同步人教A高中数学必修二培优课件：2.32.3.1直线与平面垂直的判定

2.3直线、平面垂直的刘定及其性质

2. 3.1直线与平面垂直的判定

读教材》--- 预习新知

一、预习教材•问题导入

根据以下提纲，预习教材P64〜P67,回答下列问题. (1)如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在

地面上的影子BC的位置关系是什么？随

着太阳的移动,旗杆AB与影子BC所成的

角度会发生改变吗?

提示：垂直关系.所成的角度不变，都为90。・

(2)旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线

B f

C f (如⑴的图)的位置关系又是什么？依据是什么？

由此得到什么结论?

提示：垂直关系，依据是异面直线所成角的定义.得到的结论是：如果一条直线与平面垂直，则这条直线垂直于该平面内的任意一条直线•

二、归纳总结•核心必记

1.直线与平面垂直的有关概念

(1)定义：如果直线I与平面«内的任直一条直线都垂直,

我们就说直线I与平面a互相垂直，记作/丄色

(2)相关概念：若直线2与平面久垂直，其中直线Z叫做平

面a的垂线,平面a叫做直线I的垂面・直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

(3)图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示.

⑷符号语言：任意aUa,都有IVa^l丄久

丄久

(1) 文字语言：一条直线与一个平面内的两条至变直线都 垂直，则该直线与此平面垂直.

(3) 符号语言：aUg bUa 、aQb=A 9 /丄

a,

(2)图形语言：如图所示.

3.直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直

线和这个平面所成的角.

一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是兰的

综上，直线与平面所成的角〃的范围是°° W ° W90。.

三、综合迁移・深化思维

(1)直线与平面垂直的定义中的关键词“任意一条直线”是否

可以换成“所有直线”，“无数条直线” ？

提示：定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的, 但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直.

(2)线面垂直的判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线Z

必须有公共点吗？

提示：用线面垂直的判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两

条相交直线是否和已知直线有公共点，则是无关紧要的.

(3)若直线I与平面a所成的角是0。角,则必然有〃。吗?

提示：不一定.若直线Z与平面。所成的角是0。角，则Z〃a 或ZU Q.

ZZL 突.•破•婁•淮

探究点一直线与平面垂直的定义及判定定理

［思考探究］ 观察下图中书脊所在直线与桌面的位置关系.

(1)书脊所在直线与桌面的位置关系是什么?

提示：垂直.

(2) 怎样理解直线与平面垂直的定义？ 细探究》 B

名师指津:①定义中的“任意一条直线”这一词语与“所

有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.

②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.

③由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.

(3)怎样理解直线与平面垂直的判定定理?

名师指津：①引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直，但是要说明直线与

平面内所有直线都垂直，在实际运用时有困难，所以需要引进一种容易操作，应用广泛的证明方法.

②关键词“两条相交直线”的理解

(i )虽然平面内直线有无数多条，但它却可以由两条相交

直线完全确定.

(ii)不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直” •实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直.

③所体现的数学思想

直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想, 即将线面垂直转化为线线垂直.

［典例精析］

(1)下列说

法中正确的个数是()

①如果直线Z与平面。内的两条相交直线都垂直，则/丄

②如果直线I与平面«内的任意一条直线垂直，则/±«;

③如果直线？不垂直于©则疚内没有与2垂直的直线;

④如果直线I不垂直于«,则«内也可以有无数条直线与

2垂直.

A. 0 C. 2

B. 1 D.3

s

(2)如图所示，直角AABC所在的平面外一点S,

SA=SB=SC f点D为斜边AC的中点.求证：直线SD丄

平面ABC.

［解析］(1)由直线和平面垂直的判定定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当？与。不垂直时，Z可能与。内的无数条直线垂直，故③错误；④正确.

(2)・・・S4=SC,点D为斜边4C的中点，

・・・SD丄AC・

连接BD,在RtZUBC 中，则AD=DC=BD f

:.NADSm'BDS,

・・・SD丄BD又ACQBD=D f

・・・SD丄平面ABC.［答案］⑴°

［类题通法］

1.线线垂直和线面垂直的相互转化

2.证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义;

(2)线面垂直的判定定理;

(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另

一条直线也垂直于这个平面;

(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么