14.3 极点、零点与冲激响应

jω O t
×
O
δ
极点与冲激响应波形的关系
jω O t
× ×
O
t
O
t ×
× × O × × δ
O
t
O
t
4、电路的稳定性 、 不管极点是实数还是共轭复数， 不管极点是实数还是共轭复数，只要极点 位于左半平面 则必随时间增长而衰减， 左半平面， 位于左半平面，则必随时间增长而衰减， 故电路是稳定的。 故电路是稳定的。 所以一个实际的线性电路， 实际的线性电路 所以一个实际的线性电路，其网络函数的 极点一定位于左半平面。 极点一定位于左半平面。 Im[S]
3、极点的位置和响应的关系 、
h (t ) =
∑
i =1
n
K i e pit
负实根时 衰减的指数函数 的指数函数； 当pi为负实根时，epit为衰减的指数函数； 正实根时 增长的指数函数 的指数函数； 当pi为正实根时，epit为增长的指数函数； 而且|p 越大 越大， 而且 i|越大，衰减或增长的速度越 快。 (1)若H(s)的极点都位于负实轴上，则h(t)将随 的增大 若 的极点都位于负实轴 将随t的增大 的极点都位于负实轴上 将随 而衰减，这种电路是稳定的； 而衰减，这种电路是稳定的 稳定 (2)若有一个极点位于正实轴上，则h(t)将随 的增长而 若有一个极点位于正实轴 将随t的增长而 若有一个极点位于正实轴上 将随 不稳定的 增长，这种电路是不稳定 增长，这种电路是不稳定的。 (3)当极点 i为共轭复数时， h(t)是以指数曲线为包络 当极点p 当极点 为共轭复数时， 是以指数曲线为包络 线的正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 线的正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 (4)当为虚根时，则将是纯正弦项。 当为虚根时，则将是纯正弦项。 当为虚根时
ωd = ω0 − δ ,
2 2
R δ = , 2L
ω0 =
1 LC
这时H(s)的极点位于左半平面， 的极点位于左半平面， 这时 的极点位于左半平面 因此u 的自由分量为衰减的正弦振荡 的自由分量为衰减的正弦振荡， 因此 C(t)的自由分量为衰减的正弦振荡， 其包络线为e 其包络线为 -δt， 振荡角频率为ω 振荡角频率为 d 且极点离开虚轴越远， 且极点离开虚轴越远， O t 振荡衰减愈快 振荡衰减愈快。
(1)若H(s)的极点都位于负实轴上，则h(t)将随 的 若 的极点都位于负实轴 将随t的 的极点都位于负实轴上 将随 增大而衰减，这种电路是稳定 稳定的 增大而衰减，这种电路是稳定的；
jω
× O δ
O
t
(2)若有一个极点位于正实轴上，则h(t)将随 的增长而增 若有一个极点位于正实轴上 将随t的增长而增 若有一个极点位于正实轴 将随 这种电路是不稳定 不稳定的 长，这种电路是不稳定的。
R S(t=0) + US C + UC L
解：
U C (s) H (s) = = U S ( s)
1/sC R+sL+1/sC
U C (s) H (s) = = U S ( s)
1/sC
R+sL+1/sC 1 1 1 = 2 = ⋅ s LC + sRC + 1 LC ( s 2 + R s + 1 ) L LC 1 1 ⋅ = LC ( s − p1 )( s − p2 )
n Ki h(t)=L-1[H(s)] = L−1 ∑ i =1 s − p i
=
∑
i =1
n
K i e pit
•E(S)=1
显然极点位置不同，响应性质不同，极点反映网 显然极点位置不同，响应性质不同， 络响应的动态过程中自由分量的变化规律。 络响应的动态过程中自由分量的变化规律。
当系统受到扰动后 当系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态 扰动 ①若这种偏离不断扩大，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态， 若这种偏离不断扩大，即使扰动消失，系统也不能回到平衡状态， 是不稳定的。 此系统 是不稳定的。 ②若系统通过自身的调节作用，使偏差最后逐渐减小，系统又逐渐恢复 若系统通过自身的调节作用，使偏差最后逐渐减小， 衡状态，此系统是稳定的。 到平 衡状态，此系统是稳定的。
jω
× O δ
O
t
(3)当极点 i为共轭复数时， h(t)是以指数曲线为包络线的 当极点p 为共轭复数时， 当极点 是以指数曲线为包络线的 正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 正弦函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。
jω
O × O t ×
t
O × ×
δ
(4)当为虚根时，则将是纯正弦项。 当为虚根时，则将是纯正弦项。 当为虚根时
jω
×
O ×
（2）当R=0时 ） 时
R δ = , 2L
p1, 2 = −δ ± jω d
ωd = ω0 − δ ,
2 2
ω0 =
1 LC
jω
δ=0 ωd= ω0
p1, 2 = ± jω 0
O t
这时H(s)的极点位于虚轴上， 的极点位于虚轴上， 这时 的极点位于虚轴上 因此u 为等幅振荡 因此 C(t)为等幅振荡 的绝对值越大， 且ωd的绝对值越大， 等幅振荡的频率愈高 等幅振荡的频率愈高。
二、零点位置与冲激响应的关系
零点位置只影响ki的大小，而不影响 零点位置只影响 的大小，而不影响h(t)的变 的变 化规律。 化规律。
串联电路接通恒定电压源U 例：RLC串联电路接通恒定电压源 S。根据网络函数 串联电路接通恒定电压源 H(s)=UC(s)/ US(s)的极点分布情况分析 C(t)的变化规律。 情况分析u 的变化规律 的变化规律。 的极点分布情况分析
其包络线为e-δt， 其包络线为
所有极点都在 复平面的左侧 复平面的左侧
3、若极点在纵轴上，处于临界状态 、 极点在纵轴上，
§14.3 极点、零点与冲激响应 14.3 极点、
一、极点与冲激响应
1、电路的零状态响应的象函数 、
N ( s) P( s) R( s) = H ( s) E ( s) = ⋅ D( s) Q( s)
N ( s) 式中 H ( s ) = D( s)
P( s) E ( s) = Q( s )
响应中包含Q(s)=0的根的那些项属于强制分量， 的根的那些项属于强制分量， 响应中包含 的根的那些项属于强制分量 包含D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那些项 的根（ 包含 的根 即网络函数的极点） 则是自由分量或瞬态分量。 自由分量或瞬态分量 则是自由分量或瞬态分量。
C
1 R − ( )2 < 0 LC 2 L
(1) 若 < R < 2 L 即： 0
p1, 2 = −δ ± jω d
R δ = , 2L
R 1 R 2 =− ±j −( ) 2L LC 2 L
2 2
ωd = ω0 − δ ,
ω0 =
1 LC
(1) 0 < R < 2 L
C
p1, 2 = −δ ± jω d
知识补充 一、关于系统的稳定性
工程上所使用的控制系统必须是稳定的， 工程上所使用的控制系统必须是稳定的，不稳定的系统是无法工作的
稳定性：系统在受到扰动作用使平衡状态被破坏后， 稳定性：系统在受到扰动作用使平衡状态被破坏后， 经过调节，能重新达到平衡状态的性能。 经过调节，能重新达到平衡状态的性能。
二、系统的稳定性和数学模型的关系 一、极点与冲激响应 1、电路的零状态响应的象函数 、
N (s) P(s) ⋅ R( s) = H ( s) E ( s) = D( s ) Q( s)
式中
N ( s) H ( s) = D( s)
E (s) = P( s) Q(s)
响应中：包含 的根的那些项属于强制分量， 响应中：包含Q(s)=0的根的那些项属于强制分量， 的根的那些项属于强制分量 包含D(s)=0的根（即网络函数的极点）的那些项则是自由分量或瞬 的根（ 自由分量或 包含 的根 即网络函数的极点）的那些项则是自由分量或瞬 分量（按指数规律最终趋于零，例如充电电流）。 态分量（按指数规律最终趋于零，例如充电电流）。 由于一般情况下h(t)的特性就是时域响应自由分量的特性， 的特性就是时域响应自由分量的特性， 由于一般情况下 的特性就是时域响应自由分量的特性 而h(t)=L-1[H(s)]， ， 所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。 所以分析网络函数的极点与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。 极点 的关系就可预见时域响应的特点
n Ki h(t)=L-1[H(s)] = L−1 ∑ i =1 s − p i
=
∑Ke
i =1 i
n
pi t
（t≥0） ）
根据p 极点判断稳定性 判断稳定性： 根据 i极点判断稳定性：
1、若是实根，必须是负的 、若是实根， 2、若是复根，其实部必须是负数 、若是复根， 实部必须是负数
稳定区 域 不稳定区 域 Re[S] 0
线性非时变的无源网络总是稳定的； 线性非时变的无源网络总是稳定的； 对于含有受控源的有源线性网络， 对于含有受控源的有源线性网络， 非线性网络，时变网络则必须研究其稳定性。 非线性网络，时变网络则必须研究其稳定性。
5、网络变量的固有频率 、 pi仅由网络的结构及元件值确定，因而将 i称 仅由网络的结构及元件值确定，因而将p 为该网络变量的自然频率 固有频率。 自然频率或 为该网络变量的自然频率或固有频率。
×
O ×
δ
jω
L (3 R > 2 ) C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R R 2 1 p1 = − + ( ) − 2L 2L LC R R 2 1 p2 = − − ( ) − 2L 2L LC