一元函数微积分基本练习题及答案
高等数学：一元函数微分学习题含答案
第二章一元函数微分学一、选择题1．设)(x f y =可导，则)()2(x f h x f -+等于（）.A．)()(h o h x f +'B．)()(h o h x f +'C．)()(h o h x f +'-D．)()(2h o h x f +'2．设)(x f 在0x 处可导，且4)()2(lim000=--→xx f x x f x ，则)(0x f '等于（）.A．0B．1-C．1D．2-3．设)(x f 在0x 处可导，则下列命题中不正确的是（）.A．00)()(limx x x f x f x x --→存在B．00)()(limx x x f x f x x --→不存在C．00)()(lim 0x x x f x f x x --+→存在D．00)()(lim 0x x x f x f x x ---→存在4．已知)(x f y =在0=x 处可导且0)0(=f ，则当0≠t 时，有=→xtx f x )(lim 0（）.A.)(t f B.)0(f 'C．)0(f t 'D．不存在5．函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的（）.A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．函数x x f =)(在0=x 处（）.A．连续但不可导B．连续且可导C．极限存在但不连续D．不连续也不可导7．设0)0(=f ，且x x f x )(lim→存在，则xx f x )(lim 0→等于（）.A．)(x f 'B．)0(f 'C．)0(f D．)0(21f '8．设21)1(+=+x x f ，则)(x f '等于（）.A．2)1(1--x B．2)1(1+-x C．11+x D．11--x9．设x x f sin )(=，则0=x 处（）.A．1)0(,1)0(='='-+f f B．1)0(,1)0(-='='-+f f C．1)0(,1)0(-='-='-+f f D．1)0(,1)0(='-='-+f f 10．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1132)(23x xx xx f 在1=x 处（）.A．左右导数均存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左右导数均不存在11．设周期函数)(x f 在()+∞∞-,内可导，周期为2，又12)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线斜率为（）.A．21B．1C．2-D．212．设函数⎩⎨⎧≤<--+≤=10,110,sin )(x x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处满足（）.A．0)0(='f B．1)0(='f C．3)0(='f D．)0(f '不存在13．已知⎩⎨⎧≤+>-=221)(2x b ax x x x ϕ，且)2(ϕ'存在，则常数b a ,的值为（）.A．1,2==b a B．5,1=-=b a C．5,4-==b a D．3,3-==b a 14．函数)(x f 在),(+∞-∞上处处可导，且有1)0(='f ，此外，对任何的实数x ，y 恒有xy y f x f y x f 2)()()(++=+，那么=')(x f （）.A．xe B．xC．12+x D．1+x 15．设xe x g x xf =+=)(),1ln()(2，则[]='))((x g f （）.A．x xe e 2212+B．x xe e 221+C．xxe e 2212-D．xxe e 221-16．设2)(-=x xf ，则)2(f '满足（）.A．值为2-B．值为2C．值为1D．不存在17．设)(x f y =的导数2)0(='f ，则=-→xx f f x 2)()0(lim 0（）.A．1B．2-C．1-D．218．设⎩⎨⎧<+≥+=0,,1sin )(x b x x x a x f ，要使)0(f '存在，则b a ,的值分别是（）.A．1,1==b a B．0,1==b a C．0,0==b a D．1,1-=-=b a 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处的性质是（）.A．连续且可导B．连续但不可导C．既不连续也不可导D．可导但不连续20．设2arcsin cosxy =，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'23y （）.A．21-B．21C．23-D．2321．函数xe y sin =，则y ''等于（）.A．xesin B．)sin (sin x ex-C．[]2sin cos x e xD．]sin )[(cos 2sin x x ex-22．函数x x x f )2()(+=的导数为（）.A．1)2(-+x x x B．1)2(-+x x C．)2ln()2(++x x x D．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++)2ln(2)2(x x xx x23．已知x x y ln =，则)12(y 等于（）.A．111x -B．111x C．11!10x D．11!10x -24．设xxe e y --=，则)2016(y等于（）.A．xxee -+B．xxee --C．xxee ---D．xx ee -+-25．已知函数)(x f 具有任何阶导数，且[]2)()(x f x f ='，则当n 为大于2的正整数时，)(x f 的n 阶导数)()(x f n 是（）.A．[]1)(!+n x f n B．[]1)(+n x f n C．[]nx f 2)(D．[]nx f n 2)(!26．由方程1sin =-y xy 所确定的隐函数()x f y =的导数=xyd d （）.A．yy x -cos B．xy y -cos C．yx y cos -D．yx x -cos 27．由方程x y x e y=++)ln(所确定的隐函数)(x f y =的导数=xy d d （）.A．()11++--y x e y x y B．()11-++-y x e y x y C．()11++-+y x e y x y D．()11-+-+y x e y x y 28．设)(x y y =由方程)cos(sin y x x y -=所确定，则=')0(y （）.A．12+πB．12+-πC．12-πD．12--π29．设由方程组⎩⎨⎧=++-=0112y te t x y 确定了y 是x 的函数，则==0d d t x y（）.A．21e B．e21-C．e1-D．e2-30．曲线22x e y x+=上横坐标0=x 处的切线方程是（）.A．012=-+-y x B．012=-+y x C．012=+-y x D．012=-+y x 31．曲线222)2ln(x x y +-=上对应于1=x 处的法线方程是（）.A．)1(22-=-x y B．)1(212--=-x y C．)1(22-=+x y D．)1(212--=+x y 32．曲线01cos 22=--y e x上点)3,0(π处的切线方程是（）.A．332π+=x y B．332π+-=x y C．332π--=x y D．xy 32-=33．曲线⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 在4π=t 处的切线方程是（）.A．)222222-=-x y B．)2222-=x y C．)22(22--=x y D．y 22=34．设1212+=x y ，则当01.0,1=∆=x x 时，y d 与y ∆分别为（）.A．2,01.0d =∆=y y B．01.0,201.12d =∆-=y y C．21)01.1(21,01.0d 2-=∆=y y D．1,01.0d =∆=y y 35．若函数)(x f y =有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在0x x =处的微分y d 是x∆的（）.A．等价无穷小B．同阶但不等价的无穷小C．低阶无穷小D．高阶无穷大36．xx y 1=在e x =处取得（）.A．极大值B．最大值C．极小值D．最小值37．下列函数在[]e ,1满足拉格朗日中值定理的是（）.A．xx sin ln ln +B．xln 1C．)2ln(+x D．)2ln(2x -38．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，则下列命题正确的是（）.A．)(x f 在[]b a ,上一定有最大值和最小值B．)(x f 必在区间内部取得最小值C．)(x f 必在区间端点处取得最大值D．若)(x f 在[]b a ,内有极值，则此值必为最值39．设1)()()(lim2-=--→a x a f x f ax ，则在a x =处)(x f （）.A．可导且1)(-='a f B．)(a f 是)(x f 的极小值C．不可导D．)(a f 是)(x f 的极大值40．设函数c bx ax x x f +++=23)(，且0)0()0(='=f f ，则下列结论不正确的是（）.A．0==c b B．当0>a 时，)0(f 为极小值C．当0<a 时，)0(f 为极大值D．当0≠a 时，())0(,0f 为拐点41．函数2332)(x x x f -=在区间[]4,1-上的最小值是（）.A．0B．1-C．80D．5-42．若当0→x 时，)1(2++-bx ax e x是比2x 高阶的无穷小，则（）.A．1,1==b a B．1,21==b a C．1,21=-=b a D．1,1-=-=b a 43．（数二）已知某产品的需求函数为510QP -=，则当30=Q 时的边际收益为（）.A．2-B．3-C．2D．344．（数二）若总成本函数是二次函数c bQ aQ Q C C ++==2)(，其中0,0,0≥≥>c b a ，当产量=Q （）时，平均成本最低？A．a cB．ca C．ac D．ca 二、填空题45．设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则hx f h x f h )()2(lim000-+→用A 的代数式表示为_______．46．设2)3(='f ，则=-+→h f h f h 2)3()3(lim_______．47．设xe xf 1)(=，则=--→h f h f h )2()2(lim_______．48．设2)(x x f =，则=--→2)2()(lim2x f x f x _______．49．))...(2)(1()(n x x x x x f +++=，则=')0(f _______．50．设432)4()3()2)(1()(----=x x x x x f ，则=')1(f _______．51．设1)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f h x f hh _______．52．设215)()5(lim5-=--→x x f f x ，则=')5(f _______．53．设)(x f 在点0x 处可导，且41)()2(lim000=--→x f h x f h h ，则=')(0x f _______．54．已知)(x f 在0=x 处可导，且0,6)0(≠='h f ，则=--→xhx f hx f x 3)()(lim_______．55．若1)1(2-=-x x f ，则=')(x f _______．56．曲线xe x y +=在点()1,0处的切线方程是_______．57．已知x x y arctan )1(2+=，则=''y _______．58．已知)1ln(2x x y ++=，则=''y _______．59．设曲线方程为⎩⎨⎧+=++=tt y tt x cos sin 2，则='y _______．60．设)1sin(2+=x e y x，则=y d _______．61．求=--→xx e x x 630sin 1lim 3_______．62．设)7)(5)(1)(13()(----=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有_______个实根．63．函数x y sin =在区间[]π,0满足罗尔定理的=ξ_______．64．函数x x y -=22在[]2,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ_______．65．曲线x x x y 23123+-=的拐点为_______．66．曲线35)2(-=x y 的拐点为_______．67．（数一）曲线x x y -=12的垂直渐近线方程是．68．（数一）1)(22-=x x x f 有条渐近线．69．（数一）111)(-+=x e x f 有条渐近线．70．已知)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处有极值，=a ，=b ，=c .71．（数二）已知某产品的总成本函数C 与产量x 的函数关系为2000102.0)(2++=x x x C ，则当产量10=x 时，其边际成本是．72．（数二）已知某商品的收入函数为2312Q Q R -=，则当=Q 时边际收入为0．73．（数二）设某种产品的单位成本y 是产量x 的函数，xx y 164++=（元），若产品以每件1000元的价格销量，当产量=x 时总利润最大．74．（数二）生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x C ，固定成本1000)0(=C ，求生产x 个产品的总成本函数.75．（数二）设边际收入函数为q q R 32)(+='，且0)0(=R ，则平均收入函数为__________.76．（数二）某公司在一个生产周期内制造x 台电冰箱的成本22.02008000)(xx x C -+=)4000(≤≤x 第251台电冰箱的实际制造成本为.三、计算题77．设)1ln(cos )(2x x f -=，求)(x f '．78．4312)(+-=xx x f ，求)(x f '．79．221cos 5ln x x y -+=，求y '及y d ．80．设x ey x3cos -=，求y '．81．设xy 1cosln =，求y '．82．设1133+-=x x y ，求y '．83．设2x xee y +=，求1.00 d =∆=x x y．84．设x x y +=，求y '．85．设)32(2+-=-x x ey x，求y '．86．设212arcsintty +=，求y '．87．设⎪⎭⎫⎝⎛+-=2323x x f y ，且2arcsin )(x x f ='，求d d =x x y ．88．设134)1(2++=+x x x f ，)()(xe f x g -=，求)(x g '．89．求b a ,的值，使⎩⎨⎧>+≤-=1,ln 1),1(sin )(x b x x x a x f ，在1=x 处可导．90．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=0,0,11)(x bx a x x xx f 处处可导，求a 和b 的值．91．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1)(1x x e xx f x ，求)0(-'f ，)0(+'f ，同时讨论)0(f '是否存在．92．已知⎩⎨⎧≥<=0,0,sin )(x x x x x f ，求)(x f '．93．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠==0,00,1sin )(2x x xx x f y 的导数．94．设)(x ϕ在a 点的某领域内连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '．95．设)(x f ''连续，0)0(=f ，记⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0),0(0,)()(x f x x x f x F ，证明)(x F '连续．96．设函数)(x f 处处可导，[]{})(x f f f y =，求x yd d ．97．设x x y ln 22+=，求y ''．98．设xx y +-=11，求)(n y ．99．设x x y ln =，求)(n y ．100．设)1ln(2x x y ++=，求y ''．101．[])(ln x f y =，求y ''102．)2(2x x f y +=，其中f 二阶可导，求y ''．103．设)(x f ''存在，)(x xe f y -=，求y ''．104．求由方程32y x e xy +=所确定的隐函数)(x f y =的微分y d ．105．求方程)sin(y x y +=确定的隐函数的二阶导数．106．已知222222b a y a x b =+，求y ''107．求由方程232-+=y x e xy 确定的隐函数)(x f y =在点)1,0(处的切线方程．108．设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，求)0(y '．109．用对数求导法求函数xx x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1的导数．110．用对数求导法求函数54)1()3(2+-+=x x x y 的导数．111．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==t e y t e x t t cos sin 所确定，求3d d π=t x y ．112．设曲线)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin 所确定，求曲线在4π=t 处的切线方程．113．设函数)(x f y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1 22，求22d d x y ．114．设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-==t t t y t x cos sin cos 确定，22d d ,d d x yx y ．115．求方程⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 表示的函数的二阶导数．116．x xx x 20tan )1ln(lim -+→．117．x x x 2cot 2lim 2⎪⎭⎫⎛-→ππ．118.xx x cos 1120)1(lim -→-．119．求⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ．120．求()x x x ln 31102sin lim +→+．121．求x x x 2sin 231lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→．122.ax a x a x --→sin sin lim .123．xx x 5tan 3sin lim π→.124．22)2(sin ln lim x x x -→ππ.125．)0(lim ≠--→a a x a x nn mm a x .126．xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→.127．x xx 3tan tan lim 2π→.128．xarc x x cot 11ln lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→.129．x x x x cos sec )1ln(lim 20-+→.130．x x x 2cot lim 0→.131．2120lim x xe x →.132．⎪⎭⎫⎝⎛---→1112lim 21x x x .133．122231lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+++x x x x a .134．x x x sin 0lim +→.135．x x x tan 01lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→.136．求7186223---=x x x y 的单调区间．137．求3)3)(1(+-=x x y 的单调区间．138．求函数x x y -=在区间[]1,0上的最小值．139．求函数)1ln(21arctan 2x x y +-=的极值点和极值．140．求函数32)1(2--=x y 的极值点和极值．141．设x x a y 3sin 31sin +=在点3π=x 处取得极小值，求a 的值．142．求曲线)1ln(2+=x y 的拐点．143．设函数)(x f y =由方程1222223=-+-x xy y y 所确定，求)(x f y =的极值．144．求曲线21x xy +=的凹凸区间及拐点．145．设函数x bx x a x f 3ln )(2-+=在1=x 和2=x 处取得极值，求b a ,的值．146．已知点)4,2(是曲线c bx ax x y +++=23的拐点，且曲线在3=x 处取得极值，求b a ,c 的值．147．求函数12+=x x y 的极值．148．求函数x e x x f -=2)(在]3,1[-上的最大值与最小值．149．设曲线方程为462++=x x y ，求曲线在)4,2(--处的切线方程．150．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程．151．求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 22在0=t 处的切线方程和法线方程．152．求曲线0)ln(22=++yxe y x 在0=x 处的切线方程．153．确定c b a ,,的值，使c bx ax x y +++=23在点)1,1(-处为拐点，且在0=x 处有极大值为1，并求此函数的极小值．154.设函数)(x f 在[]a ,0上二阶可导，0>a 且0)(>''x f ，0)0(=f ，证明xx f x g )()(=在[]a ,0上单调增加．155．求函数26323-+-=x x x y 在区间[]1,1-上的最值．156．求函数322)1()2(+-=x x y 在区间[]2,2-上最大值和最小值．157．求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23与曲线21x y =相切的直线方程．158．求曲线01322=+++y xy x 在点)1,2(-处的切线和法线方程．159．设甲船以km/h 6的速率向东行驶，乙船以8km/h 的速度向南行驶，在中午十二点整时，乙船位于甲船之北16km 处，问下午一点整时两船相离的速率为多少？160．已知曲线2x y =与3x y =的切线平行，求x 的取值．161．求椭圆12222=+by a x 在点),(11y x M 处的切线方程．162．设甲、乙两船同时从一码头出发，甲船以km/h 30的速度向北行驶，乙船以km/h 40的速度向东行驶，求两船间的距离增加的速度．163．已知曲线的参数方程⎩⎨⎧==-232t t e y e x ，证明0d d d d 21222=+x y x y e t .164．（数一）求曲线2)1(42--=xx y 的水平和垂直渐近线．165．设曲线cx bx ax y ++=23上点)2,1(处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程．166．设点)2,1(-是曲线123-+=bx ax y 上的一个拐点，求a 和b 的值．167．设函数3)(4-+=bx ax x f 在1-=x 点处取得极小值0，求a 和b 的值．168．设函数)(x f 满足)()(x f x f ='，且1)0(=f ，求证:x e x f =)(．169．求函数xe y x+=1的单调区间和极值．170．设)1ln(21arctan )(arctan 21222x x x x x y ++-+=，求y d ．171．求函数3223x x y -=在区间[]1,1-上的最大值与最小值．172．已知曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 所围成图形的面积为1S ，曲线2x y =与直线cx y =)10(<<c 及直线1=x 所围城图形的面积为2S ，求21)(S S c S +=的最小值.173．求内接于半径a的球的长方体体积的最大值.174．用32cm长的一根铁丝围成一个矩形小框，试问：当矩形的长和宽各为多少时，围成的矩形面积最大？175．用薄铁板做一体积为V的有盖圆柱形桶，问桶底直径与桶高应有怎样的比例，才能使所用材料最省.176．已知某船的耗油费用与其速度的立方成正比，若每小时行驶10海里的耗油费为25元，其余费用每小时100元，求最经济的速度．177．欲做一个容积为3m V 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制，侧壁用木板制，已知每平方米铝价是木板价的5倍，问怎样做才能使费用最少．178．窗子的上半部为半圆，下半部为矩形，如果窗子的周长L 固定，试问当圆的半径r 取何值时，能使窗子的面积最大．179．欲围一个面积为2m 150的矩形场地，所用材料的造价是正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元，问场地的长，宽各为多少米时，才能使所用材料费最少．180．设甲船位于乙船东75海里，以12海里每小时的速度向西行驶，而乙船则以6海里每小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？181．用a 万元购料，建造一个宽于深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面积材料费的5.1倍，求水池长与宽（深）各是多少，才能使容积最大.（地面单位面积材料费为1万元）.182．在曲线26x y -=)0(>x 上确定一点，使该点处的切线与两坐标轴围城的平面图形的面积最小，并求最小值.183．已知函数x x x f 2)(3+=在区间[]1,0上满足拉格朗日定理，求相关的ξ值．184．（数二）设某工厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位商品成本增加5（百元），且已知需求函数P Q 2100-=（其中P 为价格，Q 为产量）.这种商品在市场上市场上畅销的．（1）试分别列出该商品的总成本函数)(P C 和总收益函数)(P R 的表达式．（2）求出使该商品的总利润最大时的产量．185．（数二）某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万元，该产品的边际收益函数为Q Q R 02.010)(-='，其中Q (单位：吨)为产量.试求：（1）该产品的边际成本函数；（2）该产品的总收入函数；（3）Q 为多少时，该厂总利润L 最大？最大利润是多少？186．（数二）某工厂生产某产品时，每日总成本为C 元，其中固定成本为50元，每多生产一单位产品，成本增加2元，该产品的需求函数为505Q p =-，求Q 为多少时，工厂日总利润L 最大？最大利润是多少？187．（数二）某商品的需求函数为275)(p p f Q -==，（1）求5=p 时的边际需求；（2）当p 为何值时，总收益最大？最大的总收益为多少？31第二章一元函数微分学1.D 。
高数(一元函数微积分)试卷含答案
《高等数学》（一元微积分）考试试卷试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空题：(共5小题，每小题2分，共10分) 1. 函数5()(3)(4)(5)x f x x x x -=---无穷型间断点是 34x x ==， ；2. 曲线()2132x f x x x -=-+的水平渐近线有 0y = ；3. 定积分141(sin +)d x x x x -=⎰23；4. 设方程23210x xy y -+-=确定函数()y y x =,则d d x yx-=32; 5.不定积分(x x x =⎰ 5321235x x C ++ .二、单项选择题： (共5小题，每小题2分，共10分) 1.若函数2sin x 是()f x 的一个原函数，则()f x =（C ）. (A) 2sin x C + (B) 22sin x x (C) 22cos x x (D) 2sin x 2. 函数()3f x x=在[0,3]上满足拉格朗日中值定理中的ξ=（C ）. (A)(D) 以上都不对 3.设)(x f 在[]b a ,上连续，且t x 与无关，则（ B ） （A ）()d ()d bbaatf x t t f x t =⎰⎰ （B ）()d ()d bbaatf x x t f x x =⎰⎰（C ）()d ()d b b aatf x x f x t x =⎰⎰ (D) ()d ()d b baaf tx x t f x x =⎰⎰4. 下列广义积分收敛的个数是（ B ）. (1)211d x x +∞⎰；（2）31d ln x x x +∞⎰；（3）1211d x x -⎰；（4）10x ⎰ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5.曲线21e x y += 在(,0)-∞内是（ A ）.（A ）凹曲线 （B ）凸曲线 （C ）增加曲线 （D ）有界曲线.三、判断题：（正确的填对，错误的填错）：(共5小题，每小题2分，共10分) 1.一切初等函数在其定义域内连续（ 错 ）；2.区间上连续函数一定存在最大值与最小值（ 错 ）；3.闭区间上连续函数一定可积（ 对 ）；4.函数()f x 在点0x 连续是在点0x 可导的必要条件（对 ）；5. 若()f x 连续，则21()d ()d 2a axf x x f u u =⎰⎰（ 错 ）.四、计算下列各题:(共7小题，每小题5分，共35分) 1.求极限 3lim()3xx x x →∞+-, 解 36663366lim()=lim(1+)=lim(1+)333x xx x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞+=---.2. 求极限2030lim(cos 1)t t xt t-→+⎰．解: 原式2301lim 2tt x t -→==⎰200112sin()1lim 2233t t t t t --→→-==-. .3.设20,()1x x f x e ax bx →=---是2x 的高阶无穷小，求,a b .解 由220012lim0,lim 012x x x x e ax bx e ax b b x x→→-----==⇒=， 021lim 022x x e a a →-=⇒=.4.已知1ln1xy x-=+，求d y ； 解 221(1)(1)21(1)11x x y x x x x-+---'==-+-+，22d =d 1y x x--.5. 设sin 1cos .x t t y t =-⎧⎨=-⎩，求d d y x 与22d d yx .解d sin =d 1cos y tx t-， 222d sin 11=1cos 1cos d (1cos )y t t t x t -'=---（）.6. 求不定积分sin cos d sin cos x xx x x-+⎰．解 原式22(sin cos )11d d(sin cos )(sin cos )(sin cos )sin cos x x x x x C x x x x x x'+=-=-+=++++⎰⎰ . 7. 求定积分120e d x x x -⎰.解 12201e d =13e )4x x x ---⎰（五、解答下列各题(共3小题，每小题10分，共30分).1．试问a 为何值时，函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．解 因为2()3f x x a '=+．函数()f x 在1x =处取得极值，则(1)0f '=，得3a =-．由()6f x x ''=，得(1)60f ''=>，故函数3()2023f x x ax =++在1x =处取得极小值，此极小值为2021.2. 设函数1sin ,0,()0,0.x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（2）220,()2sin cos ()2sin cos x f x x x x x x x x x'≠=+⋅-=-.3．设抛物线2(0),y x x =≥与直线1,0y x ==所围图形为D ， （1）求D 的面积；（2）求图形D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、证明题(共1小题，5分，) .证明方程5310x x -+=在0,1（）内至少有一个实根.证明 令5()=31f x x x -+，由于()f x 在[0,1]上连续，且(0)=10,(1)10f >=-<，则零点存在定理。
微积分100道例题及解答
微积分100道例题及解答1.（一元函数的初等函数）设f(x)为偶函数，若关于x的方程f(x)=0有两个不等的实根，则f(x)的图像大致是（A．一条单调递增的直线B．一条单调递减的直线C．一条单调递增且无交点的曲线D．有两个明显的波谷）答：D.有两个明显的波谷。
由偶函数的性质可知，当f(x)=0时，f过此点的切线斜率为0，故f(x)的图像在此处呈极值，即形成波谷。
由题意可知，f(x)=0有两个不等的实根，故要求f(x)的图像有两个明显的波谷。
2.（曲面积）求满足条件$z=\frac{1}{4xy}$下面曲面$S$上圆$C:\left (x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}=16$的积分，若$\iint_{C}z dS=mi n\quad$则$m+n$的值为（A．43B．40C．27D．22）答：A.43。
设$z=\frac{1}{4xy}$，曲面$S$上$C$的积分$\iint_{C}z d S=\iint_{D}\frac{1}{4xy}d A=\iint_{D}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d A$，设$F\left(x,y\right)=\frac{1}{4xy}$，则$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{-1}{4x}$，$\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{-1}{4y}$。
由拉格朗日法，有$m i n=\iint_{D}F=\iint_{D}\left(\frac{\partialF}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial x}\right)d A=-\iint_{D}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d A=-\frac{1}{4}\int _{-2}^{2}\int_{-1}^{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d y d x=-\frac{1}{4}\left[\ln\left|x\right|\bigg|_{x=-2}^{2}+\ln\left|y\right |\bigg|_{y=-1}^{5}\right]=\frac{1}{4}\left(\ln8+\ln6\right)=\frac{1}{4}\left(\ln48\right)=3$，因此$m+n=43$。
微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
一元函数微积分综合练习参考解答
§4、一元函数微积分综合练习【例1】已知数列}{n x 满足).,2,1(sin ,011Λ==<<+n x x x n n π(Ⅰ)证明n n x ∞→lim 存在，并求其极限值；(Ⅱ)求极限211)(lim n x nn n x x +∞→．〖解〗（Ⅰ）∵1|sin |||1≤=+n n x x ，),2,1(sin 1Λ=<=+n x x x n n n ，∴n x 单调有界，由单调有界准则可得：n x 收敛。
设a x n n =∞→lim ，在n n x x sin 1=+两边同时取极限可得a a sin =，0=a ，故0lim =∞→n n x 。
（Ⅱ）}1lim exp{}lnlimexp{)(lim 2121112nnn n n n n n x nn n x x x x x x x x n −==+∞→+∞→+∞→}sin lim exp{}sin lim exp{}lim exp{30331t tt x x x x x x t x t n n n n n n n n n −=−=−=→=∞→+∞→6120}61exp{}31cos lim exp{−→=−=−=e t t t 。
■【例2】试确定常数c b a ,,，使得30sin lim0ln(1)x x b ax xc t dtt →−=≠+∫．〖解〗∵0)1ln(sin lim30≠=+−∫→c dtt t xax x b x ，且0)sin (lim 0=−→x ax x ，∴0)1ln(lim 30=+∫→xbx dt t t ，从而，0=b 。
原式)1ln()cos (lim)1ln(cos lim )1ln(sin lim 303030x x a x x x x a dt t t x ax x x rule L x b x +−=+−=+−=→→−→∫c x x a x x a x a x x ==−=−==→→21cos lim )cos (lim 12030，即21,0,1===c b a 。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题
第三章 一元函数积分学1、计算下列不定积分 （1）⎰-942x dx （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+-245xx dx（4）⎰+dx x 922（5）dx xe x⎰-+)12(2（6）dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-（7）dx x x x ⎰-)tan (sec sec （8）dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分 （1）⎰+-dx xx x )1)(12(（2）dx x ⎰-)32cos(π（3）dx x ⎰-32)12(（4）dx x x ⎰2cos（5）dx x ⎰-232（6）xdx e x cos 2⎰（7）⎰dx x x 2arcsin （8）⎰+22)9(x dx（9）⎰x dx 3sin（10）xdx e x 3sin 2⎰-（11）⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分 （1）dx x x ⎰++3131（2）dx xx⎰+31（3）dx xx⎰-241（4）dx x x ⎰-229（5）dx x x ⎰+222)1( （6）⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分 （1）xdx x cos 2⎰（2）⎰dx e x x 32（3）⎰+dx x x )1ln(4（4）xdx x arccos 2⎰（5）dx xxx ⎰-+11ln（6）⎰xdx arc cot（7）dx x x ⎰++)1ln(2（8）dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限 （1）341limx dt t xx ⎰++∞→（2）2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分 （1）dx x x⎰--+213（2）dx x x ⎰-+1123)3(（3）dx x x ⎰+5231（4）dx xx ⎰-+210211（5）⎰+101xe dx（6）dx x x⎰-743（7）⎰+21ln 1e xx dx（8）dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分（1）dx xxe⎰+1ln 1（2）dx e x ⎰-2ln 01（3）dx xx⎰++311 （4）dx ee xx⎰+2ln 021 （5）dx xx ⎰-2121（6）dx x ⎰-1248、计算下列定积分 （1）dx x⎰+12)1ln(（2）dx x ⎰31arctan（3）dx ex ⎰-12112（4）xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积 （1）曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形（2）曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积 （1）1,12+=+=x y x y（2）e x y x y ===,0,ln（3）1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121， 试求：（1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求 （1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、（1）C x x +-+942ln 212；（2）C x ++21arctan21；（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）C x x x x +++++)922ln(42992222；（5）C x e x++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、 （1）C x x x x +--+21232234（2）C x +-)32sin(21π（3）C x +-35)12(103（4）C x +2sin 21（5）C x x x x +-+--233ln 3323222 （6）C x x e x++)cos 2(sin 512（7）C x xx x +-+-22442arcsin )12( （8）C x x x +++3arctan 541)9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 （10）C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 （11）C x x ++-2sin 418sin 161 3、 （1）C x x +++32)13)(2(51；（2）C x x x x +-+-61216567arctan 625676（3）C xx +--242ln21； （4）C xx x x +---+99ln 22（5）C x xx ++⋅-2121arctan 21 （6）C x x ++10101ln101 4、 （1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2（2）C e xe e x xx x ++-33322729231 （3）C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 （4）C x x x x +-+-222192arccos 3（5）C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++1)1ln(22（8）C x x x ++--arcsin 12 5、 （1）31；（2）21 6、 （1）12ln 3-； （2）2；（3）)26ln 25(21- （4）1236+-π（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）332 （7）)13(2- （8）2π 7、 （1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）33π-；（6）233+π8、 （1）2ln 22+-π（2）3165-+π（3）1（4）π9、 （1）21-+-e e （2）49（3）32 10、3=a 11、（1）6,157ππ==y x V V ；（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ52,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30π=x V13、（1）61；（2）4π； 14、)21(21--e π。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
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一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？ 5、)()2)(1()(n x x x x f ---=Λ .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2Λ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21xxy +=的极值 19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
22、x x y ln )(ln =，求y '23、设⎩⎨⎧≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导.24、设f可导，)(sin )(sin x x f e f e y =，求dxdy 25、设)cos(22y x e xy y +=+ ， 求dy 26、设21arccos x y -=，则='y27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ，则=')0(f 28、设)(x f 二阶可导，.0)0(,0)(=>''f x f 证明：xx f )(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0201)(x bx x xa x f 在0=x 点可导， 求b a , .30、设xa x a x a aa x y ++= ， 求 y ' .31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy eyx 确定，则 ==0x dy32、设)1ln()(x x f += ，则 =)0()10(f33、设u u f 是)(的已知可导函数，求函数)()(x f xb a f y =的导数，其中a 与b 均为不等于1的正数。
34、求满足关系式⎰⎰-+=x xdt t x tf x dt t f 0)()(的可微函数)(x f35、设0)(>x f 在),0(∞内可导且1)(lim =+∞→x f x .若x hh e x f hx x f 110))()((lim =+→，求)(x f .36、设)sin arcsin(x a y = ，求y '及y ''37、设⎰=xxdt t f x F 101)()(, 其中)(t f 连续，求)(x F '38、2sinxy =，则 y ’ =___________39、设⎰-=-xx x dt x t f 02)23sin()( ，其中f 连续，求)(x f40、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin 1)(2x x x x x f 求)2(πf ' ， )0(f '41、计算⎰+4241x x t dtdx d三、积分题1、求arccos xdx ⎰. 2、⎰++.412dx x x 求 3、求⎰4、⎰-+x x x ee dx e 5、⎰-+1021xx dx6、⎰+)1(x x dx7、⎰+dx x )1ln(8、求心形线)cos 1(θ+=a r在第二象限所围成的面积.9、证明曲线)0(323232>=+a a y x 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。
10、求333+-=x x y 的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。
11、计算 ⎰-+=2221cos ππdx e x e Ix x 12、dx e e x x⎰-1213、计算dx xx ⎰+)1ln( 14、⎰-922x x dx15、已知1)0(=f ，3)2(=f ，5)2(='f ，计算dx x f x I ⎰''=1)2(16、求x y sin =)0(π≤≤x 与x 轴所围图形绕1=y 的旋转体积。
17、⎰xdx x arctan 18、dx xx ⎰-22919、⎰+)1(x x dx 20、⎰--223cos cos ππdx x x21、⎰-dx x x 2)1(ln 22、⎰-+221)1(x x xdx23、2sin 12dx x ⎰-π24、求圆 16)5(22=-+y x 绕x 轴旋转所成环体的体积V25、⎰=+dx x x x)1(arctan 26、求 ⎰dx x x 2sin sin ln 27、求x y sin =与x y 2sin =在[]π,0上所围图形的面积28、若x 2sec 是)(x f 的一个原函数，则=⎰dx x f x )(29、dx x ⎰--22228 30、⎰+dx xx )ln 1ln (ln 31、在曲线xe y -= )0(≥x 上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积值。
四、证明题1、.1xe e x x>>时，证明不等式：当2、证明xxx f )11()(+=在),0(∞+ 内严格单增3、. )( )1( ]1,0[ ,...,3,2),1()0(]1,0[)(n n n ξξξf nf n n n f f x f =+-∈==使得，存在试证，对于上连续，且在设函数4、的值。
试求的高阶无穷小量，是时，其中当处的增量为在任一点设函数 )1( .y(0) x 0x ,x 1xy y )( 2y x x y y παα=∆→∆++∆⋅=∆= 5、设0)0(=f ，0)(<''x f ，证明：0,21>∀x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +<+。
6、设()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0'=x f 有几个不同的实根？ 并证明之。
7、设)(t f 为连续的奇函数，试问⎰=xdt t f x g 0)()( 的奇偶性如何，并证明你的结论.8、试证：当0>x 时，2arctan 1π->x x （9分） 9、证明不等式x x xx<+<+)1ln(1 ， 0>x （本题10分） 10、设函数[]1,0)(在x f 连续，在)1,0(可导，且满足)21()(5154f dx x f =⎰求证：存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21ξ使0)(='ξf 。