同步人教A高中数学必修二培优课件：2.32.3.1直线与平面垂直的判定
数学人教A版必修2课件：2.3.1 直线与平面垂直的判定
做这条直线和这个平面所成的角． (2)一条直线垂直于平面，称它们所成的角是直角；一条直线在 平面内或一条直线和平面平行，称它们所成的角是 0°的角．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直．( 与这个平面垂直．( ) ) (2)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线
答案：(1)×
(2)√
2．已知直线 a∥直线 b，b⊥平面 α，则( A．a∥α C．a⊥α
) B．a⊂α D．a 是 α 的斜线
答案：C
3． 如图， 且 AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线 AD⊥平面______；直 线 BD⊥平面______；直线 CD⊥平面______．
任意一条直线 如果直线 l 与平面 α 内的_____________ 都垂直，就说直线 l 与 l⊥ α 平面 α 互相垂直，记作_______ ．
(2)直线与平面垂直的判定定理 文字语言 一条直线与一个平 面内的
两条相交直线 _____________ 都垂
图形语言
符号语言
直， 则该直线与此平 面垂直
1.以下命题正确的是( α ∥β a⊥ α ⇒a⊥β ；② ① a⊥α a⊥ b A．① C．②③
)
⇒b⊥α.
a∥α ⇒b∥α；③ a⊥b
B．①③ D．①②
解析：选 A.①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中 b， α 的关系可以线面平行或直线在平面内； ③中直线可以与平面平 行，相交或直线在平面内．
a⊂ α ⇒l⊥α b⊂ α a∩b＝P
人教A版高中数学必修二课件2.3.1直线与平面垂直的判定(共27张PPT)
解：作CC1⊥平面α于点C1，连接AC1、BC1、DC1，则
∠CAC1＝30°，∠CBC1＝45°，∠CDC1为CD与α所成的 角．
设 CC1＝ a，则 AC＝ 2a， BC＝ 2a. 因此，在 Rt△ ABC 中， AB＝ 6a， AC· BC 2 所以 CD＝ ＝ a. AB 3 CC1 3 在 Rt△ CC1 D 中，sin∠ CDC1＝ ＝ ，∴∠ CDC1 ＝ 60° . CD 2 即 CD 与平面 α 所成的角为 60° .
线和两相交直线所在的平面．
互动探究
1．在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平 面SAC的位置关系为________．
解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，∴BD⊥AC.
又由例题知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD. 于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
答案：垂直
和平面所成角问题的关键．要找射影就要寻找过斜线上
一点与平面垂直的垂线．没有垂线的，还要在斜线上取
点作平面的垂线，垂足和斜足连线(有时也可以是两垂足) 就是斜线在平面内的射影，但要注意斜线上点的选取以 及垂足的位置要与问题中已知量有关，才便于计算．
跟踪训练
3．如图，Rt△ABC的斜边AB在
平面α内，AC和BC与α所成的角分别是30°，45°，CD是 斜边AB上的高，求CD与平面α所成的角．
高中数学课件
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2． 3
直线、平面垂直的判定及其性质
2．3.1 直线与平面垂直的判定
学习导航
学习目标
重点难点 重点：对直线与平面垂直的判定定理的理解及应用．
难点：对直线与平面垂直的判定及线面角的求法．
人教版高中数学必修2 2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共49张PPT)
平面垂直的判定定理知，直线垂直于平面，所以直线与第三边垂直．]
梦 境
3．矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________．
30°[如图所示，∵PA⊥平面 ABCD， ∴AC 为 PC 在平面 ABCD 上的射影． ∴∠PCA 为 PC 与平面 ABCD 所成的角．
的射影，图中斜线 PA 在平面 α 上的射影为_A_O_
梦 境
直线与平 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．
面所成的 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是_直__角_____；一条直
角
线和平面平行或在平面内，它们所成的角是_0_°__的__角___
取值范围
[0°，90°]
梦 境
定的平面；
梦 境
④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；
⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
梦 境
(1)B (2)D (3)C [(1)A 项，α∥β 且 m⊂α，则 m∥β，故 A 不正确； B 项，n⊥β，则 n 垂直 β 内的任意一条直线，又 m∥n.可知 m 也垂直于 平面 β 内的任意一条直线，所以 m⊥β，故正确； C 项，D 项，由 m⊥n，n⊂β 或 m⊥n，n∥β，可得 m 与 β 的关系可以是 m⊂β，或 m∥β 或 m 与 β 相交，故不正确； 选 B.
(2)直线 a⊥直线 b，b⊥平面 β，则 a 与 β 的关系是( )
A．a⊥β
B．a∥β
C．a⊂β
D．a⊂β 或 a∥β
(3)下列说法中，正确的有( )
高一数学人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定课件(共35张PPT)
AD2 + A1 D2 AA12∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.
方法总结，生成智慧
判断直线与平面垂直的方法
（1）定义法: (2)线面垂直的判定定理.
（3）例1结论：(1)a // b, a b (2) // , m m
//
达标检测，深化知识
深化知识，灵活运用
4 如图在三棱锥 V ABC 中， VA= VC，AB=BC,
求证: VB ⊥AC.
V
A
C
B
能力提升，链接高考
(2017·北京，文改)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB， PA⊥BC,AB⊥BC,PA＝AB＝BC＝2,D为线段AC的中点， E为线段PC上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：BD⊥平面PAC；
A
B
D
C
思考3 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
共同探讨，合作学习
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α垂直？
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
A
B
D
C
共同探，合作学习
A
B
D
C
共同探讨，合作学习
作业： 高考调研课时作业14
不去奋斗，不去创造，再美的青春也 结不出硕果。
证明：BC1 平面A1B1CD
D1
A1
D A
C1 B1
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1直线与平面垂直的判定课件11
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
五、课堂小结
1．直线与平面垂直的概念 2．直线与平面垂直的判定、性质
线线垂直
线面垂直
3．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
A1
E D
B1 F
C
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
A
B
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
2. 如图,在三棱锥V-ABC中 ,VA＝VC, AB＝BC, K是AC的中点。求证：AC⊥平面VKB．
V
A
K
C
B
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
（1）PA ⊥ BC
P
B
（2）BC ⊥ 平面PAC
A
D
O C
3.P67 第1题
A
O
B
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1 高一数学人教A版必修二第二章2.3.1 直线与 平面垂 直的判 定课件1 1
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直．
l
la
b
Aa
l b a
l
b
a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
人教A版高中数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定精品课件(共25张PPT)
直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直
l
小结：证明线面垂直的方法关键是证明
符号表示： a,b AA1,BB1,CC1,DD1
与平面 ABCD 垂直的直线 平面 内能否找到与直线 不垂直的直线？
③推出直线与平面垂直的条件缺一不可.
abP 小结：证明线面垂直的方法关键是证明
宿舍楼前的 垂直 柱子与地面：
桥墩与水面：
3
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？ 平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
α 4
l
思考：直线 l 与平面 内的直线位置关系如何？
垂直
直线 l 与平面 内的每一条直线都垂直吗？
平面 内能否找到与直线 l 不垂直的直线？
证明： VA = VC ， O 为 AC 中点
∴VO ⊥ AC
AB = BC ， O 为 AC 中点
∴BO ⊥ AC
又 VO , BO ⊂ 平面 VOB
VO ∩BO = O
∴AC ⊥平面 VOB
14
探究案：
例2.正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求证： BD⊥平面ACC1A1
书写过程要求： ①字迹工整清晰； ②每一步骤的依据要表达清楚； ③推出直线与平面垂直的条件缺一 不可.
BD A1A, BD AC
可 得 B D 平 面 A C C 1A
16
变式：在底面为菱形的直棱柱
ABCD-A1B1C1D1 中，
求证： BD⊥平面ACC1A1
证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC，
人教A版高中数学必修二课件2.3.1《直线与平面垂直的判定》2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件
线面垂直
27
二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
直二面角
两个平面互相垂直
判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
数学语言：
a a 面
线面垂直
面面垂直 α
β a
A
28
二、数学思想方法：转化的思想
线线垂直 线面垂直 空间问题
线面垂直 面面垂直
• 一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平 面平行．
直线与平面平行的性质定理
• 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么这条直线和交线平行.
平面与平面平行性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线
平行.
4
北京天安门广 场上的旗杆与 地面什么位置 关系？
数学语言：任意a ，都有l a l
基本性质：l ，a ， l a
6
练习1.
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所
√ 有的直线都垂直. （ ）
2.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与
× 平面垂直. （ )
一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角 是0的角。
2.范围：直线和平面所成角的范围是[0，90]。
15
例 3.如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，
D1
C1
求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角．
解：连接 BC1 交 B1C 于点 O，连接 A1O． A1
【证明】∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AC． ∵PA⊥面 ABC，BC 面 ABC，∴PA⊥BC．
高一数学人教A版必修2第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定 课件(共29张PPT)
1
（一）平面垂直定义的建构
实例引入生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出
几个吗？
旗杆与底面垂直
2
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
3
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位
置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
A
影子所在的直线垂直.
思考2 旗杆AB与地面内任意一条不过 旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是 什么？由此可以得到什么结论？
24
3. 已知：如图 ，空间四边形 ABCD 中， DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可．
辨析1判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么它
与平面垂直.
（)
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面内所
有的直线都垂直.
（）
b
a
α
7
探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本
方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m,任意 m .
25
4:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与 BD的交点，且PA =PC ,PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
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2.3直线、平面垂直的刘定及其性质2. 3.1直线与平面垂直的判定读教材》--- 预习新知一、预习教材•问题导入根据以下提纲，预习教材P64〜P67,回答下列问题. (1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?提示：垂直关系.所成的角度不变，都为90。
・(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B fC f (如⑴的图)的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论?提示：垂直关系，依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线•二、归纳总结•核心必记1.直线与平面垂直的有关概念(1)定义：如果直线I与平面«内的任直一条直线都垂直,我们就说直线I与平面a互相垂直，记作/丄色(2)相关概念：若直线2与平面久垂直，其中直线Z叫做平面a的垂线,平面a叫做直线I的垂面・直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(3)图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示.⑷符号语言：任意aUa,都有IVa^l丄久丄久(1) 文字语言：一条直线与一个平面内的两条至变直线都 垂直，则该直线与此平面垂直.(3) 符号语言：aUg bUa 、aQb=A 9 /丄a,(2)图形语言：如图所示.3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是兰的综上，直线与平面所成的角〃的范围是°° W ° W90。
.三、综合迁移・深化思维(1)直线与平面垂直的定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”，“无数条直线” ？提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的, 但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.(2)线面垂直的判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线Z必须有公共点吗？提示：用线面垂直的判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.(3)若直线I与平面a所成的角是0。
角,则必然有〃。
吗?提示：不一定.若直线Z与平面。
所成的角是0。
角，则Z〃a 或ZU Q.ZZL 突.•破•婁•淮探究点一直线与平面垂直的定义及判定定理［思考探究］ 观察下图中书脊所在直线与桌面的位置关系.(1)书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?提示：垂直.(2) 怎样理解直线与平面垂直的定义？ 细探究》 B名师指津:①定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.③由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.(3)怎样理解直线与平面垂直的判定定理?名师指津：①引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直，但是要说明直线与平面内所有直线都垂直，在实际运用时有困难，所以需要引进一种容易操作，应用广泛的证明方法.②关键词“两条相交直线”的理解(i )虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交直线完全确定.(ii)不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直” •实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直.③所体现的数学思想直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想, 即将线面垂直转化为线线垂直.［典例精析］(1)下列说法中正确的个数是()①如果直线Z与平面。
内的两条相交直线都垂直，则/丄②如果直线I与平面«内的任意一条直线垂直，则/±«;③如果直线？不垂直于©则疚内没有与2垂直的直线;④如果直线I不垂直于«,则«内也可以有无数条直线与2垂直.A. 0 C. 2B. 1 D.3s(2)如图所示，直角AABC所在的平面外一点S,SA=SB=SC f点D为斜边AC的中点.求证：直线SD丄平面ABC.［解析］(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当？与。
不垂直时，Z可能与。
内的无数条直线垂直，故③错误；④正确.(2)・・・S4=SC,点D为斜边4C的中点，・・・SD丄AC・连接BD,在RtZUBC 中，则AD=DC=BD f:.NADSm'BDS,・・・SD丄BD又ACQBD=D f・・・SD丄平面ABC.［答案］⑴°［类题通法］1.线线垂直和线面垂直的相互转化2.证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理;(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面;(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.［针对训练］1.如图，在正三棱柱ABGA01G中，已知D,E分别为BC, BiG的中点，点F在棱CCi 上，且EF丄CiD求证：(l)AjE 〃平面ADC1；(2)EF丄平面ADC X .Ci c证明：⑴连接ED•因为D, E分别为BC, BiG的中点, 所以BiEZ/BD且BiE=BZ>,所以四边形是平行四边形,所以BBJ/DE且BBt=DE. 又因为BBi //AA r且BBi =AA t,所以AAi〃DE 且AAi=DE,所以四边形AAiED是平行四边形，所以A.E//AD.又因为AiEQ平面ADC19 ADC平面ADC19所以A0 〃平面ADC I・⑵在正三棱柱ABC-AjBxQ中,BBi丄平面ABC,ADU 平面ABC,所以4D丄BBi・又因为AABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.又因为BBiU平面B\BCC“ BCU平面BB\C\BC=B, 所以AQ丄平面B iBCCj.又因为EFU平面B\BCC“所以40丄EF・又因为EF丄CjD, CjDCZ平面ADC l9 ADC平面ADC19C1DQAD=D9所以EF丄平面4LX?1・探究点二直线与平面所成的角［思考探究］斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.(1)上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？能用角来表示这种倾斜程度吗?提示：不同.能・(2) 直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角 一样把空间角转化为平面角吗?提示：能.(3) 怎样理解直线与平面所成的角?名师指津：①把握定义应注意两点:(i )斜线上不同于斜足的点P 的选取是任意的;(11 )斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而②其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即 把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解.不是线［典例精析］在正方体ABCD-AiBiCiDi中，⑴求直线AjC与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A r B与平面BDD.Br所成的角. ［解］(1) V直线4诅丄平面ABCD,・•・ZAjCA为直线A X C与平面ABCD所成的角,_ n 小设4诅=1,则AC=y^2y Ai⑵连接4G交〃辺1于O,在正方形中，4G丄丄平面AjBjCiDn A J C J C平面・・・BBi丄AiC n又・・・AiG丄平面BDDiBi，垂足为O.・•・ZAtBO为直线A.B与平面BDD'Bi所成的角, 在RtAAjBO 中，AiO=^AiCi=^AiB f・・・Z4iBO=30。
.即A{B与平面BD6B1所成的角为30°.(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线 上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线 上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能 便于计算. (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中 计算.求斜线与平面所成角的步骤［针对训练］2.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面所成角的余弦值.解：如图，设正三棱锥的底面边长为4,则侧棱长为勿• 设O为底面中心，则ZSAO为SA与平面ABC所成的角.2 、/§ 、/§在RtASOA 中，= 3A/3, AO 3"⑴•••cosZSAg 亍茁+ 即侧棱与底面所成角的余弦值为乎.［课堂归纳领悟］1.本节课的重点是理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中"任意”两字的重要性；掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题.难点是了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法.2.本节课要重点掌握的规律方法(1)证明线面垂直的方法，见探究点一.(2)求斜线与平面所成角的方法步骤，见探究点二.3.本节课的易错点是用线面垂直的判定定理时漏掉两条直线相交这一条件，如探究点一；求线面角时不注意出现的线面垂直条件，如探究点二.THANK YOU FOR WATCHING。