三角恒等变换中的综合问题
三角函数和向量的综合
三角函数和向量的综合复习要点：1、 熟练应用三角恒等变换和向量数量积等公式2、 三角函数和向量综合问题的处理思路典例剖析：1、已知向量.1,43),1,1(-=⋅=且的夹角为与向量向量π （1）求向量n ；（2）设向量)sin ,,(cos ),0,1(x x ==向量，其中R x ∈，若0=⋅，试求||+的取值范围.2、已知向量552sin ,(cos ,sin ,cos =-==b a ββαα）（ （1）求)cos(βα-的值 （2）若02,20<<-<<βππα且135sin -=β，求αsin 的值3、 已知向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==2,0)2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos πx x x b x x a 且向量。
求（1）+⋅；（2）若x f +-⋅=2)(的最小值是23-，求实数λ的值。
4、已知函数2()2cos2sin cos 1(0)f x x x x x ωωωω=++∈R >，的最小正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．17题、如图，函数y=2sin(πx+ϕ),(x ∈R)（其中0≤ϕ≤2π）的图象与y 轴交于点（0，1）；①、求ϕ的值；②、设P 为图象上的最高点，M ，N是图象与x 轴的交点，求→PM 与→PN 的夹角。
课后作业：1、已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==- ,且0.m n ⋅=(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.2、已知向量)1,2sin 2(cos .22x x a -=)sin ,1(.x b =，函数f (x )＝b a ⋅ (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ)当x 0∈(0,4π)且f (x 0)＝524时，求f (x 0＋6π)的值.3、(山东17)（本小题满分12分）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．4．（上海18）（本题满分15分）已知函数f (x )=sin2x ，g (x )=cos π26x ⎛⎫+⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()()f x g x ，的图像分别交于M 、N 两点．（1）当π4t =时，求｜MN ｜的值； （2）求｜MN ｜在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．5、如图在长方体ABCD 中，,,AB a AD b N == 是CD 的中点，M 是线段AB 上的点，2,1a b == ，（1）若M 是AB 的中点，求证：AN 与CM 共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得BD 与CM 垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；（3）若动点P 在长方体ABCD 上运动，试求AP AB ⋅ 的最大值及取得最大值时P点的位置。
三角恒等变换
2， π 2cos4＝－1， 2，最小值为－
3π f 4 ＝
3π π 2sin 2 －4＝－
所以函数 1.
π 3π f(x)在区间8， 4 上的最大值为
【考情分析】
两角和与差的三角函数公式及倍角公式一直是高考数学的 热点内容之一，可对其直接考查，主要是作为工具在有关三角 函数的解答题中进行考查，各种题型均可能出现，难度不大， 分值4～6分．
π α α 2 cos2 . α，再升幂或化为sin2± 1± cos2±
(4)asin α ＋ bcos α→ 辅 助 角 公 式 asin α ＋ bcos α ＝ b a ＋b · sin(α ＋ φ) ， 其 中 tan φ ＝ a 或 asin α ＋ b cos α ＝
2
升幂：1＋cos 2α＝2cos2 α， 1－cos 2α＝2sin2 α.
(4) 角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的变换有： α＝(α＋β)－β， 1 α＝β－(β－α)，α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ， 1 α＝2[(α＋β)－(β－α)] ， α＋β＝(2α＋β)－α 等． (5)公式的逆用和变用．
sin 47° －sin 17° cos 30° 6．(2013· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2
)
sin 47° －sin 17° cos 30° 解析： cos 17° sin17° ＋30° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 17° cos 30° ＋cos 17°sin 30° －sin 17°cos 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° ＝2，选 C. 答案：C
高考解答题专项突破(二) 三角函数的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析
[考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问题是高考的热点题型，主要考查内容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时要充分利用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．考点一三角函数图象与性质的综合例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ(1)求f (x )＝2的解集；(2)求函数g (x )＝f 解(1)由图象可知，周期T ＝5π12＋7π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，∵，∴A 2×5π12＋0，∴0，解得5π6＋φ＝π＋2k π，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∵点(0，1)在函数图象上，∴A sin π6＝1，A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x由f (x )＝x 2，得x 1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2|x ＝π6k π，k ∈(2)g (x )＝由(1)知f (x )＝xg (x )＝2sin 2＋π6－2sin 2＋π6＝2sin2x －2sinx ＝2sin2x －x ＋32cos2sin2x －3cos2x＝x 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴函数g (x )＝f k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .解决三角函数图象与性质综合问题的方法利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t ＝ωx ＋φ，转化为研究y ＝A sin t 或y ＝A cos t 的性质．1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin 2ωx 2sin φ(ω>0，|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝－π3且f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈π2，3π4，函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解(1)f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－2(1－cos ωx )sin φ＝2sin(ωx ＋φ)，又函数f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π，所以ω＝2πT＝2，若选条件①：将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到的图象关于y 轴对称，所得函数为y ＝2sin 2φ＝x ＋π3＋由函数y ＝2sin x ＋π3＋y 轴对称，可得π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝xf (0)＝1，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x f (0)＝2sin π6＝1，不符合题意．所以f (x )＝x若选条件②：因为函数f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－π3，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝x则2<f (1)，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x则2sin π2＝2>f (1)，不符合题意．所以f (x )＝x(2)令t ＝2x －5π6∈π6，2π3，此时函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2等价于直线y ＝a 与函数y ＝2sin t ，t ∈π6，2π3的图象有两个不同交点．当t ＝π2时，函数取到最大值，所以t 1＋t 2＝π，即2x 1－5π6＋2x 2－5π6＝π，所以x 1＋x 2＝4π3.考点二三角函数与解三角形的综合例2(2023·河北石家庄二中模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且f (x )为偶函数．(1)求ω和φ的值；(2)已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，求[f (A )]2＋[f (C )]2的取值范围．解(1)因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，所以2πω＝4π，解得ω＝12，所以f (x )＝2sin ＋又因为f (x )为偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π2.(2)因为(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，且0<A <π，所以sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，则A ＋C ＝2π3，即C ＝2π3－A ，由(1)知，函数f (x )＝2cos 12x ，所以[f (A )]2＋[f (C )]2＝2cos 212A ＋2cos 212C ＝cos A ＋cos C ＋2＝cos A ＋2＝cos A －12cos A ＋32sin A ＋2＝32sin A ＋12cos A ＋2＝2，因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以1，则23，即[f (A )]2＋[f (C )]23.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两个方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用．2.设f (x )＝sin x cos x －cos x ∈[0，π]．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．解(1)由题意，得f (x )＝12sin2x －12cos x 1＝sin2x －12，因为0≤x ≤π，所以0≤2x ≤2π，由正弦函数的单调性可知，当0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，即0≤x ≤π4或3π4≤x ≤π时，函数f (x )＝sin2x －12单调递增，所以f (x )的单调递增区间是0，π4和3π4，π.(2)由题意，得sin A －12＝0，所以sin A ＝12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A 故A ＝π6.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，故b 2＋c 2－3bc ＝1，由基本不等式，得b 2＋c 2≥2bc ，故bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时，等号成立．因此S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34，当且仅当b ＝c 时，△ABC 的面积取得最大值2＋34.考点三三角函数与平面向量的综合例3已知向量a ＝(sin x ，3sin(π＋x ))，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求f (x )的最小正周期及f (x )图象的对称轴方程；(2)先将f (x )的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，求m 的取值范围．解(1)因为f (x )＝a ·b －32sin x cos x ＋3sin 2x －32＝12sin2x －32cos2x ＝x 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，所以f (x )的最小正周期为π，对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z .(2)由(1)，知f (x )＝x由题意，得g (x )＝sin x .函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，转化为函数y ＝sin x ，x ∈π6，5π6的图象与直线y ＝m 有两个交点．由图象可得，m 的取值范围为12，当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，首先运用向量数量积的定义、向量共线、向量垂直等，得到三角函数的关系式，然后利用三角函数的图象、性质解决问题．3.已知向量a x b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在－π2，0上的单调递增区间．解(1)由a ∥b ，得(－1)sin x ＝32cos x ，所以tan x ＝－32，所以2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2＋31＋94＝2013.(2)f (x )＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin x 当x ∈－π2，0时，2x ＋π4∈－3π4，π4，令－π2≤2x ＋π4≤π4，得－3π8≤x ≤0.故函数f (x )在－π2，0上的单调递增区间为－3π8，0.考点四解三角形与平面向量的综合例4(2024·四川成都调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)D 是线段BC 上的点，且AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ABD 的面积．解(1)因为m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n ，所以m ·n ＝(2b ＋c )cos A ＋a cos C ＝0，由正弦定理可得2sin B cos A ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝0，即2sin B cos A ＋sin(A ＋C )＝0，又A ＋C ＝π－B ，所以2sin B cos A ＋sin B ＝0，又B ∈(0，π)，则sin B >0，所以cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，因此A ＝2π3.(2)设B ＝θ，因为A ＝2π3，则C ＝π－2π3－θ＝π3－θ，因为AD ＝BD ＝2，所以∠BAD ＝B ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝2π3－θ，在△ACD 中，由正弦定理可知AD sin C ＝CD sin ∠DAC，即23即θ－12sin θ＋12sin 化简可得5sin θ＝3cos θ，即tan θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝5314，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin(π－2θ)＝12AD ·BD sin2θ＝12×22×5314＝537.解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．4.(2023·广东广州天河区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos B ＋C 2＝a sin B .(1)求A ；(2)若a ＝19，BA →·AC →＝3，AD 是△ABC 的中线，求AD 的长．解(1)因为cos B ＋C 2＝sin A 2，所以b sin A 2＝a sin B .由正弦定理，得sin B sin A 2＝sin A sin B .因为sin B ≠0，所以sin A 2＝sin A .所以sin A 2＝2sin A 2cos A 2.因为A ∈(0，π)，A 2∈所以sin A 2≠0，所以cos A 2＝12.所以A 2＝π3.所以A ＝2π3.(2)因为BA →·AC →＝3，所以bc cos(π－A )＝3.又A ＝2π3，所以bc ＝6.由余弦定理，得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝13.又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝74.所以|AD →|＝72，即AD 的长为72.课时作业1．(2023·广东佛山模拟)已知函数f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，BC 边的中线AD 的长为7，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝x 故f (x )的最小正周期T ＝π，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)得，f (A )＝A 1，即A ＝12，∵0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，∴7＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝14(b 2＋c 2＋bc )，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，∴bc ≤283，当且仅当b ＝c ＝2213时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×283＝733，∴△ABC 面积的最大值为733.2.(2024·江西南昌模拟)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈(1)求函数f (x )的解析式和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，然后再将横坐标缩短为原来的12得到y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间－π4，π12上的最大值和最小值．解(1)由图象知，A ＝2，T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，又ω>0，则ω＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，，2，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．(2)将f (x )＝2sin x 的图象向右平移π12个单位长度，得2sin 2＋π3＝2sin x ，然后再将横坐标缩短为原来的12，得g (x )＝2sin x ．因为x ∈－π4，π12，则4x ＋π6∈－5π6，π2，所以－1≤x 1.故当4x ＋π6＝－π2，即x ＝－π6时，g (x )取得最小值，为－2；当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，g (x )取得最大值，为2.3．设函数f (x )＝m ·n ，其中向量m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )(x ∈R )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面积为32，求b sin B的值．解(1)因为m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝x 1，所以当x 1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－1.(2)由f (A )＝2，得A 1＝2，则A ＝12，又A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈故2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝32，可得c ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝3，所以b sin B ＝a sin A ＝332＝2.4．(2023·四川成都模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝3，c ＝1，ab ＝23，求△ABC 的周长．解(1)依题意，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝x 1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (C )＝C 1＝3，即C 1，而C ∈(0，π)，则2C ＋π6∈于是2C ＋π6＝π2，解得C ＝π6，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得1＝(a ＋b )2－(2＋3)ab ＝(a ＋b )2－23×(2＋3)，解得a ＋b ＝2＋3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.5．(2023·福建福州模拟)已知向量m 23sin x 4，n cos x 4，cos(1)若m ·n ＝2，求cos (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．解(1)m ·n ＝23sin x 4cos x 4＋2cos 2x 4＝3sin x 2＋cos x 2＋1＝ 1.因为m ·n ＝2，所以＝12.所以1－2sin ＝12.(2)因为f (x )＝m ·n ＝1，所以f (A )＝ 1.因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.所以0<A <2π3.所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ，故f (A )的取值范围是(2，3)．6．(2024·湖北黄冈调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，且m ·n ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求3a ＋c 的最大值．解(1)在△ABC 中，因为m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，m ·n ＝0，所以b sin A －3a cos B ＝0.由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin A cos B ，又sin A >0，所以sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由(1)，知B ＝π3，b ＝3，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B＝2，即a ＝2sin A ，c ＝2sin C .又C ＝2π3－A ，所以3a ＋c ＝6sin A ＋2sin C ＝6sin A ＋7sin A ＋3cos A ＝213sin(A ＋θ)，其中锐角θ由tan θ＝37确定，又0<A <2π3，所以θ<A ＋θ<2π3＋θ.则当且仅当A ＋θ＝π2，即tan A ＝＝733时，sin(A ＋θ)取最大值1，所以3a ＋c 的最大值为213.7．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间0，π2上的值域；(3)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)依题意，f (x )＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2sinx 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．(2)由x ∈0，π2，得2x ＋3π4∈3π4，7π4，则－1≤x ≤22，即－2≤f (x )≤1，所以函数f (x )在区间0，π2上的值域为[－2，1]．(3)由(1)知，＝2sin 0，而0<A <π，即有3π4<A ＋3π4<7π4，则A ＋3π4＝π，解得A ＝π4，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，于是bc ≤4＋22，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．(2024·重庆永川北山中学模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos(A－C )＋cos B ＝32，设m ＝(b ，c )，n ＝(a ，b )且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S ＝3，求AD 的长．解(1)由cos(A －C )＋cos B ＝32，可知cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，可得sin A sin C ＝34.由m ∥n 可得b 2－ac ＝0，由正弦定理可知sin 2B ＝sin A sin C ＝34，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32，因此B ＝π3或2π3.分别代入cos(A －C )＋cos B ＝32，可知当B ＝2π3时，cos(A －C )＝2，不成立．因此B ＝π3.(2)由B ＝π3可知cos(A －C )＝1，即A ＝C ，因此△ABC 为等边三角形，即a ＝b ＝c ，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12b (5－a )sin 2π3＝34a (5－a )＝3，整理可得a (5－a )＝4，即a 2－5a ＝－4，在△ABD 中，由余弦定理可知，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝c 2＋25－5c ＝a 2＋25－5a ＝21，因此AD 的长为21.。
高中数学-三角恒等变换综合练习(苏教版必修第二册)(解析版)
10.4 三角恒等变换综合练习（基础）一．选择题（共8小题）1．已知α是第二象限角,sin α=45,则sin2α＝（ ） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解． 【解答】解：因为α是第二象限角,sin α=45, 所以cos α=−√1−sin 2α=−35,则sin2α＝2sin αcos α＝2×45×(−35)=−2425． 故选：A ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．2．已知cos （θ−π2）=45,−π2＜θ＜π2,则sin2θ的值等于（ ） A ．−2425B ．2425C ．−1225D ．1225【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos θ的值,进而根据二倍角的正弦公式即可求解sin2θ的值．【解答】解：因为cos （θ−π2）＝sin θ=45,−π2＜θ＜π2, 所以cos θ=√1−sin 2θ=35,则sin2θ＝2sin θcos θ＝2×45×35=2425． 故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题． 3．已知tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα的值为（ ）A ．−25B ．45C ．23D ．25【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解． 【解答】解：因为tan α＝2,则sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1=2+23×2−1=45．故选：B ．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．4．cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝（ ） A ．√32B ．−√32C ．12D ．−12【分析】结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求值．【解答】解：cos350°sin70°﹣sin170°sin20°＝cos10°cos20°﹣sin10°sin20°＝cos30°=√32．故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和的余弦公式及诱导公式在三角函数化简求值中的应用,属于基础试题． 5．已知sin(π6+α)=−45,则cos(π3−α)=（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−35【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值． 【解答】解：∵sin(π6+α)=−45,∴cos(π3−α)=cos[π2−（π6+α）]=sin(π6+α)=−45,故选：C ．【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查诱导公式的应用,是基础题． 6．计算1−cos 270°1+cos40°=（ ）A ．45B ．34C ．23D ．12【分析】利用二倍角公式,诱导公式即可化简求解．【解答】解：1−cos 270°1+cos40°=1−1+cos140°21+cos40°=1−cos140°2(1+cos40°)=1+cos40°2(1+cos40°)=12．故选：D ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题．7．若12sin2α﹣sin 2α＝0,则cos （2α+π4）＝（ ）A ．1B ．√22C ．−√22D ．±√22【分析】由已知结合二倍角公式可求sin α＝0或tan α＝1,然后分类讨论,结合同角基本关系即可求解． 【解答】解：因为12sin2α﹣sin 2α＝0,所以sin αcos α﹣sin 2α＝0, 所以sin α＝0或sin α＝cos α, 当sin α＝0时, cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）=√22(1−2sin 2α−2sinαcosα)=√22,当sin α＝cos α即tan α＝1时,cos （2α+π4）=√22（cos2α﹣sin2α）,=√22×（cos 2α﹣sin 2α﹣2sin αcos α）, =√22（1−tan 2α1+tan 2α−2tanα1+tan 2α）=−√22．故选：D ．【点评】本题以三角函数为背景,主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,考查了数学运算的核心素养．8．已知α∈（0,π2）,sin2α1+cos2α=12,则cos α＝（ ）A ．√55B ．2√55C ．√1010D ．3√1010【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得cos α＝2sin α,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：由于sin2α1+cos2α=12,可得4sin αcos α＝2cos 2α,因为α∈（0,π2）,cos α≠0,所以cos α＝2sin α,联立{cosα=2sinαsin 2α+cos 2α=1,解得cos α=2√55． 故选：B ．【点评】本题主要考查了二倍角公式,同角三角函数基本关系式,考查推理论证能力,运算求解能力,考查了数学运算核心素养,属于基础题． 二．多选题（共4小题） 9．下列各式中值为12的是（ ）A ．2sin75°cos75°B ．1﹣2sin 2π12C ．sin45°cos15°﹣cos45°sin15°D ．tan20°+tan25°+tan20°tan25° 【分析】根据对应的公式求出判断即可．【解答】解：对于A ：2sin75°cos75°＝sin150°=12, 对于B ：1﹣2sin 2π12=cosπ6=√32, 对于C ：sin45°cos15°﹣cos45°sin15°＝sin30°=12,对于D ：tan20°+tan25°+tan20°tan25°＝tan （20°+25°）（1﹣tan20°tan25°）+tan20°tan25°＝1, 故选：AC ．【点评】本题考查了三角的恒等变换,属于基础题． 10．下列化简正确的是（ ） A ．tan （π+1）＝tan 1 B ．sin(−α)tan(360°−α)=cos αC ．sin(π−α)cos(π+α)=tan αD ．cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=1【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子,可的结果． 【解答】解：∵由诱导公式可得 tan （π+1）＝tan1,故A 正确；sin(−α)tan(360°−α)=−sinα−tanα=cos α,故B 正确；sin(π−α)cos(π+α)=sinα−cosα=−tan α,故C 不正确； cos(π−α)tan(−π−α)sin(2π−α)=−cosα⋅(−tanα)−sinα=−1,故D 不正确,故选：AB ．【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题． 11．若α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=0,则α的值是（ ）A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π2【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．【解答】解：因为α∈[0,2π],sin α3sin4α3+cos α3cos4α3=cos α＝0,则α=12π或α=3π2, 故选：CD ．【点评】本题主要考查了两角差的余弦公式的简单应用,属于基础试题． 12．若tan2x ﹣tan （x +π4）＝5,则tan x 的值可能为（ ） A ．−√63B ．−√62C ．√63D ．√62【分析】利用三角函数恒等变换的应用即可化简求值得解．【解答】解：设tan x ＝t ,因为tan2x −tan(x +π4)=2t 1−t 2−t+11−t =2t−(t+1)21−t 2=t 2+1t 2−1=5,所以t 2=32,故tanx =t =±√62． 故选：BD ．【点评】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力,属于基础题． 三．填空题（共4小题）13．已知α、β均为锐角,且cos α=17,cos （α+β）=−1114,则β＝π3．【分析】先利用同角三角函数的基本关系求得sin α和sin （α+β）的值,然后利用cos β＝cos p [（α+β）﹣α],根据两角和公式求得答案． 【解答】解：α,β均为锐角,∴sin α=√1−149=4√37,sin （α+β）=√1−(−1114)2=5√314,∴cos β＝cos p [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1114×17+4√37×5√314=12． ∴β=π3． 故答案为π3．【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的应用．熟练记忆三角函数的基本公式是解题的基础．14．若cos （α﹣β）=12,cos （α+β）=−35,则tan αtan β＝ ﹣11 ．【分析】由已知利用两角和与差的余弦公式可求cos αcos β,sin αsin β的值,进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为cos （α﹣β）=12, 所以cos αcos β+sin αsin β=12, 因为cos （α+β）=−35,所以cos αcos β﹣sin αsin β=−35,所以cos αcos β=12（12−35）=−120,sin αsin β=12（12+35）=1120,则tan αtan β=1120−120=−11．故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了转化思想,属于基础题．15．若0＜α＜π2,﹣π＜β＜−π2,cos （π4+α）=13,cos （π4−β2）=−√33,则cos （α+β2）＝ √33．【分析】由已知先求出,的范围,再根据正弦和余弦的平方关系和为1求出对应的正弦值,然后再利用凑角的方法即可求解．【解答】解：因为0＜α＜π2,−π＜β＜−π2, 所以π4＜α+π4＜3π4,π2＜π4−β2＜3π4,所以sin （π4+α）=√1−(13)2=2√23, sin （π4−β2）=1−(−√33)2=√63,所以cos （α+β2）＝cos[（π4+α）﹣（π4−β2）]＝cos （π4+α）cos （π4−β2）+sin （π4+α）sin （π4−β2）=13×(−√33)+2√23×√63 =√33, 故答案为：√33． 【点评】本题考查了两角和与差的的三角函数求值问题,考查了学生的运算能力,属于基础题． 16．已知α∈R ,3sin α+cos α＝3,则sin2α﹣cos 2α＝35或0． ．【分析】由已知可得,（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α,然后利用同角基本关系弦化切可求tan α,进而可求．【解答】解：因为3sin α+cos α＝3, 当cos α≠0时,所以（3sin α+cos α）2=9sin 2α+6sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=9tan 2α+6tanα+11+tan 2α=9,解得,tan α=43,所以sin2α﹣cos 2α=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=2×43−1(43)2+1=35．当cos α＝0时,sin2α﹣cos 2α＝0 故答案为：35或0．【点评】本题主要考查了三角恒等变换,考查了运算求解能力,数据处理的能力． 四．解答题（共8小题）17．已知0＜α＜π2,0＜β＜π2,sin α=45,cos （α+β）=513． （1）求cos β的值； （2）求sin 2α+sin2αcos2α−1的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α,sin （α+β）的值,进而根据β＝（α+β）﹣α,利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而即可代入求解． 【解答】解：（1）因为0＜α＜π2,sin α=45, 所以cos α=35,又因为0＜β＜π2,cos （α+β）=513, 所以sin （α+β）=1213, 所以cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=513×35+1213×45=6365． （2）因为cos α=35,sin α=45,所以sin2α＝2sin αcos α＝2×45×35=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（35）2﹣1=−725,所以sin 2α+sin2αcos2α−1=(45)2+2425−725−1=−54．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,两角差的余弦函数公式,二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 18．已知cosα=−45,α为第三象限角． （1）求sin α,tan α的值； （2）求cos(π4−2α)的值．【分析】（1）先根据α所在的象限,判断出sin α的正负,进而根据同角三角函数的基本关系,利用cos α的值求得sin α,进而求得tan α的值．（2）由（1）利用二倍角公式可求sin2α,cos2α的值,进而根据两角差的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：（1）∵cosα=−45,α为第三象限角, ∴sin α＜0,∴sin α=−√1−cos 2α=−√1−1625=−35,tan α=sinαcosα=34． （2）∵由（1）可得sin2α＝2sin αcos α=2425,cos2α＝2cos 2α﹣1=725, ∴cos(π4−2α)=cos π4cos2α+sin π4sin2α=√22×725+√22×2425=31√250．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系,二倍角公式,两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用．注意根据角的范围确定三角函数的正负号,属于基础题． 19．已知cosα=35,,． （Ⅰ）求tan α,sin2α的值； （Ⅱ）求sin(π3−α)的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin α,tan α的值,利用二倍角的正弦函数公式可求sin2α的值．（Ⅱ）利用两角差的正弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：（Ⅰ）∵cosα=35,,, ∴sinα=−√1−cos 2α=−45, ∴tanα=sinαcosα=−43,sin2α=2sinαcosα=−2425． （Ⅱ）∴sin(π3−α)=sin π3cosα−cos π3sinα=√32×35−12×(−45)=3√3+410． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,二倍角的正弦函数公式,两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 20．（1）已知sinα=−13,且α为第四象限角,求sin(α−π2)与tan α值； （2）已知tan α＝2,求cos αsin α的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式,诱导公式,即可求解． （2）利用同角三角函数基本关系式即可计算得解． 【解答】解：（1）因为sinα=−13,且α为第四象限角, 所以cosα=√1−sin 2α=2√23, 可得sin(α−π2)=−cos α=−2√23,tanα=−√24． （2）因为tan α＝2, 可得sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαtan 2α+1=25． 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,诱导公式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题． 21．已知α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．（1）求sin2β； （2）求tan （α+2β）．【分析】（1）利用同角三角函数关系以及倍角公式进行转化求解即可． （2）先求出对应的正切值,利用两角和差的正切公式进行转化求解即可． 【解答】解：（1）∵α,β∈（0,π2）,cos α=√55,sin β=45．∴sin α=2√55,cos β=35．则sin2β＝2sin βcos β＝2×45×35=2425． （2）∵cos2β＝1﹣2sin 2β=−725, ∴tan2β=sin2βcos2β=−247,tan α=sinαcosα=2,∴tan （α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=2−2471+2×247=−211．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,同角三角函数关系以及两角和差的三角公式是解决本题的关键,比较基础．22．已知sin （π3−x ）=13,且0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,求得cos （π3−x ）的值,再利用诱导公式、两角和差的三角公式,求得要求式子的值．【解答】解：∵0＜x ＜π2,∴−π6＜π3−x ＜π3,∵已知sin （π3−x ）=13,∴cos （π3−x ）=√1−sin 2(π3−x)=2√23． 且 0＜x ＜π2,求sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）的∴sin （π6+x ）﹣cos （2π3+x ）＝cos （π3−x ）+cos （π3−x ）＝2cos （π3−x ）=4√23． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式、两角和差的三角公式的应用,属于基础题． 23．已知tan α,,β是第三象,角． （1）求,的值；（2）求cos （α﹣β）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得 sin α和cos α的值,进而即可代入求解．（2）利用同角三角函数的基本关系求得sin β的值,再利用两角差的余弦公式求得cos （α﹣β）的值． 【解答】解：（1）∵tan α=sinαcosα=−43,α∈（π2,π）,sin 2α+cos 2α＝1, ∴sin α=45,cos α=−35,可得3sinα+cosαsinα−cosα=3×45+(−35)45−(−35)=97．（2）∵cos β=−513,β是第三象限角, ∴sin β=−√1−cos 2β=−1213,∴cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β=−35•（−513）+45•（−1213）=−3365．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的余弦公式的应用,属于基础题．24．已知tanα,tanβ为方程式x2+6x+2＝0的两根,求下列各式之值：（1）1cos2(α+β)；（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）．【分析】（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,然后结合两角和的正切公式及同角基本关系可求．（2）由sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],代入可求．【解答】解：（1）由题意得,tanα+tanβ＝﹣6,tanαtanβ＝2,∴tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−61−2=6,∴1cos2(α+β)=cos2(α+β)+sin2(α+β)cos2(α+β)=1+sin2(α+β)cos2(α+β),＝1+tan2（α+β）＝1+36＝37,（2）sin2（α+β）+4sin（α+β）cos（α+β）+2cos2（α+β）,＝cos2（α+β）[tan2（α+β）+4tan（α+β）+2],=137（36+4×6+2）=6237．【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用,解题的关键是公式的灵活应用．。
高中数学简单的三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明三角恒等式，并能进行一些简单的应用．知识点一 半角公式 sin α2＝±1－cos α2， cos α2＝±1＋cos α2， tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝b a1．cos α2＝1＋cos α2.( × ) 2．对任意α∈R ，sin α2＝12cos α都不成立．( × )3．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2＝63.( √ )4．对任意α都有sin α＋3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( √ )一、三角恒等式的证明例1 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝2sin θ.证明 方法一 左边＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cosθ22sin 2θ2＋2sin θ2cosθ2＝sinθ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sinθ2＝2sin θ＝右边．所以原式成立．方法二 左边＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ＝右边． 所以原式成立．反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简； (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练1 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x 4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x 2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cos x 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．二、三角恒等变换的综合问题例2 已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8，f (x )单调递增； 当π2<2x ＋π4≤5π4，即π8<x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤π8，π2上单调递减． 反思感悟 研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y ＝a sin x ＋b cos x 转化为y ＝A sin(x ＋φ)或y ＝A cos(x ＋φ)的形式，以便研究函数的性质．跟踪训练2 已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 三、三角函数的实际应用例3 如图，有一块以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大，最大值是多少？解 连接OB (图略)，设∠AOB ＝θ，则AB ＝OB sin θ＝20sin θ，OA ＝OB cos θ＝20cos θ，且θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为A ，D 关于原点对称， 所以AD ＝2OA ＝40cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AD ·AB ＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝π4时，S max ＝400(m 2)．此时AO ＝DO ＝102(m)．故当A ，D 距离圆心O 为10 2 m 时，矩形ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m 2. 反思感悟 (1)三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角恒等变换的方法解决实际的优化问题．(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，则0<α<π2，△OAB 的周长为l ，则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋R . ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin α2＝1－cos α2＝105. 2．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 答案 D解析 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D.3．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α.4．函数y ＝－3sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π6上的值域是________． 答案 [0，3]解析 y ＝－3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－x . 又∵－π6≤x ≤π6，∴0≤π6－x ≤π3.∴0≤y ≤ 3.5．已知sin α2－cos α2＝－15，π2<α<π，则tan α2＝________.答案 2解析 ∵⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＝15， ∴1－sin α＝15，∴sin α＝45.又∵π2<α<π，∴cos α＝－35.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－3545＝2.1．知识清单： (1)半角公式； (2)辅助角公式；(3)三角恒等变换的综合问题； (4)三角函数在实际问题中的应用． 2．方法归纳：换元思想，化归思想．3．常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域．1．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a 2 B.1－a2C ．－1＋a2D ．－1－a2答案 D解析 ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ4＝－1－cosθ22＝－1－a2. 2．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 答案 C解析 由题意可知，a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，而当0°<x <90°，y ＝sin x 为增函数，∴a <c <b ，故选C.3．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案 B解析 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 4．化简⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＋2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α2得( ) A ．2＋sin α B ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4 C ．2 D ．2＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4 答案 C解析 原式＝1＋2sin α2cos α2＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α2 ＝2＋sin α－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2＋sin α－sin α＝2.5．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3 答案 C解析 f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴f (x )min ＝2·⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4. ∴a ＝－4.6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 答案 －π6解析 因为3sin x －3cos x ＝23⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.7．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.答案 ±35解析 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.8．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 tan x2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x2.9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．解 因为θ∈(π，2π)， 所以θ2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin θ2＝1－cos θ2＝45， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35， 所以sin θ2＋cos θ2＝15.10．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z .11．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上的最大值是( ) A ．1 B ．2 C.32 D ．3答案 C解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.12．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. 答案 －1解析 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1.13．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0， 即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1， 所以－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π.14．函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递增区间是________． 答案 π ⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z 解析 y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋sin 2x 2＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32.最小正周期T ＝2π2＝π. 令－π2＋2k π<2x －π4<π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π8＋k π<x <3π8＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．15．已知sin 2θ＝35，0<2θ<π2，则2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 答案 12解析 2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝⎝⎛⎭⎫2cos 2θ2－1－sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θcos π4＋cos θsin π4 ＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－sin θcos θsin θcos θ＋1＝1－tan θtan θ＋1. 因为sin 2θ＝35，0<2θ<π2， 所以cos 2θ＝45，所以tan θ＝sin 2θ1＋cos 2θ＝351＋45＝13， 所以1－tan θtan θ＋1＝1－1313＋1＝12， 即2cos 2θ2－sin θ－12sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12. 16.如图所示，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，B ，C 两点在圆弧上，OE 是∠POQ 的平分线，E 在PQ 上，连接OC ，记∠COE ＝α，则角α为何值时矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积．解 如图所示，设OE 交AD 于M ，交BC 于N ，显然矩形ABCD 关于OE 对称，而M ，N 分别为AD ，BC的中点，在Rt △ONC 中，CN ＝sin α，ON ＝cos α，OM ＝DM tan π6＝3DM ＝3CN ＝3sin α， 所以MN ＝ON －OM ＝cos α－3sin α，即AB ＝cos α－3sin α，而BC ＝2CN ＝2sin α，故S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝()cos α－3sin α·2sin α＝2sin αcos α－23sin 2α＝sin 2α－3(1－cos 2α)＝sin 2α＋3cos 2α－ 3＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2α＋32cos 2α－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－ 3. 因为0<α<π6，所以0<2α<π3，π3<2α＋π3<2π3. 故当2α＋π3＝π2，即α＝π12时，S 矩形ABCD 取得最大值， 此时S 矩形ABCD ＝2－ 3.。
高考三轮复习专题训练2---三角恒等变换与解三角形综合问题
三角恒等变换与解三角形综合问题1.三角恒等变换与解三角形的综合问题是高考的热门考点，涉及的公式多、性质繁，知识点较为综合，主要涉及三角恒等变换、解三角形及三角函数与解三角形的开放、探究问题。
2.三角恒等变换与解三角形综合问题的答题模板第一步 利用正弦定理、余弦定理对条件式进行边角互化第二步 由三角方程或条件式求角第三步 利用条件式或正、余弦定理构建方程求边长第四步 检验易错易混、规范解题步骤得出结论3.常用的几个二级结论（1）降幂扩角公式()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（2）升幂缩角公式221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩（3）正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．（4）射影定理在ABC 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．【典例】(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1＋sin A ＝sin 2B 1＋cos 2B. (1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简] (2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系] 思路引导母题呈现三角恒等变换与解三角形综合问题的一般步骤方法总结1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．模拟训练5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233ab 的值．6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________. (1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．1．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =−.(1)求A ；(2)若2a =，ABC 的面积为3，求b ，c .【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得πsin 6A ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值，进而求得A ；（2）利用三角形面积公式求得bc 的值进而根据余弦定理求得22b c +的值，最后联立方程求得b 和c ．【详解】（1）解：因为3sin cos c a C c A =−，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：sin 3sin sin sin cos C A C C A =−，∴3sin cos 1A A −=，π2sin 16A ⎛⎫∴−= ⎪⎝⎭，π1sin 62A ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ()0,πA ∈，ππ5π,666A ⎛⎫∴−∈− ⎪⎝⎭，ππ66A ∴−=， π3A ∴=. （2）解：113sin 3222ABC S bc A bc ==⋅=，4bc ∴=， 由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +−==，2244b c ∴+−=， 联立2284b c bc ⎧+=⎨=⎩，解得2,2b c ==. 2．（2023·安徽宿州·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()(sin sin )sin sin b c B C a A b C −−=−.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C +的取值范围.【分析】（1）由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可.（2）由（1）可知，π3A =，则πsin sin 3sin 6B C B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭π3sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可.模拟训练【详解】（1）由正弦定理可得()()b c b c a a bc −−=⋅−，即222b c a bc +−=，由余弦定理的变形得2221cos 22b c a A bc +−==， 又()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由πA B C ++=得2π3C B =−，且2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2πππsin sin sin πsin 333C B B B ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以π33πsin sin sin sin sin cos 3sin 3226B C B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为20,π3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而ππ5,π666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而3sin sin ,32B C ⎛⎤+∈ ⎥ ⎝⎦. 即sin sin B C +的取值范围为3,32⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 3．（2023·全国·模拟预测）在①33cos sin c a B b A =+，②()()()sin sin sin sin b a B A c B C +−=−，③221cos 2a b ac B bc −=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题． 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求A ；(2)若6a =，2BD DC =，求线段AD 长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）先选条件，并利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化，得到角A 的三角函数值，再结合角A 的取值范围即可求得角A 的大小；（2）先利用余弦定理建立关于,b c 的方程，再利用向量的线性运算将2BD DC =转化为AD 与AB ，AC 的关系，两边同时平方即可将2AD 用,b c 表示，最后利用ABC 是锐角三角形及换元法,利用基本不等式求AD 长的最大值即可．【详解】（1）方案一：选条件①．由正弦定理得()sin si 33sin 3sin s s i n n co C A A B B B A =+=+，∴3cos sin sin sin A B B A =，∵sin 0B >，∴sin 3cos A A =，即tan 3A =，∵02A π<<，∴3A π=．方案二：选条件②．由正弦定理得()()()b a b a c b c +−=−，即222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．方案三：选条件③．由余弦定理得22222122a c b a b ac bc ac +−−=⋅−，∴222b c a bc +−=，∴2221cos 22b c a A bc +−==，∵02A π<<，∴3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+−，得2236b c bc =+−，∵2BD DC =，∴22AD AB AC AD −=−，即32AD AB AC =+，两边同时平方得2222294442AD AB AC AB AC c b bc =++⋅=++，2236b c bc =+−∴()22222221424249b c bcAD b c bc b c bc ++=++=⨯+−．令b t c =，则0t >，()()2222424121411t t t AD t t t t +++==+−+−+，令1t u +=，则1u >，221212443333AD u u u u =+=+−++−，在锐角ABC 中2222222222222222222222222a b c b c bc b c b bca cb bc bc c b c bc b c a b c b c bc ⎧⎧+>+−+>⎧>⎪⎪+>⇒+−+>⇒⎨⎨⎨>⎩⎪⎪+>+>+−⎩⎩，∴122bc <<，∴31,32u b c ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，∴21241683233AD ≤+=+−，∴223AD ≤+，当且仅当3u =时取等号，∴线段AD 长的最大值为223+．4．（2023·贵州毕节·统考一模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cossin 2A B b c B +=． (1)求角C ；(2)若3c =，求BC 边上的高的取值范围．【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦求解作答. （2）由（1）可得π(0,)3B ∈，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理及A B C π+=−，得πsin cossin sin 2C B C B −=， 即有sin sin2sin cos sin 222C C C B B =，而(),0,A B π∈，0,22C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即sin 0B ≠，sin 02C ≠， 因此1cos 22C =，π23C =，所以2π3C =． （2）令ABC 边BC 上的高为h ，由11sin 22ABC S ah ac B ==，得3sin h B =， 由（1）知，π(0,)3B ∈，即3sin (0,)2B ∈，则33sin (0,)2h B =∈， 所以BC 边上的高的取值范围是3(0,)2. 5．（2023·全国·模拟预测）已知在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的三边，若222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=(1)求∠C 的大小；(2)求233a b的值． 【分析】（1）根据正弦定理化角为边，将2c 表示出来，再利用余弦定理化简，再结合三角函数的性质及基本不等式即可得出答案；（2）直接利用（1）中的结论即可得解.【详解】（1）因为222sin 6sin 3sin 63sin sin sin A B C A B C ++=，所以2226363sin a b c ab C ++=，则22223sin 23a c ab C b =−−， 又222224323sin 233cos 3sin 2232a b ab C a b c a b C C ab ab b a +−+−===+−， 所以233sin cos 32a b C C b a+=+，因为2323223232a b a b b a b a+≥⋅=，当且仅当2332a b b a =，即23a b =时，取等号， π3sin cos 2sin 26C C C ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ62C +=，即π3C =时，取等号， 所以233sin cos 232a b C C b a +=+=，所以π3C =； （2）由（1）可得23a b =，所以2333a b=. 6．（2023·山东潍坊·统考一模）在①tan tan 3tan 13tan A C A C −=+；②()23cos 3cos c a B b A −=；③()3sin sin sin a c A c C b B −+=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.(1)求角B 的大小；(2)已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角B 的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案. （2）将1c b =+代入正弦定理可得1sin 2b C b +=，要使角A 有两解，即1sin 12C <<，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若选①：整理得()1tan tan 3tan tan A C A C −=−+，因为A B C π++=， 所以()tan tan 3tan tan 1tan tan 3A CB AC A C +=−+=−=−，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选②：因为()23cos 3cos c a B b A −=，由正弦定理得()2sin 3sin cos 3sin cos C A B B A −=，所以()2sin cos 3sin 3sin ,sin 0C B A B C C =+=>，所以3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； 若选③：由正弦定理整理得2223a c b ac +−=，所以222322a cb ac +−=， 即3cos 2B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sin b b B C +=，所以1sin 2b C b +=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 7．（2023·全国·模拟预测）在①()cos 2cos 0c B b a C +−=，②cos 3sin +=+a b c B c B ，③()3cos cos cos sin C a B b A c C +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知______．(1)求角C 的值；(2)若ABC 的面积()2238912S b c =−，试判断ABC 的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到()sin 2sin cos 0B C A C +−=，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，再利用两角和的正弦公式即可求解；方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出3cos sin C C =，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得3b a =，然后代入即可求解.【详解】（1）方案一：选条选①．由()cos 2cos 0c B b a C +−=，得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +−=，得()sin 2sin cos 0B C A C +−=，即sin 2sin cos 0A A C −=．∵0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，又0πC <<，∴π3C =． 方案二：选条件②．由cos 3sin +=+a b c B c B ，得sin sin sin cos 3sin sin +=+A B C B C B ，即()sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B ++=+，于是sin cos cos sin sin sin cos 3sin sin B C B C B C B C B ++=+，因此sin cos sin 3sin sin B C B C B +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴3sin cos 1C C −=，即π1sin 62C ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， ∵()0,πC ∈，∴ππ5π,666C ⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，∴ππ66C −=，故π3C =． 方案三：选条件③．由正弦定理，得()23cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，即()23cos sin sin C A B C +=，∴23sin cos sin C C C =，又0πC <<，∴sin 0C ≠，∴3cos sin C C =，即tan 3C =，∴π3C =． （2）在ABC 中，π3C =，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+−=+−， 又()223189sin 122S b c ab C =−=，∴()2223389124b a b ab ab ⎡⎤−+−=⎣⎦， 整理得22960a ab b −+=，得3b a =，此时227c a b ab a =+−=，∴2227cos 214a cb B ac +−==−，∴B 为钝角，故ABC 是钝角三角形． 【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．8．（2023·安徽蚌埠·统考二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，a c <，且ππ1sin cos 364A A ⎛⎫⎛⎫−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求A 的大小；(2)若sin sin 43sin a A c C B +=，求ABC 的面积．【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A 的大小；（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得c 边，用面积公式计算面积.【详解】（1）πππππ2sin cos cos cos 3636A A A A ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+=−−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2πcos 21π13cos 624A A ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=+== ⎪⎝⎭，∴π31cos 22A ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭， 因为0πA <<，得ππ7π2333A <+<，所以π2π233A +=或4323ππA +=， 解得π6A =或π2A =，因为a c <，得π2A <，∴π6A =． （2）由（1）知，6A π=，sin sin 43sin a A c C B +=，由正弦定理，得224312a c b +==，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+−⋅，即223123232c c c −=+−⋅， 整理，得22390c c −−=，由0c >得3c =，所以11133sin 332224ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△． 9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①1cos 2a B cb =+， 条件②sin sin sin sin A C B C b a c−+=+， 条件③3sinsin 2B C b a B +=． 请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足________，(1)求A ；(2)若AD 是BAC ∠的角平分线，且1AD =，求2b c +的最小值．【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin2A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的值； （2）由已知ABC ABD ACD S S S =+结合三角形的面积公式可得出111b c+=，将2b c +与11b c +相乘，展开后利用基本不等式可求得2b c +的最小值.【详解】（1）解：选①：因为1cos 2a B c b =+，由正弦定理可得1sin cos sin sin 2A B C B =+， 即()11sin cos sin sin sin cos cos sin sin 22A B A B B A B A B B =++=++， 所以1cos sin sin 2A B B =−， 而()0,πB ∈，sin 0B ∴≠，故1cos 2A =−，因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选②：因为sin sin sin sin A C B C b a c −+=+，由正弦定理a c b c b a c −+=+， 即222b c a bc +−=−，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +−−===−， 因为()0,πA ∈，所以2π3A =； 选③：因为3sin sin 2B C b a B +=， 正弦定理及三角形内角和定理可得π3sin sinsin sin 2A B A B −=， 即3sin cos 2sin cos sin 222A A A B B =，因为A 、()0,πB ∈，则π0,22A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，sin 0B ≠，cos 02A ≠， 所以3sin 22A =，所以π23A =，即2π3A =. （2）解：由题意可知，ABC ABD ACD S S S =+，由角平分线性质和三角形面积公式得12π1π1πsin 1sin 1sin 232323bc b c =⨯⨯+⨯⨯， 化简得bc b c =+，即111b c+=， 因此()112222332322c b c b b c b c b c b c b c ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭， 当且仅当221c b ==+时取等号，所以2b c +的最小值为322+．10．（2023·山东临沂·统考一模）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．(1)求C ；(2)若1c =，求ABC 面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简作答.（2）由（1）的结论，利用余弦定理结合均值不等式求出三角形面积范围作答.【详解】（1）在ABC 中，由已知及正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即有()sin 2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，而0πC <<，sin 0C >，则1cos 2C =， 所以π3C =． （2）在ABC 中，由余弦定理2222cos c a b ab C =+−得：221a b ab =+−，因此12ab ab ≥−，即01ab <≤，当且仅当a b =时取等号，又11333sin (0,]22244ABC S ab C ab ab ==⨯=∈△， 所以ABC 面积的取值范围是3(0,]4．。
知识讲解_三角恒等变换综合_基础
（1）原式
=
（2）原式=
【总结升华】
（1）三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系．因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察．
（2）三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式： ， .
∵sin(α＋β)＝－ ，cos(α－β)＝ ，
∴cos(α＋β)＝－ ，sin(α－β)＝
∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝ ．
【总结升华】
（1）解题中应用了 式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有 , 等.
（2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
举一反三：
【变式1】化简：
（1） ；（2）
【答案】（1）4（3）
【解析】
（1）原式= ；
（2）原式=
= .
类型四：三角函数知识的综合应用
例7．（2015广东江门一模）已知函数 的最小正周期为π，x∈R，ω＞0是常数．
（1）求ω的值；
（2）若 ， ，求sin2θ．
【思路点拨】（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得 ，由已知及周期公式即可求ω的值．
举一反三：
【变式1】（2015春甘肃高台县期末）化简 ．
【答案】－1
【解析】
．
例6.化简：
（1） ；(2）
【思路点拨】
（1）题中首先“化切为弦”，同时用好“ ”和“ ”的互余关系，注意逆用和角公式化简；
高中数学教案《三角恒等变换》
教学计划：《三角恒等变换》一、教学目标知识与技能：学生能够理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括和差化积、积化和差、二倍角公式等。
学生能够熟练运用三角恒等变换公式进行化简、求值及证明。
培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，引导学生发现三角恒等变换的规律。
采用“公式推导—例题讲解—练习巩固”的教学模式，帮助学生逐步掌握三角恒等变换的方法。
鼓励学生自主探究，通过小组合作解决复杂问题，培养团队协作能力。
情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，感受数学的美妙与和谐。
培养学生的耐心和细心，养成严谨的科学态度。
引导学生认识到数学在解决实际问题中的重要性，增强应用数学的意识。
二、教学重点和难点重点：三角恒等变换的基本公式及其推导过程;运用公式进行化简、求值及证明。
难点：灵活运用三角恒等变换公式解决复杂问题;理解并记忆众多公式的内在联系。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）情境引入：通过展示一些与三角恒等变换相关的实际问题(如天文学中的角度计算、物理学中的波动分析等)，引导学生思考这些问题背后可能涉及的数学知识，从而引出三角恒等变换的主题。
复习旧知：简要回顾三角函数的基本性质、图像及诱导公式，为学习三角恒等变换做好铺垫。
明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握三角恒等变换的基本公式及其应用。
2. 公式推导（15分钟）和差化积公式推导：通过图形展示和代数运算相结合的方式，引导学生推导出和差化积公式。
强调公式的推导过程，帮助学生理解公式的来源和含义。
积化和差公式推导：类比和差化积公式的推导过程，引导学生自主推导积化和差公式。
鼓励学生提出疑问和见解，促进课堂互动。
二倍角公式推导：利用三角函数的倍角关系，引导学生推导出二倍角公式。
强调公式的记忆方法和应用技巧。
3. 例题讲解（10分钟）基础例题：选取具有代表性的基础例题进行讲解，如利用三角恒等变换公式化简表达式、求三角函数值等。
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三角恒等变换中的综合问题
新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类:
1 三角函数式的化简
解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。
常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。
例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一
解原式=
=
==
∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα
点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。
练习:已知函数f(x)=
①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:)
2 三角函数的求值
求值题常见的类型及解法。
2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。
③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。
2.2 给值求值:给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系。
2.3 给值求角:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
例2:设4cosAcosB=,4sinAsinB=,求(1-cos4A)(1-cos4B)的值?
分析:以已知条件和被求式的角度差异来看,一方面应将条件中的角度变换为2A、2B,另一方面应将被求式中的角度4A、4B变为2A、2B.
解:∵4cosAcosB=,4sinAsinB=
∴16cosAcosB·sinAsinB=2
∴2sin2A·sin2B= ∴(1-cos4A)(1-cos4B)=22·sin22A·sin22B=(2sin2Asin2B)2=()2=3
点评:本例是“给值求值”型,根据问题的具体特点,从变换已知条件和被求式的角度入手,进行双向变换,实现角的统一,然后利用代入法将已知条件代入被求式,从而达到求值目的。
练习:已知α∈(,π),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(π+β)=-,求cos(α+β).
3 三角恒等式的证明
解决此类问题,要根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一等方法,使等式两端化异为同;证明三角条件等式,要观察所给条件和欲证结论在形式上、结构上的异同点,找到其内在联系,将条件与结论有机结合起来。
例3:证明:+=
证明:左边=+
=+
=+
=+===右边
∴+=
点评:证明三角恒等式要注意两点:①强化“目标意识”证明过程中,应盯住目
标,逐步向它靠拢。
②强化“化异为同”意识,注重:化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。
练习:已知α,β均为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=
4 三角恒等变换与三角函数的综合问题
解此类问题要会利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法,可以化简三角函数的解析式,进而才能顺利地探求三角函数的有关性质,反过来,利用三角函数的性质,可确定解析式,进而可求出有关三角函数值,因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是考试命题的热点。
例:已知函数f(x)=2sincos-2sin2+
①求函数f(x)的最小正周期及最值;②令g(x)=f(x+),判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由。
解:①f(x)=sin+(1-2sin2)=sin+cos=2sin(+)∴f(x)的最小正周期T==4π,当sin(+)=-1时,f(x)取得最小值-2;当sin(+)=1时,f(x)取得最大值2
②由①知f(x)=2sin(+)又g(x)=f(x+)
∴g(x)=2sin[(x+)+]= 2sin(+)=2cos
∵g(-x)=2cos(-)=2cos=g(x)
∴函数g(x)是偶函数。
点评:解决三角恒等等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想\方法,对其解析式变形、化简,尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数,再解决与图象和性质有关的问题。
练习:已知函数f(x)=cos2-sin2+sinx,①求函数f(x)的最小正周期;②当x0∈(0,)且f(x0)=时,求f(x0+)
5 三角恒等变换与平面向量的交汇
平面向量与三角恒等变换的综合问题已成为考试的一个热点和亮点。
这类问题中,平面向量往往只起到“穿针引线”和“点缀”的作用,实则考查三角恒等变形的基本思想和方法。
例5:已知0<α<,β为f(x)=cos(2x+)的最小正周期=(tan(α+β),-1)
=(cosα,2)且.=m,求的值。
解:β是f(x)=cos(2x+)的最小正周期,故β=π
又∵.=m,且.=cosαtan(α+β)-2
∴cosαtan(α+β)=m+2,由于0<α<
∴===2cosα·=2cosα·tan(α+)=2(2+m)
点评:解决这类问题,应利用平面向量的坐标运算,数量积,平行与垂直的条件,夹角公式等知识,拨去平面向量的“外衣”,直抵问题核心部分(即将向量转化为三角函数问题)。
练习:已知△ABC的内角B满足2cos2B-8cosB+5=0,若= =,且,满足=-9,=3,=5,θ为与的夹角,求sin(θ+B)。