北京市2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
两解，进而求解 的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档
试题.
14.如图所示，在长方体
中，
平面 交棱 于点 ，给出下列命题：.
，点 E 是棱 上的一个动点，若
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8
① 四棱锥
的体积恒为定值；
②存在点 ，使得
平面 ；
③存在唯一的点 ，使得截面四边形
的周长取得最小值；
，求得 .
，即可求得答案.
所以 函数 的最小正周期
.
函数
的单调递增区间为
.
由
得
（ ）.
所以 函数 的单调递增区间为
.
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10
（Ⅱ）因为
，所以
.
所以
.所以
.
所以 函数 在区间 上的取值范围是
.
【点睛】本题主要考查了三角函数 图象与性质，其中解答中根据三角恒等变换的公式化简
函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，
8.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形
是某几何体的表面展开图，对于
该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表
示），下列结论中正确的是
（）
A. 平面
B. 平面 平面
C. 平面
平面
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，得到该几何体表示一个正八面体,此时 GHIJ 分别与 CDEF 重合，利用正八面体的性
【详解】（Ⅰ）因为
,
,
，
所以 在△ 中，由
得：
.
因为
，所以
.
所以
.
（Ⅱ）因为 △ 的面积为 ，
所以
所以
.
在△ 中，由余弦定理得
所以
.
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11
. .
所以 △ 为等腰三角形.
所以
.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，及三角函数恒等变换的应用，同角三角函数 基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以 及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力， 属于基础题．
是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦定理转化为关于 的方程有两解可得 的取值范围，从 的范围中取值即可.
【详解】由余弦定理可得
，
即
有两解，
所以
有两解，所以
，
所以
，解得 ，又由
，
所以实数 的范围是
.
【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据余弦定理转化为关于 的方程有
的 属于基础题.
16.在△ 中，点 是 边上一点，
,
,
.
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若△ 的面积为 ，求
的值.
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） . 【解析】 【分析】
（Ⅰ）在△ 中，由正弦定理，求得
，再由三角函数的基本关
系式，即可求解；
（Ⅱ）因为 △ 的面积为 ，求得
，再在△ 中，由余弦定理，解得
，
得到 △ 为等腰三角形，利用倍角公式，即可求解.
2.已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则它的体积为
A.
B.
C.
（） D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，直接计算，即可得到答案.
【详解】由题意，正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则底面正方形的面积为
，
所以四棱锥的体积为
，故选 B.
【点睛】本题主要考查了棱锥的体积的计算问题，其中解答中熟记正四棱锥的性质，以及锥 体的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
的值是
4.已知直线 和平面 ，则下列四个命题中正确的是
（）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用面面垂直，面面平行和线面平行的性质，逐项判定，即可得到答案.
【详解】由题意，对于 A 中，若 ， ，则 与 可能平行，所以不正确；
17.已知四棱锥
的底面 是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求 的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形 是菱形，所以
根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为
.
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准
确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
10.在
中，
，则 =______.
【答案】
【解析】 【分析】
由正弦定理得 ，再由余弦定理得
，即可求解 B 角的大小，得到答案.
，点 是该球面上的一个动点 （）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 由 为球面上不共线的三点，故三点在同一平面内，设该平面与球的截面为圆 O，根据圆 的性质， 的大小取决于在圆 O 上弧 的长度所占圆 O 周长的比例，即可求解. 【详解】由题意，点 P 是该球面上的一个动点（不与 A、B 重合） 即点 P 与点 A、B 不共线，故三点确定一个平面，设该平面与球的截面为圆 O， 设 所对的弧的长度与圆 O 的周长之比为， 所以当最小时， 最小，当最大时， 最大， 根据球的性质得：①当圆 O 为球的大圆且弧 所对的弧是该大圆的劣弧时，此时弧 长
的体积为：
，则
和 都为定值，所以四棱锥
的体积恒为定值；
②中，连接 和 ，当
时，利用三垂线定理可得
,又由
，所
以
，利用线面垂直的判定定理，即可得到
平面 ，所以是正确的；
③中，根据棱柱的结构特质，可知四边形
为平行四边形，设
，
则
，令
，则
，
所以四边形
的周长为
，
当 时，周长有最小值，即当 为 的中点时，周长取得最小值，所以正确；
北京市 2020-2021 学年下学期高一期中考试数学试题
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.
等于
()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据两角和的正弦函数的公式，得到
，即可求
【解，得到答案. 【详解】根据两角和的正弦函数，可得 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了逆用两角和的正弦函数的公式化简、求值，其中解答中熟记两角和 的正弦函数的公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
沿对角线 折起，若折叠后平面 ⊥平面 ，
则此时点 之间的距离是__________________.
【答案】1
【解析】
【分析】
取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，证明 平面 ，得出
，利用勾股定理，即可求
解.
【详解】取 AC 的中点 O，连接 OB，OD，因为Fra bibliotek为 的中点，所以
，
因为平面
平面 ，平面
3.在 A.
中，
，， B.
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，则 等于 C.
1
() D.
【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理得
，求得 得值，即可得到角 C 的大小，得到答案.
【详解】在 中，由正弦定理得
，可得
，
又由
，所以
，故选 C.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理，求得
5.如图，正方体
被平面 和平面 分别截去三棱锥
后，得到一个 面体，则这个 面体的左视图和 值为
（）
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2
和三棱锥
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用几何体的三视图和截面图象的转换，即可求得结果.
【详解】由题意，正方体
被平面 和平面 分别截去三棱锥
和
三棱锥
后，得到一个 7 面体，根据几何体的截面图，可得其左视图为 D，故选 D.
④中，在 AD 任取一点 G，过点 G 作
，可证得
,利用线面平行的判定定理可
得平面
平面 ，所以 平面 ，所以是正确的.
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9
故正确的命题序号为①②③④.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及线面位置关系的判定及应用，其中解 答中熟练运用空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，属于中档试题.
，
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3
因为
，所以 或 （舍去），
则
，
则
，故选 A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式 和两角和与差的余弦公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础 题.
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
2020-2021学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 322.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √53.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 149.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 12.（填空题，4分）已知cosα4sinα−2cosα=16，则tanα=___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f 1（t ）=sin200πt ，乙声波的数学模型为f 2（t ）=sin （200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f （t ）=f 1（t ）+f 2（t ）．要使f （t ）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H （t ），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分别记为f （t ）和g （t ），满足H （t ）=f （t ）+g （t ）．已知S 1，S 2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y =sin π2t ； ② y=sin2πt ； ③ y=sin3πt ； ④ y=2sin3πt ． 则S 1，S 2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）16.（问答题，9分）已知函数 f (x )=1−cos 2xsinx． （Ⅰ）求f （x ）的定义域； （Ⅱ）若 f (θ)=2√55，且 θ∈(π2，π) ，求tan （π-θ）的值．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ3 5π6 11π6 7π3 x −π3π 3π2 2π f （x ）2（ⅰ）若函数g （x ）的最小正周期为 2π3 ，求g （x ）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g （x ）在 [0，π3] 上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．2020-2021学年北京市海淀区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：1001.（单选题，4分）若角α的终边经过点P （-2，3），则tanα=（ ） A. −23 B. 23 C. −32 D. 32【正确答案】：C【解析】：利用任意角的三角函数的定义求解．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （-2，3）， ∴tanα= 3−2 =- 32 ， 故选：C ．【点评】：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，是基础题． 2.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |=（ ） A.3 B. √3 C.5 D. √5【正确答案】：D【解析】：根据题意，由向量的坐标结合向量的模的计算公式，计算可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 a ⃗ =（1，2），则| a ⃗ |= √12+22 = √5 ， 即| a ⃗ |= √5 ， 故选：D ．【点评】：本题考查向量模的计算，关键是理解向量的坐标以及向量模的定义．3.（单选题，4分） MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：A【解析】：根据向量的减法的运算法则进行求解即可．【解答】：解：因为： MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：A ．【点评】：本题主要考查平面向量的基本运算，比较基础．4.（单选题，4分）在△ABC 中，A 为钝角，则点P （cosA ，tanB ）（ ） A.在第一象限 B.在第二象限 C.在第三象限 D.在第四象限 【正确答案】：B【解析】：根据三角形内角和定理与三角函数值的符号法则，判断即可．【解答】：解：△ABC 中，A 为钝角，所以B 为锐角， 所以cosA ＜0，tanB ＞0，所以点P （cosA ，tanB ）在第二象限内． 故选：B ．【点评】：本题考查了三角形内角和定理与三角函数值符号的判断问题，是基础题． 5.（单选题，4分）下列函数中，周期为π且在区间（ π2 ，π）上单调递增的是（ ） A.y=cos2x B.y=sin2x C. y =cos 12x D. y =sin 12x 【正确答案】：A【解析】：利用三角函数的周期性和单调性即可求解．【解答】：解：对于A，y=cos2x的周期为π，在区间（π2，π）单调递增函数，所以正确；对于B，y=sin2x的周期为π，在区间（π2，π）不是单调函数，所以不正确；对于C，y=cos 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；对于D，y=sin 12 x的周期为2π12=4π，所以不正确；故选：A．【点评】：本题考查三角函数的周期性以及单调性的判断，是基础题．6.（单选题，4分）对函数y=sinx的图象分别作以下变换：① 向左平移π4个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）；② 向左平移π12个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变）③ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π4个单位④ 将每个点的横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再向左平移π12个单位其中能得到函数y=sin(3x+π4)的图象的是（）A. ① ③B. ② ③C. ① ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到y=sin(3x+π4)即可．【解答】：解：① y=sinx→ y=sin(x+π4)→ y=sin(3x+π4)；② y=sinx→ y=sin(x+π12)→ y=sin(3x+π12)；③ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π4)；④ y=sinx→y=sin3x→ y=sin3(x+π12)=sin(3x+π4)．故选：C．【点评】：本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.（单选题，4分）如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ =（）A.- b⃗⃗B. b⃗⃗C.-6 a⃗ + b⃗⃗D.6 a⃗ - b⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用平面向量的基本定理，推出结果即可．【解答】：解：如图，已知向量a⃗，b⃗⃗，c⃗，d⃗，e⃗的起点相同，则c⃗ + d⃗ - e⃗ = a⃗+b⃗⃗ +（2 a⃗−2b⃗⃗）-（-3 a⃗）=6 a⃗ - b⃗⃗．故选：D．【点评】：本题考查向量的基本定理的应用，向量的加减运算，是基础题．8.（单选题，4分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则ω的值为（）A.2B.1C. 12D. 14【正确答案】：C【解析】：由点（0，√2）在函数的图象上可求sinφ= √22，结合范围|φ|＜π2，可得φ= π4，又点（2π，- √2）在函数的图象上，有sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，从而解得ω的值．【解答】：解：∵点（0，√2）在函数的图象上，即有2sinφ= √2，∴sinφ= √22，∵|φ|＜π2，∴可得：φ= π4，又∵点（2π，- √2）在函数的图象上，即有2sin（2πω+ π4）=- √2，∴sin（2πω+ π4）=- √22，可得2πω+ π4=2kπ- π4，或2kπ- 3π4，k∈Z，∴解得ω=k- 14，或ω=k- 12，k∈Z，则当k=1时，ω的值为12．故选：C．【点评】：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，理解三角函数图象的特征是解题的关键，属于基础题．9.（单选题，4分）“sinα=cosβ”是“ α+β=π2+2kπ(k∈Z)”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：sinα=cosβ⇒cos（π2 -α）=cosβ，可得β=2kπ±（π2-α），k∈Z．即可判断出结论．【解答】：解：sinα=cosβ⇒cos（π2-α）=cosβ，∴β=2kπ±（π2-α），k∈Z．化为：α+β= π2+2kπ，k∈Z，或β-α=- π2+2kπ，k∈Z，∴“sinα=cosβ“是“α+β= π2+2kπ，k∈Z“的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.（单选题，4分）已知函数f （x ）=（x-1）3．Q 是f （x ）的图象上一点，若在f （x ）的图象上存在不同的两点M ，N ，使得 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，其中O 是坐标原点，则这样的点Q （ ） A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有且仅有3个 D.可以有无数个 【正确答案】：A【解析】：先由已知可得Q 为M ，N 的中点，然后根据函数f （x ）的对称性即可做出判断．【解答】：解：因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以Q 为MN 的中点， 因为函数f （x ）=（x-1）3关于点（1，0）成中心对称，所以当Q 的坐标为（1，0）时，取关于点Q 对称的点M ，N 符合题意， M ，N 在（1，0）两侧时，中点也要在函数f （x ）上，只能是（1，0），M ，N 在（1，0）同侧时，相当于M ，Q ，N 所在的直线与f （x ）在一侧有3个交点，不可能成立，故满足条件的Q 只有一个， 故选：A ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到函数的对称性，考查了学生的分析问题的能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1），则 a ⃗ +2 b ⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]（7，0）【解析】：根据向量的坐标运算求出 a ⃗ +2 b ⃗⃗ 的坐标即可．【解答】：解：∵ a ⃗ =（1，-2）， b ⃗⃗ =（3，1）， ∴ a ⃗ +2 b⃗⃗ =（1，-2）+2（3，1）=（7，0）， 故答案为：（7，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查对应思想，是基础题． 12.（填空题，4分）已知 cosα4sinα−2cosα=16 ，则tanα=___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：对已知等式分子分母同时除以cosα，即可求出tanα的值．【解答】：解：∵ cosα4sinα−2cosα=16 ， ∴ 14tanα−2=16 ， ∴4tanα-2=6， ∴tanα=2， 故答案为：2．【点评】：本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．13.（填空题，4分）在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x-y=___ ． 【正确答案】：[1]- 35【解析】：利用已知条件画出图形，利用平面向量的基本定理，求解x ，y 即可．【解答】：解：在△ABC 中，点D 满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 如图，可知 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +45 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x= 15 ，y= 45 ， 则x-y=- 35 ． 故答案为：- 35 ．【点评】：本题考查平面向量的基本定理的应用，是基础题． 14.（填空题，4分）已知函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，则φ=___ ． 【正确答案】：[1] π6【解析】：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．【解答】：解：∵函数 f (x )=sin (ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2) 在区间 (π3，4π3) 上单调，且对任意实数x 均有 f (4π3)≤f (x )≤f (π3) 成立，∴ 1 2• 2πω= 4π3- π3，∴ω=1．且π3是f（x）的最大值点，4π3是函数f（x）的最小值点，由五点法作图可得1× π3+φ= π2，∴φ= π6，故答案为：π6．【点评】：本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.（填空题，4分）声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气、固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面．（1）若甲声波的数学模型为f1（t）=sin200πt，乙声波的数学模型为f2（t）=sin（200πt+φ）（φ＞0），甲、乙声波合成后的数学模型为f（t）=f1（t）+f2（t）．要使f（t）=0恒成立，则φ的最小值为；（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为H（t），其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为f（t）和g（t），满足H（t）=f（t）+g（t）．已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个．① y=sinπ2t；② y=sin2πt；③ y=sin3πt；④ y=2sin3πt．则S1，S2两种声波的数学模型分别是___ ．（填写序号）【正确答案】：[1] ② ③【解析】：（1）由函数f（t）的解析式以及正弦型函数的性质，即可解出；（2）由函数图象分析可知至少有一个数学模型的振幅大于等于2，由此可知④ 是必选，再利用函数图象及其周期性可作出判断．【解答】：解：（1）由题意可知sin200πt=-sin（200πt+φ），又∵sin（π+α）=-sinα，∴φmin=π，（2）当t=1时，y=sinπ2=1，y=sin2π=0，y=sin3π=0，y=2sin3π=0，由图象可知H（1）=0，∴排出① ，由图象可知，波峰波谷是不一样波动的，且有三种不同的波峰，则说明f（t），g（t）的周期不同，而③ ④ 的周期相同，∴一定包含② y=sin2πt，若② ④ 组合，当t= 16时，H（16）=sin（2π× 16）+2sin（3π× 16）= √32+2＞3，与图象不符，∴排除④ ，∴只能是② ③ ．故答案为：π，② ③ ．【点评】：本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，分析问题能力，属于基础题．16.（问答题，9分）已知函数f(x)=1−cos2xsinx．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）若f(θ)=2√55，且θ∈(π2，π)，求tan（π-θ）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由sinx≠0即可求出f（x）的定义域．（Ⅱ）先化简函数f（x）的解析式，再代入f(θ)=2√55，得到sinθ= 2√55，在根据同角三角函数间的基本关系和角θ的范围求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由题意可知sinx≠0，∴x≠kπ（k∈Z），∴f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．（Ⅱ）f(x)=1−cos 2xsinx = sin2xsinx=sinx，∵ f(θ)=2√55，∴sinθ= 2√55，又∵ θ∈(π2，π)，∴cosθ=- √1−sin2θ =- √55，∴tan（π-θ）=-tanθ=- sinθcosθ=2．【点评】：本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.（问答题，9分）已知点A （5，-2），B （-1，4），C （3，3），M 是线段AB 的中点． （Ⅰ）求点M 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；（Ⅱ）若D 是x 轴上一点，且满足 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的运算性质计算即可；（Ⅱ）根据向量的线性运算计算即可．【解答】：解：（Ⅰ）∵A （5，-2），B （-1，4），M 是线段AB 的中点， ∴M （5−12 ， −2+42）=（2，1）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，4）-（5，-2）=（-6，6）；（Ⅱ）设D （x ，0），则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x+1，-4）， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-2）， ∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴（x+1）•（-2）-（-4）•（-1）=0，解得：x=-3， ∴点D 的坐标是（-3，0）．【点评】：本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题． 18.（问答题，11分）已知函数 f (x )=2sin (x −π3) ． （Ⅰ）某同学利用五点法画函数f （x ）在区间 [π3，7π3] 上的图象．他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；xπ35π611π6 7π3x−π3π3π22πf（x） 2（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）若函数g（x）的最小正周期为2π3，求g（x）的单调递增区间；（ⅱ）若函数g（x）在[0，π3]上无零点，求ω的取值范围（直接写出结论）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦函数的性质及五点作图法即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）由已知可求g（x）=2sin（ωx- π3），利用正弦函数的周期公式可求ω=3，利用正弦函数的单调性即可求解；（ⅱ）利用正弦函数的性质即可求解．【解答】：解：（Ⅰ）表格如下：x π35π611π67π3x−π3π2π3π22πf（x） 2 -2 图像如下：（Ⅱ）已知函数g（x）=f（ωx）（ω＞0）．（ⅰ）∵ f (x )=2sin (x −π3) ，g （x ）=f （ωx ）（ω＞0）． ∴g （x ）=2sin （ωx - π3 ），∵函数g （x ）的最小正周期为 2π3 = 2πω ，解得ω=3， ∴g （x ）=2sin （3x- π3），令2kπ- π2 ≤3x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，解得- π18 + 2kπ3 ≤x≤ 5π18 + 2kπ3，k∈Z ， 可得g （x ）的单调递增区间为[- π18 + 2kπ3 ， 5π18 + 2kπ3]，k∈Z ； （ⅱ）ω的取值范围为（0，1）．【点评】：本题主要考查了五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题． 19.（问答题，11分）若定义域R 的函数f （x ）满足：① ∀x 1，x 2∈R ，（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]≥0， ② ∃T ＞0，∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1．则称函数f （x ）满足性质P （T ）．（Ⅰ）判断函数f （x ）=2x 与g （x ）=sinx 是否满足性质P （T ），若满足，求出T 的值； （Ⅱ）若函数f （x ）满足性质P （2），判断是否存在实数a ，使得对任意x∈R ，都有f （x+a ）-f （x ）=2021，并说明理由；（Ⅲ）若函数f （x ）满足性质P （4），且f （-2）=0．对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），求函数 g (t )=tf (t )+f (t )f(4t)的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；（Ⅱ）由 ② 计算可得f （x+2n ）=f （x ）+n ，即f （x+2n ）-f （x ）=n ，令n=2021即可求得a 的值；（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ，由f （t ）≠0，可得t∉[-2，2），分t=2，|t|＞2两种情况分别求出g （t ）的值域即可得解．【解答】：解：（Ⅰ）函数f （x ）=2x 为增函数，满足性质 ① ， 对于 ② ，由∀x∈R ，f （x+T ）=f （x ）+1有2（x+T ）=2x+1， 所以2T=1，T= 12，所以函数f （x ）=2x 满足性质P （ 12 ）．函数g （x ）=sinx 显然不满足 ① ，所以不满足性质P （T ）． （Ⅱ）存在，理由如下： 由∀x∈R ，f （x+2）=f （x ）+1．可得f （x+2n ）=f （x+2n-2）+1=f （x+2n-4）+2=f （x+2n-6）+3=…=f （x ）+n （n∈N*）， 即f （x+2n ）-f （x ）=n ， 令n=2021，得a=2n=4042．（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ），所以f （0）=0， 因为函数f （x ）满足性质P （4），由 ① 可得，在区间[-2，0]上有f （-2）≤f （x ）≤f （0），又因为f （-2）=0，所以0≤f （x ）≤0，可得任意x ∈[-2，0]，f （x ）=0， 又因为对任意的x∈（-2，2），都有f （-x ）=-f （x ）， 所以任意的x∈[-2，2），f （x ）=0，递推可得任意的x∈[4k -2，4k+2），k∈Z ，有f （x ）=k ， 函数g （t ）=tf (t )(f(4t)+1)，因为f （t ）≠0，所以t∉[-2，2），由 ② 及f （-2）=0，可得f （2）=1， 所以当t=2时，g （2）= 21×(1+1) =1， 当|t|＞2时， 4t ∈（-2，2），所以f （ 4t ）=0， 即|t|＞2时，g （t ）= tf (t ) ，所以当t∈[4k -2，4k+2）（k∈Z ，k≠0，t≠2）时，g （t ）= tk ， 当k≥1时，g （t ）∈[4k−2k ， 4k+2k ）=[4- 2k ，4+ 2k）（当k=1时，g （t ）≠2，需要排除），此时 2k 随k 的增大而减小，所以[4- 2k+1 ，4+ 2k+1 ）⫋[4- 2k ，4+ 2k ）， 所以求值域，只需取k=1，得g （t ）∈[4- 21 ，4+ 21 ）=[2，6）， 当k ＜0时，g （t ）∈（4k+2k ， 4k−2k ]=（4+ 2k ，4- 2k]， 此时 2k 随k 的增大而减小，所以（4+ 2k−1 ，4- 2k−1 ]⫋（4+ 2k ，4- 2k ]， 只需取k=-1，得g （t ）∈（4+ 2−1 ，4- 2−1 ]=（2，6]．综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．【点评】：本题主要考查抽象函数及其应用，考查新定义，函数值域的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．。
北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题Word版含解析
北京市朝阳区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.10y -+= 倾斜角的大小是（ ） A. 6π B. 3πC. 23πD. 56π 【答案】B【解析】【分析】把直线方程化成斜截式，根据斜率等于倾斜角的正切求解.10y -+=化成斜截式为1y =+，因为tan k α=，所以3πα=.故选B.【点睛】本题考查直线的斜截式方程和基本性质，属于基础题.2.在ABC △中，a =，4b =，π3A =，则B = （ ） A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3【答案】A【解析】【分析】 根据正弦定理sin sin a bA B =求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B = ，4sin 1sin 2b A B a ∴=== 又434,a b A B =>=∴>6B π∴=.故选A.【点睛】本题考查解三角形，正弦定理余弦定理是常用方法.注意增根的排除，大边对大角是常用排除方法.3.已知直线1:1l y kx =+，2:(2)l y k x =-，若12l l ⊥，则实数k 的值是（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 0或1-【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直斜率之积为1求解.【详解】因为12l l ⊥，所以(2)1k k -=-，解得1k =.故选B.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，注意斜率不存在的情况.4.在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AA AB 的中点，则异面直线EF 和1C D 所成角的大小是（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. π2【答案】D【解析】【分析】 平移EF 到1A B ，平移1C D 到1AB ，则1A B 与1AB 所求的角即为所求的角.【详解】如图所示，∵,E F 分别是棱1,AA AB 的中点∴EF ∥1A B又∵1C D ∥1AB ，11AB A B ⊥∴1EF C D ⊥∴EF 和1C D 所成的角为π2. 故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角，常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.5.已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若,l l m α⊥，则m α⊥B. 若,l l αβ，则αβ∥C. 若,l ααβ⊥⊥，则l β∥D. 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥ 【答案】D【解析】【分析】分析条件的特殊情况，结合定理举例推翻错误选项即可.【详解】当直线,l m 是相交且垂直，确定的平面与α平行时，m α，故A 错误；当,αβ相交，直线l 与交线平行时，,l l αβ，故B 错误；当直线l 在面β内，且αβ⊥，直线l 垂直,αβ的交线时，l α⊥，故C 错误；垂直与同一直线的两个平面平行，故D 正确.故选D.【点睛】本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.6.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高数据（单位：厘米）按[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分组，绘制成频率分布直方图（如图）．从身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,三组内的学生中，用分层抽样的方法抽取18人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为 （ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】【分析】 先求[)120130,，[)130140,，[)140150,三组频率，再求各组频数，最后根据分层抽样总体与各层抽样比例相同求解.【详解】各组频率等于各组矩形的面积，所以，身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频率分别为0.3，0.2，0.1， 身高在[)120130,，[)130140,，[)140150,的频数分别为30，20，10， 分层抽样的比例为183********=++ . 所以，身高在[]140,150内的学生中选取的人数为310310⨯=. 故选A.【点睛】本题考查频率分布直方图与分层抽样，属于基础题.7.如图，设A ，B 两点在河的两岸，某测量者在A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50米，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为（ ）A. 502 米B. 503米C. 252 米D. 5063米 【答案】A【解析】【分析】 先根据三角形内角和求ABC ∠，再根据正弦定理sin sin AB AC ACB ABC=∠∠求解. 【详解】在ABC ∆中50,45,105AC m ACB CAB ︒︒=∠=∠=，则30ABC ︒∠=由正弦定理得sin sin AB AC ACB ABC=∠∠ ， 所以250sin 25021sin 2AC ACB AB ABC⨯∠===∠ m. 故选A.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正弦定理余弦定理是常用方法，注意增根的排除.8.如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，F 是棱11A D 上的动点．下列说法正确的是（ ）A. 对任意动点,F 在平面11ADD A 内不存在．．．与平面CBF 平行的直线 B. 对任意动点,F 在平面ABCD 内存在．．与平面CBF 垂直的直线 C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，二面角F BC A --的大小不变．．D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变大．．【答案】C【解析】【分析】不论F 是在11A D 任意位置，平面CBF 即平面11A D CB ，再求解.【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；平面CBF 即平面11A D CB ，平面11A D CB 与平面ABCD 是确定平面，所以二面角不改变，故C 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误.故选C.【点睛】本题考查空间线面关系，属于综合题.本题的关键在于平面CBF 的确定.9.2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.根据上表所体现的数量关系可得有12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ）A. 14B. 16C. 18D. 20 【答案】C【解析】【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解.【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18.故选C.【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.10.已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是（ ）① 圆心M 在直线1x =上；② m 的取值范围是(0,1)；③ 圆M 半径的最小值为1；④ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与x 轴有两个焦点可得m 的取值范围；假设圆方程为222(1)()x y b r -+-=，用待定系数法求解，根据二次函数的性质和m 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.【详解】二次函数22(0)y x x m m =-+≠对称轴为1x =， 因为对称轴1x =为线段AB 的中垂线，所以圆心在直线1x =上，故①正确；因为二次函数与x 轴有两点不同交点，所以440m ∆=->，即1m <，故②错误；不妨设A 在B 的左边，则(11,0)A m --，(0,)C m设圆方程为222(1)()x y b r -+-= ，则()()()()222222111001m b r m b r ⎧---+-=⎪⎨⎪-+-=⎩，解得， 12m b +=，()221114r m =-+ 因为1m <，所以()2211114r m =-+>即1r >，故③错误； 由上得圆方程为()22211(1)()1124m x y m +-+-=-+， 即()22210x x y y m y -+---=，恒过点(0,1)N ，故④正确. 故选D.【点睛】本题考查直线与圆的应用，关键在于结合图形用待定系数法求圆方程，曲线方程恒过定点问题要分离方程参数求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.某学校甲、乙两个班各15名学生参加环保知识竞赛，成绩的茎叶图如下：则这30名学生的最高成绩是_______；由图中数据可得_______班的平均成绩较高．【答案】 (1). 96 (2). 乙【解析】【分析】最高成绩位的“茎”最大的“叶”上的最大数，再分析两个班的成绩主要集中在哪些“茎”上，比较这些“茎”的大小即可得出结果.【详解】由茎叶图可知，30名学生的最高成绩是96分，因为甲班的成绩集中在（60， 80）分，乙班的成绩集中在（70，80）分，故乙班的平均成绩较高。
2020-2021学年北京市丰台区高一(下)期中数学试卷(A卷)
2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A 卷）试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i 是虚数单位，则复数z=1+3i 的共轭复数是（ ）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i2.（单选题，4分）函数f （x ）=cos2x 的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A.2πB.πC. π2D. π4 3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √39.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 5810.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45 ，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 3511.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ．13.（填空题，4分）在△ABC 中，a= √2 b ，b= √3c ，则最大角的余弦值为___ ．14.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 是单位向量， a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为120°，则（ a ⃗ + b⃗⃗ ）⋅ b ⃗⃗ =___ ，| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ． 15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．19.（问答题，9分）在△ABC中，sinA+√3cosA=0，a=√19，b=2．（Ⅰ）求A的大小及边c的值；（Ⅱ）若D是BC边上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．2020-2021学年北京市丰台区高一（下）期中数学试卷（A卷）参考答案与试题解析试题数：20，总分：1001.（单选题，4分）设i是虚数单位，则复数z=1+3i的共轭复数是（）A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i【正确答案】：B【解析】：由已知直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】：解：∵z=1+3i，∴ z=1−3i，故选：B．【点评】：本题考查复数的基本概念，是基础题．2.（单选题，4分）函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是（）A.2πB.πC. π2D. π4【正确答案】：C【解析】：由题意利用余弦函数的周期性，可得相邻两条对称轴之间的距离为T2，计算求得结果．【解答】：解：函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两条对称轴之间的距离为T2 = πω= π2，故选：C．【点评】：本题主要考查余弦函数的周期性，属于基础题．3.（单选题，4分）已知向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：先化简命题，再讨论充要性．【解答】：解：向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1）， a ⃗ || b⃗⃗ ，则4=x 2，解之得x=±2， 则“x=2”是“x=±2”的充分而不必要条件，即向量 a ⃗ =（4，x ）， b ⃗⃗ =（x ，1），那么“x=2”是“ a ⃗ || b⃗⃗ ”的充分而不必要条件， 故选：A ．【点评】：本题考查命题充要性，以及向量平行，属于基础题．4.（单选题，4分）函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）的解析式为（ ）A.g （x ）=sin2xB. g (x )=sin (2x +π4)C. g (x )=sin (2x −π4)D. g (x )=sin (2x +3π4) 【正确答案】：C【解析】：直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用求出结果．【解答】：解：函数 f (x )=sin (2x +π4) 的图象，向右平移 π4 个单位长度后得到函数g （x ）=sin （2x- π2+π4 ）=sin （2x- π4 ）的图象．故选：C ．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.（单选题，4分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点， AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗【正确答案】：D【解析】：利用三角形法则即可求解．【解答】：解：在平行四边形中，由已知可得：DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+16AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．【点评】：本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.（单选题，4分）下列各数a=sin25°cos27°+cos25°sin27°，b=2sin27°cos27°，c=2cos 222°-1， d =2tan22.5°1−tan 222.5° 中，最大的是（ ）A.aB.bC.cD.d【正确答案】：D【解析】：先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】：解：a=sin25°cos27°+cos25°sin27°=sin42°，b=2sin27°cos27°=sin54°，c=2cos 222°-1=cos44°=sin46°， d =2tan22.5°1−tan 222.5° =tan45°=1， 因为y=sinx 在（0， π2 ）上单调递增，所以sin42°＜sin46°＜sin54°＜1=tan45°，所以a ＜c ＜b ＜d ．即最大的为d ．故选：D ．【点评】：本题主要考查了二倍角公式及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．7.（单选题，4分）已知向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ），则∠ABC=（ ） A.30°B.60°C.90°D.120°【正确答案】：A【解析】：根据题意，由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标可得则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，由向量夹角公式可得cos∠ABC 的值，进而分析可得答案．【解答】：解：根据题意，向量 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 12 ， √32 ）， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √32 ， 12 ）， 则| BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，| BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12 × √32 + 12 × √32 = √32， 则cos∠ABC= BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √32 ， 又由0°≤∠ABC≤180°，则∠ABC=30°，故选：A ．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．8.（单选题，4分）函数f （x ）=2sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2）的部分图象如图所示，则f （π）=（ ）A.- √3B.- √32C. √32D. √3【正确答案】：A【解析】：由已知函数图象求得T ，进一步得到ω，再由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，从而可得f （π）．【解答】：解：由图可知， T 2 = 5π12 -（- π12 ）= π2 ，则T=π，∴ω=2．又2× 5π12 +φ= π2 ，∴φ=- π3 ．则f （x ）=2sin （2x- π3 ），∴f （π）=2sin （2π- π3 ）=2sin （- π3 ）=- √3 ．故选：A ．【点评】：本题主要考查由函数的部分图象求函数解析式，属于中档题．9.（单选题，4分）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.0B. 14C. 18D. 58【正确答案】：B【解析】：用 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算数量积．【解答】：解：△ABC 是边长为1的等边三角形，设D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=EF ，如图，则 AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•(AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 - 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 12−12×1×1×12 = 14 ． 故选：B ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．10.（单选题，4分）已知平面上的两个单位向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足 a ⃗ ⋅ b ⃗⃗ = 45，若m∈R ，则| a ⃗ +m b ⃗⃗ |的最小值为（ ）A. 52B. 25C. 53D. 35【正确答案】：D【解析】：根据条件及 |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2进行数量积的运算即可得出 |a ⃗+mb⃗⃗|=√m 2+85m +1 ，然后配方即可求出最小值．【解答】：解：∵ |a ⃗|=|b ⃗⃗|=1，a ⃗•b ⃗⃗=45， ∴ |a ⃗+mb ⃗⃗|=√(a ⃗+mb ⃗⃗)2 = √a ⃗2+2ma ⃗•b ⃗⃗+m 2b ⃗⃗2 = √m 2+85m +1 = √(m +45)2+925， ∴ m =−45 时， |a ⃗+mb ⃗⃗| 取最小值 35． 故选：D ．【点评】：本题考查了单位向量的定义，向量数量积的运算，向量长度的求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．11.（填空题，4分）已知i 为虚数单位，若（1+i ）z=2i ，则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：先将z 表示出来，然后利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为（1+i ）z=2i ，所以 z =2i 1+i ，故 |z |=|2i||1+i|=√2 = √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的运算性质的运用，考查了运算能力，属于基础题．12.（填空题，4分）已知非零向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 满足| b ⃗⃗ |=2| a ⃗ |，且（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则 a ⃗ 与 b⃗⃗ 的夹角为___ ． 【正确答案】：[1] 2π3【解析】：据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ，由向量垂直的判断方法可得（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，解可得cosθ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，设 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为θ，| a ⃗ |=t ，则| b⃗⃗ |=2t ， 若（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）⊥ a ⃗ ，则（ a ⃗ + b ⃗⃗ ）• a ⃗ = a ⃗2+ a ⃗ • b ⃗⃗ =t 2+2t 2cosθ=0，变形可得：cosθ=- 12，又由0≤θ≤π，则θ= 2π3，故答案为：2π3．【点评】：本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断以及向量夹角的计算，属于基础题．13.（填空题，4分）在△ABC中，a= √2 b，b= √3c，则最大角的余弦值为___ ．【正确答案】：[1] −√33【解析】：根据条件可得出a= √6c，从而得出A为最大角，然后根据余弦定理即可求出cosA的值．【解答】：解：∵ a=√2b，b=√3c，∴ a=√6c，∴a最大，A角最大，∴根据余弦定理，cosA=b2+c2−a22bc =2222√3c2= −√33．故答案为：−√33．【点评】：本题考查了大角对大边定理，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．14.（填空题，4分）已知向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗=___ ，| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．【正确答案】：[1] 12; [2] √3【解析】：利用向量的数量积以及向量的模的运算法则转化求解即可．【解答】：解：向量a⃗，b⃗⃗是单位向量，a⃗与b⃗⃗的夹角为120°，则（a⃗ + b⃗⃗）⋅b⃗⃗ = a⃗•b⃗⃗ + b⃗⃗2 = 1×1×(−12)+1 = 12．| a⃗ +2 b⃗⃗ |= √a⃗2+4a⃗•b⃗⃗+4b⃗⃗2 = √1+4×1×1×(−12)+4 = √3．故答案为：12；√3．【点评】：本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则的应用，是基础题．15.（填空题，4分）一艘货船以20km/h 的速度向东航行，货船在A 处看到一个灯塔P 在北偏东60°方向上，行驶4小时后，货船到达B 处，此时看到灯塔P 在北偏东15°方向上，这时船与灯塔的距离为___ km ．【正确答案】：[1]40 √2【解析】：直接利用三角形内角和定理，正弦定理的应用求出结果．【解答】：解：如图所示：根据题意知：在△ABP 中，由于∠PAB=30°，∠ABP=105°，AB=80km ，所以∠P=45°，利用正弦定理： BP sin∠PAB =AB sin∠P ，整理得 BP12=√22解得BP=40 √2 ．故答案为：40 √2 ．【点评】：本题考查的知识要点：三角形内角和定理，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.（填空题，4分）梯形ABCD 中，AB || CD ，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P 在线段BC 上运动．（1）当点P 是线段BC 的中点时， BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ； （2） PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]-1; [2] 12【解析】：（1）根据题意，建立坐标系，求出A 、B 、C 、D 的坐标，由中点坐标公式可得P的坐标，即可得向量 BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式计算可得答案； （2）设P 的坐标为（m ，n ），分析m 、n 的关系，表示向量 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、 AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积的计算公式可得 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】：解：（1）根据题意，如图，建立坐标系，则A （0，0），B （2，0），D （0，1），C （1，1），点P 是线段BC 的中点，则P （ 32 ， 12 ），BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1）， AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 32 ， 12）， 则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1）× 32 +1× 12=-1； （2）B （2，0），C （1，1），直线BC 的方程为x+y=2，设P 的坐标为（m ，n ），则m+n=2，（0≤n≤1），PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ，-n ）， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（m ，n ） 则 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2-m ）m-n 2=-2n 2+2n=-2（n- 12 ）2+ 12 ≤ 12 ，即 PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 12． 故答案为：（1）-1；（2） 12 ．【点评】：本题考查向量数量积的计算和性质的应用，涉及，属于基础题．17.（问答题，9分）已知A （-1，2），B （3，3），C （t ，1）．（Ⅰ）当A ，B ，C 三点共线时，求实数t 的值；（Ⅱ）若∠ABC=90°，求实数t 的值；（Ⅲ）当t=6时，点A ，B ，C ，D 构成平行四边形ABCD ，求点D 的坐标．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）分别求出 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由A ，B ，C 三点共线，能求出t ． （Ⅱ）由∠ABC=90°，得 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用向量垂直的性质能求出t ． （Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，能求出D 点坐标．【解答】：解：（Ⅰ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（4，1）， BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（t-3，-2）， ∵A ，B ，C 三点共线，∴t -3+8=0，解得t=-5．（Ⅱ）∵∠ABC=90°，∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4（t-3）+1×（-2）=0， 解得t= 72 ．（Ⅲ）当t=6时，C （6，1），平行四边形ABCD 中，设D （x ，y ），由 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得（-4，-1）=（x-6，y-1）， 解得x=2，y=0，∴D （2，0）．【点评】：本题考查实数值、点的坐标的求法，涉及到平面向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、向量相等的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．18.（问答题，9分）已知函数f （x ）=sin 2x ．（Ⅰ）求 f (π3) 的值；（Ⅱ）若 f (α)=23 ，求cos2α的值；（Ⅲ）设函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx ，求函数g （x ）的单调递增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意根据函数的解析式，直接求得f （ π3 ） 得值．（Ⅱ）由题意用二倍角的余弦公式，计算求得结果．（Ⅲ）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数g （x ）的单调递增区间．【解答】：解：（Ⅰ）（1）由于函数f （x ）=sin 2x ，故f （ π3 ）= sin 2(π3) = 34 ．（Ⅱ）若 f (α)=23 =sin 2α，∴cos2α=1-2sin 2α=- 13 ．（Ⅲ）∵函数 g (x )=f (x )+√3sinxcosx =sin 2x+ √32 sin2x=1−cos2x 2 + √32 sin2x=sin （2x- π6 ）+ 12 ， 令2kπ- π2 ≤2x - π6 ≤2kπ+ π2 ，求得kπ- π6 ≤x≤kπ+ π3 ，求得函数g （x ）的单调递增区间为[kπ- π6 ，kπ+ π3 ]，k∈Z ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．19.（问答题，9分）在△ABC 中， sinA +√3cosA =0 ， a =√19 ，b=2．（Ⅰ）求A 的大小及边c 的值；（Ⅱ）若D 是BC 边上的一点，且AD⊥AC ，求△ABD 的面积．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式求出A ，再根据余弦定理求出c 即可；（Ⅱ）根据余弦定理求出cosC ，从而求出CD ，再求出BD 的值，根据余弦定理求出cosB ，从而求出sinB ，再求出三角形的面积即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 sinA +√3cosA =0 ，得 12 sinA+ √32 cosA=0，故sinAcos π3 +cosAsin π3 =0，故sin （A+ π3 ）=0，∵A 是△ABC 的内角，∴A= 2π3 ，cosA=- 12 ，在△ABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA ，得：19=4+c 2-4c•（- 12 ），解得：c=3或c=-5（舍），故A= 2π3 ，c=3．（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得：9=19+4-4 √19 cosC ，解得：cosC= 7√1938 ，则RT△ADC中，cosC= ACCD ，解得：CD= 4√197，∴BD=BC-CD= 3√197，在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得4=19+9-6 √19 cosB，解得：cosB= 4√1919，故sinB= √5719，∴S△ABD= 12•AB•BD•sinB= 12×3× 3√197• √5719= 9√314．【点评】：本题考查了余弦定理的应用以及求三角形的面积公式，考查转化思想，是中档题．20.（问答题，9分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2=√3ab+ c2．（Ⅰ）求C的值；（Ⅱ）求cosA+sinB的最大值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据a2+b2=√3ab+c2及余弦定理即可得出cosC=√32，从而求出C=π6；（Ⅱ）可得出B= 5π6−A，从而可得出cosA+sinB=32cosA+√32sinA，然后根据两角和的正弦公式可得出cosA+sinB=√3sin(A+π3)，这样即可求出cosA+sinB的最大值．【解答】：解：（Ⅰ）∵ a2+b2=√3ab+c2，∴ a2+b2−c2=√3ab，根据余弦定理，a2+b2-c2=2abcosC，∴ 2abcosC=√3ab，∴ cosC=√32，且C∈（0，π），∴ C=π6；（Ⅱ）∵ C=π6，∴ A+B=5π6，∴ B=5π6−A，∴ cosA+sinB=cosA+sin(5π6−A)= cosA+12cosA+√32sinA= 32cosA+√32sinA= √3(√32cosA+12sinA)= √3sin(A+π3)，且0＜A＜5π6，∴ A+π3=π2，即A=π6时，cosA+sinB取最大值√3．【点评】：本题考查了余弦定理，两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，考查了计算能力，属于中档题．。
北京市朝阳区2022-2023学年高一下学期期末考试英语试卷含解析
北京市朝阳区2022～2023学年度第二学期期末质量检测高一英语（答案在最后）2023.7(考试时间100分钟满分100分)本试卷共10页。
考生务必在答题卡指定区域作答，在试卷上作答无效。
第一部分知识运用(共三节，30分)第一节完形填空(共10小题;每小题1分，共10分)阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
After six months of dating,my partner Gabe and I were taking our first road trip.Both of us were adventurous, and we couldn’t wait to go____1____and exploring.At around5:30pm,we were____2____on a mountain road named Crowsnest Highway.We didn’t know the recent flooding in the area.When texting my mom,I happened to look up from my____3____and saw a wave of mud(泥浆)and a huge tree coming down the mountain,right in front of our car.Gabe tried to stop,but it was too ____4____.The mudslide sent our car falling nearly300meters down a rocky cliff(悬崖)and our car landed on its side among some trees.I didn’t know how long we were unconscious(昏迷的).Not____5____,we were injured seriously.Suffering the huge pain,we both managed to move out of the____6____car.Then,we sat on a rock and considered our choices.We couldn’t get a____7____on our cell phones,so all we could do was shout for help.Luckily,someone ____8____.Four passers-by spotted us and called911.When medical workers got to our side,they loaded us into separate emergency vehicles.I was in the hospital for ten days while they kept Gabe for six weeks.I was told I would not walk as a normal person for the rest of my life and Gabe lost____9____in his left eye.Before all this happened,we were happy-go-lucky people.Strangely enough,the accident has made us even more____10____.Despite the injuries we suffered,we’re thankful that we’re still alive.The experience also made us closer.A year after the accident,we even drove back to the Crowsnest Highway as a newly married couple.1.A.boating B.cycling C.running D.hiking2.A.driving B.jogging C.walking D.riding3.A.book B.phone C.car puter4.A.early B.long te D.heavy5.A.exactly B.clearly C.necessarily D.surprisingly6.A.crashed ed C.repaired D.parked7.A.word B.picture C.signal D.message8.A.hesitated B.responded C.promised D.refused9.A.touch B.smell C.sight D.hearing10.A.careful B.disappointed C.puzzled D.positive【答案】1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.A7.C8.B9.C10.D【解析】【导语】本文是一篇记叙文。
2020-2021学年度高一上学期期中考试化学试卷及答案（含五套题）
2020-2021学年度⾼⼀上学期期中考试化学试卷及答案（含五套题）10 / 102020－2021学年度⾼⼀上学期期末考试化学试题题号⼀⼆三总分得分（满分：100分时间：100分钟）可能需要的相对原⼦质量数据H: 1 , C ：12， O ：16，Na ：23，S ：32，Cl ：35.5，Al ：27，Cu: 64, Ba:137 Fe ：56 Mg ：24 Cr:52 K:39 N:14 Si:28⼀、选择题：本⼤题共16⼩题，每⼩题3分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。
1.对于易燃、易爆、有毒的化学物质，往往会在其包装上⾯贴上危险警告标签。
下列物质贴错了包装标签的是( ) A. 浓硫酸B. 汽油C. 酒精D. 氯化钾2.完成下列实验所选择的装置或仪器（夹持装置已略去）正确的是A. AB. BC. CD. D3.我国古代四⼤发明之⼀的⿊⽕药是由硫磺粉、硝酸钾和⽊炭粉按⼀定⽐例混合⽽成的，爆炸的反应为：S+2KNO 3+3C K 2S+N 2↑+3CO 2↑，下列说法中正确的是（） A. 该反应中的还原剂为KNO 3B. 该反应中C 被还原C. 若消耗32g S ，该反应转移电⼦数为2 N AD. 若⽣成标准状况下⽓体22.4L ，则有0.75 mol 物质被还原 4.阿伏加德罗常数的值为N A ，下列说法中正确的是（） A. 5NH 4NO 32HNO 3＋4N 2↑＋9H 2O 反应中，⽣成28 g N 2，转移的电⼦数⽬为3.75N AB. 常温常压下，ag 某⽓体含分⼦数为b ，则cg 该⽓体的体积为22.4bc aN ALC. 2mol/L 的CaCl 2溶液中Cl -的数⽬为4N AD. 46g NO 2和N 2O 4的混合⽓体中含有的氧原⼦个数为3N A 5.下列说法正确的是( )A. 摩尔是⼀种国际基本物理量B. 氧⽓的摩尔质量为32gC. H 2的⽓体摩尔体积约为22.4LD. 1mol H 2O 约含有6.02×1023个⽔分⼦6.氧化还原反应与四种基本反应类型的关系如下所⽰,则下列化学反应属于阴影部分的是( )此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号10 / 10A. Cl 2+2KBrBr 2+2KClB. 2NaHCO 3Na 2CO 3+H 2O+CO 2↑C. 4NO 2+O 2+2H 2O=4HNO 3D. 2Na 2O 2+2CO 2=2Na 2CO 3+O 2 7.下列说法正确的个数有①盐卤点⾖腐、江河⼊海⼝处“三⾓洲”的形成、⾼压直流电除烟尘均与胶体的性质有关②通电时，溶液中的溶质粒⼦分别向两极移动，胶体中的分散质粒⼦向某⼀极移动③氢氧化铁胶体能稳定存在的主要原因是胶体粒⼦做布朗运动④做氢氧化铁胶体电泳实验时，阴极周围红褐⾊加深，说明氢氧化铁胶体带正电⑤向FeCl 3溶液中滴加NaOH 溶液，可制得Fe(OH)3胶体⑥1mol FeCl 3完全与⽔反应⽣成氢氧化铁胶体粒⼦数约为N A 个⑦淀粉溶液和蛋⽩质溶液是溶液，不可能是胶体 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8.下列各组离⼦中，能在溶液中⼤量共存的是（） A. Na +、Cu 2+、Cl ﹣、OH ﹣ B. H +、Ca 2+、HCO 3﹣、NO 3﹣ C. Fe 2+、H +、SO 42﹣、NO 3﹣ D. Na +、CO 32﹣、OH ﹣、K + 9.下列离⼦⽅程式正确的是( ) A. 往NaHSO 4溶液中加Ba(OH)2溶液⾄恰好中和:Ba 2++2OH -+2H ++SO 42-=BaSO 4↓+2H 2O B. 碳酸钙与盐酸反应:2H ++CO 32-=CO 2↑+H 2OC. 铁与稀盐酸反应:2Fe+6H +=2Fe 3++3H 2↑D. 往Ba(OH)2溶液中加少量硫酸溶液:Ba 2++OH -+H ++SO 42-=BaSO 4↓+H 2O10.下列溶液中，溶质的物质的量浓度不是1 mol ·L －1的是（） A. 10g NaOH 固体溶解在⽔中配成250mL 溶液 B. 将80g SO 3溶于⽔并配成1L 的溶液C. 将0.5mol ·L －1的NaNO 3溶液100mL 加热蒸发掉50g ⽔的溶液D. 标况下，将22.4L 氯化氢⽓体溶于⽔配成1L 溶液11.今有⼀种固体化合物X ，X 本⾝不导电，但熔化状态或溶于⽔中能够电离，下列关于该化合物X 的说法中正确的是 A. X ⼀定是电解质 B. X 可能为⾮电解质 C. X 只能是盐类 D. X 可以是任意化合物12.将SO 2通⼊⾜量Fe 2(SO 4)3溶液中,完全反应后再加⼊K 2CrO 4溶液,发⽣的两个化学反应为SO 2+2Fe 3++2H 2O=SO 42-+2Fe 2++W ①, Cr 2O 72-+a Fe 2++b H +Cr 3++Fe 3++H 2O ②,下列有关说法正确的是A. 还原性:Cr 3+>SO 2B. 配平后⽅程式②中,a=6,b=7C. Cr 2O 72-能将Na 2SO 3氧化成Na 2SO 4D. ⽅程式①中W 为OH - 13.200 mL 0.3 mol/L 的K 2SO 4溶液和100 mL 0.2 mol/L 的Fe 2(SO 4)3溶液混合后(不考虑混合后溶液体积的变化)，溶液中SO 42-的物质的量浓度为A. 0.3 mol/LB. 0.4 mol/LC. 0.45 mol/LD. 0.5 mol/L 14.下列离⼦⽅程式的书写中，正确的是A. H 2SO 4与Ba （OH ）2溶液反应: Ba 2＋+ OH － + H ＋⼗SO 42－= BaSO 4↓ + H 2O10 / 10B. 碳酸钙中加⼊盐酸 : CO 32- + 2H + = CO 2↑ + H 2OC. 将氢氧化铁放⼊盐酸中: Fe （OH ）3 + 3H + = Fe 3+ + 3H 2OD. 氧化铜与稀硫酸反应: 2H + + O 2—= H 2O15.物质的量浓度为0.05 mol ·L -1的⾦属氯化物(RCl x ) 溶液20 mL ，恰好与20 mL 0.15 mol ·L -1的AgNO 3溶液完全反应。
北京市第八中学2020_2021学年高一数学下学期期中练习试题含解析
市第八中学2020-2021学年高一数学下学期期中练习试题〔含解析〕一、选择题〔共8小题，每一小题5分，共40分〕.1．假如sinα＜0，且cosα＞0，如此角α是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．角α终边经过点P〔﹣4a，3a〕〔a＜0〕，如此2sinα+cosα的值为〔〕A．B．C．0D．或3．假如向量＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，如此2+与﹣的夹角等于〔〕A．﹣B．C．D．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持〔〕A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面5．tan〔﹣40°〕，tan38°，tan56°的大小关系是〔〕A．tan〔﹣40°〕＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan〔﹣40°〕＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕D．tan56°＞tan〔﹣40°〕＞tan38°6．使sin x＞cos x成立的x的一个变化区间是〔〕A．〔﹣π，﹣〕B．〔﹣，0〕C．〔﹣，〕D．〔，〕7．α∈〔0，π〕，且，如此α＝〔〕A．B．C．D．8．函数〔其中ω＞0，0＜φ＜π〕的图象的一局部如下列图，如此〔〕A．B．C．D．9．在锐角△ABC中，设x＝sin A•sin B，y＝cos A•cos B．如此x，y的大小关系为〔〕A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y10．sinα+sinβ＝1，如此函数y＝sinα﹣cos2β的值域是〔〕A．[﹣，0]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[﹣，+∞〕二、填空题〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上〕11．＝．12．sinα﹣cosα＝，如此sin2α＝．13．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，如此AB的长是．14．向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，如此|+2|＝．15．对于函数f〔x〕＝cos x+sin x，给出如下四个命题：①函数f〔x〕为奇函数；②存在α∈〔0，〕，使f〔α〕＝；③存在α∈〔0，〕，使f〔x+α〕＝f〔x+3α〕恒成立；④存在θ∈R．使函数f〔x+θ〕的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是．三、解答题〔本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕16．α∈〔，π〕，且sinα＝．〔Ⅰ〕求tan〔α﹣〕的值；〔Ⅱ〕求的值．17．函数f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期与单调递增区间；〔Ⅱ〕假如x∈[，]，求f〔x〕的最大值与最小值．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C〔a cos B+b cos A〕＝c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假如c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．19．如下列图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：〔1〕BF∥HD1；〔2〕EG∥平面BB1D1D；〔3〕平面BDF∥平面B1D1H．20．函数，且满足_______．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式与最小正周期；〔Ⅱ〕假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，某某数m的取值X 围．从①f〔x〕的最大值为1，②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f〔x〕的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f〔x〕，y＝g〔x〕，规定：函数h〔x〕＝．〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕＝，g〔x〕＝sin x，x∈R，写出函数h〔x〕的解析式并求函数h〔x〕值域；〔Ⅱ〕假如g〔x〕＝f〔x+α〕，其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f〔x〕与一个α的值，使得h〔x〕＝cos4x，并予以证明．参考答案一、选择题〔共8小题，每一小题5分，共40分〕.1．假如sinα＜0，且cosα＞0，如此角α是〔〕A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：∵sinα＜0，∴α是第三或第四象限或y轴的非正半轴，∵cosα＞0，∴α是第一或第四象限或x轴的非负半轴，综上α是第四象限的角．应当选：D．2．角α终边经过点P〔﹣4a，3a〕〔a＜0〕，如此2sinα+cosα的值为〔〕A．B．C．0D．或解：∵角α的终边经过点〔﹣4a，3a〕，a＜0；∴x＝﹣4a，y＝3a，r＝＝﹣5a∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝，∴2sinα+cosα＝2×＝；应当选：A．3．假如向量＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，如此2+与﹣的夹角等于〔〕A．﹣B．C．D．解：∵＝〔1，2〕，＝〔1，﹣1〕，∴2+＝2〔1，2〕+〔1，﹣1〕＝〔3，3〕，﹣＝〔1，2〕﹣〔1，﹣1〕＝〔0，3〕，∴〔2+〕〔﹣〕＝0×3+3×9＝9，|2+|＝＝3，|﹣|＝3，∴cosθ＝＝，∵0≤θ≤π，∴θ＝应当选：C．4．教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持〔〕A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面解：①直尺所在直线与地面垂直时，地面上的所有直线都与直尺垂直，如此底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②直尺所在直线与地面不垂直时，直尺所在的直线必在地面上有一条投影线〔直尺在底面上时投影线为直尺本身〕，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，如此地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．综上，直尺无论怎样放置，在地面总有与直尺所在直线垂直的直线．应当选：B．5．tan〔﹣40°〕，tan38°，tan56°的大小关系是〔〕A．tan〔﹣40°〕＞tan38°＞tan56°B．tan38°＞tan〔﹣40°〕＞tan56°C．tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕D．tan56°＞tan〔﹣40°〕＞tan38°解：∵正切函数y＝tan x在区间〔﹣90°，90°〕上单调递增，又﹣40°＜38°＜56°，∴tan56°＞tan38°＞tan〔﹣40°〕应当选：C．6．使sin x＞cos x成立的x的一个变化区间是〔〕A．〔﹣π，﹣〕B．〔﹣，0〕C．〔﹣，〕D．〔，〕解：如图角x的正弦线，余弦线分别是MP，OM，当角x的终边与弧ABCD相交时，MP＞OM，∴此时sin x＞cos x，∴不等式sin x＞cos x的解集为〔2kπ+，2kπ+〕，k∈Z．应当选：A．7．α∈〔0，π〕，且，如此α＝〔〕A．B．C．D．解：∵，sin＝cos〔﹣〕＝cos，∴cosα＝﹣cos＝cos，∵α∈〔0，π〕，如此α＝，应当选：D．8．函数〔其中ω＞0，0＜φ＜π〕的图象的一局部如下列图，如此〔〕A．B．C．D．解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为〔6﹣2〕×4＝16，又∵ω＞0，∴ω＝＝，当x＝2时取最大值，即2sin〔2×+φ〕＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，k ∈Z，∴φ＝2kπ+，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴φ＝，应当选：B．9．在锐角△ABC中，设x＝sin A•sin B，y＝cos A•cos B．如此x，y的大小关系为〔〕A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y解：令A＝60°，B＝45°x＝sin A•sin B＝×＝，y＝cos A•cos B＝×＝，∴x＞y．应当选：B．10．sinα+sinβ＝1，如此函数y＝sinα﹣cos2β的值域是〔〕A．[﹣，0]B．[﹣，2]C．[0，2]D．[﹣，+∞〕解：∵sinα+sinβ＝1，∴sinα＝1﹣sinβ，∴y＝1﹣sinβ﹣cos2β＝1﹣sinβ﹣1+sin2β＝sin2β﹣sinβ＝〔sinβ﹣〕2﹣．∵sinα+sinβ＝1，∴0≤sinβ≤1，∴﹣≤sinβ﹣≤，∴0≤〔sinβ﹣〕2≤，∴﹣≤〔sinβ﹣〕2﹣≤0．应当选：A．二、填空题〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分.把答案填在答题卡的横线上〕11．＝．解：sin故答案为：12．sinα﹣cosα＝，如此sin2α＝﹣1 ．解：将sinα﹣cosα＝两边平方得：〔sinα﹣cosα〕2＝sin2α﹣2sinαcosα+cos2α＝1﹣sin2α＝2，∴sin2α＝﹣1．故答案为：﹣113．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，如此AB的长是5．解：在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝，∴sin B＝，解得AB＝5．故答案为：5．14．向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，如此|+2|＝2．解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴＝+4•+4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|+2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如下列图；结合图形＝+＝+2；在△OAC中，由余弦定理得||＝＝2，即|+2|＝2．故答案为：2．15．对于函数f〔x〕＝cos x+sin x，给出如下四个命题：①函数f〔x〕为奇函数；②存在α∈〔0，〕，使f〔α〕＝；③存在α∈〔0，〕，使f〔x+α〕＝f〔x+3α〕恒成立；④存在θ∈R．使函数f〔x+θ〕的图象关于y轴对称；其中正确的命题序号是②④．解：函数f〔x〕＝cos x+sin x＝，对于①，函数f〔﹣x〕≠﹣f〔x〕，故函数f〔x〕不为奇函数，故①错误；对于②，由于f〔x〕＝，由于x∈〔0，〕，所以，故f〔x〕，由于f〔α〕＝，故②正确；对于③，f〔x+α〕＝f〔x+3α〕，所以f〔x〕＝f〔x+2α〕，故函数的最小正周期为2α，由于α∈〔0，〕，所以2α∈〔0，π〕，所以函数f〔x〕的周期为2π，故③错误．对于④，存在θ＝，f〔x+θ〕＝，函数f〔x〕的图象关于y轴对称，故④正确；故答案为：②④．三、解答题〔本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕16．α∈〔，π〕，且sinα＝．〔Ⅰ〕求tan〔α﹣〕的值；〔Ⅱ〕求的值．解：〔Ⅰ〕∵α∈〔，π〕，且sinα＝．∴cosα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣，∴tan〔α﹣〕＝＝＝﹣7．〔Ⅱ〕＝＝＝﹣．17．函数f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期与单调递增区间；〔Ⅱ〕假如x∈[，]，求f〔x〕的最大值与最小值．解：〔I〕f〔x〕＝sin22x+sin2x•cos2x＝sin4x﹣cos4x+＝sin〔4x﹣〕+；所以T＝，令﹣≤4x﹣≤，k∈Z，解得≤x≤，故函数f〔x〕的单调递增区间为[﹣]，k∈Z；〔II〕由x∈[，]得4x﹣∈[]，所以sin〔4x﹣〕∈[，1]，所以f〔x〕∈[1，]即函数f〔x〕的值域[1，]．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos C〔a cos B+b cos A〕＝c．〔Ⅰ〕求C；〔Ⅱ〕假如c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．解：〔Ⅰ〕∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0等式利用正弦定理化简得：2cos C〔sin A cos B+sin B cos A〕＝sin C，整理得：2cos C sin〔A+B〕＝sin C，即2cos C sin〔π﹣〔A+B〕〕＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；〔Ⅱ〕由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴〔a+b〕2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴〔a+b〕2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．19．如下列图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、C1C、C1D1、A1A的中点．求证：〔1〕BF∥HD1；〔2〕EG∥平面BB1D1D；〔3〕平面BDF∥平面B1D1H．【解答】证明：〔1〕取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边如此HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．〔2〕取B1D1的中点O，连接EO、D1O，如此OE∥DC，OE＝DC．又D1G∥DC，D1G＝DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．〔3〕由〔1〕知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．20．函数，且满足_______．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的解析式与最小正周期；〔Ⅱ〕假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，某某数m的取值X 围．从①f〔x〕的最大值为1，②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，③f〔x〕的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．解：〔Ⅰ〕函数f〔x〕＝a sin〔2x﹣〕﹣2cos2〔x+〕＝a sin〔2x﹣〕﹣cos〔2x+〕﹣1＝a sin〔2x﹣〕﹣sin〔﹣2x+〕﹣1＝〔a+1〕sin〔2x﹣〕﹣1，假如满足①f〔x〕的最大值为1，如此a+1＝2，解得a＝1，所以f〔x〕＝2sin〔2x﹣〕﹣1；f〔x〕的最小正周期为T＝＝π；〔Ⅱ〕令f〔x〕＝1，得sin〔2x﹣〕＝1，解得2x﹣＝+2kπ，k∈Z；即x＝+kπ，k∈Z；假如关于x的方程f〔x〕＝1在区间[0，m]上有两个不同解，如此x＝或；所以实数m的取值X围是[，〕．假如满足②f〔x〕的图象与直线y＝﹣3的两个相邻交点的距离等于π，且f〔x〕的最小正周期为T＝＝π，所以﹣〔a+1〕﹣1＝﹣3，解得a＝1；以下解法均一样．假如满足③f〔x〕的图象过点，如此f〔〕＝〔a+1〕sin﹣1＝0，解得a＝1；以下解法均一样．21．对于定义域分别是D f，D g的函数y＝f〔x〕，y＝g〔x〕，规定：函数h〔x〕＝．〔Ⅰ〕假如函数f〔x〕＝，g〔x〕＝sin x，x∈R，写出函数h〔x〕的解析式并求函数h〔x〕值域；〔Ⅱ〕假如g〔x〕＝f〔x+α〕，其中a是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R 的函数y＝f〔x〕与一个α的值，使得h〔x〕＝cos4x，并予以证明．解：〔I〕，如此，当时，；当时，h〔x〕＝sin x．所以．当时，sin x∈[﹣1，1〕，此时；当时，sin x＝1，此时h〔x〕＝sin x＝1，所以函数h〔x〕的值域为．〔Ⅱ〕令，如此g〔x〕＝f〔x+α〕＝＝cos2x﹣sin2x，于是h〔x〕＝f〔x〕⋅f〔x+α〕＝〔sin2x+cos2x〕〔cos2x﹣sin2x〕＝cos4x．。
北京市通州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(含解析)
北京市通州区2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣1，则f'（1）＝（ ）A．0B．1C．2D．32．（4分）下列求导运算结果错误的是（ ）A．B．（lnx）'＝C．（e x）′＝e x D．（sin x）'＝cos x3．（4分）4名学生与1名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为（ ）A．12B．18C．24D．484．（4分）已知函数f（x）＝ln（2x+3），则f′（x）＝（ ）A．B．C．D．5．（4分）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论：①汽车在[0，t1]时间段内匀速行驶；②汽车在[t1，t2]时间段内不断加速行驶；③汽车在[t2，t3]时间段内不断减速行驶；④汽车在[t3，t4]时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（4分）3名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，排球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（ ）A．34B．43C．24D．127．（4分）在（1+x）（2﹣x）5的展开式中，x3的系数为（ ）A．﹣40B．﹣10C．10D．408．（4分）定义在区间（﹣π，π）上的函数f（x）＝x sin x+cos x，则f（x）的单调递减区间是（ ）A．（0，）∪（﹣π，﹣）B．和C．D．和9．（4分）已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都小于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凸三位数”，则没有重复数字的“凸三位数”的个数为（ ）A．240B．204C．176D．16810．（4分）函数y＝kx+b，其中k，b（k≠0）是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数，对于非线性可导函数f（x），在点x0附近一点x的函数值f（x），可以用如下方法求其近似代替值：f（x）≈f（x0）+f'（x0）（x﹣x0）．利用这一方法的近似代替值（ ）A．一定大于mB．一定小于mC．等于mD．与m的大小关系不确定二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
高一数学期中试题含解析
101中学2021-2021学年下学期高一年级期中考试数学试卷〔本套试卷满分是120分，考试时间是是100分钟〕一、选择题一共8小题．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项． 1．在ABC △中，4a =，60A =︒，45B =︒，那么边b 的值是〔〕．A ．364 B ．2+ C ． D ．1【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =，可得4sin60sin 45b=︒︒，∴4sin 45sin 60b ︒==︒， ∴A 项正确．2．等差数列{}n a 的公差为2，假设1a ，3a ，4a 成等比数列，那么2a 等于〔〕．A ．9B ．3C ．3-D ．6-【答案】D【解析】∵1a ，3a ，4a 成等比数列，所以有214ba a a =⋅， 21(2)a d ⇒+，11(3)a a d =+， 1a d ⇒⋅，24d =-，又∵2d =，∴18a =-，∴2826a =-+=-， 应选D ．3．以下结论正确的选项是〔〕．A ．假设ac bc <，那么a b <B ．假设22a b <，那么a b <C ．假设a b >，0c <，那么ac bc <D ，那么a b >【答案】C【解析】对于A ，假设0c <，不成立，对于B ，假设a ，b 均小于0或者0b <，不成立， 对于D ，其中0a ≥，0b >，平方后有a b <，不成立， 应选C ．4．13a -≤≤，24b ≤≤，那么2a b -的取值范围是〔〕．A ．[]6,4-B ．[]0,10C ．[]4,2-D ．[]5,1-【答案】A【解析】∵[1,3]a ∈-，∴2[2,6]a ∈-， ∵[2,4]b ∈，∴[4,2]b -∈--， 那么2[6,4]a b -∈-， 应选A ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．假设2b ac =，且2c a =，那么cos B =〔〕．A ．41B ．43C ．42 D ．32 【答案】B【解析】将2c a =代入得：222b ac a ==，即b =，∴2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===， 应选B ．6．假设两个函数的图象经过假设干次平移后可以重合，那么称这两个函数为“同形〞函数．给出以下三个函数：1si c )s (n o f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，那么〔〕．A ．1()f x ，2()f x ，3()f x 为“同形〞函数B ．1()f x ，2()f x 为“同形〞函数，且它们与3()f x 不为“同形〞函数C ．1()f x ，3()f x 为“同形〞函数，且它们与2()f x 不为“同形〞函数D ．2()f x ，3()f x 为“同形〞函数，且它们与1()f x 不为“同形〞函数 【答案】B【解析】∵1()sin cos f x x x =+， π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2()f x x =+ 3()sin f x x =，那么1()f x ，2()f x 为“同形〞函数，且它们与3()f x 不为“同形〞函数， 选B ．7．函数21()(2cos 1)sin2cos42f x x x x =-+，假设π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=那么α的值是〔〕．A ．5π8B ．11π16C ．9π16D ．7π8【答案】C【解析】1()cos2sin 2cos42f x x x x =+，11sin 4cos422x x =+， 1(sin 4cos4)2x x =+，π44x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π9174π,π444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，假设()f α=即ππ42π()42x k k +=+∈Z ，ππ162kα=+，当1k =时， 9π16α=， 应选C ．8．(1,1)1f =，(,)(,)f m n m n ∈∈N N **，且对任意m ，n ∈N *都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=．以下三个结论：①(1,5)9f =；②(5,1)16f =；③(5,6)26f =． 其中正确的个数为〔〕．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】∵(,1)(,)2f m n f m n +=+，(1,1)1f =， ∴{}(,)f m n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴(1,)21f n n =-． 又∵(1,1)2(,1)f m f m +=，∴{}(,1)f m 是以1为首项2为公比的等比数列， ∴(,1)21f n n =-， ∴(,1)2?12f m n m n +=-+． 由(1,5)2519f =⨯-=，故〔1〕正确． 由(5,1)2416f ==，故〔2〕正确． 由(5,6)242626f =+⨯=，故〔3〕正确． 故答案为3．二、填空题一共6小题．9．在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，那么前9项之和9S =__________． 【答案】99【解析】在等差数列中，14739a a a ++=， 36927a a a ++=，∴413a =，69a =，∴4622a a +=，又4619a a a a +=+， ∴数列{}n a 的前9项之和199()92a a S +⨯=， 2292⨯=， 99=．10．1x >，函数41y x x =+-的最小值是__________． 【答案】5 【解析】∵1x >， ∴41y x x =+-，411151x x =+-+=-≥， 当且仅当3x =时，“=〞成立，故最小值为5．11．计算：1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+__________．【答案】21nn + 【解析】原式111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21nn =+．12．在等比数列{}n a 中，12a =-，454a =-，那么数列{}n a 的前n 项和n S =__________． 【答案】13n -【解析】∵14254a a =-⎧⎨=-⎩，∴327q =+，即3q =+， ∴12(3)n n a -=⨯+， ∵1(1)1n n a q S q-=-，2(13)13n --=-，13n =-．13．在ABC △中，假设lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，那么ABC △的形状为__________． 【答案】等边三角形【解析】∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，得lgsin lgsin 2lgsin A C B +=，即2sin sin sin B A B =①， 又三内角A 、B 、C 也成等差数列， ∴60B =︒， 代入①得3sin sin 4A B =②， 设60A α=︒-，60B α=︒+， 代入②得3sin(60)sin(60)4αα︒+︒-=， 22313cos sin 444αα⇒-=， 即2cos 1α=， ∴0α=︒， ∴60A B C ===︒， ∴为等边三角形．14．给出以下命题：①假设0a b <<，那么11a b<；②假设0a >，0b >，那么2a b aba b++；③假设0a b <<，那么22a ab b >>；④lg9lg111⋅<；⑤假设a b >，11a b>，那么0a >，0b <；⑥正数x ，y 满足111x y +=，那么2x y +的最小值为6．其中正确命题的序号是__________． 【答案】②③④⑤【解析】①令2a =-，1b =-，112a =-，11b=-， 11a b>，不符合．②假设0a >，0b >，那么2a b+a b =时，取等号〕，11ab a b =-+⎭，00=>≥，ab a b+，综上，2a b aba b ++． ③假设0a b <<，那么20a ab >>，20ab b >>， 因此，22a ab b >>，故③正确． ④2lg9lg11lg9lg112+⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，22lg99lg100122⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故④正确． ⑤假设a b >，111100b a a b a b ab->⇔->⇔>， ∴0a bab-<，那么0ab <， ∴0a >，0b <， ⑤正确．⑥正数x ，y 满足111x y +=，那么112(2)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，2123y xx y=++++≥， ⑥错，∴②③④⑤正确．三、解答题〔一共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，一共50分〕15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c =105A =︒，30C =︒．求： 〔1〕b 的值．〔2〕ABC △的面积． 【答案】〔1〕2〔2【解析】〔1〕∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又C =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2C Bb C===．〔2〕2b =，c =sin sin105A =︒， sin(6045)=︒+︒，sin60cos45cos60sin45=︒︒+︒︒，=∴1sin 2ABC S bc A =△，122=⨯，=16．某工厂消费的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年消费总本钱y 〔万元〕与年产量x 〔吨〕之间的关系可近似地表示成230400010xx y +=-，问年产量为多少时，每吨的平均本钱最低？并求出该最低本钱．【答案】年产量为200吨时，每吨的平均本钱最低，最低为10万元． 【解析】设每吨的平均本钱W 〔万元/t 〕，那么400030301010y x W x x ==+-=≥，当且仅当400010x x=，200x =〔t 〕的每吨平均本钱最低，且最低本钱为10万元．17．函数ππ()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔a ∈R ，a 为常数〕．〔1〕求函数的最小正周期． 〔2〕求函数的单调递减区间．〔3〕当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2-，求a 的值．【答案】见解析【解析】〔1〕ππ()2sin 2coscos 22cos 22sin 266f x x x a x x a x a ⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． 〔2〕单调递减区间为2ππ,π()63k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．〔3〕当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π7π266x +=即π2x =时，()f x 获得最小值．所以ππ2sin 2226a ⎛⎫⋅++=- ⎪⎝⎭，所以1a =-．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． 〔2〕设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕42n a n =-，1124n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭〔2〕565499n n n T -=+ 【解析】19．点(,)()n n a n ∈N *在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项．〔1〕求数列{}n b 的通项公式．〔2〕设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *．求数列{}n d 的前n 项和n D ．〔3〕在〔2〕的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =〔a 为常数，0a ≠〕，试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由．【答案】见解析【解析】〔1〕依题意得22n a n =--，故14a =-．又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，所以，当2n ≥时，113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--． 又111134348b T S a ==+=+=-也合适上式，故62n b n =--．〔2〕因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+， 121n n d n d c d +==+，因此112(1)(*)n n d d n ++=+∈N ． 由于113d c ==，所以{}1n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列． 所以111422n n n d -++=⨯=，所以121n n d +=-． 所以23124(21)2222421n n n n D n n n ++-=++⋯+-=-=---（）． 〔3〕方法一：111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，那么111111111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n n n d d g g g g g a g a d d ----++-++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+++． 所以111122114n n n n d d g g a d d --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++． 因为a 为常数，那么数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列． 方法二：因为121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =， 所以111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 1221222(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤=++=⨯+⎣⎦， 123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤⎣⎦=⨯++=⨯+，1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n n n g g n g an ----==-⨯+=⋅=⋅， 所以11122124n n n n d g an a n d -++⎛⎫ ⎪⋅⎝⎭==+． 所以数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．。
2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学复习卷(2)(含解析)
2020-2021学年北京市海淀区高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.i是虚数单位，1(1+i)2=()A. i2B. −i2C. 12D. 2i2.若函数，则关于x的方程的不同实根个数是()A. 1B. 4C. 2D. 33.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()．A. 4B. 16C. 8D. 24.用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是()A. 三角形中有两个内角是钝角B. 三角形中有三个内角是钝角C. 三角形中至少有两个内角是钝角D. 三角形中没有一个内角是钝角5.德国数学家希尔伯特说：“谁也不把我们从为我们创造的花园中赶走”，赞赏在1871年提出了集合论的某位数学家(划线部分所示)，请问是下列哪位数学家()A. 德．摩根B. 高斯C. 欧拉D. 康托尔6.y=4cosx−e|x|图象可能是()A. B.C. D.7.已知定义域为(−3,3)的函数f(x)=27x−x3，如果f(3−m)+f(3−m2)<0，则实数m的取值范围为()A. (2,√6)B. (−√6,√6)C. (−√6,−2)D. (−√6,−2)∪(2,√6)8.若函数f(x)=−x3+bx+1的导函数的图象如图所示，则有()A. 函数f(x)有两个零点−1，1B. 函数f(x)单调减区间为(−1,1)C. x=−1时，函数f(x)有极小值D. x=−1时，函数f(x)有最小值二、单空题（本大题共5小题，共21.0分）9.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为；10.设f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0且f(−3)=0，g(x)≠0，则不等式f(x−2)g(2−x)<0的解集是______ ．11.若函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围______________．12.设方程x3−3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是______．13.若直线l是曲线C：y=13x3+x+1斜率最小的切线，则直线l与圆x2+y2=12的位置关系为______ ．三、多空题（本大题共2小题，共8.0分）14.如图，在复平面内，复数z对应的向量为OA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则复数|z|=(1)；z⋅i=(2)．15.观察下列等式：1=1；1−4=−(1+2)；1−4+9=1+2+3；1−4+9−16=−(1+2+3+4)……根据上述规律，第6个式子为(1)；第n个式子为(2)．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）16.19.(本小题满分13分)设数列满足且(1)求数列的通项公式;(2)对一切，证明成立;17.已知是等差数列，其前项和为，已知(1)求数列的通项公式；(2)设，证明：是等比数列，并求其前项和．(3)设，求其前项和18.已知函数f(x)=(mx+1)(lnx−3)．(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数m的取值范围．(3)设点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))满足lnx1−lnx2=3ln(x1x2)−8，(x1≠x2)，判断是否存在点P(m,0)，使得以AB为直径的圆恰好过P点，说明理由．19.函数f(x)=(mx+1)(lnx−1)．(1)若m=1，求曲线y=f(x)在x=1的切线方程；(2)若函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，求实数m的取值范围；(3)设点P(m,0)，A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))满足lnx1⋅lnx2=ln(x1⋅x2)(x1≠x2)，判断是否存在实数m，使得∠APB为直角？说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：解：1(1+i)2=12i=−i−2i⋅i=−i2．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵，∴由题意知，是的两个根．不妨设，则在与上是增函数，在上是减函数(如图).因为方程有两解，所以关于x的方程有两个根或.又因为，由图象知与有两个交点，与只有一个交点(如图)，故原方程有3个解，故答案选：D．3.答案：C解析：在点A处的切线的斜率即为曲线y=2x2在x=2时的导数，由导数定义可求y′=4x．4.答案：C解析：解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角．故选C．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论．本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．5.答案：D解析：解：提出了集合论的数学家是康托尔，故选：D．根据数学史直接回到即可本题考查了数学史的内容，属于基础题6.答案：D解析：本题考查了函数图象的识别，基础题．判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在(0,+∞)上的单调性即可得出结论．解：显然y=4cosx−e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时，y′=−4sinx−e x=−(4sinx+e x)，显然当x∈(0,π]时，y′<0，当x∈(π,+∞)时，e x>eπ>e3>4，而4sinx≥−4，∴y′=−(4sinx+e x)<0，∴y′=−(4sinx +e x )<0在(0,+∞)上恒成立，∴y =4cosx −e |x|在(0,+∞)上单调递减．故选：D ．7.答案：A解析：解：f′(x)=27−3x 2；∵f(x)的定义域为(−3,3)；∴x ∈(−3,3)时，f′(x)>0；即f(x)在(−3,3)上单调递增；又f(x)为奇函数；∴由f(3−m)+f(3−m 2)<0得，f(3−m)<f(m 2−3)；∴{−3<3−m <3−3<m 2−3<33−m <m 2−3；解得2<m <√6；∴实数m 的取值范围为(2,√6)．故选：A ．可求出f′(x)=27−3x 2，并可判断x ∈(−3,3)时，f′(x)>0，从而得出f(x)在定义域(−3,3)上单调递增，并可判断f(x)为奇函数．这样即可得出f(3−m)<f(m 2−3)，从而得出{−3<3−m <3−3<m 2−3<33−m <m 2−3，解该不等式组即可求出实数m 的取值范围．考查根据函数导数符号判断函数单调性的方法，二次函数的图象和性质，奇函数和增函数的定义． 8.答案：C解析：解：由图像得：x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f′(x)<0;x ∈(−1,1)时，f′(x)>0．即函数f(x)在(−∞,−1)和(1,+∞)递减，在(−1,1)递增．∴x =−1时，函数取到极小值，x =1时，函数取到极大值，故选：C ．通过读图得到函数的单调区间，函数的极值，从而得到答案．本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查了数形结合思想，是一道基础题．9.答案：解析：试题分析：设切点为，∵，∴，故切线斜率为，又切线与直线垂直，∴=4，解得，∴切点为(1,1)，∴切线的方程为y−1=4(x−1)即考点：本题考查了导数的几何意义点评：在处导数即为所表示曲线在处切线的斜率，即，则切线方程为：．10.答案：(−∞,−1)∪(2,5)解析：先由当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0，判断函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)上为增函数，再由f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，判断函数F(x)=f(x)g(x)在R上为奇函数，从而由对称性得函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)，(0.+∞)上为增函数，且F(−3)=0，F(0)=0，F(3)=0，最后利用奇偶性和单调性解不等式F(x−2)<0即可本题考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，函数奇偶性的应用等知识，解题时要能透过形式看到反应的数学本质，会利用函数性质解不等式解：∵当x<0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)>0∴当x<0时，(f(x)g(x))′>0，∴函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)上为增函数∵f(x)、g(x)分别是定义域在R上的奇函数和偶函数∴F(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−f(x)g(x)=−F(x)∴函数F(x)=f(x)g(x)在R上为奇函数∴函数F(x)=f(x)g(x)在(−∞,0)，(0.+∞)上为增函数，且F(−3)=0，F(0)=0，F(3)=0∵不等式f(x−2)g(2−x)<0⇔f(x−2)g(x−2)<0⇔F(x−2)<0⇔x−2<−3或0<x−2<3⇔x<−1或2<x<5故答案为(−∞,−1)∪(2,5)11.答案：[−1,0]解析：本题主要考查不等式解法的应用，熟悉一元二次不等式解法是解答本题的关键，属于基础题．解：∵f(x)的定义域为R，所以2x2+2ax−a−1≥0恒成立，即x2+2ax−a≥0恒成立，∴△=4a2+4a≤0，解得−1≤a≤0．故答案为[−1,0]．12.答案：(−2,2)解析：解：设f(x)=x3−3x，对函数求导，f′(x)=3x2−3=0，x=−1，1．x<−1时，f(x)单调增，−1<x<1时，单调减，x>1时，单调增，f(−1)=2，f(1)=−2，要有三个不等实根，则直线y=k与f(x)的图象有三个交点，∴−2<k<2故答案为：(−2,2)．利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．13.答案：相切解析：解：由题意得，y′=3x2+1≥1，则直线l的斜率为1，此时x=0，故切点坐标为p(0,1)，∴直线l的方程为：y−1=x，即x−y+1=0，则圆x2+y2=12的圆心到直线的距离d=√2=√22，故此直线与此圆相切，故答案为：相切．由题意求出y′=3x2+1，进而可求出最小值即所求的直线斜率，并且可求出切点坐标，代入点斜式求出直线方程，再求出圆心到直线的距离，再进行判断直线和圆的位置关系．本题考查了导数的几何意义、切点的求法，以及直线的点斜式和直线与圆位置关系的判断方法．14.答案：√51+2i解析：解：由已知图形可得，z=2−i，则|z|=|2−i|=√22+(−1)2=√5；z⋅i=(2−i)i=1+2i．故答案为：√5；1+2i．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．15.答案：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2=(−1)n+1(1+2+⋯+n)n∈N∗解析：解：由等式：1=1，1−4=−(1+2)，1−4+9=(1+2+3)，1−4+9−16=−(1+2+3+4)，…可见第n个等式左侧是通项为(−1)n+1n2的前n项和，右侧为(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)，所以第6个式子为：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)第n个等式为：1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2=(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)．故答案为：1−4+9−16+25−36=−(1+2+3+4+5+6)，1−4+9−16+⋯+(−1)n+1n2 =(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)．观察等式，发现规律：第n个等式左侧是通项为(−1)n+1n2的前n项和，右侧为(−1)n+1(1+2+3+⋯+n)，则第n个等式即可写出．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．16.答案：解析：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用导数研究函数的单调性和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算能力，推理论证的能力，属于中档题．(1)根据条件可知则数列为首项，以为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出所求；(2)欲证构造函数f(x)=ln(1+x)−x(x≥0)，然后利用导数研究该函数的单调性，从而证得结论．17.答案：(1)(2)根据定义，只要证明即可。