分子对称性与群论基础
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分子的对称性与群论基础群与分子点群
群与分子点群
3、分子点群
立方群
3）、 Ih 点群
对称元素: 6个 C5 轴(相对顶点)、 10个 C3 轴(相对面心)、 15个 C2 轴(相对棱心)、 对称中心.
120个对称操作,分为10个共轭类:
Eˆ , 6 Cˆ5 ,Cˆ54 , 6 Cˆ52,Cˆ53 , 10 Cˆ3 , Cˆ32 , iˆ , 6 Sˆ10 , Sˆ190 , 6 Sˆ130 , Sˆ170 , 10 Sˆ6 , Sˆ65 ,
24
群与分子点群
4、子群与类
如果群的某个元素与其他元素的乘积都可交换，则该元素
自成一类（不与其他元素共轭）。
若：
PA = AP ,
PB =
BP , … ...
必有：
A-1PA = P , B-1PB =
P , …… 即:对元于素分子P 点不群与：其他元素共轭。 恒等操作自成一类； 反演操作自成一类。
O2 , CO2 , C2 H 2
13
群与分子点群
3、分子点群
立方群
具有多于一个高次轴(Cn，n>2)的群，对应于凸正 多面体
4个 C3 轴 3个 C2 轴
T
Th (i)
Td (6d)
正四面体
3个 C4 轴 4个 C3 轴 6个 C2 轴
O Oh (i)
正八面体 正六面体
6个 C5 轴 10个 C3 轴
27
群与分子点群
5、同构与同态
2)、同态 定义：考虑群G与群H，若G的一组元素对应与H的一个元 素，且群G的元素的乘积对应于群H的相应元素的乘积， 则称群H 是群G的一个同态映像。
群G： …., {Aik} , …, {Aj l }, …., {AikAjl} , ….
分子对称性与群论基础
三条C2旋转轴分别从每个C–C
x
键中心穿过通向Co.
C2 z
y
C2
Dnh : 在Dn 基础上，还有垂直于主轴的镜面σh .（为4n 阶群）
Dnh=Dn×{Ê , σh} = {Ê ，Ĉn， Ĉn2，…，Ĉnn-1 ；Ĉ2 (1), Ĉ2 (2) ，…， Ĉ2 (n) ；
σh ，Ĉnσh，Ĉn2σh，…，Ĉnn-1σh ； σh (1)， σh (2)，… ， σh(n) }
穿过正四面体每条棱 并将四面体分为两半 的是一个σd , 共有6个 σd 。
Y
X
从正四面体的每个顶点到对
面的正三角形中点有一条C3 穿过, 所以共有4条C3,可作出 8个C3对称操作。
Td 群:
沿着每一条C3去看, 看到的是这样:
金刚烷 (隐氢图)
沿着每一条C2去看, 看到的是这样:
Td 群
Li CH3
D2h 群 ：N2O4
D2h群：乙烯
主轴垂直于荧光屏. σh在荧光屏上.
D3h 群 ： 乙烷重叠型
D4h群：XeF4
D6h群：苯
Dh群： I3-
Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴
夹角的镜面σd 。 ( 为4n 阶群）
D2d : 丙二烯
D2d : B2Cl4
D3d : 乙烷交错型
长
凉
2.2 分子的对称操作与对称元素
对称操作：不改变图形中 任何两点的距离而能使图形复 原的操作叫做对称操作；
对称操作据以进行的几何 要素叫做对称元素.
分子中的五类对称操作及 相应的对称元素如下:
对称元素: 旋转轴 对称操作: 旋转
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（1）恒等元素与恒等操作
03第三章分子对称性与群论初步
对称元素：3C4+4C3+6C2+3h+6 d+3S4+4S6+i
O hE ˆ,3 C ˆ2,(3 C ˆ4,3 C ˆ4 3)4 ,C ˆ3,4 C ˆ3 2,6 C ˆ2 ,(3 S ˆ4,3 S ˆ4 3)3 ,ˆh ,(4 S ˆ6,4 S ˆ6 5)6 ,ˆd,iˆ
Oh 群
D3d : 乙烷交错型
D4d ：单质硫S8
C2 C2
C2 C2
俯视图
D5d : 交错型二茂铁
7. Sn群: 分子中只有一个n重象转轴。
当n为偶数时，
S n E ˆ ,S ˆ n ,S ˆ n 2 , ,S ˆ n n 1
当n为奇数时，
Sn Cnh
反式CHClBr-CHClBr: Ci
群的阶为4n；当n为偶数时，有对称中心i.
D2h 群 ：N2O4
D2h群：乙烯
主轴垂直于荧光屏. σh在荧光屏上.
D3h 群 ： 乙烷重叠型
D4h群：XeF4
D6h群：苯
Dh群： I3-
6. Dnd: 在Dn基础上, 增加了n个包含主轴且平分二次副轴夹角的镜
面σd.
Cn+nC2+nd+S2n(若n为奇数，有对称中心i)
2.群的举例：
（1）水分子的所有对称操作的集合构成一个群：
C 2v
Eˆ Cˆ 2
ˆ v ˆ v
Eˆ Eˆ Cˆ 2
ˆ v ˆ v
Cˆ 2 Cˆ 2
Eˆ ˆ v ˆ v
ˆ v ˆ v
ˆ v Eˆ
Cˆ 2
ˆ v ˆ v
ˆ v
Cˆ 2
Eˆ
（2）氨分子的所有对称操作的集合构成一个群：C3V
第一章_分子的对称性和群论初步_2
1). 用一个合适的基得出点群的一个可约表示； 2). 约化这个可约表示成为构成它的不可约表 示； 3). 解释各个不可约表示从而找出问题的答案。
群论在无机化学中的应用---例
• 例1: ABn型分子的σ杂化轨道 – 分子或离子:BF3,SO3,SF4,XeF4 … – 单核的配合物或配离子… ?:原子A以哪些原于轨道组成等价的σ杂化轨道的集合 • 特征标等于在该操作的作用下，不发生位移的向量 数．用化学的语言可表述为：特征标等于在该对称操 作的作用下，不动的化学键数． *这样得列的一组特征标是可约表示的特征标．
对称操作的表示矩阵
恒等 旋转 反映 旋转-反映
反演
对称群的表示：
一个分子的全部对称操作可形成一个群。而 把这些对称操作，用对称操作变换矩阵表示 时，这些变换矩阵也形成一个群。即用矩阵
群来表示对称操作群。因此，通常称这样的
矩阵群为相应对称(点)群的矩阵表示，简称
群的表示。
群的表示--• 由一组基函数得到的一组对称操作的表 示矩阵也构成群. 只要正确地写出点群中 每个对称操作的表示矩阵，就能够得到 相应群的矩阵表示． • 利用空间任意点的坐标，或者选择一定 的函数或物理量为基函数，不难得到对 称操作的表示矩阵．
群的不可约表示和特征标规则
1． 群的不可约表示维数平方和等于群的阶
对v的求和遍及该群所有的不可约表示．例1: C2v点群的四来自不可约表示均为一维，阶为4，即；
12 + 12 + 1 2 + 12 = 4 = h 例2: (1.24)
C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维, 阶为6， 即； 12 + 12 + 2 2 = 6 = h (1.25)
第一章 分子的对称性和群论基础 （二）
群论在无机化学中的应用---例
• 例1: ABn型分子的σ杂化轨道 – 分子或离子:BF3,SO3,SF4,XeF4 … – 单核的配合物或配离子… ?:原子A以哪些原于轨道组成等价的σ杂化轨道的集合 • 特征标等于在该操作的作用下，不发生位移的向量 数．用化学的语言可表述为：特征标等于在该对称操 作的作用下，不动的化学键数． *这样得列的一组特征标是可约表示的特征标．
对称操作的表示矩阵
恒等 旋转 反映 旋转-反映
反演
对称群的表示：
一个分子的全部对称操作可形成一个群。而 把这些对称操作，用对称操作变换矩阵表示 时，这些变换矩阵也形成一个群。即用矩阵
群来表示对称操作群。因此，通常称这样的
矩阵群为相应对称(点)群的矩阵表示，简称
群的表示。
群的表示--• 由一组基函数得到的一组对称操作的表 示矩阵也构成群. 只要正确地写出点群中 每个对称操作的表示矩阵，就能够得到 相应群的矩阵表示． • 利用空间任意点的坐标，或者选择一定 的函数或物理量为基函数，不难得到对 称操作的表示矩阵．
群的不可约表示和特征标规则
1． 群的不可约表示维数平方和等于群的阶
对v的求和遍及该群所有的不可约表示．例1: C2v点群的四来自不可约表示均为一维，阶为4，即；
12 + 12 + 1 2 + 12 = 4 = h 例2: (1.24)
C3v点群的三个不可约表示中，两个一维，一个二维, 阶为6， 即； 12 + 12 + 2 2 = 6 = h (1.25)
第一章 分子的对称性和群论基础 （二）
(完整版)第三章-分子对称性和群论初步
操作A和B是可交换的。
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
两个或多个对称操作 的结果，等效于某个 对称操作。
例如,先作二重旋转，再对垂直 于该轴的镜面作反映，等于对 轴与镜面的交点作反演。
对称操作的乘积示意图
2.分子点群的确定
分子可以按 “点群”或“对称群”加以分 类。在一个分子上所进行的对称操作的完全组 合构成一个“点群”或“对称群”。
Third
确定分子是否具有象转轴Sn（n为偶数），如果只 存在Sn轴而别无其它对称元素，这时分子属于假轴 向群类的Sn群。
3. 分子点群的确定
Forth
假如分子均不属于上述各群，而且具有Cn旋转轴时 可进行第四步。当分子不具有垂直于Cn轴的C2轴时，
则属于轴向群类。有以下三种可能：
没有对称面 若有n个sv对称面 若有1个sh对称面
Z s2
Y
x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4
3
43
旋转90◦
12
2
1
2
1 反映
43
3 4
2
1
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
补充：反轴（In）和旋转反演操作(In )
反轴
如果分子图形绕轴旋转一定角度（θ=2π/n）后， 再按轴上的中心点进行反演，可以产生分子的 等价图形，则将该轴和反演组合所得到的对称 元素称为反轴。
对称中心的反演操作，能使分子中各相互对应的原子 彼此交换位置。即分子图形中任意一个原子的位置 A(x,y,z)将反射到点A’(-x,-y,-z)，同时A’点将反射到A点， 从而产生分子的等价图形。示意图.exe
对分子图形若连续反演n次，可以满足：
iˆ
nLeabharlann =E(n为偶数) ˆi(n为奇数)
第一章分子对称性与群论基础3
A P1AP, B' P1BP, ....... 则： Tr A Tr A' , Tr B Tr B' , ......
若：
证明： 先证： TrABC TrBCA
ABCii aijb jk cki i i j k b jk ckiaij j i k BC A jj
1/ 4 3 2 C3 3 4 1 / 2 34 3 2 3/ 4 3 4 14
1 0 0 σV 0 1 0 0 0 1
2 σ V σ V C3
C2 3 C3C3
σ V σ V C3
--- 可约表示
1/ 2 σV 3 2 0
3 2 0 1 / 2 0 0 1
1 / 2 3 2 0 σ 3 2 1/ 2 0 V 0 0 1
有：
b E Ea Eb , C3 Ca C 3 3 , ......
A X 1BX
XX 1 E
ˆ ) (B ˆ) (A
（相似变换不改变矩阵的迹 ）
例：考虑C3V点群各对称操作的矩阵表示。选基函数为：
f1 , f 2 , f 3 x 2 y 2 ,2xy, x 2 y 2
则：
1 0 0 E 0 1 0 0 0 1
1/ 2 σV 3 2 0
3 2 0 1 / 2 0 0 1
1 / 2 3 2 0 σ 3 2 1/ 2 0 V 0 0 1
可见：
( E) 3
(C3 ) (C32 ) 0
2分子对称性和群论初步
点群表示 点群示例
C
nv
= E ,C ,C n
2 n
,
…
,C
n 1 n
1 v
,s
,s
2 v
,
…
,s
n v
C2 v
C2 H 2Cl2
C3 v
NH 3
C v
CO
C3v
3). Cnh群
群中含有一个Cn轴，还有一个垂直于Cn轴σh面
点群示例
C 2h
C4 H 6
S8
2.5 假轴向群 Sn群
Sn：有一个n重象转轴，须考虑n的奇偶性。n为偶数时， 群中有n个元素，n为奇数时，Sn不独立存在。 只有S4是独立的点群。例如：1,3,5,7-四甲基环辛四烯， 有一个S4映转轴，没有其它独立对称元素。
S2 S4
2.6 六方群
1). Td群
若一个四面体骨架的分子，存在4个C3轴，3个C2轴，同时每 个C2轴还处在两个互相垂直的平面sd的交线上，这两个平面还 平分另外2个C2轴（共有6个这样的平面）则该分子属Td对称性。 对称操作为｛E，3C2，8C3，6S4，6sd｝共有24阶。 四 面 体 CH4 、 CCl4 对 称 性 属 Td 群 ， 一 些 含 氧 酸 根 SO42- 、 PO43-等亦是。在CH4分子中，每个C-H键方向存在1个C3轴，2 个氢原子连线中点与中心C原子间是C2轴，还有6个sd平面。
s Z 2
Y x
独立：可以通过其它对称元素或组合来产生。
CH4中的象转轴S4与旋转反映操作
4 3 旋转90◦ 2 4 3
1
2
1
2
1
反映
4 3
分子的对称性和群论初步
属4阶群
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
H3BO3分
子
C3h C31, C32 , C33 E, h , S31, S35
属6阶群 S31 hC31，S32 C32，S33 h S34 C31，S35 hC32，S36 E
Cnh Cnk (k 1,n 1), E, h , hCnl (l 1,l 1)
非全同：不能通过平移或转动等第一类对称操 作使两个图形叠合。
2.旋光异构体：一对等同而非全同的分子构成 的一对对映体。
3.手性分子：没有第二类对称元素的分子。
R（右，顺时针方向转）和 S（左，逆时针旋转） 外消旋体：等量的R和S异构体混合物一定无旋光
性方向相反
4.对称性和旋光性的关系
✓ 若分子具有反轴Ι（先旋转360°/n,再反演）的对 称性，一定无旋光性；若分子不具有反轴的对称性， 则可能出现旋光性。
元的数目有限的群称为有限群，数目无限的群 称为无限群。
点群：一个有限分子的对称操作群 ☞“点”的含义 ✔这些对称操作都是点操作，操作时分子中至少
有一个点不动。 ✔分子的对称元素至少通过一个公共点。
2.2 群的乘法表
※顺序
乘法表由行和列组成，在行坐标x和列坐标y的 交点上找到的元是yx，即先操作x，后操作y。每一 行和每一列都是元的重新排列。
C6轴： C6轴包括C2 和C3 的全部对称操作。
1.3 反演操作和对称中心 i
反演操作： 将分子的各点移到对称中心连线的延长线上，
且两边的距离相等。若分子能恢复原状，即反演操 作。
✔对称因素：对称中心 i ✔特点：延长线，等距
除位于对称中心的原子外，其余均成对出现
若对称中心位置在原点 （0,0,0）处，反演操作i的表 示矩阵为：
✓ 一重反轴=对称中心，二重反轴=镜面，独立的反 轴只有I4 。则具有这三种对称操作的无旋光性， 不具有这3种对称元素的分子都可能有旋光性。
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象转轴
对称中心
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旋转2π/n，继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
相对于对称中心的反演
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2013-8-11
对称操作与对称元素 （1）旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线，绕此轴旋
转一定角度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转 可以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
x' x cos sin 0 x ' y C () y sin cos 0 y z' z 0 0 1 z
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绕主轴旋转操作示意图
向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角
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2013-8-11
对称操作的矩阵表示 对于氨分子，n=3，旋转角为120°
1 / 2 3 / 2 0 1 C3 C3 (120 ) ~ 3 / 2 1 / 2 0 0 0 1 1/ 2 2 C3 C3 (240 ) ~ 3 / 2 0 3 / 2 0 1 / 2 0 0 1
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a b c
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c a b
I
2 C3 1 C3
I
2 C3
I
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对称操作的矩阵表示 1. 矩阵表示 任何一个对称操作都可以用矩阵来表示。 选定一个函数向量，它以一组函数为分量，经对称操作 作用后，由各分量的变换性质来确定其对应矩阵的形式 考虑：直角坐标系空间向量变换，对称操作为A （x，y，z）-------------------（x’，y’，z’） 两组坐标存在如下的变换关系 ：
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2013-8-11
对称操作的矩阵表示 现对氨分子的对称操作做说明。 (1) 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵
x' x 1 0 0 x ' y I y 0 1 0 y z' z 0 1 0 z
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2013-8-11
⑧强相互作用的SU（2）同位旋对称性 相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质 子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。
⑨超对称性 玻色子和费米子之间的对称性，它已在10-33~1030cm范围内的 物理学中产生影响。 在超对称物理中，所有粒子都有它的超对称伙伴，超伙伴与原 来的粒子有完全相同的量子数，如：颜色、电荷、重子数、轻子 数……等。 玻色子的超伙伴是费米子，费米子的超伙伴是玻色子。
(2)旋转操作
n旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为
k对应旋转角度 (360 / n) k
n Cn I
k Cn (k 1,2,n 1)
i i i CnCnj Cnj Cn Cn j , 存在关系:
满足可交换性与循环(周期)性
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2013-8-11
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
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2013-8-11
对称操作与对称元素
2）镜面与反映操作 分子中若存在一个
平面，将分子两半部互
相反映而能使分子复原，
则该平面就是镜面σ，这
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2013-8-11
群论简介
一、历史：
群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗 瓦、西勒维斯特等人初创。 二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理 学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。 中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 。 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”。 古埃及：金字塔。
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中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹。
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中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳” 。
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古埃及：金字塔。
古夫王金字塔
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对称操作与对称元素
对称 元素 对 称 操 作 符号 I n重轴 Cn
恒等操作 旋转角度2π/n，n最高的称为主轴。若有垂直主轴的二 重轴，对应的操作表示为C’2。
意
义
σv
代表包含主轴的平面反映
映面
Sn
i
σd 代表垂直主轴的平面反映 σh 代表包含主轴且平分一对垂直于主轴的二重轴之 间 夹角（或两个σv之间的夹角）的平面反映
分子对称性与群论基础
12.1 对称操作与对称元素
12.2 对称操作的矩阵表示
12.3 群的定义与性质
12.4 群表示理论
12.5 群论应用简介
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2013-8-11
三、群论及化学
1．物理学中的对称性 ①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变） 动量守恒， 雅科比C.G.J.Jacobi（1884） ②L在空间转动下对称 角动量守恒，雅科比（1884） ③L在时间平移下对称 能量守恒，J.R.Schü tz（1897） r r ）对称 ④空间反演（ 宇称守恒 ⑤晶体平移对称性（平移晶格常数 a的整数信） Bloch定理 ⑥全同粒子交换对称性 玻色子，费米子 ⑦标度变换对称性 临界现象，非线性物理，生命起源……
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作. 两个或多 个对称操 作的结果， 等效于某 个对称操 作.
例如,先作二 重旋转，再 对垂直于该 轴的镜面作 反映，等于 对轴与镜面 的交点作反 演.
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2013-8-11
对称操作与对称元素 3. 对称操作的“乘法” NH3分子的全部对称操作可记为： 1 2 C3V : {I , C3 , C3 , a , b , c } 连续的对称操作的总结果等价于另一单个操作的效 果，适合于“乘法”表示之，例如：
x ax by cz y ' dx ey fz z ' gx hy iz
'
x' 矩阵形式为： ' y z'
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x a A y d z g
c e h
c x f y i z
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2013-8-11
2．化学的根本问题：对称性？ 例： ①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 …………
甲 烷 中 的 映 轴 S4 与 旋 转 反 映 操 作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
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2013-8-11
对称操作与对称元素
环 辛 四 烯 衍 生 物 中 的 S4
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分子中心是S4 的图形符号
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2013-8-11
对称操作与对称元素
对称操作的矩阵表示 将z轴选定为旋转轴, 向量的z分量不受影响.考虑(x,y)变化
x r cos y r sin x ' r cos( ) x cos y sin y ' r sin( ) x sin y cos
矩阵的一般表示：
种操作就是反映.
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2013-8-11
对称操作与对称元素
试找出分子中的镜面
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2013-8-11
对称操作与对称元素
（3) 对称中心与反演操作 分子中若存在
一点,将每个原子
通过这一点引连线
并延长到反方向等 距离处而使分子复
原,这一点就是对
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2013-8-11
对称操作与对称元素 1.几何意义 分子的几何构型可用对称图 形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作，全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原. 对称元素 对称操作的实现 必须借助于一定的几何实体，如 三重轴、映面等，称为对称元素 。对称元素与对称操作总是互相 依存，但并非一一对应。
称中心 i,这种操作
就是反演.
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2013-8-11
对称操作与对称元素 (4) 映轴与旋转反映操作 反轴与旋转反演操作
旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对称元素 分别称为映轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋转反演)的两步 操作顺序可以反过来. 这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn和In都是虚 轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存 在；若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂直的 σ并不一定独立存在. 试观察以下分子模型并比较: