自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
一元函数积分学及其应用.ppt
如果F(x)是f (x)在区间Ⅰ内的一个原函数，则
f (x)dx F(x) C .
因此，求不定积分只要求出它的一个原函数，再 加一个任意常数即可．
10
函数f (x)的不定积分含有任意常数C，因此对每 一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何 上，相应地就有一条确定的曲线，称为f (x)的积 分曲线．因为C可以取任意数值，因此不定积分表 示f (x)的一族积分曲线，如图5.1.1所示．这族曲线 的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线 都彼此平行.
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题 上长期存在的混乱，向分析的全面严格华迈出了 关键的一布。
5
§5.1 不定积分
1. 不定积分的概念与性质
（1）不定积分概念 （2）不定积分的基本性质 （3）基本积分公式
2. 换元积分法
（1）第一类换元积分法
（2）第二类换元积分法 （3）分部积分法
（4）有理函数和三角函数的有理式的积分
证 当x＞0时，(ln| x | )′＝(lnx)′＝
x
当x＜0时，(ln|x|)′＝[ln(x)] 1 x
故 (ln | x |) 1 x
由不定积分定义知
1
x dx ln | x | C 20
例5.1.5 求 x2 xdx
解
x2 xdx
5
x2dx
5 1
柯西努力研读 Laplace 的《天体力学》与 Lagrange 的《函数理论》， 1815年之前，柯西 想在学术圈谋 取教职的心愿一直不顺遂。
2
但1816年，在他获得法国科学院的大奖后，两 年内就成为科学院院士，法兰西学院院士并获得 综合工艺学院的教职。
自考高等数学一微积分小抄笔记小抄习题解析-自考速记笔记
第一章函数及其图形第二章极限和连续第三章一元函数的导数和微分第四章微分中值定理和导数的应用第五章一元函数积分学第六章多元函数微积分前言《高等数学一》共6章。
第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.对今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是4至5分。
第二章极限和连续本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第三章一元函数的导数和微分主要是如何求函数的导数和微分本章内容在历年考题中所占分值为10%左右。
第四章微分中值定理和导数应用本章在历年考题中所占分值为15%左右。
第五章一元函数积分学包括函数的不定积分和一元函数定积分。
本章内容在历年考题中所占分值为25%左右。
第六章多元函数微积分本章内容在历年考试题中所占比例为15%左右。
第一章函数及其图形1.1 预备知识一、基本概念1.集合具有某种特定性质的事物的总体。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
2.包含关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A。
若X A，则必x B，就说A是B的子集，记作A B数集分类：N----自然数集 Z----整数集Q----有理数集 R----实数集数集间的关系：N Z,Z Q,QR.3.相等关系若A B，且B A，就称集合A与B相等。
记作（A＝B）例1 则A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作）。
规定空集为任何集合的子集。
例25.集合之间的运算1)并：由中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A B例3 例42）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A B例5 例63）差：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A-B 例7二、绝对值1.绝对值的定义：2.绝对值的性质：（1），如需精美完整排版，请QQ：1962930 当且仅当a＝0时，（2）（3）（4）3.绝对值的几何意义：（1）表示数轴上的点x与原点之间的距离为a。
第五章一元函数积分学
解
(1)
1 dx x 1 dx 1 x 1 1 c 2 x c; 2 2 x 1 1 2
(2e) x 2 x e x c. x x x (2) 2 e dx (2e) dx c ln(2e) 1 ln 2
例4 求 (2e x -3sinx 1)dx.
例9 已知物体以速度v 2t 2 1m / s作直线运动,当t 1s时, 物体 经过的路径为3m, 求物体的运动规律.
解
设所求的运动规律为s s (t ),因为s '(t ) v 2t 2 1.
s(t ) (2t 2 1)dt 2 t 2 t c 3 将题设条件t 1时s 3, 代入上式, 得3 2 1 c. 3 由此得 c4 3 所以
因此所求的物体运动规律为 s(t ) 2 t 3 t 4 3 3
思考题
1.一个函数的原函数是否一定存在? 2.初等函数的原函数是否仍是初等函数?举例说明. 3.不定积分与原函数的关系是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题
1.请写出cosx的全体原函数.
2.若F x 3 , F 1 , 求F x . 2 1 x2 1
因为[F (x) c]' F '( x) f ( x),所以F ( x) c是f (x)的原函数;反 证 之,若G( x)为f ( x)在该区间内的一原函数,则G '( x) f ( x),又因为 F '(x) f (x),所以,[G( x) F ( x)]' 0,对于该区间内的一切x成立由 . 前一章所学知识知道,G(x) F (x)等于常数c,因此G(x) F (x) c.
自学考试高等数学一考试大纲
自学考试高等数学一考试大纲本大纲适用于工学理学（生物科学类、地理科学类、环境科学类、心理学类等四个一级学科除外）专业的考生。
总要求考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。
应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。
自学考试高等数学一考试大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。
自学考试高等数学一考试形式及试卷结构试卷总分：150分考试时间：150分钟考试方式：闭卷，笔试试卷内容比例：函数、极限和连续约15%一元函数微分学约25%一元函数积分学约20%多元函数微积分（含向量代数与空间解析几何）约20%无穷级数约10%常微分方程约10%试卷题型比例：选择题约15%填空题约25%解答题约60%试题难易比例：容易题约30%中等难度题约50%较难题约20%复习考试内容一、函数、极限和连续（一）函数1、知识范围（1）函数的概念函数的定义、函数的表示法、分段函数、隐函数（2）函数的性质单调性、奇偶性、有界性、周期性（3）反函数反函数的定义、反函数的图像（4）基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（5）函数的四则运算与复合运算（6）初等函数2、要求（1）理解函数的概念。
会求函数的表达式、定义域及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，会作出简单的分段函数的图像。
（2）理解函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
（3）了解函数与其反函数之间的关系（定义域、值域、图像），会求单调函数的反函数。
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1
试题特点：知识点覆盖全面， 大多数题目难度不大，个别题目有一定的难度， 但都没有超出大纲要求。
复习要求：不报侥幸心理， 复习要涉及每个知识点。
每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学（第五章）第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分（第六章）高数一串讲教材所讲主要内容如下：全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型：1、导数的几何意义；2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；5、求闭区间上连续函数的最值；6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
高等数学微积分--第五章-一元函数积分学(版本1)
例7 求
x4 dx
1 x2
解：原式
(x2
1)( x2 1 x2
1)
dx
1 1 x2 dx
x3 x arctan x C
3
例8 求
cos2
x 2
dx
解：原式=
1 2
dx
c
os 2
x
dx
1 x 1 sin x C 22
例9 求 tan2 xdx
解：原式=
sec2 xdx dx
1
(kx C) k
2
( 1 x1 ) x
1
3
(ln x ) 1
x
4
( a x ) a x
ln a
5 (e x ) e x
f (x)dx F(x) C
kdx kx C
x dx 1 x1 C( 1)
1
1dx x
ln
x
C
a xdx a x C
ln a
exdx ex C
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则
一、不定积分的基本公式
由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运 算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就 对应地有一个不定积分公式。
基本积分表
序号 F(x) f (x)
例19 求
1
1
dx x
根式代换
解： 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故
解： (1) (sinx)'= cos x cosxdx sin x C
(2)
1
x4
x3
自考高等数学教材目录
自考高等数学教材目录一、函数与极限1.1 实数及其运算1.2 映射与函数1.3 极限的概念与性质1.4 无穷小量与无穷大量1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则1.7 函数的连续性二、导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 反函数与隐函数的导数2.4 高阶导数2.5 微分的概念与性质2.6 微分中值定理与Taylor公式2.7 函数的单调性与曲线的凹凸性三、一元函数的应用3.1 函数的极值与最值3.2 函数与曲线的画法3.3 高次函数与附图3.4 弧长与曲线3.5 曲线的面积与旋转体的体积 3.6 微分中值定理的应用3.7 不定积分与定积分四、一元函数积分学4.1 不定积分4.2 定积分的概念与性质4.3 定积分的计算法4.4 定积分的应用4.5 反常积分五、多元函数微分学5.1 二元函数的极限与连续性 5.2 偏导数5.3 隐函数与参数方程的求导 5.4 方向导数与梯度5.5 多元复合函数的求导法则 5.6 多重积分5.7 曲线的弧长与曲面的面积六、重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算法七、无穷级数与幂级数7.1 数项级数的概念与性质7.2 正项级数的审敛法及其应用 7.3 幂级数的概念与性质7.4 幂级数的收敛域7.5 幂级数的求和八、常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程的解法8.3 二阶线性微分方程8.4 高阶线性微分方程8.5 线性微分方程组与矩阵以上是自考高等数学教材的目录，涵盖了高等数学的各个知识点和章节。
这些内容从最基础的实数及运算开始，逐渐深入到函数与极限、导数与微分、一元函数的应用、一元函数积分学、多元函数微分学、重积分与曲线积分、无穷级数与幂级数以及常微分方程等方面。
通过学习这些内容，可以建立对高等数学的系统性理解和应用能力。
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2(总分：100.12，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列等式成立的是______A．∫f"(x)dx=f(x)B．C．d∫f"(x)dx=f"(x)dxD．d∫f"(x)dx=f"(x)dx+c（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：2.下列函数对中是同一函数的原函数的是______（分数：2.00）A.lnx2与ln2xB.sin2x与sin2xC.2cos2x与cos2x √D.arcsinx与arccosx解析：3.设F(x)______（分数：2.00）A.F(x)=ln(cx)(c≠0)B.F(x)=lnx+ecC.F(x)=ln3x+cD.F(x)=3lnx+c √解析：4.∫ln(2x)dx等于______A．2xln(2x)-2x+cB．2xln2+lnx+cC．xln(2x)-x+cD．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设∫f"(x 3 )dx=x 3 +c，则f(x)等于______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、填空题(总题数：9，分数：9.00)6.通过点(1，2)的积分曲线y=∫3x 2 dx如的方程是 1．（分数：1.00）解析：y=x 3 +17.设∫f(x)dx=2 x +cosx+c，则f(x)= 1．（分数：1.00）解析：2 x ln2-sinx8.设∫f(x)dx=x 2 +c，则∫xf(1-x 2 )dx= 1．（分数：1.00）．（分数：1.00）10.∫xdf"(x)= 1．（分数：1.00）解析：xf"(x)-f(x)+c11.∫cot 2 xdx= 1．（分数：1.00）解析：-x-cotx+c．（分数：1.00）．（分数：1.00）＞0)．（分数：1.00）三、解答题(总题数：1，分数：81.00)求下列不定积分（分数：81.12）2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(14).∫cos 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(15).∫sin2xcos4xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(26).∫xln(x-1)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(27).∫(lnx) 2 dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x(lnx) 2 -2xlnx+2x+c(28).∫x 2 e -x dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：-(x 2 +2x+2)e -x +c(29).∫xsin 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(31).∫sin(lnx)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(32).∫arct anxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(34).∫xsinxcosxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(35).∫e ax coxbxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
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第五章一元函数积分学
5.1 原函数和不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：
如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？
（2）若不唯一它们之间有什么联系？
例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx
（C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）
=f（x）=f（x）=0
∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】
解：
例：求。
【答疑编号11050102】
解：
积分曲线
例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】
解：设曲线方程为y=f（x）,
根据题意知
即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）
所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式
实例
启示能否根据求导公式得出积分公式？
结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
基本积分表
（1）；
（2）；
（3）；
说明：
简写为
（4）；
（5）；（6）；
（7）；
（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；
（13）；
例：求积分
【答疑编号11050104】
解：
根据积分公式（2）
不定积分的性质
（1）；证。
∴等式成立。
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（2）（k是常数，k≠0）
例：求积分。
【答疑编号11050201】
解：
例：求积分。
【答疑编号11050202】
解：。
例：。
【答疑编号11050203】
解：。
例：；
【答疑编号11050204】
例：已知f（x）之一原函数为，求∫f＇（x）dx。
【答疑编号11050205】
【答疑编号11050206】
例：求。
【答疑编号11050207】
例：
【答疑编号11050208】
例：设，求f（x）。
【答疑编号11050209】
例：。
【答疑编号11050210】
例：；
【答疑编号11050211】
例：
【答疑编号11050212】
例：。
【答疑编号11050213】
解：
例：设，且f（0）=1，求f（x）.
【答疑编号11050214】
解：因为，若设u=e x，则f＇（u）=1+u3 所以f（x）是1+x3的一个原函数，而。
故。
又f（0）=1，从而C=1。
因此
例：；
【答疑编号11050215】
例：。
【答疑编号11050216】
例：。
【答疑编号11050217】
例：。
【答疑编号11050218】
例：求积分。
【答疑编号11050219】
解：
说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。
四、小结
原函数的概念：F＇（x）=f（x）
不定积分的概念：
基本积分表（1）
求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
5.3 换元积分法
一、第一类换元法
问题
解决方法利用复合函数，设置中间变量。
过程令
在一般情况下：
设F＇（u）=f（u），则
如果（可微）
由此可得换元法定理。
定理设f（u）具有原函数，可导，则有换元公式
第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将
观察重点不同，所得结论不同。
例：求
【答疑编号11050301】
解（一）
解（二）
解（三）
例：求。
【答疑编号11050302】
解：。
一般地
例：求。
【答疑编号11050303】
例：求。
【答疑编号11050304】
例：求。
【答疑编号11050305】
例：求。
【答疑编号11050306】
例：求。
【答疑编号11050307】
例：求。
【答疑编号11050308】
例：求。
【答疑编号11050309】
例：求。
【答疑编号11050310】
解：。
例：求。
【答疑编号11050401】解：。
例：求。
【答疑编号11050402】
例：求。
【答疑编号11050403】
例：
【答疑编号11050404】
例：
【答疑编号11050405】
例：
【答疑编号11050406】
【答疑编号11050407】
例：
【答疑编号11050408】
例：；【答疑编号11050409】
例：求
【答疑编号11050410】解：。
（使用了三角函数恒等变形）
例：求。
【答疑编号11050411】
解：
例：
【答疑编号11050412】
解：设u=x2，则
，所以
例：。
【答疑编号11050413】
解：设u=lnx，则
，所以
例：，求f（x）。
【答疑编号11050414】
二、第二类换元法
问题
解决方法改变中间变量的设置方法。
过程令
（应用“凑微分”即可求出结果）
定理2 设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中的反函数。
第二类积分换元公式
例：。
【答疑编号11050415】
解：令
说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）
例：。
【答疑编号11050416】解：令
三角代换。
三角代换的目的是化掉根式。
一般规律如下：当被积函数中含有（1）可令x=asint；
（2）可令x=atant；
（3）可令x=asect。
例：求。
【答疑编号11050417】
解：令。
例：。
【答疑编号11050418】
总结：
5.4 分部积分法
一、基本内容
问题
解决思路利用两个函数乘积的求导法则。
设函数u=u（x）和v=v（x）具有连续导数，
【答疑编号11050501】
分部积分公式
例1：求积分
【答疑编号11050502】
解（一）
显然，u，v选择不当，积分更难进行。
解（二）
指数函数
例2：
【答疑编号11050503】
例3：求积分
【答疑编号11050504】
总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u。
例4：求积分
【答疑编号11050505】
总结：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u, 使其降幂一次（假定幂指数是正整数）
例5：
【答疑编号11050506】
例6：。