关于三维坐标转换参数的讨论
基于改进SQPM算法的三维直角坐标转换
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坐标系转换方法和技巧
坐标系转换方法和技巧1.二维坐标系转换：二维坐标系转换是将平面上的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
常用的方法有旋转、平移和缩放。
-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。
-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。
-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。
2.三维坐标系转换：三维坐标系转换是将空间中的点从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
常用的方法有旋转、平移和缩放。
-旋转：通过改变坐标系的旋转角度，可以将点从一个坐标系转换到另一个坐标系。
-平移：通过改变坐标系的平移量，可以将点从一个坐标系平移到另一个坐标系。
-缩放：通过改变坐标系的比例尺，可以将点从一个坐标系缩放到另一个坐标系。
3.地理坐标系转换：地理坐标系转换是将地球表面点的经纬度坐标转换为平面坐标系（如UTM坐标系）或其他地理坐标系中的点。
常用的方法有投影转换和大地坐标转换。
-投影转换：根据不同的地理投影模型，将地理坐标系中的点投影到平面上。
常用的地理投影包括墨卡托投影、兰伯特投影等。
-大地坐标转换：根据椭球模型和大地测量的理论，将地理坐标系中的点转换为具有X、Y、Z三维坐标的点。
常见的大地坐标系包括WGS84和GCJ-02等。
4.坐标系转换的技巧：-精度控制：在坐标系转换过程中，需要注意精度的控制，以确保转换后的坐标满足要求。
-参考点选择：在坐标系转换过程中，选取合适的参考点可以提高转换的准确性和稳定性。
-坐标系转换参数的确定：在进行坐标系转换时，需要确定旋转角度、平移量和比例尺等参数，可以通过多点共面条件、最小二乘法等方法进行确定。
-转换效率优化：针对大规模的坐标系转换，可以采用分块处理、并行计算等技术来提高转换效率。
在进行坐标系转换时，需要根据具体的需求选择适当的方法和技巧，并结合具体的软件工具进行实现。
同时，还需要注意坐标系转换的精度和准确性，确保转换结果符合要求。
三维多段线转二维多段的方法
三维多段线转二维多段的方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述是文章引言部分的一部分，旨在简要介绍本文所要讨论的主题以及解决问题的目的。
对于本篇文章《三维多段线转二维多段的方法》，我们将探讨如何将三维多段线转换为二维多段线的方法。
在计算机辅助设计中，多段线是一种常用的图形元素，它由一组节点和与节点相连接的线段组成。
我们常见的三维多段线指的是在三维空间中定义的多段线，它可以用来描述复杂的三维图形。
然而，在某些情况下，我们可能需要将三维多段线转换为二维多段线，以满足某些特定需求，例如在平面图绘制、建筑规划和展示等方面。
这个过程需要定义一种方法，能够有效地将三维多段线的信息投影到二维平面上，从而得到二维多段线的表示。
为了实现这个目标，本文将介绍两种常见的方法：投影法和剖面法。
这两种方法各有其特点和适用场景，读者可以根据具体需求选择合适的方法来进行三维多段线转二维多段的操作。
通过本文的研究，我们将为读者提供清晰的方案和技术参考，帮助他们理解并掌握将三维多段线转换为二维多段线的方法。
同时，通过对这些方法的比较和分析，我们也可以深入了解不同方法的局限性和优缺点，为今后的相关研究和应用提供参考依据。
综上所述，本篇文章旨在介绍三维多段线转二维多段的方法，通过对两种常用方法的描述和分析，帮助读者理解并应用这些方法，以满足实际需求。
在接下来的章节中，我们将详细介绍三维多段线和二维多段线的定义和特点，并说明两种转换方法的实现原理和应用场景。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以是：文章结构部分旨在为读者提供关于本文的组织和内容概述。
本文将按照以下结构展开：引言部分将首先对本文的主题进行概述，介绍三维多段线转二维多段线的方法。
接着，文章将介绍文章的整体结构，包括各个章节的内容和主要观点。
最后，我们将强调本文的目的，即为读者提供了解这一方法的全面指导。
正文部分将首先介绍三维多段线的定义和特点，包括它在三维坐标系中表示空间曲线的方法和特征。
三维_极坐标与直角坐标的互化_解释说明
三维极坐标与直角坐标的互化解释说明1. 引言1.1 概述在数学和物理学中，坐标系统是一种用于描述物体位置的工具。
我们常用的直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成，可以描述点在平面上的位置。
然而，在某些情况下，直角坐标系并不能很好地描述物体的位置信息，特别是当涉及到球对称结构或者极向性场景时。
为了解决这个问题，人们引入了三维极坐标系。
极坐标系使用两个参数来描述点的位置：径向距离与方位角。
它将空间划分为一组同心圆和一组以原点为顶点的旋转平面锥（还包括了一个垂直于这些平面锥的半径轴），从而提供了另一种描述三维空间中点位置的方式。
本文将深入探讨三维极坐标与直角坐标之间的互化关系，包括它们各自的定义与表示方法以及彼此之间的转换方法。
1.2 文章结构本文共分为四个部分：引言、三维极坐标与直角坐标的互化、应用场景和优劣势比较以及结论。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，并介绍直角坐标系与三维极坐标系的基本概念。
在第二部分，我们将详细介绍三维极坐标与直角坐标的定义与表示方法，包括如何确定点在两种坐标系下的位置。
第三部分将探讨应用场景和优劣势比较。
我们将分析在不同领域中使用三维极坐标和直角坐标的情况，并比较它们各自的优势和劣势。
此外，我们还会通过实际应用案例来说明其具体应用。
最后，在结论部分，我们将总结主要观点和发现结果，并对未来发展趋势提出展望和建议。
1.3 目的本文的目的是深入探究三维极坐标与直角坐标之间的互化关系。
通过详细介绍它们两者的定义、表示方法以及转换方法，希望读者能够更好地理解它们之间的联系和差异，并能够根据具体问题选择适合的坐标系统进行描述。
同时，通过对应用场景和优劣势比较的探讨，进一步增进对这两种坐标系统特点及其适用性的认识，并为未来的研究和应用提供一定的参考和启示。
2. 三维极坐标与直角坐标的互化:2.1 三维极坐标的定义与表示方法:三维极坐标是一种在空间中描述点位置的方式。
它使用一个距离、一个仰角和一个方位角来表示点的坐标。
极坐标方程和直角坐标方程怎么互化三维
极坐标方程和直角坐标方程怎么互化三维在三维几何学中，我们常用的坐标系统是直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系。
这种坐标系使用三个坐标轴（x、y、z轴）来表示空间中任意一点的位置。
然而，在某些情况下，使用极坐标系来描述三维空间中的点更加方便和直观。
极坐标系使用极径（r）、极角（θ）和高度（h）来表示一个点的位置。
互换的必要性在一些领域，如天体物理学、工程设计和计算机图形学中，常常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行互换。
通过这种互换，我们可以更方便地描述和处理某些特定几何形状和问题。
极坐标方程转直角坐标方程下面我们来介绍如何将给定的极坐标方程转换为直角坐标方程。
假设我们有一个极坐标方程，形如：r = f(θ)其中f(θ)是一个关于极角θ的函数。
要将其转换为直角坐标方程，我们可以使用以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)通过这些关系，我们可以将极坐标方程中的r和θ转换为直角坐标系中的x和y。
这样，我们就得到了一个用直角坐标表示的方程。
这个方程描述了一个曲线、平面或曲面，并可以在直角坐标系中方便地进行分析和计算。
直角坐标方程转极坐标方程与极坐标方程转换为直角坐标方程相反，我们也可以将给定的直角坐标方程转换为极坐标方程。
假设我们有一个直角坐标方程，形如：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个关于x和y的函数。
要将其转换为极坐标方程，我们可以使用以下关系：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)将上述方程代入直角坐标方程，我们可以得到：F(r * cos(θ), r * sin(θ)) = 0这样，我们就得到了一个用极坐标表示的方程。
这个方程描述了一个极坐标系中的曲线、极面或极体，并可以在极坐标系中方便地进行分析和计算。
示例让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个极坐标方程：r = 2sin(θ)。
根据之前的转换关系，我们可以将其转换为直角坐标方程：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)代入r = 2sin(θ)：x = 2sin(θ) * cos(θ)y = 2sin(θ) * sin(θ)化简得：x = 2sin(θ) * cos(θ) = sin(2θ)y = 2sin^2(θ) = 1 - cos(2θ)通过这个转换，我们将极坐标方程r = 2sin(θ)转换为了直角坐标方程x = sin(2θ)和y = 1 - cos(2θ)。
相控阵雷达波束调度中的三维坐标转换方法
— —
Ｉ Ｒｃ Ｏｎ Ｘ ｐ ｓｓ ￣ ｐ ｉＰ ｏ
转换矩阵记为 Ｈ， 则从 雷达直角 坐标系旋转 到天线 阵面直角坐 标系的转 换公 式为 （ ３ ）
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（１ １）
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作者简介 ： 温丹昊（９ ０ ）男 ， ， １ ８ 一， 汉 工程 师， 硕士 ， 主要从事雷达资源调 度、 数据处理方面研 究。
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２ ・ ６
科 技 论 坛
ｃ０ ｌ 『ｓ ０一ｉ ｌ１ ｏ ｓｏｘ ￣［ ｖ ｌ １ ０ ’ Ｉ ０
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或
：
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任何两 坐标系 的旋转变 换关 系可 由以上式 （ ） ８ 一式 （０ 中的 ３ １） 个基本旋转矩阵的合成得到 。 由 ２１ ２３节的描述能够看 出天线阵面 直角坐标 系可以 由雷 ．和 ． 达直角 坐标系经过两 步旋转得 到 ， 一步 ， 第 雷达直 角坐标 系绕天线 方位轴 ｚ轴顺 时针旋转 Ａ ｐ的角度 （ 即逆 时针 旋转 一 ｐ的角度 ）第 Ａ ， 二步 ， 天线俯仰 轴 ｘ轴逆 时针旋转 Ｅ 绕 ｐ的角度 ， 这样 就形成 了天 线阵面直角坐标系 ， 中 Ａ 其 ｐ为阵面方位角 ， ｐ为阵面俯仰 角 ， Ｅ 都可 以事先 由专用设备测量得到 。由此 ， 以得知从雷达 直角坐标 系旋 可 转得到天线阵面直角坐标系 的转换矩 阵为
ｌ 云 ）
（ ４ ）
３ ． ４波束指 向信息 坐标转换过程 波束调度模块从 跟踪模块等得到 的跟 踪波束指 向信息 （ 即雷 达 的 目标测 量值 ） 是基 于雷达球 坐标 系的 ， 记为 （ ，， ， ＲＡＥ）波束 的方 位 角 Ａ和仰角 Ｅ是 相对与正北 向和水平 面的．综合上 述坐标 转换 公 式， 相控 阵雷达波束 调度模块 进行波束指 向信息 的三维坐标转换 过
三维坐标转换模型的原理
１ Ｏ Ｏ
０
） 与（ 、 五 、 五 ） 两者之间的关系为三维转换
，
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模型。
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一 ］
Ｉ Ｉ － ， ｎ １ ／ ７ ／ ， ｌ
１ 布 尔莎模 型
布尔莎模型即七参数模型 ， 如图 １ 所示 。 （ Ｘ 、 Ｙ 、 Ｚ） 与（ Ｘ 、 ｙ １ 、 Ｚ ） 采用最小二乘法求得。上
以讨论 。
关键词 ： 三级转 换模型 ； 布尔荷模型 ； 莫洛金斯基接型 ； 武测模 型； 原理
中图分类号 ： Ｐ ２ ２ ８ ． ４ 文献标识码 Ｂ
与０ 一
— ． ． ． ． ． ． 。 ．
假设有两个空 间直角 坐标 系 一
，
１●●●
＿ ． ． ． ． 。 ． ．
这两个坐标 系具有 不 同的原 点 以及不 相互 平
图１ 两个 空 间直 角坐标 系间 的关 系
图中显示有两个定向的直角坐标系 ， 即 ０一 Ｘ Ｙ Ｚ 与Ｑ 一 ｙ ｌ ｚ ， △ｙ △ｚ； 两个 坐标 系的坐标轴
以此 写成 如 下误差 方 程式 的形 式 ：
２ ０ １ ５年 第 ３期 （ 第４ ３卷 ）
黑
龙
江
水
利 科
技
Ｎｏ ． ３ ． ２ ０ １ ５
Ｈｅ ｉ ｌ ｏ ｎ ｇ ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｅ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ｏ ｆ Ｗａ ｔ ｅ ｒ Ｃ ｏ ｎ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｎ ｃ ｙ
摘 要 ： 大地坐标 系按其 原点对地球 质心 的位置可分 为两部分 ， 即局部坐标 系与地心 坐标系 。
局部坐标系通常是以经典测绘技术为基础而研究建立的。地心坐标系则是以卫星大地测量为
3维坐标转换参数直接计算的严密公式
3维坐标转换参数直接计算的严密公式在三维空间中，坐标转换参数用于将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
在这个过程中，我们需要确定相对位置和方向的参数。
假设我们有两个坐标系，分别为坐标系A和坐标系B。
坐标系A的原点为O_A，坐标系B的原点为O_B。
我们需要将一个在坐标系A中点的坐标(x_A,y_A,z_A)转换到坐标系B中的坐标(x_B,y_B,z_B)。
要完成这个转换，我们需要确定两个参数：平移向量和旋转矩阵。
平移向量确定了两个坐标系原点之间的相对位置。
我们可以通过测量两个原点之间的直线距离来获得平移向量的长度，然后通过向量运算获得平移向量的方向。
平移向量可以表示为(Tx,Ty,Tz)。
旋转矩阵确定了两个坐标系之间的旋转方向和角度。
旋转矩阵是一个3x3的矩阵，可以表示为：R=[r11r12r13][r21r22r23][r31r32r33]其中r11、r12、r13等元素是旋转矩阵的元素。
为了确定旋转矩阵，我们可以使用欧拉角、四元数或旋转矩阵之间的转换关系。
这些方法可以将旋转矩阵表示为方便计算的形式。
在坐标转换中，我们首先将点的坐标向量表示为[x_A,y_A,z_A]，然后将其平移到新的坐标系中：[x_B',y_B',z_B']=[x_A,y_A,z_A]-[Tx,Ty,Tz]其中[x_B',y_B',z_B']是相对于坐标系B中原点的新坐标。
接下来，我们将新坐标通过旋转矩阵进行旋转：[x_B,y_B,z_B]=R*[x_B',y_B',z_B']这样，我们就得到了点在坐标系B中的新坐标。
综上所述，坐标系的转换可以通过确定平移向量和旋转矩阵来实现。
通过测量两个坐标系原点之间的距离，并计算旋转矩阵的元素，我们可以直接通过计算得到坐标系的转换参数。
这些参数可以用于将一个坐标系中的点的坐标转换到另一个坐标系中。
尽管这个过程可能比较复杂，但是通过严密的数学推导和计算，我们可以得到准确的坐标转换结果。
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关于三维坐标转换参数的讨论
摘要:首先对坐标转换的物理意义进行解释,又把传统3个旋转角参数用反对称矩阵的3个元素代替,推出用3个和4个公共点直接计算转换参数的严密公式,在此基础上推导出严密的线性化公式。
由于不用进行三角函数计算,只用简单加减乘除,也不用迭代计算,所以该模型计算速度快。
关键词:三维坐标转换;转换参数;转换矩阵;反对称矩阵;罗德里格矩阵
一、引言
三维直角坐标转换中，采用7参数Bursa2Wolf 模型、Molodensky 模型和武测模型[1 ] ,当在两坐标系统下有3 个公共点,就可惟一解算出7个转换参数;多余3个公共点时,就要进行平差计算,转换参数的初值(特别是旋转角) 的大小,直接影响平差系统稳定性和计算速度,有时使得解算的参数均严重偏离其值[2 ] 。
随着移动测图系统(Mobile Mapping System ,简称MMS) 技术的成熟和应用,对运动载体(飞机、轮船、汽车等) 姿态的测量( GPS + INS) 也越来越多[3～5 ] ,任意角度的3 维坐标转换计算也越来越多。
在平台上安装3 台或4 台GPS 接收机,来确定运动载体的位置和空间姿态,这时的旋转角可以说是任意的,取值范围是- 180°至180°,就需要准确计算转换参数模型,适应于任意旋转角的坐标转换。
本文在解释坐标转换的物理意义的基础上,导出3 维坐标转换7
参数直接计算的模型,以旋转矩阵的确定为核心,导出了3 点法和4 点法(两坐标系统下公共点数) ,用反对称矩阵和罗德里格矩阵性质推出的公式严密,该模型计算速度快。
二、三维坐标转换的物理意义和数学模型
1. 物理意义
如图1 所示,在两坐标系统下有4个公共点,在不同坐标系统内, 看成四面的刚体, 如图1（a) , (b)坐标转换的物理意义就是通过平移、旋转和缩放,使两个刚体大小和形状完全相同。
具体过程是,设公共点1 为参考点,将图1 (b) 坐标轴和刚体平移,与对应的图1 (a) 刚体的点1 重合,如图1 (c) , 平移量为[ u v w ]T;然后以点1 为顶点,绕3 轴旋转,使两坐标系统的坐标轴平行, 以参考点为顶点的边重合,其他各边平行,两刚体是相似体,只是大小不同,如图1 ( d) ; 最后进行缩放, 使两刚体大小也相同。
这样两坐标系统和3 个轴重合,原点统一,从而形成坐标系统转换。
图1
2. 数学模型
根据坐标转换的物理过程,可得到数学模型
可见[ Xm Ym Zm ]T = [ XT1 - XS1 YT1 - YS1 ZT1
- ZS1 ]T ,进一步变为
式(2) 左边是目标坐标系统下的坐标, 右边(下标为S) 表示原坐标系统下坐标; [ΔX ΔY ΔZ ]T =R[ Xm Ym Zm ]T 为平移因子,其意义是参考点旋转后的坐标；λ为尺度因子; R 为坐标转换旋转矩阵,或转换矩阵, R = R3 R2 R1 , R1 是把原坐标绕Z
轴旋转θ角得到的旋转矩阵, R2 是绕新的X 轴旋转< 得到的旋转矩阵, R3 是绕新Y 轴旋转ψ得到的旋转矩阵。
（3）
所以
（4）
习惯上称ΔX ,ΔY ,ΔZ ,λ,θ, <,ψ为7 参数,后3个称为旋转参数或角度参数。
3. 模型参数确定的分析
由数学建模过程可以得出,尺度因子λ最好确定,是刚体对应边长比的平均值,平移参数只有在旋转矩阵R 确定后方能确定,所以旋
转矩阵的确定是参数直接解算的核心。
由式(4)可知,3个角度参数用下式计算
（5）
但在任意条件下, 3个角取值范围是0°～360°, 具体大小无法判断,由式(3) 才能判断出具体大小。
实际应用中,只要解出转换矩阵就能达到坐标转换的目的。
设
是一个正交矩阵,其9个元素中只有3个是独
立的。
又设反对称矩阵
,其元素是独立的。
R 由S 构成罗德里格矩阵[6 ]
（6）
其中Δ= 1 + a2 + b2 + c2 。
本文就是以反对称矩阵和罗德里格矩阵性质建立直接计算的公式。
三、3 点法计算转换参数公式
在已知两坐标系统下3个公共点计算7个参数的方法称为3 点法,其计算过程如下。
1.反对称矩阵和罗德里格矩阵性质
其中, I 是3 阶单位阵。
2. 转换参数直接解算
通过上述可知,转换参数的确定关键是旋转矩阵的确定,以下是根据反对称矩阵和罗德里格的性质,由3 个点计算转换参数的公式推导。
由式(2) ,由公共点1 ,2 可列两组6 个方程, 用点2 方程减去点1 方程,消去平移参数,并把式(7c) 代入
或（8）
展开整理后得
（9）
上式只有两个独立方程,不能解出3 个未知数,用点1 ,3 可得一组方程,和式(9) 联合,取3 个
（10）
式中, u2 =λXS21 + XT21 , v2 =λYS21 + YT21 , w2 =λZS21+ ZT21 , u3 =λXS31 + XT31 , v3 =λYS31 + YT31
（11）
式中,ΔH = u3 v2 w2 - u2 v3 w2 , 由式(7a) 就可计算出转换矩阵,由式(2) 可得到平移参数
（12）
四、算例
以3 点计算为例,表1 列出原坐标系统和目标系统下3 个公共点坐标。
由此得到两坐标系统转换的数学模型为
本例设计的3个旋转角为55°19′42″,212°32′47″和140°45′22″。
五、结论
1. 该模型从理论上讲比较严密,原理简单,只用加减乘除就能计算,实现起来比较容易。
2. 由于是直接解算,所以无论参数值大小如何,转换参数都是比较接近真值的。
3. 适应任意旋转角情况下坐标转换,扩大了模型的应用范围。
4. 给出了线性化形式,当多于3 个公共点时,为进一步最小二乘法平差作了准备。
参考文献:
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