高数一元函数积分学习题及答案
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
《高等数学一》第五章一元函数积分学历年习题模拟试题课后习题(含解答解析)
第五章一元函数积分学[单项选择题 ]1、设函数 f (x )连续，,则=（）A、 x f (x)B、 a f(x)C、 -x f(x)D、 -a f (x)【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】此题观察积分上限函数应用..[单项选择题 ]2、假如是的原函数，则另一个原函数是（）A、B、C、 sin2 xD、 cos2 x【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】且[单项选择题 ]3、已知且，则y=（）A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】故故.][ 单项选择题4、微分方程cosydy=sinxdx 的通解是（）A、 sinx+cosy=CB、 cosx+siny=CC、 cosx-siny=CD、 cosy-sinx=C【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】分别变量，两头积分得sin y =-cos x +C,即 cos x +sin y =C. [单项选择题 ]5、以下广义积分收敛的是（）.A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]6、（）.A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]7、计算（）.A、 eB、 0C、 1D、 e+1【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]8、（）.A、 ln2B、 ln4C、 0D、 1【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]9、以下积分中不可以直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是（）.A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]10、设是连续函数，且，则（）.A、 0B、C、 1D、 2【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]11、计算（） .A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]12、微分方程的解为（）. A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】原方程可化为，即，由公式和通解可得：[单项选择题 ]13、设，则以下结论中错误的选项是（）.A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】依据定积分的性质：，且都是随意常数，[单项选择题 ]14、（） .A、 -1B、 1C、 2D、 -2【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]15、设 D 是由直线和所围成的平面图形，其面积 A =（）.A、B、 0C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】.[单项选择题 ]16、用换元法计算（）.A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】令[单项选择题 ]17、若（）A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]18、若（） .A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】?[单项选择题 ]19、=（）.A、 0B、 1C、 2D、 5【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0. [单项选择题 ]20、（） .A、B、C、D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案分析】[单项选择题 ]21、（）.A、B、C、 0D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】给定函数对对于t 的定积分，当x 求导，原式相当于常数.. [单项选择题 ]22、=（）.A、B、C、 0D、【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案分析】被积函数是奇函数，所以在对称区间上的积分为0.[单项选择题 ]23、已知生产某商品x 个的边沿利润为30-2x，则总利润函数为（）A 、 30-2x2B 、30-x 2C、30x-2x 2D、 30x-x2【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案分析】 R=当 x=0 时， R=0，所以 C=0 ，此时 R=30x-x 2[单项选择题 ]24、无量限积分（） .A、B、C、-1D、 1【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案分析】. [单项选择题 ]25、积分的值为（）A 、 0B 、4C、10D、 20【从题库珍藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案分析】此题用到奇函数在对称区间上的积分为0。
专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．cos x的一个原函数是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x的一个原函数是，故选B．知识模块：一元函数积分学2．经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x2的曲线方程是( )A．y=x3一1B．y=x2一1C．y=x3+1D．y=x3＋C正确答案：A解析：因为y’=3x2,所以y=∫y’dx=x3+C，又过点(1，0)，所以C=一1．知识模块：一元函数积分学3．已知∫f(x2)dx=+C，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∫f(x2)dx=+C，两边求导得f(x2)=，所以f(x)=．知识模块：一元函数积分学4．∫xf(x2)f’(x2)dx= ( )A．f2(x2)+CB．f2(x2)+CC．f(x2)+CD．4f2(x2)+C正确答案：A解析：∫xf(x2)f’(x2)dx=∫f(x2)f’(x2)d(x2)=∫f(x2)df(x2)=f2(x2)＋C．知识模块：一元函数积分学5．∫－11(3x2+sin5x)dx= ( )A．一2B．一1C．1D．2正确答案：D解析：∫－11(3x2+sin5x)dx=3∫－11x2dx+∫－11sin5xdx，因为f1(x)=x2为偶函数，所以∫－11x2dx=2∫01x2dx=，因为f2(x)=sin5x为奇函数，所以∫－11sin5xdx=0．故∫－11(3x2+sin5x)dx=×3=2．知识模块：一元函数积分学6．∫0xetdt= ( )A．exB．ex一1C．ex－1D．ex＋1正确答案：A解析：因为∫axf(t)dt=f(x)，故∫0xetdt=ex．知识模块：一元函数积分学7．设f(x)连续，则(∫0xtf(x2－t2dt)= ( )A．xf(x2)B．一xf(x2)C．2xf(x2)D．一2xf(x2)正确答案：A解析：∫0xtf(x2一t2)dt f(μ)dμ．则[∫0xtf(x2－t2)dt]=[∫0x2f(μ)dμ]=xf(x2)，故选A．知识模块：一元函数积分学8．设函数f(x)=∫0xet2dt，则f’(0)= ( )A．0B．1C．2D．e正确答案：B解析：因为f(x)=∫0xet2dt，所以f’(x)=ex2，f’(0)=1．知识模块：一元函数积分学9．由曲线y=，直线y=x，x=2所围面积为( )A．∫12(一x)dxB．∫12(x一)dxC．∫12(2一)dy+∫12(2一y)dyD．∫12(2一)dx+∫12(2一x)dx正确答案：B解析：曲线y=与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则SD=∫12(x一)dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：x—arctanx+C解析：=x—arctanx+C．知识模块：一元函数积分学11．已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则定积分∫01xf’’(x)dx的值等于_________．正确答案：2解析：∫01xf’’(x)dx=∫01xdf’(x)=xf’(x)｜01－∫01f’(x)dx=f’(1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=e－x，则∫12dx=________．正确答案：解析：由f(x)=e－x知，f’(x)=一e－x，因此f’(lnx)=，所以．知识模块：一元函数积分学13．当p_________时，反常积分∫1＋∞dx收敛．正确答案：＜0解析：=xp－1，∫0＋∞dx＜∫0＋∞xp－1dx=xp｜0＋∞，只有当P＜0时，∫0＋∞xp－1dx才收敛，也即∫0＋∞dx收敛，故p ＜0时，∫0＋∞dx收敛．知识模块：一元函数积分学14．由y=x3与y=所围成的图形绕Ox轴旋一周所得旋转体的体积为________．正确答案：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫01(x－x6)dx=．知识模块：一元函数积分学解答题15．求∫(x—ex)dx．正确答案：∫(x－ex)dx=∫xdx－∫exdx=一ex+C．涉及知识点：一元函数积分学16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．求∫x2exdx．正确答案：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex一∫2xexdx=x2ex一2∫xdex=x2ex一2(xex－∫exdx)=x2ex一2xex+2ex+C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算．正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，涉及知识点：一元函数积分学19．求．正确答案：=sin1．涉及知识点：一元函数积分学20．设∫1＋∞(—1)dx=1，求常数a，b．正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．涉及知识点：一元函数积分学21．若f(x)=∫01f(t)dt，求f(x)．正确答案：设∫01f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得k=．涉及知识点：一元函数积分学22．已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=x2，23．求该曲线在点(1，1)处的切线方程；正确答案：因为y’=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x 一1；涉及知识点：一元函数积分学24．求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；正确答案：S=∫01；涉及知识点：一元函数积分学25．求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：V=∫01π(x2)2dx一．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=(a＞0)与曲线y=在点(x0，y0)处有公共切线，求26．常数a及切点(x0，y0)；正确答案：由题设条件可得解此方程组可得a=，x0=e2，y0=1，于是切点为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学27．两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．正确答案：画出曲线y=的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫01(e2y一e2y2)dy=．涉及知识点：一元函数积分学。
一元积分第三章数一解答
第三章 一元函数积分学一．选择题1.已知()f x 的导数为sin x，则()f x 的一个原函数是（ ）。
( A) 1sin x -, (B) 1cos x - , (C) 1sin x +, (D) 1cos x + . [答案] 选 (A)解： 因为 ()sin f x x '=， 所以 ()1sin f x xdx conx C ==-+⎰，()112()sin f x dx conx C dx x C x C =-+=-++⎰⎰,取10C =，21C =，则得()f x 的一个原函数是1sin x - 。
2.x dx =⎰（ ）。
(A) 22x C + , (B) x x C + , (C) 2122+>02+<02x C x x Cx ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩ , (D) 2x xC +。
[答案] 选 (D) 。
解： 因为 00x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩， 则 21221+02=1+<02x C x x dx x Cx ⎧≥⎪⎪⎨⎪-⎪⎩⎰由于 ()=f x x 在0x =连续，则()f x 的不定积分（原函数）在0x =连续，即 12C C =所以 2210121202x C x x x dx x x C x C x ⎧+≥⎪⎪==+⎨⎪-+<⎪⎩⎰ ( 12C C C == ）。
3. (){}2=max ,f x x x 的原函数()F x( )。
(A) 在点=0x 和=1x 处可能间断 , (B) 只可能在=1x 处间断, (C) 导函数在点=1x 处可能间断 , (D) 导函数必处处连续。
[答案] 选 (D)解： 因为(){}2max ,f x x x =在(),-∞+∞内连续，故其原函数()F x 在(),-∞+∞内可导，且()()F x f x '=，故选（D)。
4. 当0x →时，50sin =x tdt tα⎰是()1sin 0=1+x t t dt β⎰的 ( )。
专升本高等数学一(一元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列等式中正确的是( )A．∫f’(x)dx=f(x)B．d∫df(x)=f(x)+CC．∫f(x)dx=f(x)D．d∫f(x)dx=f(x)正确答案：C解析：A项：∫f’(x)dx=∫df(x)=f(x)+C；B项：d∫df(x)=d(f(x)+C)=f’(x)dx；D项：d∫f(x)dx=f(x)dx，故选C．知识模块：一元函数积分学2．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx= ( )A．－2(1一x2)2+CB．2(1一x2)2+CC．一(1一x2)2+CD．(1一x2)2+C正确答案：C解析：∫xf(1－x2)dx=∫f(1－x2)d(1－x2)=一(1一x2)2+C．知识模块：一元函数积分学3．设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫cosxf(sinx)dx= ( )A．F(cosx)+CB．F(sinx)+CC．一F(cosx)+CD．一F(sinx)+C正确答案：B解析：∫cosxf(sinx)dx=∫f(sinx)dsinx∫f(μ)dμ=F(μ)+C=F(sinx)+C．知识模块：一元函数积分学4．不定积dx= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：+C，故选A．知识模块：一元函数积分学5．若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则下列结论中正确的是( )A．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0B．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0C．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)D．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b一a)正确答案：D解析：由积分中值定理可知，在闭区间上连续的函数在其开区间内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b—a)．知识模块：一元函数积分学6．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由∫1＋∞dx当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D，容易看出A选项发散；B选项∫1＋∞=+∞，故此积分发散；对于C选项，由∫1＋∞lnxdx=∫1＋∞lnxd(lnx)=(lnx)2｜∫1＋∞=＋∞，故此积分发散．知识模块：一元函数积分学7．若广义积分∫0＋∞dx=1，其中k为常数，则k= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为∫0＋∞．知识模块：一元函数积分学8．设F(x)=∫xx＋2πesintsintdt，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以∫xx＋2πesintsintdt=∫02πesintsintdt=∫02πesintd(－cost)=一esintcost｜02π一∫02π(—cost)esintcostdt=∫02πesintcos2tdt，又esinxcos2x≥0，故选A．知识模块：一元函数积分学填空题9．=_________．正确答案：解析：，令tanx=μ，则原式=＋C．知识模块：一元函数积分学10．=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学11．说明定积分∫－11dx的几何意义，并求其值_________．正确答案：曲线y=与x轴围成图形的面积，其值为解析：容易知道，题述定积分表示曲线y=与x轴围成的图形的面积，即以原点为圆心，1为半径的上半圆的面积，故原式=．知识模块：一元函数积分学12．∫0＋∞dx=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．设f(x)=则∫－22f(x)dx=_______．正确答案：解析：∫－22f(x)dx=∫－20dx+∫01(x+1)dx+∫122xdx =2＋｜01＋x2｜12=2＋2－＋4－1=．知识模块：一元函数积分学14．函数y=一图像上点(2，一1)处的切线与坐标轴所围成图形的面积为________．正确答案：4解析：y’(x)=，y’(2)=，所以函数在点(2，一1)处的切线为y一(一1)=(x 一2)，即y=—2，切线与两坐标轴的交点分别为(0，一2)，(4，0)，所以切线与两坐标轴所围成图形面积为知识模块：一元函数积分学解答题15．设f(x)的原函数F(x)＞0，且F(0)=1，当x≥0时，F(x)f(x)=sin22x，求f(x)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学16．求∫ln(1+x2)dx．正确答案：∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一2(x—arctanx)+C．涉及知识点：一元函数积分学17．设∫xf(x)dx=arcsinx+C，求．正确答案：原式两边对x求导，得xf(x)=，因此涉及知识点：一元函数积分学18．已知由∫0yet2dt=∫0x2costdt+cosy2确定y是x的函数，求dy．正确答案：等式两边对x求导得，ey2．y’=cox2．2x＋(一siny2)．2yy’，所以y’=．涉及知识点：一元函数积分学19．求在t=1处的切线方程．正确答案：由dy=，而t=1时，y=a，x=∫01，故切线方程为y一a=x．涉及知识点：一元函数积分学20．计算∫0xt2et2dt．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学21．求定积分∫01exsinxdx．正确答案：∫01exsinxdx=∫01sinxdex=exsinx｜01一∫01exd(sinx)=esin1一∫01excosxdx=esin1一∫01cosxdex=esin1—excosx｜01+∫01exd(cosx)=esin1－ecos1+1－∫01exsinxdx．从而∫01exsinxdx=(esin1—ecos1+1)．涉及知识点：一元函数积分学设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bx dt，证明：22．F(x)为[a，b]上的严格单调递增函数；正确答案：因为F’(x)=+2≥2，所以F(x)在[a，b]上严格单调增加．涉及知识点：一元函数积分学23．方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．正确答案：因为F(a)=∫ba dt=—∫ab dt＜0，F(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．涉及知识点：一元函数积分学24．求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及y轴围成的平面图形的面积．正确答案：y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—5所示．其面积为S=∫01(1一x2)dx=(x－x3)｜01=．涉及知识点：一元函数积分学25．曲线y=ax－x2(a＞0)与x轴围成的平面图形被曲线y=bx2(b＞0)分成面积相等的两部分，求a，b的值．正确答案：由ax一x2=bx2得两条曲线交点的横坐标为x1=0，x2=．由题设有(ax一x2一bx2)dx=∫0a(ax一x2)dx，即，a为大于零的任意常数．涉及知识点：一元函数积分学。
专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷1(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．若F’(x)=G’(x)，k为常数，则( )A．G(x)+F(x)=kB．G(x)一F(x)=kC．G(x)一F(x)=0D．(∫F(x)dx)’=(∫G(x)dx)’正确答案：B解析：F’(x)=G’(x)，两边积分得∫F’(x)dx=∫G’(x)dx，则F(x)+C1=G(x)+C2，故F(x)一G(x)=C2一C1=k，故选B．知识模块：一元函数积分学2．若∫f’(x3)dx=x3+C，则f(x)= ( )A．x+CB．x3+CC．+CD．+C正确答案：C解析：∫f’(x3)dx=x3+C，两边求导得f’(x3)=3x2=，两边积分得∫f’(x)dx=＋C．知识模块：一元函数积分学3．已知f’(lnx)=x，其中1≤x＜+∞，及f(0)=0，则f(x)= ( )A．f(x)=exB．f(x)=ex一1，1＜x＜+∞C．f(x)=ex一1，0≤x＜+∞D．f(x)=ex，1＜x＜+∞正确答案：C解析：令t=lnx得f’(t)=et，f(t)=et+C，由f(0)=0得C=一1，即f(t)=et一1，又1≤x＜＋∞，从而t=lnx≥0，故f(x)=ex一1，0≤x＜+∞．知识模块：一元函数积分学4．已知arctanx2是函数f(x)的一个原函数，则下列结论中，不正确的是( )A．f(x)=B．当x→0时，f(x)和x是同阶无穷小量C．∫0＋∞f(x)dx=D．∫f(2x)dx=arctan4x2+C正确答案：D解析：A项：f(x)=(arctanx2)’==2，所以f(x)和x是同阶无穷小量；C项：∫0＋∞f(x)dx=arctanx2｜0＋∞==arctan4x2＋C，故选D．知识模块：一元函数积分学5．下列积分中，值为零的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：对于A选项,xsin2x为奇函数，由积分性质知，xsin2xdx=0；对于B选项，∫－11｜x｜dx=2∫01xdx=x2｜01=1；对于C选项，=1，故选A．知识模块：一元函数积分学6．已知∫0k(2x一3x2)dx=0，则k= ( )A．0或1B．0或一1C．0或2D．1或一1正确答案：A解析：∫0k(2x一3x2)dx=(x2一x3)｜0k=k2一k3=k2(1一k)=0，所以k=0或k=1．知识模块：一元函数积分学7．使∫1＋∞f(x)dx=1成立的f(x)为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：对于选项A，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=｜1＋∞=1，故此积分收敛，且收敛于1；对于选项B，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=lnx｜1＋∞不存在；对于选项C，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞e－xdx=一e－x｜1＋∞=e－1，故此积分收敛，但收敛于e－1；对于选项D，∫1＋∞f(x)dx=∫1＋∞dx=arctanx｜1＋∞=，故此积分收敛，但收敛于．故选A．知识模块：一元函数积分学8．∫0sinxcosxdx= ( )A．0B．C．1D．π正确答案：B解析：．知识模块：一元函数积分学9．图3—1中阴影部分的面积总和可表示为( )A．∫abf(x)dxB．｜∫abf(x)dx｜C．∫ac1f(x)dx+∫c1c2f(x)dx＋∫c2bf(x)dxD．∫ac1f(x)dx一∫c1c2f(x)dx+∫c2bf(x)dx正确答案：D解析：面积为正值，故当f(x)＜0时，其相应部分的面积应表示为，故选D，也可表示为∫ab｜f(x)｜dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：解析：＋C．知识模块：一元函数积分学11．=_________．正确答案：一—arctanex＋C解析：知识模块：一元函数积分学12．已知函数f(x)=，则定积分∫12f()dx的值等于_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．∫－11x7cosxdx=_________．正确答案：0解析：x7cosx为奇函数，积分区间关于原点对称，∫－11x7cosxdx=0．知识模块：一元函数积分学14．设f(x)=∫0x｜t｜dt，则f’(x)= _________．正确答案：｜x｜解析：当x＞0时，f’(x)=(∫0xtdt)’=x，当x＜0时，f’(x)=[∫0x(一t)dt]’=一x，当x=0时，f＋’(0)==0，同理f－’(0)=0，所以f’(0)=0，故f’(x)=｜x｜．知识模块：一元函数积分学15．曲线y=2x与直线x+2y=2，x=2所围图形的面积是________．正确答案：一1解析：由题意分析得，所求图形的面积为∫02－1．知识模块：一元函数积分学解答题16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．如果+C，试求∫f(x)dx．正确答案：由＋C，两端对x求导，得，故∫f(x)dx=+ C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算∫(要求写出解答过程)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学19．∫0sin3xsin2xdx．正确答案：．涉及知识点：一元函数积分学20．设x＞0时f(x)可导，且满足f(x)=1+∫1xf(t)dt，求f(x)．正确答案：因f(x)=1+∫1xf(t)dt可导，在该式两边乘x得xf(x)=x+∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)+xf’(x)=1+f(x)，所以f’(x)=，则f(x)=lnx+C，再由x=1时，f(1)=1，得C=1，故f(x)=lnx+1．涉及知识点：一元函数积分学21．设f(2x一1)=xlnx，求∫13f(t)dt．正确答案：∫13f(t)dt2∫12f(2x－1)dx=2∫12xlnxdx=∫12lnxdx2=x2lnx｜12一∫12xdx=4ln2－．涉及知识点：一元函数积分学22．求定积分arcsinxdx．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学23．求由曲线y2=(x一1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积．正确答案：Vx=π∫12y2dx=∫12π(x一1)3dx=π．涉及知识点：一元函数积分学24．曲线x=y+ey，直线x=y，y=1，y=2围成一平面图形B，求图形B绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积Vy．正确答案：Vy=π∫12[(y+ey)2—y2]dy=π∫12(2yey＋e2y)dy=．涉及知识点：一元函数积分学设直线y=ax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．25．试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值；正确答案：因为a＜1，所以可分成0＜a＜1，a≤0两种情况，分别画出两种情况下的图形(如图3—8)，求出S1+S2的最小值后，即可确定a的值．当0＜a＜1时，S=S1+S2=∫0a(ax一x2)dx+∫a1(x2一ax)dx=，令S’=a2一是极小值，即最小值；当a≤0时，S=S1+S2=∫a0(ax一x2)dx+∫01(x2一ax)dx=，因为S’=(a2+1)＜0，S单调减少，故a=0时，S取得最小值，此时S=．比较可知，是最小值．涉及知识点：一元函数积分学26．求该最小值所对应平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：Vx=．涉及知识点：一元函数积分学。
一元函数积分学测试卷
3n x ⎰ ⎰ ⎰ = ⎰ cos t⎨ x⎰一元函数积分学一、选择题πππ1、设 I = 4 ln sin xdx , J = 4 ln cot xdx , K = 4 ln cos xdx ，则 0I , J , K 的大小关系 ( )(A) I < J < K (B) I < K < J(C) J < I < K(D) K < J < Ix +2π 2、函数 F (x ) e cos tdt ( ) x(A)为正数(B)为负数(C)恒为零(D)和 x 有关3、极限 I = lim n →∞1+ x2 dx = ( )(A) 3 π(B) 1 π(C) π (D) π12 12 324 + x , x > 04、设 f (x ) = ⎪⎩ 0, 1- x , x = 0，F (x ) = ⎰0 f (t )dt ，则( )x < 0(A) F (x )在x = 0点不连续(B) F (x )在x = 0点连续但不可导(C) F (x )在x = 0点可导，F '(0) = f (0)(D) F (x )在x = 0点可导，但F '(0) ≠ f (0)5、若连续函数满足关系式 f (x ) = ⎰1 f (t 2)dt + e ,则f (x ) = ( )(A) 1 (e2x + e ) (B) 1(e 3s x + 2e )(C) e x (D) e 2x -16、设 I = tt 0f (tx )dx , 其中f (x )连续，s > 0, t > 0，则I 的值( )(A) 依 赖 于 s , t (B) 依 赖 于 s , t , x(C) 依赖于t , x ,不依赖于s (D) 依赖于s ,不依赖于t⎰1 xx ⎰⎰ ⎰ (1+ cos x )⎰ x +∞ 17、设m , n 均是正整数，则反常积分⎰dx 的敛散性( )(A)仅与m 的取值有关(B)仅与n 的取值有关(C)与m , n 的取值都有关(D)与m , n 的取值都无关8、设 F (x ) = ⎰0f (t )dt , f (x ) 在(-∞, +∞) 上连续，则下列说法正确的是( )(A) lim F (x ) = 0时，必有 lim f (x ) = 0x →+∞x →+∞(B)“ F (x ) 为奇函数”是“ f (x ) 为偶函数”的充要条件(C)若 x → 0时，F (x ) ~ x n (n ≥ 2) ，必有 x → 0时 f (x )和x n -1 是同阶无穷小量(D)“F (x )是周期为T 的周期函数”是“f (x )是周期为T 的周期函数”的充要条件二、填空题3dx ⎰19、计算反常积分 22= .10、设 xf (x )dx = arccos x + C ,则dx= .f (x )11、 I = ⎰x dx = .πx + sin 2 x 12、 2-π22dx =.13、设 y = y (x )由方程y (x - y )2 = x 确定，则dx= .x - 3y14、设 g (x ) = ⎰ e -u 2du , 求⎰ (π- g (x ))dx = .2三、解答题15、设函数 f (x ) 在(-∞, +∞) 内连续， f (0) = 0, 且∀x , t ∈ (-∞, +∞) 满足⎰f (xt )dt = f (x ) + x sin x ，试求 f (x ) 在(-∞, +∞) 内的导函数 f '(x )1 mln 2 (1- x )nxx - x 21+ e x= 2 -⎰+ ⎰1xxb 12 116、设 f (x ) x x f (x )dx 2 f (x )dx , 求f (x ) . 017、设函数 f (x ) 可导，且有 f '(x ) + xf '(x -1) = 4, 又⎰ f (xt )dt + ⎰ f (t -1)dt = 2x 3 + x 2 + 2 0 0 x 求⎰-1 f (x )dx18、求 lim⎰0sin x dx.x →+∞x19、设 f (x )在[0, +∞)内可导，f (0) = 1, 且满足f '(x ) - f (x ) + 1 ⋅ ⎰xf (t )dt = 0求⎰[ f '(x ) - f '(x )]e - x dx1+ x 020、求直线 y = ex , 曲线 y = e x , x 轴负半轴围成的图形，绕 x = 1 旋转一周所成的旋转体的体积. 21、设函数在 上可导，且 f '(x ) ≤ M 证明：⎰ f (x )dx - f (a )(b - a ) ≤M(b - a )2 a2πsin 2 nx 22、 I n = ⎰ 2dx , (1)求I n , (2)求lim I n .sin xn →∞23、设 f (x )在[-1,1] 上具有连续的二阶导数，证明存在η ∈[-1,1]使得⎰xf (x )dx = 2 f '(η) + 1η f '(η) -1 3 3。
高等数学一元微积分学课后练习题含答案
高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。
在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。
因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。
练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。
题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。
答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。
对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。
首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。
题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。
答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。
首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。
当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。
当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。
当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。
因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→14、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =___________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案一元函数积分学 练习题参考答案1. C解析：A. )(0)()(x f x F k x F =='⇒=，正确； B. C C x F x F =+⇒=)(0)(，正确；C. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001cos 1sin 2)(x x xx x x f 在)1,1(-内不连续，但它存在原函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x F ；D. 根据原函数的定义有：)()(x f x F ='。
显然正确。
2. D解析：由于)()(x f x F ='，故)(x F 在I 上必连续，但未必有界，例如：x1在)1,0(上的原函数是x ln ，而x ln 在)1,0(上就无界。
故选 D3. C解析：只有奇函数的原函数一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是。
)(cos x f ，)]()([x f x f x --都是偶函数，故A.，B.，D 不正确。
而)(2x f 的一个原函数为dt t f x F x⎰=2)()(，)()()()(0202x F du u f dt t f x F xtu x-=-−−→−=-⎰⎰-=-，故)(x F 是奇函数，C 正确。
4. C解析：)()(x f x F ='，)(x F 必连续，故)(x F 必存在原函数，C 正确。
5. D解析：1)(lim 0=-→x f x ，41)(lim 0π+=+→x f x ，故0=x 为第一类间断点，A 不正确当)(x f 有第一类间断点),(0b a x ∈，但在),(0x a ，),(0b x 内必连续时，可以证明： dt t f x F xa⎰=)()(，),(b a x ∈，必为],[b a 上的连续函数。
对于本题，不妨有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=0344sin 03431)(3x x x x x x x F π，显然 )(x F 是连续的，所以答案C 错误，但4134)344(sin lim )0()(lim )0(00ππ+=-++=-=++→→+x x x x F x F F x x ， 134)3431(lim )0()(lim )0(300=-++=-=--→→-xx x x F x F F x x ， )0()0(-+≠F F ，故)(x F 在0=x 处不可导。
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第四章 不定积分
一、是非题：
１．已知()211
arcsin x x -='π+，则⎰π+=-x dx x arcsin 112． 错
2. 连续函数的原函数一定存在． 对
3. ()()⎰⎰
=dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错
二、填空题： １．
()()⎰='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()⎰=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='⎰
)()( ）． ３．知()()⎰+=C x F dx x f ，则()⎰=+dx b ax f （C b ax F a
++)(1），b a ,为常数． ４．已知
()⎰+=C e dx x f x ，则()=⋅⎰dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='⎰，则()=x f （x sin ）．
6. 设()x f 、()x f '连续，则
()()[]=+'⎰dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =⎰（ 1C x
+ ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2
1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x
'=⎰（x C +）． 三、选择填空：
1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()⎰+=C x F x dF b ．()()⎰
='x F dx x F
c ．()[]()C x f dx x f +='
⎰ d ．()[]()C x f dx x f d +=⎰ ２．下列等式能成立的是（ d ）
a ．⎰+=--C e dx e x x
b ．⎰+=C x
xdx 1ln c ．⎰+=C x xdx 32
cos 3
1cos d ．⎰+=C x xdx 2sin 2sin ３．若()C x dx x f +=⎰2
sin 2 ，则()=x f （ b ） a ．C x +2cos b ．2cos x c ．C x +2cos 2 d ．2
sin 2x ４．函数x
x ln 的不定积分是（ b ） a ．C x x +ln 21 b ．C x +2ln 21 c ．C x
x +ln d ．C x +2ln 四、计算题： １．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛π+-dx x
x 3cos 521C x x x ++-=3cos 52ln 2ln π ２．⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--dx e x e x x 121 C e e x x ++-=--1 ３．⎰+dx x x 2sin 1cos ⎰+=+=C x x d x )arctan(sin sin sin 112 ４．dx x x x ⎰++-3442C x x dx x x dx x
x x +⋅-=+=+=⎰⎰-453222141ln )11()( ５．⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛+dx x x 2tan 1sec ⎰+=dx x x 22)tan 1(sec C x x d x ++-=+=⎰tan 11tan )tan 1(12 ６．dx x x x ⎰+2
21arctan dx x x x ⎰+-+=221arctan )11(dx x x xdx ⎰⎰+-=21arctan arctan ⎰-+-=22)(arctan 211arctan x dx x
x x x C x x x x +-+-=22)(arctan 2
11ln 21arctan 7．⎰-⋅dx x x x x 4932⎰-=dx x x x 496⎰-=dx x
x )3
2()23(1 令x u )23(=
C u u du u du u u u ++--=--=⋅-⋅-=⎰⎰11ln )2ln 3(ln 21112ln 3ln 112ln 3ln 111
2 8．⎰⎰⎰+-+==-=C x x x x x xd dx x x xdx x 2222
1cos ln tan tan )1(sec tan 9．⎰⋅xdx x 23cos sin ⎰
⎰-=--=x d x x x xd x cos )cos (cos cos cos )cos 1(2422 C x x +-=35cos 3
1cos 51 10．⎰⋅xdx x 4sin 2cos 5x xd x xdx x x 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 22cos 55⋅-=⋅⋅=⎰
⎰ C x +-
=2cos 717 11．()⎰+dx x x 11 令t x 2tan =
C t t tdt tdt t t
t ++==⋅⋅⋅=⎰⎰tan sec ln 2sec 2sec tan 2sec tan 12 C x x +++=1ln 2
12．⎰+dx x
11
令t x = ()()⎰⎰++-+=+-+=⋅+=C t t dt t
t tdt t 2123141341112211 C x x ++-+=2123)1(4)1(3
4 13． ()⎰+dx x xe x
21C e x xe dx e x xe x d xe x x x x x
+++-=++-=+-=⎰⎰1111 14．dx x x ⎰⋅cos sin 12
⎰⎰+-+=+=⋅+=C x x x dx x x x dx x
x x x sin 1tan sec ln )sin cos cos 1(cos sin cos sin 2222 15．⎰-+dx x x x 2212⎰⎰+=⋅⋅+=dt t t tdt t
t t t x )sin 2sin 1(cos cos sin 2sin sin 22
C x
x x x x C t t t +----=+--=2
21211ln cot 2cot csc ln 16．⎰
xdx x ln C x x x dx x x x x xdx +-⋅=⋅-⋅==⎰⎰232323232394ln 32132ln 32ln 32 17．⎰
+dx x )1ln(C x x x x dx x x x x +-+++=+⋅-+=⎰)1ln()1ln(11)1ln( 18．⎰-+dx x x 211
C x x x x d x ++--=+---=⎰arcsin 1arcsin )1(1121222
19．()⎰
-+dx e e e x x x 211C e e dx e e dx e e x x x x x x +-⋅-=-+-=⎰⎰22221221arcsin 11 20．()⎰+⋅dx x x 32351
3223333111(1)(11)(1)333
u x x u u du u u du =====+=+-+⎰⎰⎰ 52853333331111(1)(1)(1)(1)3385
u du u du x x C =+-+=+-++⎰⎰ 21．⎰dx x x x 2sin cos 2cos 2
2233cos sin 1sin 2cos sin 2cos sin 2cos x x x dx dx dx x x x x x
-==-⎰⎰⎰ ⎰⎰+=x d x
xdx cos cos 1212csc 3 C x x x +--=2cos 1412cot 2csc ln 21。