114.()1(1)f x f x f x x x x x =--=≥--【例5】（正负分开估计）证明20x dx >.分析：由于2sin x 的原函数无初等表达式，故直接计算不可能. 但可以估计其正的部分和负的部分的差.证作变量代换2y x =，有22211ni n i n .22x dx ππππ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 对上述第二个积分进行换元，则有原积分为0011sin .22y dy ππ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰由于在(0,)π上，被积函数是一个正函数，从而其积分大于零.【例6】（泰勒公式）设在区间[0,]a 上"()0,f x > 证明：().2a a f x d x a f ⎛⎫≥⎪⎝⎭⎰解 '"2'2222222()()()()()()()()(),a a a a a a a f x f f x f x f f x ξ=+-+-≥+-积分后得().2a a f x d x a f ⎛⎫≥⎪⎝⎭⎰【例7】（构造型）设()f x ∞∞在(-,+)上是导数连续的有界函数， '|()()|1,f x f x -≤ 求证：|()|1,(,).f x x ≤∈-∞+∞证方法一：任取,x ∈ 有''[()](()())x x e f x e f x f x --=-，又 '()()[()]|x xxxx e f x ef x ef x d x +∞+∞----==⎰，故''|()||[()]||()()|,xxxx xxxxef x ef x dx ef x f x dx e dx e +∞+∞+∞------=≤-≤=⎰⎰⎰即|()|1f x ≤.方法二：令'()(()1),1()()1,x F x e f x f x f x -=+-≤-≤由题意所以 ''()(()()1)0,x F x e f x f x -=--≤ 因而()F x 单调减，故 ()1()l i m ()l i m 0.x x x f x F x F x e→+∞→+∞+≥== 而0,x e -> 故()10f x +≥，即() 1.f x ≥-令'()(()1),1()()1,x G x e f x f x f x -=--≤-≤由题意所以 ''()(()()1)0,x G x e f x f x -=-+≥ 因而()G x 单调增，故 ()1()l i m ()l i m 0.x x x f x G x G x e→+∞→+∞-≤== 而0,xe -> 故()10f x -≤，即() 1.f x ≤五. 定积分的应用【例1】设22:4,.D x y x y x +≤≤- 在D 的边界y x =-上任取点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q .（1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =-旋转一周的旋转体体积. （赛.2004.苏）解沿y x =-作坐标轴t ，原点为O ，则P 在t 轴上的坐标为t ，在xy 平面上P 的坐标为⎛-⎝，所以直线PQ的方程为(0y x t =-≤≤，由22,4y x x y x⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得Q 点的横坐标为01x =所以01P Q x ⎫⎫=-=⎪⎪⎭⎭. 所求旋转体体积为221222V dt t dt ππ==+--⎝⎰⎰22(2)u -=-=-=-⎰【例2】曲线Γ的极坐标方程1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点处的切线L 的直角坐标方程，并求曲线Γ、切线L 与x 轴所围图形的面积.（赛.2006.苏）解曲线的参数方程为cos (1cos )cos x ρθθθ==+ s i n (1c o s )si y ρθθθ==+''c o s c o s 2s i n s i n 2d y y d xxθθθθ+==--，41|dydx πθ==-又4πθ=时，1122x y ++==，故切线L 的方程为(1)22y x ⎛-=-- ⎝⎭，即1(12y x+=-+. 令0y=得2x=+如图所示，三角形OPB的面积为111102228S++⎛=+⋅=⎝，曲边三角形OPA的面积为22444200011131(1cos)2cos cos222222S d d dπππρθθθθθθ⎛⎫==+=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰311628π=+于是所求图形的面积为1293816S S Sπ=-=+.【例3】求曲线|ln||ln|1x y+=所围成的平面图形的面积.解方法一：上述曲线方程去掉绝对值后为,1,1,101,,011,1,0101,x y e x yy x x yey e x x yx y x ye=≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且所以11111.eee xA ex dx dx eex x e e⎛⎫⎛⎫=-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰方法二：令ln,ln,u x v y==则,,u vx e y e==':||||1,.uu v u vvu vx x eD u v J e ey y e+≤===⋅故''01111101||1.u uu v u v u vu uD D Ddxdy J dudv e e dudv e du e dv e du e dvee+-----==⋅=+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题1.n lim ln _________→∞=. 2. 211()sin _______.x x e xdx -+=⎰3. 计算120(1)x xe dx x +⎰.4. 求200sin lim .x x t dt t x →⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰（赛.1997.京）5.设连续非负函数满足()()1(),f x f x x -=-∞<<+∞ 则22cos ___________.1()x dx f x ππ-=+⎰（赛.2004.京）6. 设()()3,f x f x ≤≤在[0,1]上连续，且1 证明：110011() 3.()f x dx dx f x ≤≤⎰⎰（赛.2004.京）7. 证明：200.x dx >赛.前苏联） 8. 设()f x π在[0,2]上具有一阶连续导数，且"()0,f x ≥ 求证：对任意的自然数n ，有 202()s i n [(2)(0)].f x n x d x f f n ππ≤-⎰ 9. 有一弹璜，假定被压缩0.5cm 时需用力1N （牛顿），现弹璜在外力的作用下被压缩3 cm,求外力所做的功.10. 设()f x 在 [,]a b 上具有连续导数, 求证:'1m a x |()|()|()|.bb a a a x b f x f x dx f x dx b a ≤≤≤+-⎰⎰（赛.2008.苏）。

考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2010年]设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n的取值有关C．与m，n的取值都有关D．与m，n的取值都无关正确答案：D解析：易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1，因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和，即记．下面讨论I1的敛散性．(1)设n＞1，取，因知，I1收敛；(2)设n=1，m=1，2，则，此时I1已不是反常积分，当然收敛；(3)设n=1，m＞2，取P=1—2／m，则0＜p＜1，且有可知I1也收敛．综上所述，无论m，n取何正整数，I1均收敛．下面讨论I2的敛散性．对任意0＜p ＜1，知，对任意正整数n，m，有可得I2=∫1/21f(x)dx收敛．因此对任意正整数m，n，所给反常积分都收敛．仅D入选．知识模块：一元函数积分学2．[2016年]若反常积分收敛，则( )．A．a＜1且b＞1B．a＞1且b＞1C．a＜1且a+b＞1D．a＞1且a+b＞1正确答案：C解析：因收敛，故上述等式右端的两个反常积分收敛，当a＜1时，收敛．当a+b＞1时，收敛，因而仅C入选．知识模块：一元函数积分学3．[2017年] 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有[v2(t)-v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知，∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20—10=10 ，可知t0=25．仅C入选．知识模块：一元函数积分学填空题4．[2002年] =______.正确答案：1解析：故知识模块：一元函数积分学5．[2013年]=______.正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学6．[2011年] 曲线y=∫0xtantdt 的弧长s=______．正确答案：解析：因y’(x)=tanx，故知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一元函数积分学经典习题

,
, 所以
=
九. 设当 x 0 时,
连续, 求
.
解.
=
=
+
－
=
+c.
十. 设
, 求 f(x).
解. 令
, 所以
所以十一. 求下列不定积分:
1.
解. 令
=
2. 解. 令
=
3.
解.
+
=
－=ຫໍສະໝຸດ 4. 解.( a > 0)
=
=
=
=
=
= 十二. 求下列不定积分:
1.
解.
=
2.
解.
=
=
= 一．若 f(x)在[a，b] 上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数 (x), 均有 , 则 f(x) 0. 证明: 假设 f() 0, a < < b, 不妨假设 f( ) > 0. 因为 f(x) 在[a ，b]上连续, 所以存在 > 0, 使得在[ － , + ] 上 f(x) > 0. 令 m = 定义[a ，b] 上 (x): 在[ －, + ]上 (x) = 所以 . 按以下方法 , 其它地方 (x) = 0.
证明: 将 lnx 在 x 0 用台劳公式展开
（1 ）
令
x = f （t ）
代入（1 ）
将上式两边取
，最后一项为 0 ，得
十三. 设 f(x) 在[0, 1] 上有一阶连续导数, 且 f(1)－f(0) = 1, 试证:
证明:
十四. 设函数 f(x) 在[0, 2] 上连续, 且 [0, 2], 使|f( )| a.
1.

考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷15(题后含答案及解析)

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选(A)．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，知识模块：一元函数积分学5．以下4个命题正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个正确答案：A解析：设f(x)=x，则f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且.但是故f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．知识模块：一元函数积分学填空题6．设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=________正确答案：解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x 求导得f(x3-1).3x2=1，f(x3-1)=令x=2，即得f(7)= 知识模块：一元函数积分学7．设=________正确答案：解析：令3x+1=t，x= 知识模块：一元函数积分学8．设，则a=_________正确答案：2解析：知识模块：一元函数积分学9．设=_______正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．=_______正确答案：ln3解析：因知识模块：一元函数积分学11．=_______正确答案：，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学12．设f’(sinx2)=cos2x+tan2x(0＜x＜1)，则f(x)=________正确答案：-ln(1-x)-x2+C，其中C为任意常数解析：知识模块：一元函数积分学13．设y=y’(x)，若，且x→+∞时，y→0，则y=_______正确答案：e-x解析：由已知得，分离变量，两边积分，再由已知条件得结果y=e-x．知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编18(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2017年] 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如图1．3．5．19，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)则( )．A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：用定积分求变速运动的位移．从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有∫0t0[v2(t)一v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知∫025[v2(t)一v1(t)]dt=20—10=10，可知t0=25．仅(C)入选．知识模块：一元函数积分学填空题2．[20l1年] 曲线y=∫0xtant dt(0≤x≤)的弧长s=_________．正确答案：曲线弧长的方程由直角坐标方程给出，应按式(1．3．5．12)计算弧长s．因y′(x)=tanx，故s=∫0π/4secxdx=ln∣secx+tanx∣∣0π/4=ln(1+√2)．涉及知识点：一元函数积分学3．[2010年] 当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为__________．正确答案：利用求曲线弧长的公式直接计算即可．解一对于0≤θ≤π，r=eθ，由极坐标弧长公式(1．3．5．14)得所求弧长为S==∫0π√2eθdθ=√2e θ∣0π=√2(eπ一1)．解二令x=rcosθ=eθcosθ，y=rsinθ=eθsinθ，则由弧长公式(1．3．5．13)得到s==∫0π√2eθdθ=√2eθ∣0π=√2[eπ一1)．涉及知识点：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷61(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷61(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设，则( )A．I1＞I1＞。

B．I1＞＞I2。

C．I2＞I1＞。

D．I2＞＞I1。

正确答案：B解析：因为当x＞0时，有tanx＞x，于是有，从而可见有I1＞I2，又由，I2＜知，故选B。

知识模块：一元函数积分学2．设f(x)=∫0π(ecost—e—cost)dt，则( )A．f(x)=f(x+2π)。

B．f(x)＞f(x+2π)。

C．f(x)＜f(x+2π)。

D．当x＞0时，f(x)＞f(x+2π)；当x＜0时，f(x)＜f(x+2π)。

正确答案：A解析：由题意f(x+2π)一f(x)=∫xx+2π(ecost一e—cost)dt，被积函数以2π为周期且为偶函数，由周期函数的积分性质得f(x+2π)一f(x)=∫—ππ(ecost —e—cost)dt=2∫0π(ecost—e—cost)dt 2∫0π(ecosu+e—cosu)du，因此f(x+2π)—f(x)=0。

故选A。

知识模块：一元函数积分学3．设函数f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( )A．∫0xtf(t)一f(一t)dtB．∫0xtf(t)+f(一t)dt。

C．∫0xf(t2)dt。

D．∫0x[f(t)]2dt。

正确答案：B解析：取f(x)=x，则相应的∫0xt[f(t)—f(—t)]dt=∫0x2t2dt=x3，∫0xf(t2)dt=∫0xt2dt=x3，∫0x[f(t)]2dt=∫0xt2dt=x3，均为奇函数，故选B。

知识模块：一元函数积分学4．曲线y=e—xsinx(0≤x≤3π)与x轴所围成图形的面积可表示为( ) A．一∫03πe—xsinxdx。

B．∫03πe—xsinxdx。

C．∫0πe—xsinxdx—∫π2πe—xsinxdx+∫2π3πe—xsinxdx。

考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷33(题后含答案及解析)

考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷33(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学2．=__________。

正确答案：解析：已知函数可化为知识模块：一元函数积分学3．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学4．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学5．设a＞0，则=__________。

正确答案：解析：由题干可知，原式可化为知识模块：一元函数积分学6．设=__________。

正确答案：解析：令x一1=t，知识模块：一元函数积分学7．=__________。

正确答案：解析：令x=sint，则知识模块：一元函数积分学8．=__________。

正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学9．=__________。

正确答案：解析：本题主要考查的是凑微分法和牛顿一莱布尼茨公式。

知识模块：一元函数积分学10．=__________。

正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学11．设函数则∫一∞+∞xf(x)dx=____________。

正确答案：解析：已知x≤0时，函数f(x)值恒为0，因此可得知识模块：一元函数积分学12．已知则k=_________。

正确答案：一2解析：已知要求极限存在，所以k＜0。

那么所以k=一2。

知识模块：一元函数积分学13．由曲线和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为_____________。

正确答案：4ln2解析：先画图，作出y=4x与的交点(1，4)，直线y=x与的交点(2，2)，由图可知，面积S分两块(如图1一3—8)。

知识模块：一元函数积分学14．设封闭曲线L的极坐标方程为则L所围平面图形的面积是__________。

正确答案：解析：直接利用封闭曲线图形的面积公式可得知识模块：一元函数积分学15．在曲线y=x2(0≤x≤1)上取一点(t，t2)(0＜t＜1)，设A1是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=0所围成图形的面积；A2是由曲线y=x2(0≤x≤1)，直线y=t2和x=1所围成图形的面积，则t取_______时，A=A1+A2取最小值。

考研数学一-一元函数积分学

考研数学一-一元函数积分学(总分：222.50，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：31，分数：124.00)1.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则f(x)在(a，b)内恒为零．B.(B) 若f(x)的某个原函数为零，则f(x)的所有原函数为常数．C.(C) 若f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内f(x)必无原函数．√D.(D) 若F(x)是f(x)的任意一个原函数，则F(x)必定为连续函数．解析：[分析] 假设F(x)是f(x)的一个原函数，则必有F'(x)=f(x)．对于命题(A)：如果f(x)在区间(a，b)内的某个原函数F(x)=k(k是常数)，则在(a，b)内任意点x处，f(x)=F'(x)=0，所以此命题正确．对于命题(B)：若F(x)=0是f(x)的一个原函数，则F(x)+c=c就是f(x)的所有原函数，从而此命题正确．f(x)在区间(a，b)内连续是其原函数存在的充分条件，命题(C)是错误的，只需举反例说明，如函数在(-1，1)内不连续，但它存在原函数若F(x)是f(x)的一个原函数，则必有F'(x)=f(x)，说明F(x)可导，而可导必连续，所以命题(D)正确．综上分析，应选(C)．2.设则下列结论①在[-1，1]上f1(x)存在原函数②存在定积分③存在f'2(0) ④在[-1，1]上f2(x)存在原函数中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ③、④．C.(C) ②、④．√D.(D) ①、③。

解析：[分析] ①不正确．若存在原函数F(x)，则在区间[-1，0]，；在区间(0，1]上F(x)=e x+C2．在x=0处F(x)应连续，所以C1=C2+1，于是但此F(x)在x=0处F'-(0)=0，F'+(0)=1，F'(0)不存在，所以此F(x)在[-1，1]上不是f1(x)的原函数，矛盾，故①不正确．②正确．f1(x)在[-1，1]上有界且只有1个间断点，所以存在，且③不正确．由导数定义可知f'2(0)不存在．④正确．因为f2(x)在[-1，1]上连续，所以存在原函数．综上分析，应选(C)．3.设函数f(x)在[a，b]上有界，把[a，b]任意分成n个小区间，ξi为每个小区间[x i-1，x i]上任取的一点，则所表示的和式极限是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 由定积分的定义可知(D)正确，应选(D)．4.下列关于反常积分的命题①设f(x)是(-∞，+∞)上的连续奇函数，则②设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且存在，则必收敛，且③若都发散，则不能确定是否收敛④若都发散，则不能确定是否收敛中是真命题的个数有（分数：4.00）A.(A) 1个．√B.(B) 2个．C.(C) 3个．D.(D) 4个．解析：[分析] 反常积分收敛的充分必要条件是对常数a，两个反常积分与都收敛．设f(x)=x，f(x)是(-∞，+∞)上的连续奇函数，且．但是发散．所以①、②、④不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面的讨论知都发散，但g(x)]dx收敛；设f(x)=x，g(x)=x，由上面的讨论知都发散，且也发散．这表明③是真命题．所以应选(A)．5.设f(x)及g(x)在[a，b]上连续，则下列命题①若在[a，b]上，f(x)≥0，则f(x)≠0，②若在[a，b]上，f(x)≥0，且，则在[a，b]上f(x)=0 ③若f(x)在[a，b]的任意子区间[α，β]上有，则f(x)=0() ④若在[a，b]上，f(x)≤g(x)，且，则在[a，b]上f(x)≡g(x) 中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ①、②、③．C.(C) ①、②、④．D.(D) ①、②、③、④．√解析：[分析] ①正确．根据条件必定存在x0∈[a，b]，使得f(x0)＞0．由函数f(x)在x0连续可知，存在a≤α＜β≤b，使得当x∈[α，β]时．因此有由定积分性质得到故得到结论．②正确．用反证法．如果f(x)≠0，由由①得到，与假设条件矛盾，因此②成立．③正确．用反证法．若f(x)≠0(x∈[a，b])，则，f(x0)≠0，不妨设f(x0)＞0，由连续性，，f(x)＞0(x∈[x0-δ，x0+δ])．取[α，β]=[x0-δ，x0+δ]，则，与已知矛盾．因此，f(x)≡0(x∈[a，b])．④正确．臣为h(x)=g(x)-f(x)≥0，且，由②可得h(x)≡0，从而结论成立．综上分析，应选(D)．6.积分上限函数(a≤x≤b)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量x为积分上限，F(x)与x的对应法则由定积分给出下列对F(x)的理解不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上连续，则F(x)可导，且F'(x)=f(x)．B.(B) 若函数f(x)存[a，b]上连续，则F(x)就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．C.(C) 若函数f(x)存[a，b]上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则F(x)在[a，b]上连续，且可微．D.(D) 若积分上限是x的可微函数g(x)，则是F(u)与u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即解析：[分析] 对于(A)：由变上限积分的性质可知(A)正确．由此得到一个重要结论：连续函数一定存在原函数．有些积分如等虽然“积”不出来，但因被积函数在其定义区间上连续，所以一定存在原函数．对于(B)：若f(x)为[a，b]上的连续函数，由变上限积分函数的性质可知，必有由原函数的定义可知，若f(x)为[a，b]上的连续函数，则必为f(x)在[a，b]上的一个原函数．故(B)正确．评注1°此命题表明任何连续函数都存在原函数．2°若f(x)在[a，b]上存在原函数，则f(x)在[a，b]上的所有原函数可以表示为3°若f(x)为[a，b]上的连续函数，则为4°若f(x)不是[a，b]上的连续函数，则不一定为f(x)在该区间上的原函数．因为若f(x)不是连续函数，很可能不可导．如，设，则 (A)F(x)在x=0处不连续． (B)F(x)在(-∞，+∞)上连续，但在点x=0处不可导． (C)F(x)在(-∞，+∞)内可导，且满足F'(x)=f(x)． (D)F(x)在(-∞，+∞)内可导，但不一定满足F'(x)=f(x)．首先要注意：当f(x)为连续函数，的原函数，此时有如果f(x)不为连续函数，则上述结论不成立．由于f(x)为分段函数，因此变上限积分F(x)出为分段函数．当x＜0时；当x＞0时；当x=0时F(0)=0；因此F(x)=|x|，可知F(x)在(-∞，+∞)上连续，但是在x=0点处不可导．故应选(B)．对于(C):F(x)在[a，b]上连续的结论是明显的，但F(x)不一定可微．假设F(x)可微，即有 F'(x)=f(x)，这表明在某区间上可微函数的导函数具有第一类间断点，这与“若导函数有不连续点，则只可能是第二类间断点”相矛盾，故(C)不正确．对于(D)：显然正确．综上分析，应选(C)．7.设F(x)是函数f(x)=max{x，x2}的一个原函数．则（分数：4.00）A.(A) F(x)可能在x=0，x=1两点处间断．B.(B) F(x)只可能在x=1处间断．C.(C) F(x)的导函数可能在x=1处间断．D.(D) F(x)的导函数处处连续．√解析：[分析] 由于，所以f(x)处处连续．又因为F(x)是f(x)的原函数，所以F'(x)=f(x)，从而选(D)．8.设F(x)是f(x)在(a，b)上的一个原函数，则f(x)+F(x)在(a，b)上（分数：4.00）A.(A) 可导．B.(B) 连续．C.(C) 存在原函数．√D.(D) 不是分段函数．解析：[分析] 因为F(x)是f(x)在(a，b)上的一个原函数，所以F'(x)=f(x)，因此F(x)在(a，b)上连续，于是F(x)在(a，b)上存在原函数，从而F(x)+f(z)在(a，b)上存在原函数，因此选(C)．函数f(x)在(a，b)上存在原函数，f(x)在(a，b)上不一定连续(函数f(x)在(a，b)上连续是它在(a，b)上存在原函数的充分条件)．又F(x)在(a，b)上连续，因此F(x)+f(x)在(a，b)上不一定连续，因此不选(B)，从而也不选(A)．另外，f(x)+F(x)存在原函数，但它不一定是初等函数，例如e|x|在(-∞，+∞)上存在一个原函数但就是分段函数，因此不选(D)．9.设F(x)是函数f(x)在区间I上的原函数，则（分数：4.00）A.(A) F(x)必是初等函数且有界．B.(B) F(x)必是初等函数，但未必有界．C.(C) F(x)在I上必连续且有界．D.(D) F(x)在I上必连续，但未必有界．√解析：[分析] 根据原函数的定义，知F(x)在I上可导且F'(x)=f(x)，所以F(x)在I上连续，但未必有界，如在(0，1)上的原函数是lnx，但lnx在(0，1)内是无界的．故应选(D)．10.设，则根据定积分的几何意义可知下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) I是由曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积，所以I＞0．B.(B) 若I=0，则上述图形面积为零，从而图形的“高”f(x)=0．C.(C) I是曲线y=f(x)及直线x=a、x=b与x轴之间各部分而积的代数和．√D.(D) I是曲线y=|f(x)|及直线x=a、x=b与x轴所围图形的面积．解析：[分析] 由定积分的几何意义可知，(C)正确．例如：，而由曲线y=sinx，x轴与直线所围成的曲边梯形的面积为由此可知(A)，(B)均不正确．(D)显然不正确．故应选(C)．11.下列结论不正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则定积分表示一个常数值，且该值与区间[a，b]、函数f(x)及积分变量的记号均有关．√B.(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，将[a，b]n等分，在每个小区间△x i上任取一点ξi，则必定存在，且C.(C) 设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，不论ξi在[x i-1，x i]中怎样选取，只要λ＞δ，总有D.(D) 若函数f(x)在[a，b]上满足下列条件之一：(ⅰ)在[a，b]上连续；(ⅱ)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点；(ⅲ)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积．解析：[分析] 对于(A)：定积分定义中，是一种新的类型的极限，它既不能表示成数列的极限，也不能表示成函数的极限．λ愈小，表示分点愈密．对于[a，b]的任意划分，不论小区间|x i-1，x i]上点ξi怎样取法，当λ→0时，和为极限．因此，定积分仅与被积函数f(x)及积分区间[a，b]有关，而与积分变量的记号无关．即有故(A)不正确．对于(B)：由定积分的定义可知(B)正确．该命题提供了一条求极限的途径．对于(C)：这是定积分定义的等价表述(利用“ε-δ”的说法)，因此，(C)正确．对于(D)：这三个条件均为f(x)在[a，b]上可积的充分条件，故(D)正确．综上分析，应选(A)．12.设f(x)在(-∞，+∞)内连续，则下列叙述正确的是（分数：4.00）A.(A) 若f(x)为偶函数，则B.(B) 若f(x)为奇函数，则C.(C) 若f(x)为非奇非偶函数，则D.(D) 若f(x)为以T为周期的周期函数，且是奇函数，则是以T为周期的周期隔数．√解析：[分析] 由于0既是偶函数又是奇函数，且，所以不选(A)，(B)．若f(x)为非奇非偶函数，也可能有．例如在(-∞，+∞)上为非奇非偶函数，但，因此不选(C)，由排除法应选(D)．事实上，利用“若f(x)为以T为周期的周期函数，则的值与a无关”与奇函数的积分性质可得，有所以是以T为周期的周期函数．13.下列命题不正确的是（分数：4.00）A.(A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数．B.(B) 设a＜c＜b，f(x)定义在(a，b)上，若x=c是f(x)的第一类间断点，则f(x)在(a，b)不存在原函数．C.(C) 若函数f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在区间，上不存在原函数．√D.(D) 设函数x∈(-∞，+∞)，则函数f(x)在(-∞，+∞)上不存在原函数．解析：[分析] 对于(A)：由于初等函数在其定义区间内必定为连续函数，而连续函数必定存在原函数，因此(A)正确．对于(B)：设f(x)在(a，b)存在原函数记为F(x)，则它在(a，b)可导、连续．另一方面若x=c是f(x)的跳跃间断点，这与F(x)在x=c可导矛盾．若x=c是f(x)的可去间断点，则，也与F(x)是f(x)在(a，b)的原函数矛盾．因此，f(x)在(a，b)不存在原函数．故(B)正确．对于(C)：例如函数的导函数为显然，x=0是f(x)的第二类间断点，但F(x)却是f(x)的原函数．故(C)不正确．对于(D)：设f(x)在(-∞，+∞)存在原函数F(x)，则由此可知，F(x)在点x=0处不可导，这与F'(0)存在矛盾．因此f(x)在(-∞，+∞)不存原函数．故(D)正确．综上分析，应选(C)．14.下列命题正确的是（分数：4.00）A.(A) 设f(x)为(-∞，+∞)上的偶函数且在[0，+∞)内可导，则，f(x)在(-∞，+∞)内可导．B.(B) 设f(x)为(-∞，+∞)上的奇函数且在[0，+∞)内可导，则f(x)在(-∞，+∞)内可导．√C.(C) 设D.(D) 设x0∈(a，b)，f(x)在[a，b]除x0外连续，x0是f(x)的第一类间断点，则f(x)在[a，b]上存在原函数．解析：[分析] 对于(A)：令f(x)=|x|，则f(x)为(-∞，+∞)上的偶函数且在[0，+∞)内可导，但f(x)在x=0不可导．对于(C)：令不存在．对于(D)：令则f(x)在[-1，1]上不存在原函数．事实上在所给条件下，f(x)在[a，b]上一定不存在原函数．对于(B)：当X0∈(-∞，0)时，由于所以f(x)在(-∞，0)内可导；当x0=0，由于故(B)正确．15.下列命题①设∫f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数g(x)，有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C ②设函数f(x)在某区间上连续、可导，且f'(x)≠0．又f-1(x)是其反函数，且∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C ③设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，常数a≠0，则∫f(ax)dx=F(ax)+C．④设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，则中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、③．B.(B) ①、④．C.(C) ②、③．D.(D) ②、④．√解析：[分析] 这是一些函数恒等式，且左端均为不定积分，所以右端必须含一项任意常数项C，否则就不成立．余下就看右端的非常数项函数与左端的被积函数是否有相同的定义域以及右端函数的导数是否是左端的被积函数．对于①：例如函数g(x)=2x，有故①不正确．但当g(x)=x+b时，等式还是成立的，即∫f(x+b)dx=F(x+b)+C．对于②：应用分部积分法可得∫f-1(x)dx=xf-1(x)-∫fx[f-1(x)]'dx．记y=f-1(x)，则x=f(y)，dy=[f-1(x)]'dx，于是∫x[f-1(x)]'dx=∫f(y)dy=F(y)+C，∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C．故②正确．对于③：因为F'(x)=f(x)，所以[F(a x)]'=F'(ax)·a=af(ax)，即a∫f(ax)dx=F(ax)+C，因此，a≠1时等式不成立．由此可知③不正确．对于④：因为F'(x)=f(x)，所以因此．故④正确．综上分析，应选(D)．16.设f(e x)=x，则函数f(x)在区间[1，2]上的平均值等于（分数：4.00）A.(A) ln2+1．B.(B) ln2-1．C.(C) 2ln2+1．D.(D) 2ln2-1．√解析：[分析] 令e x=t，则f(t)=lnt,从而它在区间[1，2]的平均值为．故应选(D)．17.下列反常积分发散的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 发散．选(D)．18.设，则F(x)（分数：4.00）A.(A) 是零．B.(B) 是一个正数．√C.(C) 是一个负数．D.(D) 不是常数．解析：[分析] 因被积函数f(t)=e cost cost是以2π为周期的偶函数，当x∈[0，π]时e cosx cosx≥0且不恒等于零，于是F'(x)=f(x+2π)-f(x)=0．所以F(x)必是一个常数．又因为，故应选(B)．19.下列各式成立的是（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 根据反常积分的定义可知(A)，(C)两个反常积分都不存在，所以不正确．而(D): 由排除法知应选(B)．20.曲线y=x2与直线y=2x围成的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积V等于（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 解方程组可得两交点(0，0)和(2，4)．故所求体积为21.下列结果正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 对于(D)：因为的可去间断点，故存在，应选(D)．对于(A)，(B)：由于(A)，(B)是反常积分，不能使用牛顿-莱布尼兹公式．对于(C)：换元积分法要求所作代换x=ψ(t)在所讨论范围内单值，而此处所作的代换不是单值函数．22.下列结果不正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. √解析：[分析] 对于(A)：以x为变量，为常数，故．(A)正确．对于(B)：以b为变量，这是变上限积分的求导，则．故(B)正确．对于(C)：以a为变量，这是变下限积分的求导，则．故(C)正确．对于(D)：故(D)不正确．评注①在变限积分求导中常犯的错误是漏项，如分别漏掉了 (2x2)'=4x，(cos2x)'=-sin2x．②对积分上限的函数求导时应注意以下两点：第一，首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来．积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系．但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况，这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导．例如对求导时，应先把它写作，然后应用乘积的求导公式求导．第二，当积分上限，甚至积分下限，都是x的函数时，就要应用复合函数的求导法则进行求导．一般说来，有下述结果：当函数α(x)，β(x)均在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上连续时，则有综上分析，应选(D)．23.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) [∫f(x)dx]'=∫f(x)dx=f(x)．B.(B) ∫d[∫f(x)dx]=f(x)．C.(C) d[∫f(x)dx]=f(x)dx．√D.(D) 若∫f(x)dx]'=[∫g(x)dx]'，则∫f(x)dx=∫g(x)dx.解析：[分析] 对于(A)：由于第二个等式的右侧没有积分常数，故(A)不正确．正确的结论为：[∫f(x)dx]'=f(x)，∫f(x)dx=f(x)+C．对于(B)：由于d[∫f(x)dx]=f(x)dx，所以∫d[f(x)dx]=∫f(x)dx．故(B)不正确．对于(C)：显然正确．对于(D)：由不定积分的性质[∫f(x)dx]'=f(x)及条件[∫f(x)dx]'=[∫f(x)dx]'可以得到f(x)=g(x)．据不定积分的定义(带有任意常数项的原函数)，则有∫f(x)dx=∫g(x)dx+C．故(D)不正确．综上分析，应选(C)．24.设（分数：4.00）A.(A) 为反常积分，且发散．√B.(B) 为反常积分，且收敛．C.(C) 不是反常积分，且其值为10．D.(D) 不是反常积分，且其值为．解析：[分析] 由于，所以于是而发散，故为反常积分，且发散．选(A)．25.下列结论正确的是（分数：4.00）A.(A) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上必有界；反之，若函数f(x)在[a，b]上有界，则f(x)在[a，b]上必可积．B.(B) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]内必定有原函数；反之，若函数f(x)在[a，b]内有原函数，则f(x)在[a，b]上必定可积．C.(C) 若函数f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点c，有√D.(D) 若函数f(x)在[a，b]上可积，则必存在ξ∈[a，b]，使得解析：[分析] 对于(A)：前半句正确，注意函数f(x)在[a，b]上有界是f(x)在[a，b]上可积的必要条件．后半句不正确，例如狄利克雷函数在[0，1]上有界，但不可积．因此(A)不正确．对于(B)：前半句不正确，例如函数在[-1，1]上可积，且=1，但点x=0为f(x)的第一类间断点，从而在(-1，1)内f(x)没有原函数．后半句也不正确，例如函数在区间(0，1)内有原函数F(x)=lnx但f(x)在[0，1]上不可积．故(B)不正确．评注只有当函数f(x)在[a，b]上连续时，可积与原函数存在是相互等价的，而当f(x)在[a，b]上不连续时，这种相互等价的关系并不存在．对于(C)：由“定积分对于积分区间具有可加性”可知，(C)正确．对于(D)：例如函数在[0，2]上可积，且但不存在ζ∈[0，2]，使得．故(D)不正确·评注函数在闭区间上连续是积分中值定理成立的充分、非必要条件．例如符号函数sgnx在[-1，1]上可积，且，若取ξ=0∈[-1，1]，则有但sgnx在[-1，1]上不连续．综上分析，应选(C)．26.设有一椭圆形的薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于液体巾，而其短半轴与液面相齐，液体的比重为γ，则液体对薄板的侧压力为（分数：4.00）A.B. √C.D.解析：[分析] 建坐标如图所示．取y当积分变量，则其收取范围是[-a，0]．压力微元素为所以所受压力为应选(B)27.下列命题①若函数F(x)、Φ(x)是同一个函数f(x)在区间I上的两个原函数，则其差F(x)-Φ(x)等于确定的常数②设F'(x)、Φ'(x)，f(x)在集合D上有定义，且满足F'(x)=Φ'(x)=f(x)，则F(x)-Φ(x)≡C ③若取积分常数C=0，则可积函数f(x)的原函数唯一④若f(x)在区间I上有原函数，则f(x)的任意两个原函数之和必为2f(x)的原函数中正确的是（分数：4.00）A.(A) ①、②．B.(B) ②、③．C.(C) ①、④．√D.(D) ③、④．解析：[分析] 对于①：由题设，有F'(x)=f(x)，Φ'(x)=f(x)，于是[Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0．由“在一个区间上导数恒为零的函数必为常数”可知，Φ(x)-F(x)=C0(C0为某个常数)．故①正确．对于②：例如函数F(x)=arctanx，，在集合D=(-∞，-1)∪(-1，1)∪(1，+∞)内满足：F'(x)=Φ'(x)=f(x)，但是这说明在D内F(x)-Φ(x)≠C．这与“函数的任意两个原函数之差为常数”的结论并无矛盾，因为原函数是建立在某一区间上的．故②不正确．对于③：例如函数e2x为连续函数，从而若取C=0，得e2x的一个原函数，但容易证明e x shx，e x chx也是e2x的原函数．又如，函数arcsin(2x-1),arocos(1-2x)和的原函数．对于④：由不定积分的性质可知④正确．综上分析，应选(C)．28.下列计算（分数：4.00）A.(A) 0个．√B.(B) 1个．C.(C) 2个．D.(D) 3个．解析：[分析] 这几道题都是想用牛顿一莱布尼兹公式来计算定积分，在应用这个公式时要注意验证条件．若条件不满足则不能用．对于(1)：被积函数在[0，3]是无界的，因此是不可积的(黎曼不可积)，定积分不存在，第①步就是错的．对于(2)：被积函数在[0，π]连续恒正，所以积分值是正的，从答案看，这是错的．错在哪里?第①、②、③步的变形是为了求出原函数没有定义，即不满足条件：，从而不能在[0，π]上用牛顿-莱布尼兹公式，第④步是错的．改正：注意，连续，且又于是可分别在利用推广的牛顿-莱布尼兹公式得对于(3)：注意，此步骤①是错误的．改正：评注1°实质上被积函数是分段函数，所以要用分段积分法．2° 被积函数在上恒正，积分值应是正的，若算出I≤0，自然就是错的，应检查错在哪里?这里的错误是对于(4)：可以验证：在x=0不可导，在[-1，1]上不满足用牛顿-莱布尼兹公式的条件，因此解法是错误的．改正：用分段积分法，并分别在[-1，0]与[0，1]上用推广的牛顿-莱布尼兹公式：评注这里要验证它在[-1，1]可积，只须考察因此f(x)在[-1，1]有界，只有间断点x=0，于是f(x)在[-1，1]可积．事实上，若补充定义f(0)=0，则f(x)在[-1，1]连续．29.设a＞0，f(x)在[-a，a]上连续，则在[-a，a]上（分数：4.00）A.(A) f(cosx)的全体原函数为奇函数．B.(B) x[f(x)-f(-x)]的全体原函数为偶函数．C.(C) f(x2)有唯一原函数为奇函数．√D.(D) x[f(x)-f(-x)]的任一原函数既不是奇函数也不是偶函数．解析：[分析] 因奇函数的原函数一定是偶函数；而偶函数的原函数既有奇函数又有偶函数．所以(A)、(B)、(D)不正确．由于是f(x2)的一个原函数，且所以F(x)是奇函数，此外当常数c≠0时f(x)的原函数F(x)+c都不是奇函数，所以应选(C)．30.下列函数不可积的是（分数：4.00）A.(A) f(x)=x a，x∈[0，1]，a＞0．B.(B) x∈[0，2]．√C.(C) x∈[-1，1]．D.(D) x∈[0，1]．解析：[分析] 对于(A)：因为x a(a＞0)在[0，1]上连续，所以可积．对于(B)：因为lnx在(0，2]上无界，所以不可积．对于(C)：因为|f(x)|≤1，在[-1，1]上有界，除x=0外连续，所以可积．对于(D)：因为f(x)在[0，1]单调上升，所以可积．综上分析，应选(B)．评注①题中给出了一个有界而不可积的函数．该题表明，有下面的函数类的包含关系：[a，b]上的连续函数类上的可积函数类上的有界函数类．②若函数在区间上有原函数，这函数不一定在该区间上可积．例如函数F(x)=容易知道F(x)在(-∞，+∞)内可导，且f(x)=F'(x)=即函数f(x)在(-∞，+∞)上有原函数F(x)，但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界，故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积．31.下列等式或结论正确的是（分数：4.00）A.(A) ∫0dx=0．B.(B) ．√C.(C)D.(D) 设等式a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立，则a=0．解析：[分析] 对于(A)：由于0只是0的一个原函数，并不是0的全体原函数，由不定积分的定义可知(A)不正确．事实上，应该是∫0dx=C．对于(B)：由于等式右端的非常数项函数与左端的被积函数有相同的定义域，且右端函数的导数是左端的被积函数，由不定积分的定义可知(B)正确．评注注意．因为等式右端仅当x＞0时才有意义，而左端对x＜0时出有意义，所以当x＜0时该等式不成立．对于(C)：由于当a=-1时此等式不成立，因此(C)不正确．对于(D)：由不定积分的定义知，对任意的a∈(-∞，+∞)，a+∫f(x)dx=∫f(x)dx成立，因此(D)不正确．综上分析，应选(B)．二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：40，分数：40.00)解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析] 令t=e x，．再令t=sinu，则填空项1:__________________ （正确答案：xln(lnx)+C）解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：ln(x+1)ln(x+2)+C）解析：[分析]41.若的原函数F(x)的表达式中，(Ⅰ)不包含对数函数；(Ⅱ)不含反正切函数，则其中的常数a和b分别满足条件______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：(Ⅰ)a任意且b=1(Ⅱ)a=0时且b任意）解析：[分析] 按真分式的分解公式，有(Ⅰ)F(x)的表达式中不包含对数函数的充分必要条件是A=0，C=0，即，即且b=1，即a任意且b=1．(Ⅱ)F(x)的表达式中不含反正切函数的充要条件是D=0，即x2+ax+b≡A(x+1)(x2+1)+B(x2+1)+Cx(x+1)2，且b=1+2A，即a=0时且b任意．42.设a≠b，，则A 1，B 2．（分数：1.00）解析：[分析] 两端对x同时求导可得43.设x≠0，，则∫f(x)dx 1．（分数：1.00）解析：[分析]44.设，且f[ψ(x)]=lnx，则∫ψ(x)dx=______．（分数：1.00）解析：[分析] 令x+1=t,则，于是∫ψ(x)dx=-2ln|1-x|+C．45.已知f(x)的一个原函数为，则∫xf'(2x)dx=______．（分数：1.00）解析：[分析] 令2x=u，则填空项1:__________________ （正确答案：-12π）解析：[分析] 利用对称区间上的奇、偶函数的简化计算公式知由于所以填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析] 令cosx=t，则，从而记，可见f(t)为奇函数，故原式=0．填空项1:__________________ （正确答案：4-π）解析：[分析] 根据定积分的对称性与定积分的几何意义可得填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：[分析] (有端第一项因其被积函数为奇函数，故积分为0；第二项则是半径为2的圆面积的．) 解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[分析]填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析]解析：[分析] 由于评注类似可求(n为正整数)．56.设，则f(x)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：x+2）解析：[分析] 等式两边都乘以cosx得：，则 f(x)cosx=xcosx-Acosx，因此所以A=-2，故f(x)=x+2．57.若（分数：1.00）解析：[分析] 由于令所以58.已知f(x)为非负连续函数，且当x≥0时，则f(x)=______．（分数：1.00）解析：[分析] 由于令，由于F(0)=0，所以C=0．因此，又因为当x≥0时f(x)为非负连续函数，所以F(x)≥0．从而，因此．59.设F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)具有连续导数，且F(0)=0，F(2)=F'(2)=1，则= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析]60.设f'(x)在[-1，1]上连续，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[分析]61.已知f(x)满足（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：8e4）解析：[分析]又因为，所以f(2)=4e4，f(0)=0，，62.设f(x)有一个原函数为（分数：1.00）解析：[分析] 由题设63.设连续非负函数满足f(x)f(-x)=1(-∞＜x＜+∞)，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析] 因为所以解析：[分析]65.函数f(x)在[1，+∞)上连续，且反常积分收敛，并满足则函数f(x)的表达式是______．（分数：1.00）解析：[分析]66.已知，则a= 1，b= 2．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：a=b=2e-2）解析：[分析]67.曲线y=ln(1-x2)相应于的一段的弧长为 1．（分数：1.00）解析：[分析] 先求．因此该段曲线的弧长为68.摆线的一拱(0≤t≤2π)的弧长为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：8）解析：[分析] 因此，摆线的一拱(O≤t≤2π)的弧长为69.曲线y=x2-x与x轴及直线y=-2x+6在x≥0时所围成图形的面积为 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[分析] 由题设所同面积为70.曲线y=xsinx(0≤x≤π)与x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2π3-8π）解析：[分析] 所求旋转体的体积为71.在y轴上的0≤y≤2一段上，有一根细棒，其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积，则其质心（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：1）解析：[分析]三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：7，分数：58.50)求下列不定积分．（分数：4.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于，所以(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[分析] 凑微分一般有两种方法：一是观察法，须对求导公式熟练；二是检验法，对于被积函数复杂的积分，一般将较复杂的那个因子或其主要部分来求导，若其导数是另一个因子的常数倍，则将那个较复杂的因子凑成微分．求下列不定积分：（分数：13.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=sint，则(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=tant，则(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令x=3sect，则(4).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方法1°令x+1=tant，则原不定积分变为方法2° 记x+1=t，则(6).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：记令当x＜0时，(7).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令．于是(8).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令cost=A(sint+cost)+B(sint+cost)'，可得(9).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：当被积函数中的分母含有因子x n(n≥2的自然数)，一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子x n．令．所以[分析] 求无理函数不定积分的一般方法是换元法．其基本思想是通过某种变量代换将根式去掉，将它化为有理函数的积分．必须记住常用的去根号的代换．求下列不定积分：（分数：9.00）(1).∫x2e2x dx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).∫(2x2+x+1)cos2xdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(3).∫xarcsinxdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).∫xlnxdx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).∫e2x cos(x+1)dx；（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(6).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：令，则 [分析] 当被积函数为“多项式与指数函数的积、多项式与三角函数的积、多项式与对数函数的积、多项式与反三角函数的积、指数函数与三角函数的积”时，须利用分部积分完成．求下列不定积分：（分数：7.50）(1).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(2).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：因为所以(3).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：1.50）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设x n=tant，则，所以[分析] 分式有理函数积分的一般方法是将被积函数(如果是似分式的话)化为多项式与有理真分式的和，再把真分式分解成部分分式的和，然后分项积分．但当有理真分式的分母次数大于等于4时，用特殊的方法求解往往比较简单，常用的方法有凑微分和变量代换，特别当被积函数中的分母含有因子x n(n≥2的自然数)，一般可选倒代换消去被积函数分母中的变量因子x n．求下列不定积分：（分数：15.00）(1).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对于∫sinn m xcos n xdx，或m，n至少有一个奇数(不管是正奇数还是负奇数)可采用“凑微分”解决．(2).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：对于∫sin m xcos n xdx，若m，n都是小于零的偶数，一般设法化成∫R(tan k x)dtan k x或∫R(cot k x)dcot k x 形式求解；若m，n都是大于零的偶数，可先利用倍角公式降幂，再积分．(3).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(4).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(5).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：(6).（分数：0.30）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：由于被积函数的分子、分母为sinx，cosx的线性组合，故可用“待定系数法”计算．令12sinx+cosx=A(5sinx-2cosx)+B(5sinx-2cosx)'，则(7).。

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2 0 x 2 −2 x+ 4 x2 −2 x+4
dy + ∫ dx ∫
0
2
2x 0
dy =
16 3
2
（2） V = π ∫−2 ( x 2 − 2 x + 4) 2 dx − π ∫− 2 (−6 x) 2 dx − π ∫0 (2 x) 2 dx = 26.解：（1）切线方程： y = 4 ；（2） S = ∫0 [4 − (4 x − x 2 )]dx = 8
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21.解：令 t = x − 1 ，则 x = 2 时 t = 1 ， x = 0 时， t = −1 ，所以
∫ f (x − 1)dx = ∫
2 0
1 1 1 dx + ∫ dx = 1 + ln(1 + e −1 ) = ln(e + 1) x −1 1 + e 01 + x 0
C. ( ∫ f ′(ax)dx)′ = af (ax)
1+ x 2 2
4 1 2. I = ∫0 x dx ，则 I 的范围是（
A. 0 ≤ I ≤
B. I ≥ 1
x
C. I ≤ 0
+∞ 3.若广义积分 ∫1 1p dx 收敛，则 p 应满足（
）
A. 0 < p < 1
B. p > 1
C. p < −1
0 0
0
π π f (sin x) dx ，证毕. 2 ∫0
∫
π
0
x
sin x π π sin x π π2 π dx = dx = − arctan(cos x ) = 0 2 ∫0 1 + cos 2 x 2 4 1 + cos 2 x
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x→0
2 cos 2 x + x 3 = (1 + cos x) cos x + ( x + sin x)2 cos x(− sin x) 2
2
16.解： ∫ 17.解： ∫
e 2x e2x + e x − e x x x dx = ∫ 1 + e x dx = e − ln(1 + e ) + C 1+ ex x arcsin x 2 1− x
4
dx =
1 1 arcsin x 2 d arcsin x 2 = (arcsin x 2 ) 2 + c ∫ 2 4 2 2 2 2 4
18.解： ∫ x ln xdx = ∫ ln xd ( 1 x 2 ) = 1 x 2 ⋅ ln x − ∫ 1 xdx = 1 x 2 ⋅ ln x − 1 x 2 + c
π π π π sin x f (sin x ) dx ，并利用此式求 x dx . ∫ ∫ 0 0 2 1 + cos 2 x
x − 2 的切线，求：
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第三章 1.A 8.
64 5
练习题解答 3.B 9. 4.C 5.B 6. D 7.D 11. 0 12. − (1 − x 2 ) 2 + c
π 2 π − 2
sin θ 1 + cos 2 θ
dθ
.
20.已知 ∫−∞
0
k 1 dx = ，求 k 的值. 2 2 1+ x
21.设
1 , x≥0 2 1 + x ，求 ∫0 f ( x − 1)dx . f ( x) = 1 , x<0 1 + e x
+∞
22.计算广义积分 ∫2
1 3
3
2.A
1 arcsin 4 x + c 4
x
2
10. 0
2
1 − ex −x lim 2 = lim = lim 2 0 0 → → x →0 x x x sin x 2 x sin x + x cos x 2sin x + x cos x 13.解： −1 1 = lim =− x → 0 3cos x − x sin x 3
19.解： = ∫−π
= arctan cos θ
π 2
− arctan cos θ
π 2 0
=
π 2
0 −∞
0 0 20.解：由于 ∫−∞ k 2 dx = 1 ，则有 ∫−∞ k 2 dx = k arctan x
1+ x
2
1+ x
π 1 = k (0 − (− )) = 2 2
1 所以 k = π
B.
5.设 x 2 + y 2 = 8R 2 所围的面积为 S ，则 ∫0 A. S 6.不定积分 ∫ A.
1 1 − x2
2
2 2R
8 R 2 − x 2 dx 的值为(
)
B.
1
C. )
S 2
D. 2S
1− x2
B.
+c
C. arc; c
7. ∫0 x − 1dx = ( A.0 B.2
) C.－1
2
D.1 .
8.设 f ( x) 为连续函数，则 ∫−2 [ f ( x) + f (− x) + x]x3dx = 9.求不定积分 ∫
arcsin 3 x 1− x2 dx =
.
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10. ∫−1 x 2 (3 x + sin x)dx = 11. ∫−1
第三章
A. ∫ f ′(ax)dx = 1 f (ax) + C
a
一元函数积分学
B. ∫ f ′(ax)dx = f (ax) + C D. ∫ f ′(ax)dx = f ( x) + C ） D.
2 ≤ I ≤1 2
1.设 f ( x) 有连续的导函数，且 a ≠ 0,1 ，则下列命题正确的是（）
0
g (t )dt = x 2 e x ，求 f ( x) .
25.从原点作抛物线 f ( x) = x 2 − 2 x + 4 的两条切线，由这两条切线与抛物线所围成的图形记为 S，求：（1）S 的面积；（2）图形 S 绕 x 轴旋转一周所得的立体体积. 26.设有抛物线 y = 4 x − x 2 ，求：（1）抛物线上哪一点处的切线平行于 X 轴？写出该切线方程；（2）求由抛物线与其水平切线及 Y 轴所围平面图形的面积；（3）求该平面图形绕 X 轴旋转一周所成的旋转体的体积. 27.过 P(1,0) 作抛物线 y = （1）切线方程；（2）由 y = x − 2 ，切线及 x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕 x 轴、 y 轴旋转一周的体积. 28.证明：∫0 xf (sin x)dx =
224 π 15
1 3
1 3
3 1 2 1 1 Vx = π ⋅12 ⋅ 2 − π ∫ ( x − 2)2 dy = π − π ( x 2 − 2 x) 3 = π, 2 2 3 3 2 6 （3 ） 1 1 6 1 Vy = π ∫ ( y 2 + 2)2 − ( y 2 + 1)2 dy = ( 5 y5 − 2 y 2 + 3 y ) 0 = 5 π 0
x 0
.
(e x − 1) ln(1 + 3 x 2 ) x 2 tan x
∫ (tan t − sin t )dt .
2
∫
x
0
t (t + sin t )dt
.
e2x dx . 1+ ex x arcsin x 2 1 − x4 dx .
17.求积分 ∫
18.求不定积分 ∫ x ln xdx . 19.计算 ∫
x
'
，
∫ xf
=
'
( 2 x) dx =
1 1 1 1 xf ' ( 2 x) d (2 x) = ∫ xdf ( 2 x) = xf ( 2 x) − ∫ f ( 2 x) dx ∫ 2 2 2 2
1 1 x(2 x − 1)e 2 x e 2 x x − 1 2x xf (2 x) − ∫ f (2 x)d (2 x) = − +C = e +C 2 2 4 8x 4x 8x
22.解： ∫2
+∞
1 x x −1
dxt = x − 1 ∫
+∞
1
+∞ 2t 1 dt = 2 ∫ 2 dt = 2 arctan t 1 t (t + 1) t +1 2
+∞ 1
=
π 2
23.解：因为 f ( x) 的一个原函数为
ex x
e ，所以 f ( x) =

( x − 1)e x = x2 x
D. p < 0 )
4.若已知 F ' ( x) = f ( x) ，且 f ( x) 连续，则下列表达式正确的是( A. ∫ F ( x)dx = f ( x) + c C. ∫ f ( x)dx = F ( x) + c
S 4 dx = ( 1 1− x2 d F ( x )dx = f ( x) + c dx ∫ d D. ∫ F ( x)dx = f ( x) dx
∫
π 2
π − 2
π 0 sin θ − sin θ sin θ 2 d θ d θ dθ = + π 2 2 ∫ ∫ − 0 1 + cos θ 1 + cos 2 θ 2 1 + cos θ 0 π 1 1 d cos θ − ∫ 2 d cos θ 2 0 1 + cos 2 θ 2 1 + cos θ 0 −