专升本-一元函数积分学
专升本 第二章 一元函数微分学
第二章讲义2007：36分2008：21分2009：32分2010：42分2011：29分一、导数的概念1、导数的概念左右导数的概念2、可导与连续的关系二、导数的计算导函数导函数基本结果求导法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参数方程表示的函数的导数高阶导数三、导数的几何意义四、导数的应用1、中值定理1-1中值定理1-2中值定理推论2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用2-2极值2-3最值3、凹凸性、拐点4、洛必达法则5、渐近线一、导数的概念1、导数的概念1．讨论函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 23x x xx x f 在0=x 处的可导性. 2．设函数()x f 可导，且()()011lim12x f f x x→--=-，则()1f '=（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-3．设()x f 在1=x 处可导，且()11='f ，则()()=+--→hh f h f h 121lim 0（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4- 4．设函数()f x 在0x =处满足，()()()03f x f x x α=-+，且()lim0x x xα→=，则()0f '=（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3 5．函数()x f 在点0x x =处可导，且()10-='x f ，则()()=+-→hh x f x f h 23lim000A ．32B ．32-C ．23- D ．236．设()1='x f ，则()()=--+→hh x f h x f h 32lim 0（ ） A ．4 B ．5 C ．2 D ．17．设()x f 为奇函数，则()30='x f 时，()=-'0x f ________．左右导数的概念2、可导与连续的关系1．函数在某点处连续是其在该点处可导的A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．无关条件二、导数的计算导函数导函数基本结果 求导法则复合函数的导数1．设函数5sin 212π--=x y ，则='yA ．5cos 212π--x x B ．21xx--C ．212x x - D ． 5cos 52122π---x x2．已知lnsin(12)y x =-，求.dy dx隐函数的导数1．设由方程22e xy e y =- 确定的函数为()x y y =，求.|0=x dx dy2．设 ()y f x =是由方程ln sin 2xy e y y x +=确定的隐函数，求dy dx. 3．由1=++xy y x ①所确定的隐函数()x y y =在1=x 处导数为________． 对数求导法1．已知y x =，求.dx dy2．若函数()()()ln 1xf x x x =>，则()f x '=（ ） A ． ()1ln x x - B ．()()1ln ln ln(ln )x xx x x -+C ．()ln ln(ln )xx x D ．()ln xx x参数方程表示的函数的导数1．曲线231,21,x t y t t =+⎧⎨=-+⎩则1|t dydx ==________．1． x y sin =的三阶导数是（ ）A ．x sinB ．x sin -C ．x cosD ．x cos -2．设函数()x f 具有四阶导数，且()f x ''=()()4f x =（ ）A ．B C ．1 D ．3214x --3．设函数()()()()()4321--++=x x x x x f ，则()()=x f 4________． 4．已知()21x f x e -=，则()()20070f =_______．5．若()()x f x f =-，在区间()+∞,0内，()()0,0>''>'x f x f ，则()x f 在 区间()0,∞-内A ．()()0,0<''<'x f x fB ．()()0,0>''>'x f x fC ．()()0,0<''>'x f x fD ．()()0,0>''<'x f x f6．设参数方程⎩⎨⎧-=+=.13,122t y t x 所确定的函数为()x y y =，则=22dx yd _______． 7．设函数()y y x =由参数方程33cos ,sin x t y t ⎧=⎨=⎩确定，则224|t d ydx π==（ ）A ．2-B ．1-C ．D 三、导数的几何意义1．函数31xy x=+在(2,2)点处的切线方程为________． 2．曲线x x y ln =平行于直线01=+-y x 的切线方程是 A ．1-=x y B ．()1+-=x y C ．1+-=x y D ．()()11ln -+=x x y 3．曲线x y ln =上点)0,1(处的切线方程为________．4．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为5．过曲线arctan x y x e =+上的点()0,1处的法线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．220x y -+= C ．210x y --= D ．220x y +-=6．曲线sin 2,cos ,x t y t =⎧⎨=⎩在4t π=对应点处的切线方程为（ ）A ．2x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =- 四、导数的应用 1、中值定理1-1中值定理1．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）A ． x y e =B ．ln ||y x =C ．21y x =-D ．21y x =2．函数()22f x x x =--在区间[]0,2上使用拉格朗日中值定理时，结论中的ξ= _______．3．判断：()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b ≠，一定不存在(),a b ξ∈，使得()0.f ξ'=（ ）4．设()x f 在[],a b 上连续，且不是常数函数，若()()f a f b =，则在(),a b 内（ ） A ．必有最大值或最小值 B ．既有最大值又有最小值C ．既有极大值又有极小值D ．至少存在一点ξ，使得()0.f ξ'= 5．设()f x '在[],a b 上连续，存在,m M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： ()()()()212121m x x f x f x M x x -≤-≤-.6．设函数()x f 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 )内可导，且()().21,00==f f 证明：在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点x ，使得().12+='ξξf1-2中值定理推论1．设[]1,1-∈x ，则=+x x arccos arcsin （ ） A ．2π B ．4πC ．0D ．1 2．已知()x xd e f x e dx -⎡⎤=⎣⎦，且()00f =，则()f x =（ ） A ．2x x e e + B ．2x x e e - C ．2x x e e -+ D ．2x x e e --2、单调性、极值与最值2-1单调性及其应用1．函数()f x x =_______. 2．方程01sin =-+x x 在区间()1,0内根的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32-2极值1．若函数()2f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =_______，b =_______．2．下列说法正确的是（ ）A ． 函数的极值点一定是函数的驻点B ．函数的驻点一定是函数的极值点C ．二阶导数非零的驻点一定是极值点D ．以上说法都不对3．若函数()x f 在区间()b a ,内连续，在点0x x =处不可导，()b a x ,0∈ ，则 A ．0x 是()x f 的极大值点 B ．0x 是()x f 的极小值点 C ．0x 不是()x f 的极值点 D ．0x 可能是()x f 的极值点 4． 若()()0,000>''='x f x f ，则下述表述正确的是（ ）A ．0x 是()x f 的极大值点B ．0x 是()x f 的极小值点C ．0x 不是()x f 的极值点D ．无法确定0x 是否为()x f 的极值点 2-3最值1．靠一堵充分长的墙边，增加三面墙围成一矩形场地，在限定场地面积为642m 的条件下，问增加的三面墙各长多少时，其总长最小2．要做一个容积为V 的圆柱形带盖容器，问它的高与底面半径的比值是多少时 用料最省？3．求点()1,0P 到抛物线2x y =上点的距离的平方的最小值.3、凹凸性、拐点1．设()x f 在区间()b a ,内有()()0,0<''>'x f x f ，则()x f 在区间()b a ,内（ ） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的 C ．单调减少且凸的 D ．单调增加且凹的2．曲线31x y +=的拐点为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()0,0D ．()1,1 3．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）A ． 0x =B ．()0,2-C ．无拐点D ．0,2x y ==-4．函数sin y x x =-在区间()0,2π内单调________，其曲线在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的凸凹性为________的．5．曲线42246y x x x =-+的凸区间为（ ）A ．()2,2-B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),-∞+∞ 6．曲线x xe y -= 的拐点为A ．1=xB ．2=xC ． ⎪⎭⎫⎝⎛22,2e D ．⎪⎭⎫⎝⎛e 1,11,4、洛必达法则1．312cos limsin()3x x x ππ→-=-A ．1B ．0 CD．2．求011lim .1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭3．计算sin 0lim x x x +→4．sin lim sin x x x x x →∞+-（洛必达法则）1cos sin limlim 11cos sin x x x xx x→∞→∞+-===--.（）5、渐近线1．曲线2232xx y -=的水平渐近线为（ ） A ．32=y B ．32-=y C ．31=y D ．31-=y 2．曲线1|1|y x =-（ ） A ．只有水平渐进线；B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线；C ．只有垂直渐近线；D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线.3．曲线xe y x=（ ）A ．仅有水平渐进线B ．既有水平渐进线，又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平渐进线，又无垂直渐近线4．曲线35arctan 2+=xxy A ．仅有水平渐近线 B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线5．方程xy 1arcsin = 所表示的曲线（ ）A ．仅有水平渐近线B ．仅有垂直渐近线C ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D ．既无水平渐近线，又无垂直渐近线。
专升本高等数学一(一元函数微分学)模拟试卷3
专升本高等数学一（一元函数微分学）模拟试卷3(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.设函数f(x)在x=0，则（分数：2.00）A.f(0)=0且f －' (0)存在B.f(0)=1且f －' (0)存在C.f(0)=0且f ＋' (0)存在√D.f(0)=1且f ＋' (0)存在解析：解析：因为f(x)在x=0处连续，且=1，所以f(0)=0．从而有＋' (0)，故选C．2.设f(x)=e 2 + ，则f '（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：f ' (x)=(e 2 ) '3.设函数f(x)=xsinx，则f '（分数：2.00）B.1 √D.2π解析：解析：因为f ' (x)=sinx+xcosx，所以．4.函数x=0处 ( )（分数：2.00）A.连续且可导B.连续且不可导√C.不连续D.不仅可导，导数也连续解析：解析：因为=0=f(0)，所以函数在x=0处连续；所以函数在x=0处不可导．5.设y=x 2 +2x一1(x＞0)，则其反函数x=φ(y)在y=2处导数是（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：解析：y=x 2 +2x一1(x＞0)，y ' =2x+2，y=2时，x=1或x=一3(舍)，y ' (1)=4，所以x=φ(y)在y=2处的导数为φ'，故选A．6.已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0，则在点x=0处f(x) ( )（分数：2.00）A.不可导B.可导且f(0)≠0C.取得极大值D.取得极小值√解析：解析：因为＞0，由极限的保号性知，存在x=00，因此在该邻域内有f(x)＞f(0)，所以f(x)在x=0处取极小值，故选D．7.函数y=e x +arctanx在区间[一1，1]上 ( )（分数：2.00）A.单调减少B.单调增加√C.无最大值D.无最小值解析：解析：因y ' =e x0处处成立，于是函数在(－∞，+∞)内都是单调增加的，故在[一1，1]上单调增加，在区间端点处取得最值．8.设函数f(x)满足关系式f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x，且f ' (0)=0，则 ( )（分数：2.00）A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点√D.f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点解析：解析：由f ' (0)=0及f '' (x)+[f ' (x)] 2 =x知f '' (0)=0且f '' (x)=x一[f ' (x)] 2，又x，f' (x)可导，所以f '' (x)可导，于是f ''' (x)=1—2f ' (x)f '' (x)，f ''' (0)=1＞0，而f '''，故f '' (x)在x=0左、右两侧异号，故选C．9.设f(x)在[0，a]上二次可微，且xf ' (x)一f(x)＜0，则(0，a)内是 ( )（分数：2.00）A.单调减少√B.单调增加C.有增有减D.不增不减(0，a)内单调减少．10.点(0，1)是曲线y=ax 3 +bx 2 +c的拐点，则有 ( )（分数：2.00）A.a=1，b=一3，c=1B.a≠0，b=0，c=1 √C.a=1，b=0，c为任意D.a、b为任意，c=1解析：解析：(0，1)在曲线上，所以c=1，y ' =3ax 2 +2bx ，y '' =6ax+2b ，(0，1)为拐点，所以y ''(0)=0，得a≠0，b=0，故选B ．二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设f '(x)=g(x)，则2x)]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：g(sin 2x)sin2x ）解析：解析：2 x)]=f ' (sin 2 x)．(sin 2 x) ' =2sinxcosxf ' (sin 2 x)=sin2xg(sin 2x)．12.设y=(3x+1) 27，则y (27)= 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3 27．27！）解析：解析：对于形如y=(ax+b) n的函数，其k 阶导为y (k)k (ax+b) n －k，对于此题n=k=27，a=3，b=1，所以y (27)=27！．3 27 ． 13.若f '(x 0 )=1，f(x 0 )=0，则= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：一1）解析：解析：－f '(x 0 )=－1．14.函数F(x)=∫ 1 x(2－＞0)的单调递减区间是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0＜x ＜[*]）解析：解析：由F(x)=∫ 1 x(2一 )dt(x ＞0)，则F '(x)=2一． 令F '(x)=0，得时，F '(x)＜0，F(x)单调递减．15.设点(x 0 ，f(x 0 ))是曲线y=f(x)的拐点，且f ''(x 0 )≠0，则f ''(x 0 )必定 1． （分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：不存在） 解析：解析：拐点是二阶导数为0的点或是二阶导数不存在的点．三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.当h→0，f(x 0 +3h)一f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，求f '(x 0 )． （分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为h→0，f(x 0 +3h)－f(x 0 )+2h 是h 的高阶无穷小量，即 所以，3f '(x)+2=0，即f '(x 0．)解析：17.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x 一a[一1)]=x +2a ．)解析：18.设f(x)在x=1处有连续导数，且f ' (1)=2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设y=y(x)由所确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：，由隐函数求导)解析：20.计算lnl．01的近似值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f '(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f ' (1)．0．01=0+1．0．01=0．01．)解析：给定曲线 4.00）(1).求曲线在横坐标为x 0的点处的切线方程；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由y ' = 可知曲线y= 在横坐标为x 0的点处的切线方程为) 解析：(2).求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由切线方程y一(x—x 0 )分别令y=0，x=0可求得该切线在x轴，y轴上的截距分别为设该切线被两坐标轴所截线段长度为L，则L 2=X 2＋Y 2= ．令=0，得驻点x 0 = ．由此可知，L 2在x 0 = 处取得极小值，即最小值，)解析：21.设f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)=0，证明：至少存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)+f ' (ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因[e x f(x)] ' =e x f(x)+e x f ' (x)=e x [f(x)+f ' (x)]，故设F(x)=e x f(x)，显然F(x)在[a，b]上连续且可导，F(a)=F(b)=0．由罗尔定理，至少存在ξ∈(a，b)，使F ' (ξ)=0．即e ξ [F(ξ)+f ' (ξ)]=0，e ξ＞0，则f(ξ)+f ' (ξ)=0．)解析：22.设f(x)在[0，c]上有定义，f ' (x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f ' (ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有f(a)=af '(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得f(b+a)=f(b)+f '(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f '(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f '(ξ)＞f '(η)，而a≥0，故af '(ξ)≥af ' (η)，于是f(a+b)≤f(b)+af ' (ξ)=f(b)+f(a)．)解析：23.证明：当0＜x sinx+tanx＞2x．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设f(x)=sinx+tanx一2x，f ' (x)=cosx+sec 2 x一2， f '' (x)=一sinx+2sec 2xtanx=sinx(2sec 3 x一1)＞0，x∈(0，)，因此f ' (x)单调增加，故f ' (x)＞f ' (0)=0，因此f(x)单调增加，故f(x)＞f(0)=0，即sinx+tanx＞2x,x∈(0，)．)解析：24.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，，证明至少存在一个ξ∈(0，1)，使f ' (ξ)=1．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令F(x)=f(x)一x，则有F(0)=f(0)一0=0，F(1)=f(1)一1=一1＜0，＞0．又F(x)在[ ，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈( ，1)，使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η(0，1)，使F ' (ξ)=0，f ' (ξ)=1．)解析：25.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr 2h+ πr 3，S=3πr 2+2πrh，经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h= ，所以底面半径和直圆柱的高均为时，S有最小值．)解析：。
专升本高等数学考试大纲
XX 市普通高校“专升本”统一选拔考试大纲《高等数学》（2019年版）（考试科目代码20）Ⅰ、考试大纲适用对象及考试性质本大纲适用于XX 市普通高校“专升本”的理工类和经济类考生。
“专升本”考试结果将作为XX 市普通高校高职高专学生申请“专升本”的成绩依据。
本科院校根据考生考试成绩，按照已确定的招生计划择优录取。
因此，该考试应具有较高的 信度、效度，必要的区分度和适当的难度。
Ⅱ、考试内容及要求一、一元函数微分学1．理解函数概念，知道函数的表示法；会求函数的定义域及函数值。
2．掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。
3．理解复合函数与反函数的定义，会求单调函数的反函数。
4．掌握基本初等函数的性质与图像，了解初等函数的概念。
5．理解极限概念及性质，掌握极限的运算法则。
6．理解无穷小量与无穷大量的概念及两者的关系，掌握无穷小量的性质和无穷小量的比较。
7．了解夹逼准则与单调有界准则，掌握两个重要极限：0sin lim 1x x x→=，()10lim 11x x x →+=。
8．理解函数连续与间断的定义，理解函数间断点的分类，会利用连续性求极限，会判别函数间断点的类型。
9．理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理、介值定理，并会用上述定理推证一些简单命题。
10．理解导数的定义及几何意义，会根据定义求函数的导数。
11．理解函数的可导与连续的关系。
12．熟练掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则、隐函数求导法、对数求导法及参数方程求导法，了解反函数的求导法则。
13．了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的一阶和高阶导数的求法。
14．理解微分的定义、可微与可导的关系，了解微分的四则运算法则及一阶微分形式的不变性；会求函数的微分。
15．理解罗尔（Rolle ）定理、拉格朗日中值（Lagrange ）定理，了解柯西（Cauchy ）中值定理和泰勒（Taylor ）中值定理。
会用罗尔定理证明方程根的存在性，会用拉格朗日中值定理证明一些简单不等式。
成人高考专升本数学一知识点
成人高考专升本数学一知识点一、函数、极限和连续。
1. 函数。
- 函数的概念。
- 设D是非空实数集，如果对于D中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在实数集R中都有唯一确定的数y与之对应，则称f:D→ R是定义在D上的一个函数，记作y = f(x),x∈ D。
x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数的值域。
- 函数的性质。
- 单调性：设函数y = f(x)在区间I上有定义，如果对于区间I上任意两点x_1,x_2，当x_1时，恒有f(x_1)（或f(x_1)>f(x_2)），则称函数y = f(x)在区间I上是单调增加（或单调减少）的。
- 奇偶性：设函数y = f(x)的定义域D关于原点对称，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称y = f(x)为偶函数；如果对于任意x∈ D，都有f(-x)= - f(x)，则称y = f(x)为奇函数。
- 周期性：设函数y = f(x)的定义域为D，如果存在一个正数T≠0，使得对于任意x∈ D，有x + T∈ D且f(x+T)=f(x)，则称y = f(x)是周期函数，T称为函数y = f(x)的周期。
通常我们说的周期是指最小正周期。
- 有界性：设函数y = f(x)在区间I上有定义，如果存在正数M，使得对于任意x∈ I，都有| f(x)|≤ M，则称函数y = f(x)在区间I上有界；否则称函数y = f(x)在区间I上无界。
- 反函数。
- 设函数y = f(x)的定义域为D，值域为W。
如果对于W中的任意一个y，在D中有唯一确定的x使得y = f(x)，则在W上定义了一个函数，这个函数称为y =f(x)的反函数，记作x = f^-1(y)。
习惯上，我们把y = f(x)的反函数记作y = f^-1(x)。
- 复合函数。
- 设函数y = f(u)的定义域为D_1，函数u = g(x)的定义域为D_2，且g(x)的值域R_2⊆ D_1，则由y = f(u)和u = g(x)复合而成的函数y = f(g(x))称为复合函数，u称为中间变量。
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)
专升本高等数学(二)-一元函数微分学(一)(总分：94.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：4，分数：8.00)1.已知函数y=x5+3x4，则y'|x=2=______。
∙ A.8∙ B.176∙ C.7∙ D.186（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：2.若下列各极限都存在，其中等式不成立的是______ A． B． C． D （分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 利用导数f(x)在点x0处的定义进行判断。
选项A中，[*]，原等式成立。
选项B中，[*]，原等式成立。
选项C中，[*]，原等式不成立。
选项D中，[*]，原等式成立。
3.已知函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=2______∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.4（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] [*]。
4.设f(x)在x0处不连续，则______A．f'(x0)必存在 B．f'(x0)必不存在C．必存在 D（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 根据函数的可导与连续的关系可知，f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导。
二、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：8，分数：24.00)5.(2，3)处的切线方程是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：6.函数y=4x3-9x2+6x+1的驻点是 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]，1）解析：7.f'(0)=______。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*] 依题意，有[*]，于是有[*]。
8.曲线y=e-x在点(0，1)处的切线的斜率k为 1。
（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：-1）解析：[解析] y'=(e-x)'=-e-x，根据导数的几何意义有，k=y'|x=0=-e0=-1。
专升本高等数学二(一元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学二（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．cos x的一个原函数是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：+C(C为任意常数)，可知当C=0时，cos x的一个原函数是，故选B．知识模块：一元函数积分学2．经过点(1，0)且在其上任一点x处的切线斜率为3x2的曲线方程是( )A．y=x3一1B．y=x2一1C．y=x3+1D．y=x3＋C正确答案：A解析：因为y’=3x2,所以y=∫y’dx=x3+C，又过点(1，0)，所以C=一1．知识模块：一元函数积分学3．已知∫f(x2)dx=+C，则f(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：∫f(x2)dx=+C，两边求导得f(x2)=，所以f(x)=．知识模块：一元函数积分学4．∫xf(x2)f’(x2)dx= ( )A．f2(x2)+CB．f2(x2)+CC．f(x2)+CD．4f2(x2)+C正确答案：A解析：∫xf(x2)f’(x2)dx=∫f(x2)f’(x2)d(x2)=∫f(x2)df(x2)=f2(x2)＋C．知识模块：一元函数积分学5．∫－11(3x2+sin5x)dx= ( )A．一2B．一1C．1D．2正确答案：D解析：∫－11(3x2+sin5x)dx=3∫－11x2dx+∫－11sin5xdx，因为f1(x)=x2为偶函数，所以∫－11x2dx=2∫01x2dx=，因为f2(x)=sin5x为奇函数，所以∫－11sin5xdx=0．故∫－11(3x2+sin5x)dx=×3=2．知识模块：一元函数积分学6．∫0xetdt= ( )A．exB．ex一1C．ex－1D．ex＋1正确答案：A解析：因为∫axf(t)dt=f(x)，故∫0xetdt=ex．知识模块：一元函数积分学7．设f(x)连续，则(∫0xtf(x2－t2dt)= ( )A．xf(x2)B．一xf(x2)C．2xf(x2)D．一2xf(x2)正确答案：A解析：∫0xtf(x2一t2)dt f(μ)dμ．则[∫0xtf(x2－t2)dt]=[∫0x2f(μ)dμ]=xf(x2)，故选A．知识模块：一元函数积分学8．设函数f(x)=∫0xet2dt，则f’(0)= ( )A．0B．1C．2D．e正确答案：B解析：因为f(x)=∫0xet2dt，所以f’(x)=ex2，f’(0)=1．知识模块：一元函数积分学9．由曲线y=，直线y=x，x=2所围面积为( )A．∫12(一x)dxB．∫12(x一)dxC．∫12(2一)dy+∫12(2一y)dyD．∫12(2一)dx+∫12(2一x)dx正确答案：B解析：曲线y=与直线y=x，x=2所围成的区域D如图3—4所示，则SD=∫12(x一)dx．知识模块：一元函数积分学填空题10．=_________．正确答案：x—arctanx+C解析：=x—arctanx+C．知识模块：一元函数积分学11．已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则定积分∫01xf’’(x)dx的值等于_________．正确答案：2解析：∫01xf’’(x)dx=∫01xdf’(x)=xf’(x)｜01－∫01f’(x)dx=f’(1)一[f(1)一f(0)]=3—2+1=2．知识模块：一元函数积分学12．设f(x)=e－x，则∫12dx=________．正确答案：解析：由f(x)=e－x知，f’(x)=一e－x，因此f’(lnx)=，所以．知识模块：一元函数积分学13．当p_________时，反常积分∫1＋∞dx收敛．正确答案：＜0解析：=xp－1，∫0＋∞dx＜∫0＋∞xp－1dx=xp｜0＋∞，只有当P＜0时，∫0＋∞xp－1dx才收敛，也即∫0＋∞dx收敛，故p ＜0时，∫0＋∞dx收敛．知识模块：一元函数积分学14．由y=x3与y=所围成的图形绕Ox轴旋一周所得旋转体的体积为________．正确答案：解析：交于点(0，0)，(1，1)，故绕Ox轴旋转一周所得旋转体的体积为V=π∫01(x－x6)dx=．知识模块：一元函数积分学解答题15．求∫(x—ex)dx．正确答案：∫(x－ex)dx=∫xdx－∫exdx=一ex+C．涉及知识点：一元函数积分学16．计算．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学17．求∫x2exdx．正确答案：∫x2exdx=∫x2dex=x2ex一∫2xexdx=x2ex一2∫xdex=x2ex一2(xex－∫exdx)=x2ex一2xex+2ex+C．涉及知识点：一元函数积分学18．计算．正确答案：令x=2sint，如图3—3，t∈，则dx=2costdt，涉及知识点：一元函数积分学19．求．正确答案：=sin1．涉及知识点：一元函数积分学20．设∫1＋∞(—1)dx=1，求常数a，b．正确答案：由此积分收敛知，应有b一a=0，即b=a，故ln(1+a)=1，所以1+a=e，a=e一1，且b=e一1．涉及知识点：一元函数积分学21．若f(x)=∫01f(t)dt，求f(x)．正确答案：设∫01f(t)dt=k，则两边同时在[0，1]上定积分得求得k=．涉及知识点：一元函数积分学22．已知∫0x(x一t)f(t)dt=1一cosx，证明：∫0f(x)dx=1．正确答案：因∫0x(x—t)f(t)dt=1一cosx，于是有∫0xx．f(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，即x．∫0xf(t)dt—∫0xtf(t)dt=1一cosx，两边求导得∫0xf(t)dt+xf(x)一xf(x)=sinx，从而有∫0xf(t)dt=sinx，故=1．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=x2，23．求该曲线在点(1，1)处的切线方程；正确答案：因为y’=2x，所以在点(1，1)处的切线方程为y=2(x一1)+1=2x 一1；涉及知识点：一元函数积分学24．求该曲线和该切线及直线y=0所围成的平面图形的面积S；正确答案：S=∫01；涉及知识点：一元函数积分学25．求上述平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：V=∫01π(x2)2dx一．涉及知识点：一元函数积分学已知曲线y=(a＞0)与曲线y=在点(x0，y0)处有公共切线，求26．常数a及切点(x0，y0)；正确答案：由题设条件可得解此方程组可得a=，x0=e2，y0=1，于是切点为(e2，1)．涉及知识点：一元函数积分学27．两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．正确答案：画出曲线y=的图形，则两曲线与x轴围成的平面图形(如图3—7)的面积S=∫01(e2y一e2y2)dy=．涉及知识点：一元函数积分学。
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2
专升本高等数学(一)-一元函数积分学(五)-2(总分：100.12，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.下列等式成立的是______A．∫f"(x)dx=f(x)B．C．d∫f"(x)dx=f"(x)dxD．d∫f"(x)dx=f"(x)dx+c（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：2.下列函数对中是同一函数的原函数的是______（分数：2.00）A.lnx2与ln2xB.sin2x与sin2xC.2cos2x与cos2x √D.arcsinx与arccosx解析：3.设F(x)______（分数：2.00）A.F(x)=ln(cx)(c≠0)B.F(x)=lnx+ecC.F(x)=ln3x+cD.F(x)=3lnx+c √解析：4.∫ln(2x)dx等于______A．2xln(2x)-2x+cB．2xln2+lnx+cC．xln(2x)-x+cD．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：5.设∫f"(x 3 )dx=x 3 +c，则f(x)等于______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：二、填空题(总题数：9，分数：9.00)6.通过点(1，2)的积分曲线y=∫3x 2 dx如的方程是 1．（分数：1.00）解析：y=x 3 +17.设∫f(x)dx=2 x +cosx+c，则f(x)= 1．（分数：1.00）解析：2 x ln2-sinx8.设∫f(x)dx=x 2 +c，则∫xf(1-x 2 )dx= 1．（分数：1.00）．（分数：1.00）10.∫xdf"(x)= 1．（分数：1.00）解析：xf"(x)-f(x)+c11.∫cot 2 xdx= 1．（分数：1.00）解析：-x-cotx+c．（分数：1.00）．（分数：1.00）＞0)．（分数：1.00）三、解答题(总题数：1，分数：81.00)求下列不定积分（分数：81.12）2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(14).∫cos 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(15).∫sin2xcos4xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(26).∫xln(x-1)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(27).∫(lnx) 2 dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：x(lnx) 2 -2xlnx+2x+c(28).∫x 2 e -x dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：-(x 2 +2x+2)e -x +c(29).∫xsin 2 xdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(31).∫sin(lnx)dx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(32).∫arct anxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(34).∫xsinxcosxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()(35).∫e ax coxbxdx．（分数：2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()2.08）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()。
专升本高等数学一(一元函数积分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
专升本高等数学一（一元函数积分学）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．下列等式中正确的是( )A．∫f’(x)dx=f(x)B．d∫df(x)=f(x)+CC．∫f(x)dx=f(x)D．d∫f(x)dx=f(x)正确答案：C解析：A项：∫f’(x)dx=∫df(x)=f(x)+C；B项：d∫df(x)=d(f(x)+C)=f’(x)dx；D项：d∫f(x)dx=f(x)dx，故选C．知识模块：一元函数积分学2．设∫f(x)dx=x2+C，则∫xf(1一x2)dx= ( )A．－2(1一x2)2+CB．2(1一x2)2+CC．一(1一x2)2+CD．(1一x2)2+C正确答案：C解析：∫xf(1－x2)dx=∫f(1－x2)d(1－x2)=一(1一x2)2+C．知识模块：一元函数积分学3．设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫cosxf(sinx)dx= ( )A．F(cosx)+CB．F(sinx)+CC．一F(cosx)+CD．一F(sinx)+C正确答案：B解析：∫cosxf(sinx)dx=∫f(sinx)dsinx∫f(μ)dμ=F(μ)+C=F(sinx)+C．知识模块：一元函数积分学4．不定积dx= ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：+C，故选A．知识模块：一元函数积分学5．若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则下列结论中正确的是( )A．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0B．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=0C．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)D．在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b一a)正确答案：D解析：由积分中值定理可知，在闭区间上连续的函数在其开区间内至少存在一点ξ，使得∫abf(x)dx=f(ξ)(b—a)．知识模块：一元函数积分学6．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由∫1＋∞dx当p≤1时发散，p＞1时收敛，可知应选D，容易看出A选项发散；B选项∫1＋∞=+∞，故此积分发散；对于C选项，由∫1＋∞lnxdx=∫1＋∞lnxd(lnx)=(lnx)2｜∫1＋∞=＋∞，故此积分发散．知识模块：一元函数积分学7．若广义积分∫0＋∞dx=1，其中k为常数，则k= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：因为∫0＋∞．知识模块：一元函数积分学8．设F(x)=∫xx＋2πesintsintdt，则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以∫xx＋2πesintsintdt=∫02πesintsintdt=∫02πesintd(－cost)=一esintcost｜02π一∫02π(—cost)esintcostdt=∫02πesintcos2tdt，又esinxcos2x≥0，故选A．知识模块：一元函数积分学填空题9．=_________．正确答案：解析：，令tanx=μ，则原式=＋C．知识模块：一元函数积分学10．=_________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学11．说明定积分∫－11dx的几何意义，并求其值_________．正确答案：曲线y=与x轴围成图形的面积，其值为解析：容易知道，题述定积分表示曲线y=与x轴围成的图形的面积，即以原点为圆心，1为半径的上半圆的面积，故原式=．知识模块：一元函数积分学12．∫0＋∞dx=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．设f(x)=则∫－22f(x)dx=_______．正确答案：解析：∫－22f(x)dx=∫－20dx+∫01(x+1)dx+∫122xdx =2＋｜01＋x2｜12=2＋2－＋4－1=．知识模块：一元函数积分学14．函数y=一图像上点(2，一1)处的切线与坐标轴所围成图形的面积为________．正确答案：4解析：y’(x)=，y’(2)=，所以函数在点(2，一1)处的切线为y一(一1)=(x 一2)，即y=—2，切线与两坐标轴的交点分别为(0，一2)，(4，0)，所以切线与两坐标轴所围成图形面积为知识模块：一元函数积分学解答题15．设f(x)的原函数F(x)＞0，且F(0)=1，当x≥0时，F(x)f(x)=sin22x，求f(x)．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学16．求∫ln(1+x2)dx．正确答案：∫ln(1+x2)dx=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一=xln(1+x2)一2(x—arctanx)+C．涉及知识点：一元函数积分学17．设∫xf(x)dx=arcsinx+C，求．正确答案：原式两边对x求导，得xf(x)=，因此涉及知识点：一元函数积分学18．已知由∫0yet2dt=∫0x2costdt+cosy2确定y是x的函数，求dy．正确答案：等式两边对x求导得，ey2．y’=cox2．2x＋(一siny2)．2yy’，所以y’=．涉及知识点：一元函数积分学19．求在t=1处的切线方程．正确答案：由dy=，而t=1时，y=a，x=∫01，故切线方程为y一a=x．涉及知识点：一元函数积分学20．计算∫0xt2et2dt．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学21．求定积分∫01exsinxdx．正确答案：∫01exsinxdx=∫01sinxdex=exsinx｜01一∫01exd(sinx)=esin1一∫01excosxdx=esin1一∫01cosxdex=esin1—excosx｜01+∫01exd(cosx)=esin1－ecos1+1－∫01exsinxdx．从而∫01exsinxdx=(esin1—ecos1+1)．涉及知识点：一元函数积分学设函数f在[a，b]上连续，且f(x)＞0，若F(x)=∫axf(t)dt+∫bx dt，证明：22．F(x)为[a，b]上的严格单调递增函数；正确答案：因为F’(x)=+2≥2，所以F(x)在[a，b]上严格单调增加．涉及知识点：一元函数积分学23．方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．正确答案：因为F(a)=∫ba dt=—∫ab dt＜0，F(b)=∫abf(t)dt＞0，所以由闭区间上连续函数的根的存在性定理可知，方程F(x)=0在(a，b)内至少存在一个根，又由于F(x)在[a，b]上严格单调增加，所以方程F(x)=0在(a，b)内有且只有一个根．涉及知识点：一元函数积分学24．求由曲线y=x2(x≥0)，直线y=1及y轴围成的平面图形的面积．正确答案：y=x2(x≥0)，y=1及y轴围成的平面图形D如图3—5所示．其面积为S=∫01(1一x2)dx=(x－x3)｜01=．涉及知识点：一元函数积分学25．曲线y=ax－x2(a＞0)与x轴围成的平面图形被曲线y=bx2(b＞0)分成面积相等的两部分，求a，b的值．正确答案：由ax一x2=bx2得两条曲线交点的横坐标为x1=0，x2=．由题设有(ax一x2一bx2)dx=∫0a(ax一x2)dx，即，a为大于零的任意常数．涉及知识点：一元函数积分学。
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第四章 一元函数积分学不定积分部分一．原函数的概念例1.下列等式成立色是（ ）()()().;A f x dx f x '=⎰ ()()().;B df x dx f x =⎰()()().;dC f x dx f x dx=⎰ ()()()..D d f x dx f x =⎰ 例2．下列写法是否有误，为什么？()1.ln c dx e e xx +=⎰（c 为任意正常数）()2 ).0(1332≠+=⎰c cdx xx ()3 .arccos arcsin 12c x c x dx dx x+-=+=-⎰例3.下列积分结果正确吗？()211sin .cos sin ;2x xdx x C =+⎰√ ()212sin .cos cos ;2x xdx x C =-+⎰√()13sin .cos cos 2.2x xdx x C =-+⎰√例3说明不定积分的结果具有形式上的多样性。
二.直接积分法利用不定积分的性质及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 例4．求().arctan 31111113222424c x x dxdx dx dx xxx xx xx ++-=++-=++-=+⎰⎰⎰⎰例5．求.sin 212cos 212cos 12sin2c x x xdx dx dx x dx x +-=-=-=⎰⎰⎰⎰ 例6．求.tan 44422csc sin cos sin 2222c x c xdx x dx xx dx +-===⎰⎰⎰ 例7．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰， 所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f 例8．设())0.(12/>=x xx f，求()x f .解：()())0(11/22/>=⇒=x xx f xx f ， ()).0(2121>+===⎰⎰-x c x dx dx xx f x 二．不定积分的第一换元法利用直接积分法所能求得的不定积分是非常有限的.为了求出一般函数 的不定积分，还需要使用各种专门的方法和技巧.下面先回顾第一换元积分公 式.这种方法是通过适当的变量替换，把所求的不定积分化为较易积分的形式. 若已知()()C u F du u f +=⎰，()x u ϕ=可微，则有换元公式： ()[]()()[]./C x F dx x x f +=⎰ϕϕϕ例9.求()c x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 3123233123. 例10.求()c xd x dx x xe x e e +-=--=---⎰⎰22221212.例11．求()()()()c x d dx x x x x +==⎰⎰ln ln ln 32231ln . 例12．求()()()()()()c x f x f x f d dx x f x f +==⎰⎰||ln /.例13．求()c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰|cos |ln cos cos cos sin tan . 例14．求()c x x x d dx x x xdx c +===⎰⎰⎰|sin |ln sin sin sin cos tan . 例15．c a x a a x ad dx dx a x a a x a a x +=+⎪⎭⎫⎝⎛=+=+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛arctan 1111111222222.例16．求c axa x ad a dx a dxa x a x xa+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛arcsin 11112222.例17.()()2211111ln ||.22dxx adx dx C x a x a a x a x a a x a xa-⎡⎤==-=+⎢⎥-+-++⎣⎦-⎰⎰⎰例18．c ax ax a dx xa +-+=-⎰||ln 21122. 22212sec cos 21222sec cos secxdx dxxdx dx x xx ===--⎰⎰⎰⎰ 22tan tan 122ln ||1tan 122tan x x d c xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+--⎰. 注意：进一步化简可得到c x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec . 例19．⎰+-=c x c x xdx |tan csc |ln csc 。
————（26）例20．c x x dx x xdx ++=+=⎰⎰2sin 41222cos 1cos 2。
例21．c x x dx x x xdx +-=-=⎰⎰3cos 1214sin 343cos cos 3cos 3另解：()()c x x x d x xdx x xdx +-=-==⎰⎰⎰sin sin cos cos 322331sin sin 1cos 。
例22 .[]...22cos 2141cos 22cos 1cos 224=++==⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+⎰dx x x dx xdx x 例23．()c x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰sin 21105sin cos 5cos 212cos 3cos 。
例24.()()()x d x xd xdx x x x sec 2sec 1sec sectan sec tan 22435⎰-⎰⎰===...例25．()()c d xdx x x x x+=+=+⎰⎰2224arctan 2121211例26.()()()()⎰⎰⎰⎰+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=-xx x x x x x d d dx x xdx2121211221211111212222448=c x x x +-+-222arctan 41|11|ln 21.41例27．()()dx dx dx dx x x x x xx x x ⎰⎰⎰⎰++++-=+++-=+42424224112111********* =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++++---2112121121112222x x x x x x=()()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-21212222121121x x x x x x d x x d=.21arctan 2121|2121|ln 221.21c x x xx x x +-+++-+- 例28．().|1|ln 5111511555566c d dx x dx x x x xx x ++-=++-=+=+-----⎰⎰⎰ 例29．().1|ln 11111c d dx dx eee eeexxxxxx+++=++-=+=+-----⎰⎰⎰三不定积分的第二换元法前面我们讲了第一换元法（又称凑微分法），但并非对所有的不定积分都能使用此方法，即凑微分法失效.有时对有些不定积分采用相反的变量替换，将会达到简化计算的目的.这就是第二换元法..设()t x ψ=是单调（保证它有反函数）可导的，并且()0/≠t ψ，又设()[]()()c t dt t t f +=⎰φψψ/，则()().1c x dx x f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⎰ψφ 例30.求)0(22>-⎰a dx x a解：令⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2(,sin ππt t a x ，则tdt a dx cos =原式=tdt t tdt a t aaacos cos cos sin22222⎰⎰=-=c t t dt ttdt a a a a ++=+=⎰⎰2sin 4222cos 122222cos=c xa x x aa +-+22221arcsin 2.注意：因为t a x sin =为周期函数，故如限制⎪⎭⎫⎝⎛∈23,2ππt 也行.以后作题,我 们不再指明t 的限制范围. 例31.求⎰+ax dx22解：令⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,2,tan ππt t a x ，则tdt a dx sec 2=原式=().||ln |tan sec |ln sec 1122222sec tan c x t t dt t tdt a t a xa +++=+==+⎰⎰注意：这里的最后一步在换回用原变量表示时，要借助于直角三角形。
称此法为整体代换法. 例32.求⎰-ax dx22解：令,sec t a x =，则tdt t a dx tan sec = 原式=sec tan sec ln |sec tan |t tdt tdt t t ==+⎰ln |x c =+.例33．求)1(12>-⎰x xdx x解：.1arcsin arcsin 11122c xc t dt tx xdx tx+-=+-=--=-⎰⎰=============四.分部积分法分部积分公式()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰⎰-=. 使用此法的关键是正确选择()x u 和().v x例34.求dx x e x⎰解：取x u =，则c dx v dx dv e e e xxx+==⇒=⎰. 所以，c x dx x xd dx x e e e e e e xxxxxx+-=-==⎰⎰⎰。
注意：（1）如果取e xu =，则c dx x v xdx dv x+==⇒=⎰22。
所以， (22)22222222=-=-==⎰⎰⎰⎰dx d ddx x e x e x e x e x xe e xxxxx x显然，会愈加麻烦。
可见，用分部积分法，最关键的是要选择好合适的函数作为()x u .（2）根据我多年做题经验的总结，选u 的优先顺序是：反→对→多→三→指，按此顺序选择u ，一般都可行.例35.求.cos sin .sin sin .sin cos c x x x xdx x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰ 例36.求().1arcsin .1121arcsin .1arcsin .arcsin 2222c x x d x x dx xx x dx x x x x x +-+=--+=--=⎰⎰⎰例37.2xdx x e ⎰解：22222222xxx xx xx xxx e dx d x dx xd x dx x e xee xee xee e ⎡⎤==-=-=--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰=().22c x e e x xx+--例38.求⎰⎰+ex exxdxx dx 2解：⎰⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=---ex e e e e e x x x x x xdx x x d x d x x dx 21111， 所以，原式=.12c x dxx dx eex exxx+-=+⎰⎰例39.求()dx x e x1tan 22+⎰解：()22tan 1xdx x e+⎰()2222212tan 2tan tan secxxxx x dx xdx xdx eee =++=+⎰⎰⎰其中，xdx x xd x x d xdx e e e e e e xxxxx x tan 2tan .tan tan .tan 2222222sec⎰⎰⎰⎰-=-==所以，()c x dx ex exx+=+⎰tan 2221tan .注意：上述例5、例6的解法称为“相克法”法.例40.设())2,0(22≥>=⎰+n a dxa x I nn ，试给出递推公式。