考点梳理数的开方章节涉及的12个必考点全梳理(精编Word)

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11、数的开方知识点与复习

数的开方知识点及复习(1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

(2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.(3）平方根的表示：a 的平方根记作：a 2±±或a 。

a 叫做被开方（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算(5）平方根的性质①一个正数有两个平方根,它们互为相反数②0有一个平方根,它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义:非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示:一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注:①算术平方根是非负数，具有非负数的性质;a （a≥0）是一个非负数, 即a ≥0； ②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数;③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; ④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a ）2=a （a ≥0）;⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 2a =｜a|= ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a⑥平方根有三种表示形式：±a ，a ,－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根,非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意: a ≠±a ⑦平方根与算术平方根的区别与联系：区别:①定义不同 ②个数不同: ③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：(1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” . （2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方(3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0,则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a 〈0,则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a .注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0、1、—1. 典型例题：例1、x 为何值时，下列代数式有意义. (1）x 23+ （2）x x -+-22 （3）32+x （4）131-x (5）11-+x x （6）2)1(--x例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b —1的平方根是4±，求a+2b 的平方根. 例3、若x 、y 都是实数，且233+-+-=x x y ，求x+3y 的平方根。

数的开方知识点及复习

数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方（4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a7).平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。

数学开方知识点总结

数学开方知识点总结一、整数的平方根1、定义对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负整数的平方根是一个非负整数。

即如果a是一个非负整数，那么它的平方根一定是一个非负整数。

（2）如果a是一个非负整数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负整数a，存在唯一的一个非负整数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负整数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法是一种通过逐步增大的方式逐个尝试所有可能的非负整数来找到a的平方根的方法。

这种方法比较原始，但是对于小的非负整数还是比较有效的。

（2）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算a的平方根的方法。

该方法利用函数的导数和函数值来不断逼近函数的零点，从而找到a的平方根。

这种方法通常比试除法更加高效，尤其对于大的非负整数。

4、应用整数的平方根在实际生活中有很多应用，比如在工程领域中，用来计算各种物理量的大小，比如速度、加速度、功率等。

在数学领域中，整数的平方根也有很多应用，比如在代数、几何等方面的应用。

二、实数的平方根1、定义对于一个非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

同样地，通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负实数的平方根是一个非负实数。

即如果a是一个非负实数，那么它的平方根一定是一个非负实数。

（2）如果a是一个非负实数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负实数a，存在唯一的一个非负实数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负实数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法也适用于计算非负实数的平方根，但是由于实数的数量级比较大，那么这种方法通常比较低效。

（2）牛顿迭代法和整数的平方根一样，牛顿迭代法也适用于计算非负实数的平方根。

《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(基础).doc

《数的开方》全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示±4a需性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论(V^)2 = a{a > 0)[~a(a < 0)(Va)3=a= 丽要点二：实数冇理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分:［拓［正有理数止数2 ［正无理数实数Jo要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如厉，迈等；②有特殊意义的数,如兀;③有特定结构的数，如0. 1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4） -------------------------- 实数和数轴上点是对应的. 2. 实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应.3. 实数的三个非负性及性质在实数范南内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数d 的绝对值是非负数，即丨。

数的开方知识点与复习

数的开方知识点与复习数的开方是数学中的一个重要概念，它在解决许多数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。

下面我们就来系统地复习一下数的开方的相关知识点。

首先，我们要明白什么是数的开方。

开方运算和乘方运算是互逆的。

如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

例如，因为3 的平方是 9，所以 3 是 9 的平方根；同理，－3 也是 9 的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“＼（＼sqrt{a}＼）”。

所以，＼（＼sqrt{9}＝3\）。

接下来，我们再说说立方根。

如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是 0。

在进行数的开方运算时，有几个重要的性质需要记住。

性质一：＼（＼sqrt{a^2}＝｜a|＼）。

当a≥0 时，＼（＼sqrt{a^2}＝a\）；当 a<0 时，＼（＼sqrt{a^2}＝a\）。

性质二：＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（a≥0）。

性质三：＼（＼sqrt{ab}＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（a≥0，b≥0）；＼（＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＼）（a≥0，b>0）。

在实际计算中，我们常常会遇到一些需要估算平方根或立方根的情况。

例如，要估算\（＼sqrt{7}＼）的值，因为\（＼sqrt{4}＜＼sqrt{7}＜＼sqrt{9}＼），所以 2 ＜＼（＼sqrt{7}＼）＜ 3 。

然后我们可以进一步尝试更精确的估算。

为了更方便地进行开方运算，我们还需要掌握一些常见数的平方根和立方根。

比如，＼（＼sqrt{2}＼approx 1414\），＼（＼sqrt{3}＼approx 1732\），＼（＼sqrt{5}＼approx 2236\）；＼（＼sqrt3{2}＼approx 1260\），＼（＼sqrt3{3}＼approx 1442\）。

《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．【答案与解析】解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根．类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小．举一反三：【变式】已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数．【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题：（1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）；（2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0，解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ，求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。

第章数的开方知识点总结

第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。

在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。

本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。

一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。

对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。

即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。

2.平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。

三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。

2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。

3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。

四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。

2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。

3.统计学中的应用：如计算标准差等。

4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。

五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。

正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。

2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。

六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。

2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。

总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。

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A．0
B．﹣4
C．0 或﹣4
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
D．±4
【解析】由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，
∴x＝±2，y＝﹣2， ∴x+y＝0 或﹣4，故选：C．【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．
a，则 a≥0，故本选项错误；
C、
a2b4，故本选项正确；
D、3 的平方根是± ，故本选项错误；故选：C．【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．
3
考点 2 算术平方根的小数点移动规律
解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动 1 位；
（）
A．50.36
B．503.6
C．159.06
D．1.5906
【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．
【解析】∵ ǈπ 5.036，∴ ǈ
ǈπ
5.036×100＝503.6，故选：B．
【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小
数点移动的规律．
变式 1 下列结论中，其中正确的是（）
A．的平方根是±9
B． ±10
C．立方根等于本身的数只有 0.1
D．
【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．
【解析】A．∵ ，9 的平方根为±3，∴ 的平方根为±3，故原说法错误； B. ，故原说法错误； C．立方根等于本身的数只有 0，﹣1，1，故原说法错误；
考点梳理：数的开方章节涉及的 12 个必考点全梳理（精编 Word）
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考点 1 平方根与立方根的定义
解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有 2 个；任意一个数的立方根只有 1 个．
例题 1 下列说法中，正确的是（） A．﹣5 是（﹣5）2 的算术平方根 B．16 的平方根是±4 C．2 是﹣4 的算术平方根 D．27 的立方根是±3 【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可．【解析】A、5 是（﹣5）2 的算术平方根，不符合题意； B、16 的平方根是±4，符合题意； C、2 是 4 的算术平方根，不符合题意； D、27 的立方根是 3，不符合题意．故选：B．【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．
左或向右移动 1 位；故答案为：0.1732，173.2，两．【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．
变式 4 如表所示，被开方数 a 的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律符合一
定的规律，若 180，且 π
1.8，则被开方数 a 的值为．
a … 0.000001 0.01 1 100 10000 1000000 …
意尝试怎样拆分数据可简便运算．
考点 3 算术平方根的非负性
解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
例题 3 若实数 x，y 满足|x﹣3|
0，则（x+y）3 的平方根为（）
A．4Βιβλιοθήκη B．8C．±4D．±8
【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出 x，y 的值，进而利用平方根的定义得出答案．
D. 故选：D．
，故原说法正确．
【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．
2
变式 2 下列说法：①±3 都是 27 的立方根；② 的算术平方根是± ；③
方根是±4；⑤﹣9 是 81 的算术平方根，其中正确的有（）
2；④ 的平
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式 6 设 ǈ t，㤴，则 π ǈ 可以表示为（）
t㤴 A．
ǈ
t㤴 B．
t㤴 C．
ǈ
t㤴 D．
【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大 10 倍，再根据二次
根式的性质与化简，即可求得结论．
【解析】 π ǈ
ǈ
ǈ
ǈ
ǈ
故选：A．
ǈ
tǈ㤴；
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注
例题 2 由 1.732，得
17.32，则 π
，
．从以上结果可以发现，
被开方数的小数点向左或向右移动位．
位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动 1
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解析】∵
17.32，
∴ π 0.1732，
173.2，
从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可．
【解析】①3 是 27 的立方根，原来的说法错误；
② 的算术平方根是，原来的说法错误；
③
2 是正确的；
④ 4，4 的平方根是±2，原来的说法错误；
⑤9 是 81 的算术平方根，原来的说法错误．
故其中正确的有 1 个．
故选：A．
【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这
个数的算术平方根；一个正数的平方根有 2 个；任意一个数的立方根只有 1 个．
变式 3 下列说法正确的是（）
A．若
a，则 a＜0
C．
a2b4
B．若
a，则 a＞0
D．3 的平方根是
【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】A、若
a，则 a≤0，故本选项错误；
B、若
【解析】∵|x﹣3|
0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，
则（x+y）3＝（3+1）3＝64， 64 的平方根是：±8．故选：D．【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．
5
变式 7 已知实数 x 和 y 满足
（y3+8）2＝0，则 x+y 的值为（）
…
0.001
0.1
1
10
100
1000
…
【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得 a 的值．
【解析】∵ 180，且 π
1.8，
∴ π 1.8，
∴
180，
∴a＝32400，
故答案为：32400．
【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的 a 的值．
4
变式 5 若 ǈπ 5.036， ǈ π 15.906，则 ǈ