第一章对称性与群论
分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
群论概论-对称性
有限运动群与离散运动群对称是一种普遍存在现象，在数学中它与群有着密切的联系，这里我们将从群的角度来理解对称，并讨论刚体运动的分类与性质，根据这些性质，我们将刻画平面上有限运动群和离散运动群。
对称是一种普遍存在现象，在数学中它与群有着密切的联系，而刚体运动是一种特殊的对称，他在现实生活中有广泛的应用，比如说力学，晶体化学，纺织工业中，都有很多应用。
下面将给出刚体运动的定义与性质，并由此推导出一些有趣的结果。
定义 平面P 到自身的映射:m P P →称为刚体运动，如果它保持距离不变。
定理1 任意刚体运动都可以由下列三类刚体运动合成得到：（i ）由向量a 给出的平移a t ；（ii ）围绕原点转过角度θ的旋转θρ；（iii ）关于x 轴的反射r 。
定理2 任意一个刚体运动为下列运动之一:（a ） 保向运动：（i ）平移：由向量a 给出的平移:a t p p a →+（ii ）旋转：绕某一点转过角度θ （b ）反向运动：（i ）关于直线l 的反射（ii ）滑动反射：先关于直线l 反射，再平移一个与直线l 平行的向量a（c ）恒等映射设G 是保持原点不动的刚体运动群的群O 的一个子群，则G 是下面的群之一： （a ）n G C =：n 阶循环群，由旋转θρ生成，其中2nπθ=。
（b ）n G D =：2n 阶二面体群，由两个元素生成，一个由旋转θρ生成，其中2nπθ=，另一个由关于过原点的直线的反射'r 生成。
证明：设G 是O 的有限子群，而O 的元素是旋转θρ和反射r θρ。
（1）G 中的元素都是旋转。
我们要证明在这种情形下G 是循环群。
若G={1}，则1G C =，否则G 有一个非平凡的旋转θρ。
令θ为G 元素中旋转转过的最小正角度。
则G 由θρ生成。
若有αρ是G 中的旋转，设n θ是比α小的最大的θ的倍数，则n αθβ=+，且0βθ≤<，那么有nn n G βαθαθαθρρρρρρ---===∈，由于θ是最小正旋转，因而有0β=。
群论与对称性的研究
群论与对称性的研究对称性是数学中常见且重要的概念，而群论正是研究对称性的一种数学工具。
本文将探讨群论在对称性研究中的应用，从基本概念到一些重要的结果，深入探讨群论对于对称性理解和分析的重要性。
一、引言对称性在自然界和数学领域都起着至关重要的作用。
无论是物理学中的对称性定律，还是几何学中的对称图形，都有一个共同的基础——群论。
群论是代数学的一个分支，专门研究集合中的元素以及它们之间的运算规则。
群论可以用来描述和研究各种各样的对称性，从而在许多领域产生了深远的影响。
二、群的定义与基本性质群是一个集合 G，上面定义了一个运算 *，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
群的定义是群论研究的核心，它不仅仅是一种抽象的代数结构，更是研究对称性的基础。
通过群的定义，我们可以描述和分析各种对称性，如平移、旋转、反射等。
三、对称群与置换群对称群和置换群是群论中最常见的两种群。
对称群是一个集合中所有对称变换所组成的群，而置换群是一个集合中所有元素的排列所组成的群。
对称群和置换群是群论与对称性研究紧密联系的重要工具。
通过对称群和置换群，我们可以描述和分析各种几何图形和物理现象中的对称性。
四、群同态与群同构群同态和群同构是群之间的映射关系。
群同态是指将一个群映射到另一个群，并保持运算规则的关系。
群同构是指两个群之间存在一种一一对应关系，并且保持运算规则的关系。
群同态和群同构可以帮助我们识别和分析不同群之间的相似性和差异性，从而更深入地理解对称性的本质。
五、对称性与群表示论群表示论是研究群如何作用于向量空间的一种数学工具。
通过群表示论，我们可以将群的元素表示为矩阵或线性运算符，并且研究其在向量空间中的作用。
群表示论在物理学和几何学中具有广泛的应用，例如量子力学中的旋转群表示和晶体学中的空间群表示等。
六、对称性破缺与群的标准模型对称性破缺是指在某些条件下，对称性被破坏或隐藏的现象。
群论在对称性破缺的研究中发挥了重要的作用，特别是在物理学中的标准模型的研究中。
数学中的群论与对称性
数学中的群论与对称性数学是一门充满美感和逻辑思维的学科，而群论是数学中非常重要的一个分支，关于对称性的研究也是群论中的一个重要内容。
本文将介绍群论的基本概念和对称性的数学表述，以及它们在实际问题中的应用。
一、群论的基本概念群论研究的是一种代数结构，称为群。
群是由一组元素和一个二元运算构成的，满足以下四个条件：封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元。
其中，封闭性指的是群中的任意两个元素进行运算得到的结果仍然在群中；结合律指的是在群中进行的运算满足结合律；单位元是群中的一个特殊元素，将它与群中的任意元素进行运算得到的结果不变；逆元是指对于群中的每一个元素，都存在一个与之相结合后得到单位元的元素。
群的例子非常丰富，比较常见的有整数加法群、整数乘法群、置换群等。
在群论中，有一些重要的概念，比如子群、循环群、陪集等。
子群是群中的一部分元素构成的群，其满足群的四个条件；循环群是由一个元素经过重复运算得到的群；陪集则是通过对同一个元素进行左或右平移得到的一组元素。
二、对称性与群论的关系对称性是一种普遍存在于自然界和人类社会中的现象，同时也是艺术、科学等方面追求的美的表现形式。
在数学中，对称性有着深入的研究，而群论则是对对称性进行数学化的描述。
在群论中，对称性可以通过群的元素和群运算来进行表述。
以平面上的正方形为例，我们可以将其旋转、翻转得到不同的对称形状。
这些对称操作可以看作是正方形所形成的群的元素，群运算则是这些操作间的组合。
通过对这个群的研究，我们可以得到正方形对称性的完全描述。
群论的对称性研究不仅限于几何图形，还可以应用于其他领域。
比如在物理学中，对称性是非常重要的概念。
很多物理理论都建立在对称性的基础上，比如在相对论中，洛伦兹变换描述了物理系统在不同参考系下的对称变换；在量子力学中，波函数的对称性对粒子的性质有着重要的影响。
三、群论在实际问题中的应用群论在实际问题中有广泛的应用。
其中一个典型的例子是密码学中的应用。
分子对称性和群论初步
Cn轴产生n个旋转操作的周期均为n。
（2）对称轴 (Cn )和旋转操作 (Cn )
对称元素: 旋转轴C2 对称操作: 旋转
H2O中的C2
H2O2中的C2
NH3中的C3轴
SF6中的C4轴
Fe(C5H5)2中的C5轴
C6H6中的C6轴
N2中的C∞轴
（3）对称面 s 和反映操作 s
对称面
相当于一个镜面，把分子图形分成两个完全相等的对称 部分，两部分之间互为镜中映象；对称面所相应的对称 操作是镜面的一个反映，在对称面的反映操作下，分子 图形相等的两部分互相交换位置，相同性质的点（同类 原子）彼此置换。显然，反映操作的周期为2，即：
ˆ ˆ =E s
操作定义
Cn旋转轴能生成n个旋转操作，记为：
2 ˆ ˆ n, Cn , C
…
, ˆn=E ˆ C Cn
n 1 n
ˆk 若取逆时针方向的旋转为正操作，表示为 C n，则顺 k ˆ 时 针 旋 转 为 逆 操 作 ， 表 示 为C n ，不难理 (nk )。 ˆk ˆ 解C n =C n
操作的周期
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个 n重象转轴，须考虑 n的奇偶性。 n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
物理学中的对称性与群论
物理学中的对称性与群论对称性与群论在物理学中有着重要的作用，对于理解自然界的本质和探究物质和能量的行为规律都有着不可或缺的意义。
本文将介绍对称性与群论在物理学中的应用，从对称群的定义、群表示与物理量变换、连续对称性和相对论性质等方面阐述其内涵和意义。
一、对称群的定义对称群是指一个物体或系统的所有对称操作所构成的群。
对称操作包括旋转、平移、镜像、反演等，它们是可以相互组合的，形成了一个数学结构，称为对称群。
对称群的研究可以揭示这个物体或系统的对称性质，从而为进一步研究提供了基础。
例如，一张圆形的纸片具有旋转对称性，可以将纸片顺时针或逆时针旋转若干度而看不出任何变化，这就是圆形的对称群。
另外，如果将圆形纸片剪成一条条线段，再沿着线段翻转，仍然能得到同样的图形，这就是镜像对称性。
这些对称操作构成了圆形的对称群。
二、群表示与物理量变换在物理学中，对称群不仅仅是一个数学结构，还是一种反映物理规律的基本规律。
在描述物理现象时，我们通常会用到物理量，如质量、电荷、能量等。
而这些物理量在对称操作下的变换也是非常重要的。
物理量的变换可以通过群表示的概念来描述。
群表示是将群元素映射到矩阵空间中的一个线性变换，在物理学中一般用来描述物理量的变化规律。
例如，一个物体在空间中的位置可以用一个三维矢量来表示，而空间中的平移操作可以用一个平移矩阵来表示。
这种表示方法可以方便地描述物体在平移下的位置变换。
另外，物理量的变换也可以用量子力学中的幺正变换来描述。
量子力学中，物理量由厄米矩阵表示，其变换由幺正矩阵表示。
这种表示方法可以方便地描述粒子在旋转、对称操作等对称变换下的状态变化规律。
群表示不仅适用于变换对称性的描述，还可以用来描述隐含对称性的物理规律。
例如，电荷在空间中的分布具有电荷密度对称性，这个对称性可以用群表示来描述。
此外，不少基本物理定律和理论都具有很强的对称性，如守恒定律、规范对称性等。
三、连续对称性和相对论性质对称群不仅在离散对称性中有着重要的应用，其在连续对称性中的应用也发挥着重要的作用。
第一章_分子的对称性和群论初步_2
群论在无机化学中的应用---例
• 例1: ABn型分子的σ杂化轨道 – 分子或离子:BF3,SO3,SF4,XeF4 … – 单核的配合物或配离子… ?:原子A以哪些原于轨道组成等价的σ杂化轨道的集合 • 特征标等于在该操作的作用下，不发生位移的向量 数．用化学的语言可表述为：特征标等于在该对称操 作的作用下，不动的化学键数． *这样得列的一组特征标是可约表示的特征标．
对称操作的表示矩阵
恒等 旋转 反映 旋转-反映
反演
对称群的表示：
一个分子的全部对称操作可形成一个群。而 把这些对称操作，用对称操作变换矩阵表示 时，这些变换矩阵也形成一个群。即用矩阵
群来表示对称操作群。因此，通常称这样的
矩阵群为相应对称(点)群的矩阵表示，简称
群的表示。
群的表示--• 由一组基函数得到的一组对称操作的表 示矩阵也构成群. 只要正确地写出点群中 每个对称操作的表示矩阵，就能够得到 相应群的矩阵表示． • 利用空间任意点的坐标，或者选择一定 的函数或物理量为基函数，不难得到对 称操作的表示矩阵．
群的不可约表示和特征标规则
1． 群的不可约表示维数平方和等于群的阶
对v的求和遍及该群所有的不可约表示．例1: C2v点群的四来自不可约表示均为一维，阶为4，即；
12 + 12 + 1 2 + 12 = 4 = h 例2: (1.24)
C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维, 阶为6， 即； 12 + 12 + 2 2 = 6 = h (1.25)
第一章 分子的对称性和群论基础 （二）
2分子对称性和群论初步
点群表示 点群示例
C
nv
= E ,C ,C n
2 n
,
…
,C
n 1 n
1 v
,s
,s
2 v
,
…
,s
n v
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
C3v
3). Cnh群
群中含有一个Cn轴，还有一个垂直于Cn轴σh面
点群示例
C 2h
C4 H 6
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个n重象转轴，须考虑n的奇偶性。n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
s Z 2
Y x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4 3 旋转90◦ 2 4 3
1
2
1
2
1
反映
4 3
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若：a G, E G,则有：aE Ea a, E为恒等元素 (d ) 存在逆元素：
若：a G,则必有：ab ba E 这里b为a的逆元素，记作： a1 b
一个分子所具有的对称操作的完全集合构成一个点群 每个点群有一个特定的符号
C2v 点群 C2v {C2, yz , xz , E}
封闭性： C2 xz yz 元素相乘符合结合律 ：
C2 ( xz yz ) C2C2 E (C2 xz ) yz C yzC yz E C2 ( xz yz ) (C2 xz ) yz
第六章：固体结构和性质
§1.固体的分子轨道理论 §2.固体的结构 §3.有代表性的氧化物和氟化物
第七章：生物无机化学与超分子化学
{ §1.生物无机化学
金属离子在人体中的作用 生物固氮
{ §2.超分子化学
分子识别 分子组装
分子器件
教材： 《高等无机化学》， 科大出版社
参考书目： 1. 《Advanced Inorganic Chemistry》
n重非真旋转轴(improper rotation) Sn 先旋转2π/n , 再对垂直于旋转轴的 镜面进行反映
CH4分子的四重非真旋转轴S4
(a) S1=σh
(b) S2= i
§2. 分子点群
1.群的定义
元素和它们的组合构成了的完全集合----群 对称元素可以交汇于空间的一点----点群 集合：G{a,b,c….}
近期诺贝尔化学或生理学奖热门候选人
Barnett Rosenberg, U.S.A.
1926-
顺铂发现者
In recognition of his outstanding contribution to medical research through his pioneering discovery of the value of
platinum-based compounds, notably cis-platin, in
treatment of testicular, ovarian and other cancers, and his persistence in proving their effectiveness.
点群中有一恒等操作E： EC2 C2E C2
每个元素都有其逆元素：
C 21C 2
C
2C
1 2
xz
1 xz
E
几种主要分子点群
(1) C1点群
[除C1外，无任何对称元素 ]
非对称化合物
(2) Cn 点群
[仅含有一个Cn轴 ]
几种主要分子点群
(3) Cs点群 仅含有一个镜面
(4) Cnv 点群 含有一个Cn轴和 n个竖直对称面
1
近期诺贝尔化学或生理学奖热门候选人
Prof. Dr. Stephen J. Lippard， USA. MIT
顺铂与DNA相互作用机理发现者 2
近期诺贝尔化学或生理学奖热门候选人
二价芳基钌抗癌药 的发现者
Ru与DNA相互作用 方式的发现者 （HKL, PJS）
Peter Sadler
MA, D. Phil (Oxon), FRS, FRSE Professor of Chemistry
3. 《无机化学》D. F. Shriver, P. W. Atkins, C. H. Langford 著, 高忆慈 史启祯 曾克慰 李丙瑞 等译 高等教育出版社 1997年7月 第二版
4. 《无机化学新兴领域导论》项斯芬编著 北京大学出版社 1988年11月 第一版
教材： 《高等无机化学》， 科大出版社
F. Albert Cotton, Geoffrey, Wilkinsion, Carlos A. Murillo, Manfred Bochmann, John. Wiley. New York, 1999. 6th. Ed. 2. 《中级无机化学》朱文祥 编 高等教育出版社
2004年7月 第一版
Head of Warwick Chemistry UK
3
高等无机化学 Advanced Inorganic Chemistry
主要内容
第一章：对称性与群论在无机化学中的应用 第二章：配合物电子光谱和反应机理 第三章：原子簇化合物* 第四章：金属金属多重键* 第五章：金属有机化合物* 第六章：固体结构和性质* 第七章：生物无机化学与超分子化学*
参考书目： 相关书籍都有电子版资料。
第一章：对称性与群论在无机化学中的应用
要求： 1、确定简单分子所属点群 2、解读特征标表 3、群论在无机化学中的应用
a. 对称性与分子极性 b. 分子的振动与IR、Raman光谱 c. 化学键与分子轨道等
§1面 反演中心 n重非真旋转轴 或旋转反映
第一章: 对称性与群论在无机化学中的应用 §1. 对称操作与对称元素 §2. 分子点群 §3. 特征表标 §4. 对称性与群论在无机化学中的应用
第二章：配合物电子光谱和反应机理 §1. 配合物电子光谱 §2. 取代反应机理和电子转移反应机理 §3. 几种新型配合物及其应用 §4. 功能配合物
第三章：原子簇化合物
对称操作
对称符号
恒等操作
E
旋转2π/n
Cn
反映
σ
反演
i
先旋转2π/n
再对垂直于旋转轴的 Sn 镜面进行反映
进行这些操作时，分子中至少有一个点保持不动 －－－“点群对称”操作。
n重对称轴 旋转2π/n Cn
NH3 的三重旋转轴 C3
C
2 3
镜面反映 σ
H2O分子的 两个镜面
C6H6分子 的镜面
反演中心 反演 i 注意i与C2的区别
{ §1. 非金属原子簇化合物
硼的原子簇 碳的原子簇
{ §2. 金属原子簇化合物
金属羰基化合物 金属卤素原子簇 金属异腈原子簇
金属硫原原子簇
第四章：金属金属多重键
§1. 金属金属四重键 §2. 金属金属三重键 §3. 金属金属二重键
第五章：金属有机化合物 §1. 金属有机化合物概述 §2. 金属不饱和烃化合物 §3. 金属环多烯化合物 §4. 等叶片相似模型 §5. 主族金属有机化合物 §6. 稀土金属有机化合物