高等数学一元函数积分学
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
22考研复习全书选讲 第五讲 一元函数积分学(3)2021.4.30
2021年4月
第五讲 一元函数积分学(3)
定积分的应用
定积分应用的基本原理——微元法
在用定积分求面积、体积、平均值、表面积、弧长、功、引力、压力等问题时,常常要
利用微元法思想,其基本步骤如下:
（1）所求量 U 是与区间[a, b]以及定义在其上的函数 f (x)有关的量；
其中 (t)、 (t)在[, ]上具有一阶连续导数, 且 (t)、 (t)不同
时为零(极,坐则标曲方线程弧)设长曲为线S弧=由 极坐2(标t)方程2
(t)
r
dt
=
. r
(θ)
(
α
≤
θ
≤
β)
给
出, 其中 r (θ)在[, ]上具有一阶连续导数, 则曲线弧长为
S r2( ) r2( ) d .
直线 x=1 所成的旋转体体积 V1.(3) 求 D 绕 x 轴旋转一周所得
旋转体的体积 V2. (3) D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积
V2
1 (e x )2 dx
1 (ex)2 dx e2 .
0
6
V2 2
e y( y ln y)dy e2 .
0e
6
全书一，P123[例2]；全书二，P119[例2]；
0
2
a2( 1 cos )2 ( a sin )2 d
0
2 2a c osd
0
2
a8
si
2
n0
=
8a|
.
全书三，P114[例5]；
例 8(2010 数 3) 设位于曲线 y
1
( e x<+ )下方, x 轴上方的
高等数学1：一元函数微积分学
高等数学1：一元函数微积分学
一元函数微积分学是一门具有普遍价值的数学课程，它是描述数学中一元函数的变化趋势以及求解相关问题的一种数学方法。
一元函数微积分学的基础是微积分学，它是由法国数学家库仑发明的一种数学方法，主要是研究函数的微小变化。
微积分学的结果就是一元函数微积分学，它是一种研究函数变化趋势的方法，可以描述函数在各个点的变化状态，也可以用来求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学需要掌握一些基本概念，如函数极限、微分、导数、极值等，这些概念可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值、极限等问题。
在研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
这些方法可以帮助我们研究函数的变化趋势，从而更好地理解函数的特征。
总之，一元函数微积分学是一门十分重要的数学课程，它能够帮助我们更好地理解函数的变化趋势，有助于求解函数的极值和极限，从而获得函数的全局特征。
研究一元函数微积分学时，除了要掌握一些基本概念外，还要掌握一些解决问题的
方法，如泰勒公式、换元法和求积分等。
只有掌握了这些方法，才能更好地理解函数的特征，并能够解决函数相关的问题。
高等数学all教材
高等数学all教材高等数学 All 教材高等数学是大学教育中的重要学科之一，主要包含微积分、线性代数和概率论等内容。
以下是对高等数学 All 教材的简要介绍和重要章节的概述。
第一章：极限与连续本章主要介绍极限和连续的概念，包含极限的定义、性质以及计算方法。
还探讨了函数的极限、无穷小量和无穷大量的关系。
此外，连续函数的基本性质和中值定理也是重要内容。
第二章：一元函数微分学这一章重点研究函数的导数及其应用。
涉及导数的基本概念、运算规则以及常见函数的导数。
同时探讨了微分中值定理和函数的凸凹性质。
第三章：一元函数积分学本章主要介绍函数的不定积分、定积分和定积分的计算方法。
还包括牛顿-莱布尼茨公式、微积分基本定理和变量替换法等内容。
此外，重要的积分方法如分部积分、换元积分法也是必学内容。
第四章：多元函数微分学这一章研究多元函数的偏导数、全微分和导数的应用。
重点介绍了二元函数的极值与条件极值、函数的隐函数和映射等。
第五章：重积分与曲线曲面积分本章主要涉及二重积分、三重积分以及曲线曲面积分的概念和计算方法。
包括重积分的性质、计算与应用、曲线曲面积分的定义和计算公式等内容。
第六章：常微分方程这一章重点研究常微分方程的基本概念、解的存在唯一性和解的性质。
涉及一阶常微分方程和二阶线性常微分方程的解法以及常系数线性微分方程组的解法。
第七章：无穷级数本章介绍无穷级数的概念、性质和收敛判定方法。
包括常见数项级数的判敛法则、幂级数的性质以及泰勒级数展开与应用等。
以上是对高等数学All 教材的概述。
这本教材内容丰富、重点明确，适合大学本科学习高等数学课程的学生使用。
它将为学生打下坚实的数学基础，为更深入的学习和应用数学奠定基础。
第三章《一元函数积分学》单元测试
2015届专升本《高等数学》辅导第三章《一元函数积分学》单元测试（测试时间：2015.01.）姓名 班级 快班□ 慢班1□ 慢班2□ 成绩 说明：1-9题每题得分见题首。
10-16题为附加题，每题10分1、（10分）设 ，求()f x 。
（()xf x x e C =++）2、（5分）如果等式11()x x f x e dx e C --=-+⎰成立，则函数()f x =（ D ）221111.;.;.;..A B C D x x x x-- 3、（21分）求下列不定积分1）;(arcsin )x C + )1008)2(2017)2((20162017C x x ++-+3）.(2)x C4、（10分）若 11()21x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，求().f x dx ⎰22112(())112x x C x f x dx x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰5、（10分）求333412lim .n n n →∞+++130114dx x⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 20152)(2)x x dx +⎰(ln )1f x x '=+6、（10分）7、（14分）求下列定积分1）0; 1(arctan )2 2）1sin(ln ).e x dx ⎰1((sin1cos1))22e -+8、（10分）求广义积分2;()2π+∞⎰9、（10分）如图求由曲线1,2,2y x x y x =+==所围图形的面积。
3(l n 2)2+ 22sin 40sin lim .x x x t tdt x →⎰求154（）附加题 10、若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数是 。
()12sin x C x C -++11、已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰，求220()x f x dx ''⎰。
（0） 12、求不定积分22arctan 1x xdx x +⎰。
《数学分析》第五章 一元函数积分学
“求出”来的．例如
∫e
± x2
dx, ∫
dx sin x ,∫ dx,∫ 1 − k 2 sin 2 x dx(0 < k 2 < 1) ln x x
等等，虽然它们都存在，但却无法用初等函数来表示，因此可以说，初等函数的原函数 不一定是初等函数．即在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在的，即使该函 数可积。这类非初等函数可采用定积分形式来表示。
它在[0，1]上必定不可积，这是因为对任何分割 T，在 T 所属的每个小区间都有有理数与无 理数（据实数的稠密性） ，当取 {ξ i }1 全为有理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ ∆x
I i i =1 i =1
n
n
i
= 1,
当取 {ξ i }1 全为无理数时，得
n
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x
b
x
7. 无穷限反常积分： 设函数／定义在无穷区间[ a,+∞ )上，且在任何有限区间[ a, u ]上可 积．如果存在极限
f ( x)dx = J ， u → +∞ ∫a
lim
u
(1)
则称此极限 J 为函数 f 在[ a,+∞ )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作
J = ∫a f ( x)dx ，
3. 定积分： 设
f
是定义在
[a, b] 上的一个函数， J 是一个确定的实数．若对任给的正数 [a, b] 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集 {ξ i } ，
≺ ε ，则称函数 f 在区间 [a , b ] 上可积或黎曼可
ε
，总存在某一正数 δ ，使得对
只要
T ≺δ
高等数学(一元微积分)02-7.2定积分的定义与几何意义
b
b
与积分变量使用的字母的选取无关，即有 a f (x)dx a f (t)dt ．
3．在定积分的定义中，有 a b ，为了今后计算方便，我们规定：
a
b
a
f (x)dx f (x)dx 及 f (x)dx 0 ．
b
a
a
2.定积分的几何意义
设 f (x) 是 a,b上的连续函数，由曲线 y f (x) 及直线 x a, x b, y 0 所围
1
2
证 明 令 y 1 x 2 , x [1,1] ， 显 然 y 0 ， 则 由 y 1 x2 和 直 线
x 1, x 1， y 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆．如图 5.1.4
所示．因为单位圆的面积 A ，所以半圆的面积为 ．
2
由定积分的几何意义知： 1 1 x2 dx ．
a
0
f (i )xi ，
i 1
(5.1.3)
其中， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量，a 称为积
分下限， b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间．
根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：
b
曲 边 梯 形 面 积 A 是 曲 线 y f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 定 积 分 A a f (x)dx
于 x 轴的上方或下方．这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代 数和，如图 5.1.3 所示，有
b
a f (x)dx A1 A2 A3
其中 A1, A2 , A3 分别是图中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数．
图 5.1.3
图 5.1.4
例 1 利用定积分的几何意义，证明 1 1 x2 dx ．
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y F( x) c 的图象显然可由这条曲线沿 o y 轴向上
或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是 f (x) 的全部积分曲线 所组成的积分曲线族。其方程为 y F(x) c .
如下图所示：
y
斜率 f ( x)
解：原式=
1 x3 dx
x 3dx
1 3 1
x 31
C
1 2
x 2
C
1 2x2
C
故选B
例：求
1 1 x2
dx
提示公式：
1
1 x2
dx
arctan
x
C
解：原式=
1 1 x2
dx
arctan
x
C
例：计算
1
x
x
dx
提示公式： 1 dx ln | x | C
x
解：原式=
1
x x
dx
x 11dx 1 x
分 表
(12)
(13)
e xdx e x C;
a
xdx
ax ln a
C;
注意：以上各不定积分是基本积分公式，它是求不定积分的基础， 必须熟记，并会用公式和性质求一些简单函数的不定积分．
例：求
1 x3
dx
A.
2 x2
C
B
1 2x2
C
C.
1 2x2
C
D.
2 x2
C
提示公式：
x dx 1 x1 C ( 1) 1
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分 2011年考了16分
（一）、不定积分的概念与性质 （二）、不定积分的基本公式 （三）、换元积分法 （四）、分部积分法
（一） 不定积分的概念与性质 1. 原函数
设
是定义在某区间上的已知函数，如果
x 存在一个函数 F(x) ，使对于该区间任意 ，
都有关系式：
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx
成立，则称函数 F(x) 为函数
在该区间上
的一x (,),
sin x 是 cos x 在I (,)上的一个原函数。
又因为： (x5 ) 5x 4
(x5 3) 5x4
(x5 1) 5x 4
(x5 c) 5x4
所以显然 x 5，x5 1 ，x5 3 ，x5 c
F(u) f (u)
f (u)du F (u) C
又u (x),且(x) 可微，有 F(x) f (x)(x)
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
定理 1：设 f (u) 有原函数F (u), u (x) 可导，则
f (x)(x)dx F (x) C f (u)du u(x)
第三章 一元函数积分学(20%）
一、 不定积分 二、定积分 三、定积分的应用
考试点津：
• 本讲出题在10分—18分之间，考点不多， 一般在选择题、填空题、计算题中出现， 不定积分是定积分的基础，定积分又是二 重积分、曲线积分的基础，技巧性比较大， 希望同学们多练习。
• 本讲重点：（1）原函数、不定积分的概念 和性质。（2）直接积分方法、换元积分法。 （3）凑微分技巧。
1
1
1
x
dx
1dx
1
1
dx x
1dx
1 1
d x
(1
x)
x ln 1 x C
（三）换元积分法（重点掌握第一换元积分法）
１.第一换元法（凑微分法）
第一换元法是求复合函数的不定积分的基本方法．
分析：把复合函数的微分法反过来，用与求不定积分，利用中
间变量的替换，得到复合函数的积分法。
设 f (u)的原函数是F (u) ，即
例：计算
e
ex x
1
dx
2008年解答、8分
解：原式=
(7) sin xdx cos x C;
（二） 不定积分的基本积分公式
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基 本
(10)
sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
数
的全体原函数 F ( x) C（c为任意常数）
称为 在该区间I上的不定积分。
记为 f ( x)dx . 即：
f ( x)dx F( x) C
积 分 符 号
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
（一） 不定积分的概念与性质 3. 不定积分的几何意义 设函数 f (x) 在某区间上的一个原函数为 F ( x) ，则
0
x
y F(x) c y F(x)
x
（一） 不定积分的概念与性质
4. 原函数存在定理
在 定义区间上的连续函数一定有原函数（即： 一定有不定积分）。
（一） 不定积分的概念与性质 5. 不定积分的性质
定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即
(1) [ f ( x)dx] f ( x) 或 d[ f ( x)dx] f ( x)dx
• 本讲难点：综合利用积分方法求不定积分 。
本章重点考核的知识点
• 1．原函数的概念； • 2．不定积分的两个性质及一个推论； • 3．分项积分法； • 4．换元积分法；又可细分为凑微分法（重
点）与变量代换法（主要是去根号）； • 5．分部积分法。 • 有理函数积分、三角函数积分基本不考。即
便考，用前面的方法也可解决。
(2) F (x)dx F(x) c 或 dF(x) F(x) c
定理2 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
推论
n
n
fi (x)dx fi (x)dx
i 1
i 1
（二） 不定积分的基本积分公式
都是 5x 4 的一个原函数。
★ 由此不难得出：
（1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。
（2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。
（3）若 F ( x)为
的一个原函数，则 F ( x) C
表示 的所有原函数。
（一） 不定积分的概念与性质
2. 不定积分
设 F ( x)是 在区间I上的一个原函数，则函
(1) kdx kx C (k是常数);
基 (2)
x dx
x 1
1
C
( 1);
本 积 分
(3)
(4)
dx x
ln
|
x
|
C;
1
1 x
2dx
arctanx
C
arccot
x
C;
表
1
(5) 1 x2dx arcsinx C arccos x C;
(6) cos xdx sin x C;