八年级数学下册第3章图形的平移与旋转1图形的平移第1课时平移的概念与性质作业课件新版北师大版
八年级数学下册 第3章 图形的平移与旋转 3.1 图形的平移 第1课时 平移的认识及性质课件 北师大
1m 21m
图1
D 15m
C
25
变式：如图是一块长方形的草地, 长为21米.宽为 15米.在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草 地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?
A
1m
D
15m
B
21m
C
思路点拨：平移构成规则图形
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26
练一练
2.如图所示，图中小正方形的边长为a，则阴
（3）平移的方向就是点C到点C'的方向；
（4）平移的距离就是线段AA'的长度.
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19
练一练
1. 在图形平移中，下面说法中错误的是（ D ） A. 图形上任意点移动的方向相同 B. 图形上任意点移动的距离相等 C. 图形上任意两点的连线的长度不变 D. 图形上可能存在不动点
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20
例2：如图，经过平移，ΔABC的顶点A移到了点D ，作出平移后的三角形．
4.平移的方向是直尺PQ倾斜放置的方向，平移 的距离是BE的长度.
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14
定点画平移后的图形
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15
问题：△ABC沿着PQ的方向平移到 △A`B`C`的位置，
除了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？
P A
R
Q
A
A'
A
BC的中点M平 移B到什么地方 B'
去了吗？
B M
B
M`
C
C
C'
C AA'//__B_B_'//_A_C_C_'
S
AA'=_B_B__' =_C_C__'
B
北师大版八年级数学下册第三章图形的平移与旋转1图形的平移第1课时课件
【提升训练】
7. 如图所示，在一个长方形铁板上截下一个小正方形后，剩余部分的周长和
原来长方形的周长相比有什么变化（ Ｃ ）
A. 增加
B. 减少
C. 不变
D. 无法确定
8. 如图，经过平移，扇形上的点A移到了点F.
（1）指出平移的方向和平移的距离；
（2）画出平移后的扇形.
略.
【拓展训练】 9. 已知△ABC的面积为36，将△ABC沿BC平移到△A′B′C′，使点B′和点C 重合，连接AC′交A′C于点D. （1）求证：CD=A′D； （2）求△C′DC的面积.
第三章 图形的平移与旋转
1.图形的平移 第1课时
1. 在平面内，将一个图形沿 某个方向 移动 一定 的距离，这样的图形运动 称为平移.平移不改变图形的 形状 和 大小 .
2. 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段 平行 （或在一 条直线上）且 相等 ；对应线段 平行 （或在一条直线上）且 相等 ，对应 角 相等 .
3. 如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，
连接A′B，则线段A′B与线段AC的位置关系是（ Ｄ ）
A. 垂直
B. 相等
C. 平分
D. 平分且垂直
4. 如果△ABC沿着北偏东50°的方向平移了4 cm，那么△ABC的一条高AD上的 中点M沿着 北偏东50应角相等
3. 如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度 “10”，则顶点C平移的距离CC′= 5 cm .
4. 如图，四边形ABCD是长方形，AB=3 cm，BC=4 cm，△AED≌△AOD，那么 △AED可以看成是 △BOC 沿着 竖直向上 的方向平移 3 cm 而得到的.
北师大版八年级下册教案：第三章图形的平移与旋转复习
3.重视学生实践，提高动手能力。在实践活动环节，我安排了分组讨论和实验操作，让学生在实际操作中感受平移与旋转的应用。但从实践结果来看，部分学生的动手能力较弱，对实验操作不够熟练。今后，我应加大实践环节的教学力度，鼓励学生多动手、多思考，提高他们的实践能力。
（2）平移与旋转的作图方法
-平移作图：确定平移方向和距离，沿此方向将原图形上的点移动相应距离得到新图形。
-旋转作图：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，将原图形上的点绕旋转中心旋转相应角度得到新图形。
（3）平移与旋转在实际问题中的应用
-判断图形的平移或旋转
-设计简单图案，体会平移与旋转的应用
2.教学难点
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“图形的平移与旋转在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平移与旋转的定义和性质这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解，如区分平移与旋转，掌握作图方法等。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形平移与旋转相关的实际问题。
北师版初中数学八年级下册精品教案 第3章 图形的平移与旋转 1 图形的平移 第1课时 平移
第三章图形的平移与旋转1 图形的平移第1课时平移教师备课素材示例●归纳导入观察下列图片，你能发现图中描绘的运动的共同点吗？这种现象是实际生活中的平移现象，今天我们来学习平移的相关知识．【归纳】在平面内，将一个图形沿着某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移前后两个图形的形状和大小没有改变，位置发生了改变．【教学与建议】教学：通过生活实例使学生初步感受到生活中的平移现象，渗透平移的三要素，归纳平移定义．建议：让学生各抒己见，用自己所学的知识合情推理并得出自己的结论．●置疑导入活动内容：我们大家共同来看小亮同学的一天．1．小亮早晨起来，推开卧室门，刷牙洗漱准备上学；2．小亮乘坐电梯，到达楼下；3．小亮骑上自行车到学校去；4．小亮路过公园看到有小朋友在玩滑梯．问题1：请大家思考并分组讨论一下，以上几种运动现象有什么共同点？问题2：根据上述分析，你能说明什么样的图形运动被称为平移吗？问题3：平移运动中，对于运动主体(图形)，在形状、位置、大小这三个因素中，哪些因素发生了变化，哪些保持不变？问题4：展示图片，指出哪些运动是平移．问题5：下列现象中，属于平移的有(1)(3)(5).(1)火车在笔直的铁轨上行驶；(2)冷水受热过程中小气泡上升变成大气泡；(3)打气筒打气时，活塞的运动；(4)钟摆的摆动；(5)传送带运送物品．【教学与建议】教学：设置问题，培养学生的学习兴趣和归纳概括能力．建议：问题1，2，3.由学生分小组讨论完成，问题4和问题5让学生在学会的基础上进行练习，巩固对平移概念的理解．解此类题目的关键是判断在图形平移前后，图形形状和大小是否改变，平移改变的只有位置．【例1】下列图案中，可以由第一个图案平移得到的是(C)经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．【例2】如图，将△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，若△ABC的周长为14cm，则四边形ABFD的周长为(A)A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm（例2题图）（例3题图）【例3】如图，△OAB的顶点B的坐标为(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果CB＝1，那么OE的长为__7__．确定图形平移方式的关键是确定出图形平移前后的对应点，再确定图形中的关键点，作出关键点的对应点．【例4】如图，在6×6的方格中有两个涂有阴影的图形M，N，图①中的图形M平移后位置如图②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是(C)A．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度B．向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度C．向右平移1个单位长度，向下平移4个单位长度D．向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度【例5】如图，作出图形经过平移后的图形，使点A与点A′对应．一个图形平移前后面积周长相等．解题时，要抓住平移的距离，注意观察平移前后图形的关系，从而求解．【例6】如图，将面积为4的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为__12__．（例6题图）（例7题图）【例7】如图，长方形ABCD的长为6，宽为4.将长方形先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积是__8__．高效课堂教学设计1．通过具体实例认识平移，理解平移的基本内涵，掌握平移的基本性质．2．会画简单的平移图形．▲重点探索图形平移的主要特征和基本性质，会画简单图形的平移图．▲难点探索和理解平移的基本性质及性质的应用．◆活动1 创设情境导入新课(课件)请同学们观察下面的两幅图片：问题1：你能发现传送带上的箱子和手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变，什么发生了改变吗？问题2：在传送带上，如果箱子的把手向前移动了80cm，那么箱子的其他部位向什么方向移动？移动的距离是多少？问题3：如果把移动前后的同一个箱子看成长方体，那么移动前后的长方体各个面的形状、大小是否相同？讨论得出：平移前后两个图形的形状和大小没有改变，位置发生了改变．这节课我们继续学习平移的一些知识．◆活动2 实践探究交流新知【探究1】平移的定义问题 1.根据上述分析，你能说明什么样的图形运动被称为平移吗？如何定义平移呢？问题2.根据平移的定义，你认为平移应具备哪几个要素？【归纳】1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．平移不改变图形的形状和大小．2．平移三要素：(1)几何图形；(2)运动方向；(3)运动距离．【探究2】探究平移的性质如图所示，△ABE沿射线XY的方向平移一定距离得到△CDF.点A，B，E分别平移到了点__C__，__D__，__F__；线段AB，BE，AE分别平移到了__CD__，__DF__，__CF__；∠ABE，∠BAE，∠AEB分别平移到了__∠CDF__，__∠DCF__，__∠CFD__．做一做：如图，四边形ABCD沿某方向平移后得到四边形EFGH，思考：(1)四边形ABCD是沿什么方向平移后得到四边形EFGH的，平移的距离是多少？(2)在图中，线段AE，BF，CG，DH有怎样的位置关系？(3)每对对应线段之间有怎样的位置关系？(4)图中有哪些相等的线段、相等的角？讨论分析：(1)变换前后对应点的连线平行且相等：平移变换是图形的每一个点的变换，一个图形沿某个方向移动一定的距离，那么每一个点也沿着这个方向移动相同的距离，所以对应点的连线平行且相等．(2)变换前后的图形全等：平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定的距离，所以平移前后的图形是全等的．(3)变换前后对应角相等．(4)变换前后对应线段平行且相等．【归纳】平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等．◆活动3 开放训练应用举例【例1】下列图形中，哪一个可以通过平移得到( )A B C D【方法指导】注意仔细观察，一要判别大小是否变化；二要判别图形是否沿着一定的方向移动了一定的距离．由上可知，只有D项符合平移的概念．答案：D【例2】如图①，在宽20m，长32m的长方形地面上修同样宽的不规则的路(路始终垂直或平行于长方形地面的边)，余下的部分作为耕地，耕地面积为540m2，设路宽为xm，根据题意可列方程为______________．图①图②【方法指导】利用平移把不规则的路平移成规则的路，使耕地成为一个规则的长方形(如图②)，利用长方形的面积公式可列出方程．由于道路宽为xm，则耕地的长为(32－，所以根据题意可得方程：(32－x)(20－x)＝540.答案：(32－x)(20－x)＝540【例3】如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.画出平移后的三角形．【方法指导】确定一个图形平移后的位置，需要几何图形、运动方向、运动距离三要素，利用平移的定义和性质，找到关键点，用虚线画辅助线，实线画平移前后的图形．解：如图．画法一：过点D分别作出与AB，AC平行且相等的线段DE，DF，连接EF，△DEF就是△ABC平移后的图形．画法二：因为平移后的图形与原图形全等，所以过点B作线段BE，使它与线段AD平行且相等，得到另一个对应点E，用同样的方法得到点C 的对应点F，连接DE，EF，F D.△DEF就是△ABC平移后的图形．◆活动4 随堂练习1．下列说法中正确的是(D)A．一个图形经过平移后，与原图形成轴对称B．如果两个图形成轴对称，那么一个图形可由另一个图形经过平移变换得到C．一个图形经过平移后，它的性质发生了变化D．图形的平移由平移的方向和距离决定2．若△ABC沿东南方向平移了4cm，那么△ABC中BC上的中点D向__东南__方向移动了__4__cm.3．如图，∠DEF是由∠ABC经过平移得到的．若∠ABC＝33°，则∠DEF 的度数是__33°__．（第3题图）（第4题图）4．如图，大长方形的长是12cm，宽是10cm，阴影部分的宽均为2cm，则空白部分的面积是__80_cm2__.5．课本P67随堂练习◆活动5 课堂小结与作业【学生活动】1．这节课你有什么收获？2．我们在探索图形的平移时，运用了哪些方法？【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对图形平移的特征、基本性质、作图等知识的理解和运用．【作业】课本P67习题3.1中的T1、T2、T3、T5.对于本节课，学生对“一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对应角相等”这一结论得出比较顺利．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题等，使小组合作学习更具实效性，给学生充分的思考时间，让学生发表见解，讨论看法，达到学以致用的目的．。
2019年春八年级数学下册第3章图形的平移与旋转3.1图形的平移第1课时平移的认识及性质课件(新版)北师大版
10cm
A
B 52O
C
6. 如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的， ∠ABC＝33O，求∠DEF的度数.
答：根据“经过平移对应角相等” 得：∠DEF= ∠ABC＝33°.
7.经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，如图.作出 平移后的三角形. 解：如图，过B，C点分别作线段BE，CF，使得它们线 段AD平行并且相等 则△DEF就是△ABC平移后的图形.
段距离.下面说法正确的是（ C
）
A 、不同的点移动的距离不同
B、 既可能相同也可能不同
C 、不同的点移动的距离相同
D 、无法确定
4、平移前后的图形是一对_全__等__图__形_
5.将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG， 如果∠ABC=52°，则∠EFG= 52 °, BF= 10 cm.
E
F G
A
D
C
F
B
E
想一想：有其他的方法吗？
解：如图，过点D按射线AB的方向做线段DE平行且等 于AB；过点D按射线AC的方向做线段DF平行且等于 AC；连接EF. ΔDEF 就是ΔABC平移后的图形.
A
D
C F
B E
变式一：
如图，将字母A沿箭头所指的方向平移3cm，做出平 移后的图形．
平移作图的步骤：
定点画平移后的图形
问题：△ABC沿着PQ的方向平移到 △A`B`C`的位置，
除了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？
P A
R
Q
A
A'
A
BC的中点M平 移B到什么地方 B'
去了吗？
B M
B
M`
C
C
C'
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转3.2.1图形的旋转课后作业北师大版(2021年整理)
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转3.2.1 图形的旋转课后作业（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第三章图形的平移与旋转3.2.1 图形的旋转课后作业（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册第三章图形的平移与旋转3.2.1 图形的旋转课后作业（新版）北师大版的全部内容。
3。
2.1图形的旋转课后作业1。
如图,点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )A．30° B．45° C．90° D．135°2．如图，平行四边形ABCD中，△AOD可以看作是由下列哪个三角形旋转而得到的（ )A．△AOB B．△DOC C．△BOC D．△BCD3。
如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的,则每次旋转的度数是___ ______ 。
4．如图，在Rt△ABC中，∠AC B＝90°，点D,E分别在AB，A C上，CE ＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF。
（1）补充完成图形；（2）若EF∥CD，求证:∠BDC＝90°.参考答案1。
C2。
C3。
45 º4．解：(1）补全图形,如图所示．(2）证明：由旋转的性质得：∠DCF＝90°，∴∠DCE＋∠ECF＝90°.∵∠ACB＝90 °，∴∠DCE＋∠BCD＝90 °。
∴∠ECF＝∠B CD。
∵EF∥DC,∴∠EFC＋∠DCF＝180°。
北师大版八年级下册数学同步练习课件-第3章 1 第1课时平移的概念及性质
第三章 图形的平移与旋转
1 图形的平移
第一课时 平移的概念及性质Fra bibliotek名师点睛
▪ 知识点1 平移的概念 ▪ 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的
B．图形上任意点移
▪ C．图形上可能存在不动点
D．图形上任意两点的连 5
▪ 3．【2019·四川乐山中考】下列四个图形中，可以由左图通 D过平移得到的是( )
6
▪ 4．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝12 cm，点D在AC上， DC＝4 cm.将线段DC沿着CB的方向平移7 cm得到线段EF， 点E、F分13别落在边AB、BC上，则△EBF的周长为 __________cm.
4
基础过关
▪ 1．以下现象：①打气筒打气时活塞的移动；②钟摆的摆动； ③温度计中液柱的上升或下降；④一个铁球从空中垂直落下； ⑤传送B 带上货物的移动．其中属于平移的是( )
▪ A．①④ B．①④⑤
▪ C．①③④⑤ D．①②③
▪ 2．下列关于图形平移的说法中，错误C 的是( )
▪ A．图形上任意点移动的方向相同 动的距离相同
图形运动称为平移． ▪ 注意：平移不改变图形的形状和大小． ▪ 知识点2 平移的性质 ▪ 一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平
行(或在一条直线上)且相等；对应线段平行(或在一条直线上) 且相等，对应角相等．
2
▪ 【典例】如图，将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF， 若△ABC的周长为16 cm，则四边形ABFD的周长为 ________.
北师版数学八年级下册课时练 第三章 图形的平移与旋转 第1课时 平移的概念及其性质
北师版数学八年级下册第三章图形的平移与旋转1图形的平移第1课时平移的概念及其性质1．(2019·山东济宁金乡期中)下列运动属于平移的是(B)A．转动的电风扇的叶片B．打气筒打气时活塞的运动C．行驶中的自行车的后轮D．在游乐场荡秋千的小朋友2．(2019·广东韶关期末)下列图形中，哪个可以通过如图所示的图形平移得到(A)3．小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印__不能__(填“能”或“不能”)通过平移与右手手印完全重合．4．在图案(2)(3)(4)(5)(6)中，图案__(4)__是可以通过平移图案(1)得到的．5．一个平面图形经过平移后，下列说法正确的是(A)①对应线段平行或在同一条直线上；②对应线段相等；③图形的大小和形状都没有发生变化；④对应点所连的线段都平行．A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，将直线m沿着射线AB的方向平移得到直线n.若∠2＝130°，则∠1的度数是(B)A．130°B．50°C．90°D．40°第6题图第7题图7．如图，△ABC沿BC边所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中不一定正确的是(C)A．∠DEC＝∠B B．BE＝CFC．CE＝CF D．AB∥DE8．如图，将△ABE向右平移3 cm得到△DCF，若BE＝8 cm，则CE＝__5__cm.第8题图第9题图9．(2019·云南曲靖二模)如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝__105°__．10．按要求作图：如图，已知△ABC和△ABC外的一点A′，把△ABC平移，使点A与点A′重合．解：如图．易错点错认为形状相同的图形都可以通过平移得到11．下列各组图形可以通过平移互相得到的是(C)12．如图，将直径为2 cm的半圆水平向左平移2 cm，则半圆所扫过的面积(阴影部分)为(B)A．π cm2B．4 cm2C.π2 cm2 D.3π2 cm213．如图，将Rt△ABC沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分的面积为__48__．第13题图第14题图14．(2019·安徽亳州涡阳期末)小明家新建了一栋楼房，装修时准备在一段楼梯上铺设地毯，已知这种地毯每平方米售价为50元，楼梯宽 2 m，其侧面如图所示，则铺设地毯至少需要__550__元．15．如图，观察网格中的图形，将网格中的图形沿水平方向向右平移，使点A移至点A′处，作出平移后的图形．解：平移后的图形如图所示．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，若AE＝8 cm，DB＝2 cm.(1)求△ABC向右平移的距离AD的长；(2)求四边形AEFC的周长．解：(1)∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3 cm.∵AE＝8 cm，DB＝2 cm，∴AD＝BE＝CF＝8－22＝3(cm)．(2)四边形AEFC的周长＝AE＋EF＋CF＋AC＝8＋3＋3＋4＝18(cm)．17．如图，某居民小区有一长方形空地，小区物业想在此长方形空地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？解：如图，平移后得绿化部分宽为(20－2)m，长为(32－2)m，面积为(20－2)×(32－2)＝540(m2)．18．如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F.猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论．解：AC⊥BD.证明：∵△DCE由△ABC平移而得，∴△DCE≌△ABC，∴△DCE是等边三角形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACD＝∠ACB.∵BC＝CD，∴AC⊥BD.19．如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．(1)求证：∠AEC＝∠BAE＋∠ECD.(2)若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG.①如图2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；②如图3，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系，并说明理由．解：(1)证明：如图1，过点E作直线EN∥AB.∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠ECD＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN＋∠CEN ＝∠BAE＋∠ECD.(2)∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH.①由HF平分∠DFG，设∠GFH＝∠DFH＝x.∵CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x.又∠AEC＝∠BAE＋∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH ＝∠EAH＝45°－x.如图2，过点H作l∥AB，易证∠AHF＝∠BAH＋∠DFH＝45°－x＋x＝45°.②设∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°－x.由(1)知∠AEC＝∠BAE＋∠ECD＝2x＋2y.如图3，过点H作l∥AB，易证∠AHF－y＋∠CFH＝180°，即∠AHF－y＋90°－x＝180°，∴∠AHF＝90°＋(x＋y)，∴∠AHF＝90°＋12∠AEC.。