心流学院(心流数学)—高等数学考研真题训练—一元函数积分学
[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)历年真题试卷汇编15.doc
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[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编15一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (12年)设I k=∫0kπsinxdx(k=1．2，3)，则有（A）I1＜I2＜I3（B）I3＜I2＜I1（C）I2＜I3＜I1（D）I2＜I1＜I32 (13年)设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则（A）x=π是函数F(x)的跳跃间断点．（B）x=π是函数F(x)的可去间断点．（C）F(x)在x=π处连续但不可导．（D）F(x)在x=π处可导．3 (13年)设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则（A）α＜一2．（B）α＞2．（C）-2＜α＜0．（D）0＜α＜2．4 (15年)下列反常积分中收敛的是5 (16年)已知函数f(x)=，则f(x)的一个原函数是6 (16年)反常积分的敛散性为（A）①收敛，②收敛．（B）①收敛，②发散．（C）①发散，②收敛．（D）①发散，②发散．7 (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则（A）∫-11f(x)dx＞0．（B）∫-11f(x)dx＜0．（C）∫-10(f(x)dx＞∫01f(x)dx．（D）∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx．8 (17年)甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处．图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m，／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3．计时开始后追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则（A）t0=10．（B）15＜t0＜20．（C）t0=25．（D）t0＞25．9 (18年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则（A）当f'(x)＜0时，（B）当f"(x)＜0时，（C）当f'(x)＞0时，（D）当f"(x)＞0时，10 (18年)设则（A）M＞N＞K．（B）M＞K＞N．（C）K＞M＞N．（D）K＞N＞M．二、填空题11 (12年)12 (13年)设函数f(x)=则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数13 (13年)设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ．则L所围平面图形的面积是________．14 (14年)15 (14年)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1．则该细棒的质心坐标=______．16 (15年)设函数f(x)连续．φ(x)=。
考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2010年]设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n的取值有关C．与m，n的取值都有关D．与m，n的取值都无关正确答案：D解析：易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1，因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和，即记．下面讨论I1的敛散性．(1)设n＞1，取，因知，I1收敛；(2)设n=1，m=1，2，则，此时I1已不是反常积分，当然收敛；(3)设n=1，m＞2，取P=1—2／m，则0＜p＜1，且有可知I1也收敛．综上所述，无论m，n取何正整数，I1均收敛．下面讨论I2的敛散性．对任意0＜p ＜1，知，对任意正整数n，m，有可得I2=∫1/21f(x)dx收敛．因此对任意正整数m，n，所给反常积分都收敛．仅D入选．知识模块：一元函数积分学2．[2016年]若反常积分收敛，则( )．A．a＜1且b＞1B．a＞1且b＞1C．a＜1且a+b＞1D．a＞1且a+b＞1正确答案：C解析：因收敛，故上述等式右端的两个反常积分收敛，当a＜1时，收敛．当a+b＞1时，收敛，因而仅C入选．知识模块：一元函数积分学3．[2017年] 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有[v2(t)-v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知，∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20—10=10 ，可知t0=25．仅C入选．知识模块：一元函数积分学填空题4．[2002年] =______.正确答案：1解析：故知识模块：一元函数积分学5．[2013年]=______.正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学6．[2011年] 曲线y=∫0xtantdt 的弧长s=______．正确答案：解析：因y’(x)=tanx，故知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷8(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷8(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．设曲线L的长度为l，且．证明：正确答案：Pdx＋Qdy＝{P，Q).{dx，dy}，因为｜a.b｜≤｜a｜｜b｜，涉及知识点：高等数学部分2．如图1．3—1，设曲线方程为梯形QABC的面积为D，曲边梯形OBC 的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学3．设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a 为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．正确答案：由题设，当x≠0时，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得又由已知条件旋转体的体积为,故当a=-5时，旋转体体积最小。
涉及知识点：一元函数积分学4．设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x)．它与x 轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2．令P=y’，则上述方程可化为注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．涉及知识点：一元函数积分学5．设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成a的平面截此柱体，得一楔形体(如图1．3—2)，求此楔形体的体积V.正确答案：底面椭圆的方程为以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为楔形体的体积涉及知识点：一元函数积分学6．计算曲线y=ln(1-x2)上相应于的一端弧的长度．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学8．求极限正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，则(1)(2)(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为正确答案：(1)(2)(3) 涉及知识点：一元函数积分学10．正确答案：涉及知识点：高等数学部分11．设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分12．正确答案：涉及知识点：高等数学部分13．若正项级数收敛，证明：收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分14．正确答案：涉及知识点：高等数学部分15．正确答案：涉及知识点：高等数学部分16．设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．正确答案：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＋1’＝(a1一a0)＋2(a2－a1)＋…＋(n ＋1)(an＋1一an)，涉及知识点：高等数学部分17．正确答案：涉及知识点：高等数学部分18．证明：(1)设an＞0，且{nan}有界，则级数收敛；(2)正确答案：(1)(2) 涉及知识点：高等数学部分19．正确答案：涉及知识点：高等数学部分20．设{un}，{cn}为正项数列，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分21．对常数p，讨论幂级数的收敛区间．正确答案：，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当p＜0时，记q＝－p，则有，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(一1，1)；(2)(3) 涉及知识点：高等数学部分22．设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数绝对收敛．正确答案：由｜un＋1一un｜＝｜f(un)一f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜｜un一un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜涉及知识点：高等数学部分23．设f(x)在(一∞，＋∞)内一阶连续可导，且．证明：收敛，而发散．正确答案：涉及知识点：高等数学部分24．设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且．证明：级数绝对收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分25．设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．正确答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据马克劳林公式，有涉及知识点：高等数学部分26．求幂级数的收敛区间．正确答案：涉及知识点：高等数学部分27．求函数f(x)＝In(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．正确答案：f(x)＝ln(1一x一2x2)＝ln(x＋1)(1—2x)＝ln(1＋x)＋In(1—2x)，涉及知识点：高等数学部分28．求幂级数的和函数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分29．在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；正确答案：由加强型的积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得设G(x)=e-xf(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0，G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c)，b)，使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0，从而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)．涉及知识点：一元函数积分学30．在(a，b)内至少存在一点η,η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．正确答案：设F(x)=ex[f’(x)－f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ)=F(ξ)=0，则F’(x)=ex[f’’(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f’’(x)一f(x)]．对F(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)，使得F’(η)=0，故有f’’(η)=f’’(η)，且η≠ξi(i=1，2)．涉及知识点：一元函数积分学31．正确答案：涉及知识点：高等数学部分设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足的解．32．设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．正确答案：令由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0．由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即涉及知识点：一元函数积分学33．f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ1)f(ξ)．正确答案：令F(x)=xe-xf(x)，因F(1)=e-1(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1]C[0，1]上，对F(x)运用罗尔定理，可得ξ∈(η，1)c(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学34．将函数展开成x的幂级数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分设，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．35．设，定义令试证正确答案：容易证明：当t∈(0，1]时，(1)当x∈(0，1]时，由①可得(2) 涉及知识点：一元函数积分学。
考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷6(题后含答案及解析)
考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选A．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A中，收敛；在选项D中，发散．知识模块：一元函数积分学5．平面π与π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距离之比为1：3，则平面π的方程为( )．A．x一2y＋z＝0B．x一2y＋z一3＝0C．x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D．x一2y＋z—4＝0正确答案：C解析：设所求平面为π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一点，因为d1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，选（C）。
知识模块：高等数学部分6．设则有( )．A．L1∥L3B．L1∥L2C．L2⊥L3D．L1⊥L2正确答案：D解析：三条直线的方向向量为s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因为s1.s2＝0，所以L1⊥L2，选(D)．知识模块：高等数学部分7．抛物线y2=2x与直线y=x一4所围成的图形的面积为( ).A．B．18C．D．8正确答案：B解析：选积分变量为y(如图1．3—2)，两条曲线的交点知识模块：一元函数积分学8．曲线上相应于x从3到8的一段弧的长度为( ).A．B．C．9D．6正确答案：A解析：知识模块：一元函数积分学填空题9．设z＝f(x，y)二阶可偏导，＝2，且f(x，0)＝1，fy’(x，0)＝x，则f(x，y)＝__________．正确答案：y2＋xy＋1解析：由得，因为fy’(x，0)＝x,所以φ(x)＝x，即＝2y＋x，z＝y2＋xy＋C，因为f(x，0)＝1，所以C＝1，于是z＝y2＋xy＋1．知识模块：高等数学部分10．设(ay一Zxy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，则a ＝_________，b＝___________。
考研数学一一元函数积分学-试卷3_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一（一元函数积分学）-试卷3(总分66, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( )SSS_SINGLE_SELA 0个B 1个C 2个D 无穷多个该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又，所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个根．应选B．2.设f(x)连续，f(0)=1，f"(0)=2．下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是( )SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0，1)处切线为y=1+2x．选项D中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F"(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x．故应选D．3.设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数的图形( )SSS_SINGLE_SELA 在(a，b)内为凸B 在(a，b)内为凹C 在(a，b)内有拐点D 在(a，b)内有间断点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：先将φ(x)利用｜x一t｜的分段性分解变形，有因为φ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是D．为讨论其余三个选项，只需求出φ""(x)，讨论φ""(x)在(a，b)内的符号即可．因故y=φ(x)的图形为凹．应选B．4.则 ( )SSS_SINGLE_SELA F(x)为f(x)的一个原函数B F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C F(x)在(一∞，+∞)上不连续D F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得但是所以F"+(0)≠F"-(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(一∞，+∞)上的原函数．请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择D．5.则在(一∞，+∞)内，下列正确的是 ( )SSS_SINGLE_SELA f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数B f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D f(x)连续，且F"(x)=f(x)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为：故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．通过计算故F(x)可微，即F"(x)=f(x)，故A正确．同样请考生自己得出此题的简捷做法．2. 填空题1.已知函数F(x)的导数为则F(x)=_________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：由题意2.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：，其中C为任意常数解析：3.积分SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：其中C为任意常数解析：4.设z＝xf(x＋y)＋g(x y，x 2＋y 2 )，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝___________。
[考研类试卷]考研数学一(一元函数积分学)模拟试卷18.doc
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24曲线y=(x一1)(x一2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积。
25求圆弧x2+y2=a2( ≤y≤a)绕y轴旋转一周所得球冠的面积。
[考研类试卷]考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷18
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1设m，n均是正整数，则反常积分 的敛散性( )
（A）仅与m的取值有关。
（B）仅与n的取值有关。பைடு நூலகம்
（C）与m，n的取值都有关。
（D）与m，n的取值都无关。
2设I1= ，则( )
（A）I1＞I2＞1。
（B）1＞I1＞I2。
（C）I2＞I1＞1。
（D）1＞I2＞I1。
3如图3一15所示，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )
4设函数f(x)= ln(2+t)dt，则f'(x)的零点个数( )
（A）0。
（B）1。
（C）2。
（D）3。
5设Ik=∫0kπ sinxdx，其中k=1，2，3，则有( )
（A）I1＜I2＜I3。
（B）I3＜I2＜I1。
（C）I2＜I3＜I1。
（D）I2＜I1＜I3。
二、填空题
6 =_________．
7已知∫-∞+∞ek｜x｜dx=1，则k=___________。
考研数学二(一元函数积分学)-试卷2
考研数学二（一元函数积分学）-试卷2(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.由曲线y=x(0≤x≤π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为（分数：2.00）A.B.C. √D.3.抛物线y 2 =2x与直线y=x一4所围成的图形的面积为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：选积分变量为y(如图1．3—2)4.曲线x从3到8的一段弧的长度为 ( )（分数：2.00）√C.9D.65.曲线y=ln x与x轴及直线x=，x=e所围成的图形的面积是（分数：2.00）A.B. √C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是 1。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：在[a，b]上至少存在一点ξ，使∫ a b f(x)dx=f(ξ)(b 一a)，a≤ξ≤b）解析：7.曲线y=x 2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为 1。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4.5）解析：解析：平面图形面积S=∫ 一12 (x+2一x 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.。
（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）11.。
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案
《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案一元函数积分学 练习题参考答案1. C解析：A. )(0)()(x f x F k x F =='⇒=，正确； B. C C x F x F =+⇒=)(0)(，正确；C. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001cos 1sin 2)(x x xx x x f 在)1,1(-内不连续，但它存在原函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x F ；D. 根据原函数的定义有：)()(x f x F ='。
显然正确。
2. D解析：由于)()(x f x F ='，故)(x F 在I 上必连续，但未必有界，例如：x1在)1,0(上的原函数是x ln ，而x ln 在)1,0(上就无界。
故选 D3. C解析：只有奇函数的原函数一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是。
)(cos x f ，)]()([x f x f x --都是偶函数，故A.，B.，D 不正确。
而)(2x f 的一个原函数为dt t f x F x⎰=2)()(，)()()()(0202x F du u f dt t f x F xtu x-=-−−→−=-⎰⎰-=-，故)(x F 是奇函数，C 正确。
4. C解析：)()(x f x F ='，)(x F 必连续，故)(x F 必存在原函数，C 正确。
5. D解析：1)(lim 0=-→x f x ，41)(lim 0π+=+→x f x ，故0=x 为第一类间断点，A 不正确当)(x f 有第一类间断点),(0b a x ∈，但在),(0x a ，),(0b x 内必连续时，可以证明： dt t f x F xa⎰=)()(，),(b a x ∈，必为],[b a 上的连续函数。
对于本题，不妨有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=0344sin 03431)(3x x x x x x x F π，显然 )(x F 是连续的，所以答案C 错误，但4134)344(sin lim )0()(lim )0(00ππ+=-++=-=++→→+x x x x F x F F x x ， 134)3431(lim )0()(lim )0(300=-++=-=--→→-xx x x F x F F x x ， )0()0(-+≠F F ，故)(x F 在0=x 处不可导。
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(C)在x 0间断的奇函数.(D) 在x 0间断的偶函数.
解：
取f
(x)
x, x 0 1, x 0
则当x 0时，
F(x)
x
f (t)dt lim
x
tdt
1
lim
x2 2
1 x2
0
0
2 0
2
而F(0) 0 lim F(x)，所以F(x)为连续偶函数，则选(Ｂ) x0
因此，1 ln t [ln(1 t)]n dt
1
t
n
ln
t
dt.
0
0
(2)由(1)知0 un
1 ln t [ln(1 t)]n dt
0
1
t
n
ln
t
dt.
0
1tn
0
ln t
xf (x) x(cos x sin x) f (x) cos x sin x ，（x 0）
sin x cos x
sin x cos x
两边积分得 f (x) ln | sin x cos x | C
将x 0代入题中方程可得
f (0) f 1(t)dt
f (t)dt
= lim 0 x0
x
f (u)du xf (x)
= lim x0
0 x
f (u)du xf (x)
0
0
x
f (t)dt
0
= lim x0
x
f (u)du
x
= f (0) 1 . f (0) f (0) 2
0
x f (x)
【例13】(2007，17题，10分)
(A)连续的奇函数.
(B) 连续的偶函数.
(C)在x 0间断的奇函数.(D) 在x 0间断的偶函数.
四、变上限积分函数及其应用 【例10】(2006，8题，4分)
设f (x)是奇函数，除x 0处连续，x 0是其第一
类间断点，则 x f (t)dt是 0
(A)连续的奇函数.
(B) 连续的偶函数.
x
x t u
f (x t)dt
0
f (u)(du)
x f (u)du，于是
0
x
0
x
x
x
(x t) f (t)dt
x f (t)dt tf (t)dt
lim
x0
0
x
x
f (x t)dt
lim x0
0
0
x
x f (u)du
0
0
x
x
f (t)dt xf (x) xf (x)
第三章 一元函数积分学
一、不定积分的计算
【例1】(2006，16题，10分) 求
arcsin ex
ex
dx.
一、不定积分的计算
【例1】(2006，16题，10分) 求
arcsin ex
ex
dx.
解：
arcsin ex
ex
dx
arcsin exdex
ex arcsin ex e－x ex dx 1 e2x
(D)F x是单调函数 f x是单调函数.
解： 令f x 1,则取F x x 1,排除 B、C ;?
令f x x,则取F x 1 x2,排除 D;
2
故应选 A.
【例12】(2005，15题，11分) 设函数f x连续，且
0
0
0
则I、J、K的大小关系是
A. I<J<K B. I<K<J C. J<I<K D. K<J<I
【例5】(2011，4题，4分)
设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx
0
0
0
则I、J、K的大小关系是
A. I<J<K B. I<K<J C. J<I<K D. K<J<I
2
F(3)
1 (
)
3
3 F(2) ,
2 48 4
x
f ( x) 是奇函数，所以 F( x) f (t)dt 为偶函数， 0
所以 F(3) F(3) 3 F(2) , 选(C).
4
【例5】(2011，4题，4分)
设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx
2
2
【例6】(09,4 分)使不等式 x sint dt ln x 成立的 x 的范围是 1t
（A） (0, 1) （B） (1, ) （C）( , ) （D）( , )
2
2
解： 利用 ln x x 1 dt ，原问题转化为 1t
f (x)
x sint dt
故 4 lnsin xdx 4 lncos xdx 4 lncot xdx
0
0
0
即 I K J.
(09,4 分)使不等式 x sint dt ln x 成立的 x 的范围是 1t
（A） (0, 1) （B） (1, ) （C）( , ) （D）( , )
1 比较 1 ln t [ln(1 t)]n dt 与 1tn ln t dt(n 1, 2, )
0
0
的大小,说明理由.
(2)记
un
1 ln t [ln(1 t)]n dt(n 1, 2,
0
),
求极限
lim
x
un
.
解：(1)当0 t 1,ln(1 t) t, ln t [ln(1 t)]n t n ln t ,
【例11】(2005，8题，4分)
设F x是连续函数f x的一个原函数，"M N "
表示“M的充分必要条件是N ”，则必有
(A) F x是偶函数 x是奇函数.
(B) F x是奇函数 f x是偶函数. (C) F x是周期函数 f x是周期函数.
0
t
cos t
sin
t
dt
0
0
0 sin t cost
因为f
(
x)是区间0,
4
上单调、可导的函数，
则f
1 ( x)的值域为
0,
4
单调非负，所以f (0) 0代入（1）式可得C 0，
故f (x) ln | sin x cos x |
五、与定积分有关的证明题 【例16】(2010，16题，10分)
5 (B) F (3) F (2)
4 (D) F (3) 5 F (2)
4
1
2
x
3
F( x) f (t)dt
x
0
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意 f ( x) 在不
同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知
F(2) 1 ,
x2
2
【例3】(07,4 分)如图，连续函数y f ( x) 在区间[3, 2] ，
[2, 3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间
[2, 0] ，[0, 2] 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设
x
F ( x) f (t)dt ，则下列结论正确的是 【
(A)
x1 1 x2
0 1 x2
令arcsin x t，有x sin t，t [0, )
2
1 x2 arcsin xdx
2 t sin2 tdt
2
(
t
cos 2t )dt
0 1 x2
0
02 2
t2 2 1
2 td sin 2t
2
f (x) f 1(t)dt
x
t
cos t
sin
t
dt，其中f
1是f
的反函数,
0
0 sin t cost
求f (x).
解：
将 f (x) f 1(t)dt x t cost sin t dt两边对x求导得：
0
0 sin t cost
f 1( f (x)) f (x) x(cos x sin x) sin x cos x
t sin 2t
2
1
2 sin 2tdt
4 40 0
16
4 0 40
2 1
2 2 1
cos 2t .
16 8
0 16 4
四、变上限积分函数及其应用 【例10】(2006，8题，4分)
设f (x)是奇函数，除x 0处连续，x 0是其第一
类间断点，则 x f (t)dt是 0
2 1 e2x 1
【例2】(2009，16题，10分)
计算不定积分 ln(1
1 x )dx(x 0) x
【例2】(2009，16题，10分)
计算不定积分 ln(1
1 x )dx(x 0) x
解： 令
1 x x
t，得x