11零点极点分布对系统的影响
零极点分布对系统频率响应的影响
1.由y(n)=x(n)+ay(n-1)可知:H[z]=B[z]/A[z]=1/(1-az^(-1))。系统极点z=a，零点z=0。取单位圆上一点B，可画出极点矢量和零点矢量，当B点从ω=0逆时针旋转时，在ω=0点，极点向量长度最短，所以幅度值最大，形成波峰，并且当a越大，即极点越接近单位圆，峰值愈高愈尖锐；当ω=时极点矢量最长，幅度值最小，形成波谷；零点在坐标原点，零点矢量长度始终保持为1，不影响幅频响应。
实验图像：
%a=0.8
B=1;a=0.8;A=[1,-a];%设置系统函数系数向量A和B
subplot(2,2,1);
zplane(B,A);%绘制零极点分布图
[H,w]=freqz(B,A, 'whole');%计算频率响应
subplot(2,2,2);
plot(w/pi,abs(H));grid on;%绘制幅频响应曲线
xlabel('\omega/\pi');ylabel('|H(e^j^\omega)|');
subplot(2,2,4);
plot(w/pi,angle(H));%绘制相频响应曲线
xlabel('\omega/\pi');ylabel('\phi(\omega)');
grid on;
实验图像：
%a=0.9
H_min=min(abs(H))%计算谷值
w_min=w(find(H_min==abs(H)))%计算谷值对应的频率
subplot(2,2,2);
plot(w/pi,abs(H));grid on;%绘制幅频响应曲线
ax=axis;hold on;
极点及系统稳定性
极点对系统性能影响一．控制系统与极点自动控制系统根据控制作用可分为：连续控制系统和采样控制系统，采样系统又叫离散控制系统。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统,称为采样控制系统。
连续控制系统即指控制量为连续的模拟量如时变系统。
系统的数学模型一般由系统传递函数表达。
传递函数为零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换（或z 变换）与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。
记作Φ（s ）=Xo （s ）/Xi （s ），其中Xo （s ）、Xi （s ）分别为输出量和输入量的拉普拉斯变换。
特征方程的根称为极点。
如试Φ﹙S ﹚= C [∏（S-Pi ）/∏(S-Qi) ]中Q1 Q2 Q3 …… Qi ……即为系统的极点。
二．极点对系统的影响极点--确定了系统的运动模态；决定了系统的稳定性。
下面对连续系统与离散系统分别进行分析：⑴连续系统理论分析：连续系统的零极点分布有如下几种形式设系统函数为：将H(S)进行部分分式展开：1n a s -+++系统冲激响应H(S)的时域特性h(t)随时间衰减的信号分量完全由系统函数H(S)的极点位置决定。
每一个极点将决定h(t)的一项时间函数。
稳定性：由上述得知Y(S)= C [∏（S-Pi ）/(S-Qi) ]可分解为Y(S)=C1/(S-τ1)+ C2/(S-τ2)+ C3/(S-τ3)+……+ Ci/(S-τi)+…… 则时间响应为……由于特征方程的根不止一个，这时，应把系统的运动看成是多个运动分量的合成。
只要有一个运动分量是发散的，则系统是不稳定的。
因此，特征方程所有根的实部都必须是负数，亦即所有的根都在复平面的左半平面。
通过复变函数幅角定理将S 由G 平面映射到GH 平面。
如果封闭曲线 F 内有Z 个F(s)的零点，有P 个F(s)的极点，则s 沿 F 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点顺时针转的圈数R 为z 和p 之差，即R ＝z －p 。
分析零点,极点,偶极子对系统性能的影响
一． 高阶系统暂态性能分析
1.1.当闭环系统的零极点都位于 s 平面的左半部分时，则闭 环系统是稳定的。但当闭环极点距离虚轴的距离不同时，对系 统的暂态性能影响不同 高阶系统闭环传递函数：
高阶系统单位阶跃响应：
高阶系统单位阶跃响应：
1.2 设闭环传递函数 原闭环传递函数 1.1 φ s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加零点传递函数 1.2 φ1 s = 5(s + 1)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)(s + 3) 增加极点传递函数 1.3 φ2 s = 5/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 10）(s + 3) 增加偶极子传递函数 1.4 φ3 s = 5(s + 0.95)/(s ∗ s + 2 ∗ s + 2)（s + 1）(s + 3) 1.3 系统单位阶跃响应曲线如图 1-1 所示 实线������(������ ) 虚线 -----------------������1(������ ) 点画线 ������2（s ） 1.4 1.3 1.2����� ������������ 主要取决这些极点所对应的分量。
增加较远的零点图 1-2 1.4.2 增加极点 对比图 1-1 中������(������ ) ，������2(������ ) 对应的响应曲线，发现二者十分接近， 其暂态性能指标 ������������ 2 = 2.85������������ 2 = 3.66������������2 = 4.45 与������1(������ ) 的性能指标几乎相等。增加的极点为 s=-10,离虚轴较远，对系 统的暂态性能较小。 增加极点的距离虚轴的距离不同对系统的动态性 能影响也不同。图 1-3 增加的极点为 s=-1,离虚轴较近，对系统的暂态 性能影响较大。其动态性能指标如下
零极点对系统的性能影响分析
为了分析开环传递函数的极点对系统性能的影响，现在在原开环传递函数的表达式上单独增加一个极点S=-p,并改变p值大小，即离原点的距离，分析比较系统性能的变化。所以增加零点后的开环传递函数为：
G2(s)的根轨迹
因为后面利用阶跃响应来分析时将取的极点均在实轴的负半轴，那么只要了解其中一个开环传递函数稳定，那么其它的稳定也可以推知。所以取p=1画出根轨迹来观察系统的稳定性。
不可对消偶极子
取增加的极点p=和零点s=组成一对开环偶极子，那么可以得到的闭环传递函数为：
为了得到新传递函数的性能参数，画出闭环传递函数的阶跃响应曲线。
Matlab指令：
num=[1,];
den=[1,,,];
step(num,den);
h = findobj(gcf,'Type','line');
set(h,'LineWidth', 3);
得到图：
图25
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
可对消偶极子
取增加的极点p=-1和零点s=组成一对开环偶极子。那么可以得到的闭环传递函数为：
Matlab指令：
num=[1,];
set(h, 'LineWidth', 3);
得到图：
图16 的阶跃响应曲线
由阶跃响应曲线分析系统暂态性能：
曲线最大峰值为，稳态值为，
上升时间tr=
超调时间tp=
调节时间ts=，
超调量 =%
4.2.3当p=1的阶跃响应
系统的零极点
系统的零极点在探讨系统的特性和行为时，零极点是一个重要的概念。
零极点是指系统的传递函数中使得分子或分母为零的点，它们直接影响系统的稳定性、响应速度和频率特性等方面。
本文将详细介绍系统的零极点及其对系统行为的影响。
一、什么是零极点？在控制系统中，传递函数是描述输入和输出之间关系的数学表达式。
传递函数通常写成分子和分母多项式的比值形式。
其中，分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
零极点的个数和位置直接决定了系统的特性。
零点是使得系统传递函数的分子为零的点。
当输入信号通过系统时，零点能够消除或减弱某些频率成分，从而改变系统的频率响应特性。
例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=s+1/s+2，其中s为复变量。
该系统有一个零点为-1，当输入信号中包含频率为1的成分时，系统的输出将为零。
极点是使得系统传递函数的分母为零的点。
极点的位置可以决定系统的稳定性和响应速度。
例如，一个一阶系统的传递函数为H(s)=1/s+2，该系统有一个极点为-2。
当输入信号经过该系统时，极点的位置将决定系统的阻尼特性和响应速度。
二、零极点对系统行为的影响1. 系统的稳定性系统的稳定性是指系统在受到扰动后是否能够回到稳定的状态。
在控制系统中，极点的位置直接影响系统的稳定性。
当所有极点的实部为负时，系统是稳定的；当存在极点的实部为正时，系统是不稳定的。
2. 响应速度零极点的位置也会影响系统的响应速度。
当零点和极点的实部越大，系统的响应速度越快。
如果极点的实部接近于零点的实部，系统的阻尼特性将减弱，导致系统的超调和振荡现象。
3. 频率特性零点和极点的位置还决定了系统的频率特性。
零点和极点的位置决定了系统的增益和相位响应。
当零点和极点靠近虚轴时，系统的频率响应会出现共振现象；当零点和极点离虚轴越远，系统的频率响应越平坦。
三、如何设计系统的零极点设计系统的零极点是控制系统设计的重要任务之一。
通过合理布置零极点的位置，可以实现所需的系统特性。
实验六开环增益与零极点对系统性能影响
实验六 开环增益与零极点对系统性能的影响一．实验目的1．研究闭环、开环零极点对系统性能的影响； 2．研究开环增益对系统性能的影响。
二．实验内容1．搭建原始系统模拟电路，观测系统响应波形，记录超调量σ%、峰值时间tp 和调节时间ts ；2．分别给原始系统在闭环和开环两种情况下加入不同零极点，观测加入后的系统响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts ；3．改变开环增益K ，取值1，2，4，5，10，20等，观测系统在不同开环增益下的响应波形，记录超调量σ%和调节时间ts 。
三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，只要运行ACES 程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．原始二阶系统实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。
原始二阶系统模拟电路如图1-6-1所示，系统开环传递函数为：0.1(0.21)Ks s ，图1-6-1原始二阶系统模拟电路（1） 设置阶跃信号源：A ．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V ”；B ．将阶跃信号区的“0～5V ”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C ．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V ”端子产生阶跃信号。
（2） 搭建原始二阶系统模拟电路：A ．将A3的“OUT3”与A1的“IN11”、“IN13”同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，将A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-6-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5＝64K、R6=200K、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8、S13拨至开的位置；（3）连接虚拟示波器：将实验电路A2的“OUT2”与示波器通道CH1相连接。
零极点对系统的影响
MATLAB各种图形结论1对稳定性影响错误!增加零点不改变系统的稳定性；错误!增加极点改变系统的稳定性，不同的阻尼比下即使增加的是平面左侧的零点系统也有可能不稳定。
2对暂态性能的影响错误!增加的零点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。
分析表1可以发现,增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响,且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。
当a增加到100时,系统的各项暂态参数均接近于原系统的参数。
增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小.同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。
具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。
错误!增加的极点离虚轴越近,对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远,对系统的影响越小。
①增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大,带宽增加。
②增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小,带宽减小.③增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。
3 对稳态性能的影响①当增加的零极点在s的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。
②当增加的零点在s的虚轴上时,系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。
③当增加的极点在s的虚轴上时,系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。
1、绘制G1（s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿１．ｍ)%画G1（s)的根轨迹曲线n=［1,0］; ％分子d=［1，1,2］; %分母figure1 = figure（’Color’，［1 1 1］）；％将图形背景改为白色rlocus(n，d); %画G1（s）根轨迹曲线title（'G1（s)的根轨迹’）； %标题说明2、绘制G1（s）的奈奎斯特曲线(Ｍ２＿２．ｍ）％画G1(s）的奈奎斯特曲线figure1 = figure（’Color'，［1 1 1］); ％将图形背景改为白色for a=1：10 ％a取1,2,3……10，时，画出对应的奈奎斯特曲线G=tf（［1/a，1],[1，1,1］)；nyquist（G）；hold onendtitle('G1（s）的奈奎斯特曲线’)；％标题说明3、绘制G2(s）的根轨迹曲线（Ｍ２＿３．ｍ)％画G2(s）的根轨迹曲线n=[1,1，1,0］ ; %分子d=［1,1，2] ; %分母figure1 = figure（'Color'，[1 1 1］）；％将图形背景改为白色g2=tf(n,d） %求G2(s）的传递函数rlocus(g2）； %画G2(s）根轨迹曲线title(’G2(s)的根轨迹')； %标题说明4、绘制ξ=0.1，0.3,1，1。
零、极点对控制系统的影响
广西大学实验报告纸姓名：指导老师：成绩：学院：电气工程学院专业：自动化班级：实验内容：零、极点对控制系统的影响年月日其他组员及各自发挥的作用：【实验时间】【实验地点】【实验目的】1.学会判断最小相位和非最小相位；2. 学会使用根轨迹分析系统的特性；3. 学会分析系统的响应特性；4. 学会分析最小相位和非最小相位系统的幅频特性和相频特性。
【实验设备与软件】1．MATLAB/SIMULINK软件2．计算机一台【实验原理】1、最小相位与非最小相位系统传递函数中所有极点和零点的实部均为负值时的一类线性定常系统，称为最小相位系统。
反之，传递函数中至少有一个极点或零点的实部值为正值的，称为非最小相位系统。
在具有相同幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围为最小。
最小相位和非最小相位之名即出于此。
最小相位系统特点有：（1）如果两个系统有相同的幅频特性，那么对于大于零的任何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统；（2）最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也就是说，一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，一个相频特性只能有一个幅频特性与之对应。
对于最小相位系统，只根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。
2、180°根轨迹的画法根据教材的180°根轨迹的九条规则，画根轨迹，注意理解各条规则的正确性。
3、系统响应的求取给定的线性系统的传递函数和输入信号，其输出的复频域表示很容易得到，再对其进行反Laplace变换得到系统响应。
从系统可以看出系统的稳定性、快速性和准确性的各项指标。
4、幅频和相频特性及其判稳幅频特性表现的是各种频率信号在通过系统时的幅值增益程度；相频特性表现的是各种频率信号在通过系统时的相角滞后/超前程度。
其表现形式是Bode图。
从Bode图可以基于图判据判定相应闭环系统的稳定性。
【实验内容、方法、过程与分析】实验内容1、已知二阶系统 )15.0)(1(+++-s s c c s ，分析c 的取值对系统单位阶跃响应的影响（各种情况都要考虑周全），要求有理论分析与仿真验证。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
r 1 N
(e j dr )
r 1
系统的频率响应的几何确定
• 幅值: 零向量幅值之积与极点向量幅值之积的比; • 相位:零向量相位之和与极点向量幅值之和的差。
M
zi B
H (e j ) A
i 1 N
pi B
i 1
M
N
i i
i 1
i 1
y(n) y(n 1) y(n 2) x(n 1)
• 求系统的系统函数 H (z) ，并画出极点、零点分布图。
• 限定系统是因果的，写出
的收敛域，并求出其
单位脉冲响应
。 H(z)
h(n)
• 限定系统是稳定的，写出
的收敛域，并求出其
单位脉冲响应
。 H(z)
h(n)
利用系统的零极点分布分析系统的频率响应
j Im(z)
pi
B
zi
pi
Re(z)
当B点转到极点附近 j Im(z)
pi zi
pi
B
Re(z)
2 j Im(z)
pi
zi pi
B
Re(z)
小结
极点的位置主要影响频响的峰值及尖锐程度。 零点位置主要影响频响的谷点位置及形状。
例1：系统有一极点在 z = 0, 一零点在 c = 0.9 e j/4 , 其分布如下左图；幅度和相位响应如右图；
成对各次的谐波的滤波的总的效果
x(n) (n)
n
X (e j )
1
h(n)
H (e j )
反映了系统对整个 Y (e j ) H (e j )
频带的滤波作用
M
(1 cr z1)
H(z) ຫໍສະໝຸດ Ar 1 N (1 dr z1)
r 1
分子分母同乘以z N+M
M
(z cr )
定义：系统频率响应即系统单位脉冲响应的傅立叶变换
(n)
h(n)
(n)*h(n) h(n)
• 当h(n)已知时，下列表达式表示系统频 率响应函数，
H (e j ) h(n)e j n n
• 系统的激励是 (n)时，它的频谱覆盖了
的 范围
• 于是系统的单位样值响应 h(n) 可以看
H (z) Az N M
r 1 N
(z dr)
r 1
设系统稳定，将z=e jω，得到传输函数
M
(e j cr )
H (e j ) Ae j ( N M )
r 1 N
设N=M，得到
(e j dr )
r 1
M
(e j cr )
H (e j )
零极点分布
上：幅度 下：相位
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图）
例2：一个三阶系统具有三个零点和三个极点如下： zeros: c1 = －1, c 2,3 = 0.5±j 0.87 poles: d1 = 0.7, d 2,3 = 0.75±j 0.5
零极点分布
上：幅度 下：相位
续上图
续上图
续上图
续上图
续上图
续上图
练习：
已知
H (z)
zN 1 zN
，
若N＝8，试定性画出系统的零极点分布图和幅频特性图
h(n)rn
n
r 1
Z域中因果且稳定系统的条件：
•H（Z）的所有极点全部在单位圆内 •其收敛域在某个圆外，且包含单位圆
设系统为因果系统
返回3 返回4
设系统为因果系统
H
(
z)
K
z c1 z p1
z z
c2 L p2 L
z cm z pn
一阶实极点： p a 二阶实极点： p a
z
za z
z a2
实极点
Z变换表
图
an n n a n1 n
当 a 1时（极点在单位圆内） h(n)收敛
当 a 1时（极点在单位圆上或外） h(n)不收敛
练习：
设系统由下面差分方程描述，系统起始状态为0，激励为因果序列
i i
j Im(z)
i
pi
B
zi
M
N
i i
i 1
i 1
M
zi B
H (e j ) A
i 1 N
pi B
i 1
pi
i
Re(z)
0
j Im(z)
pi
zi pi
B
Re(z)
当B点转到极点附近 j Im(z)
B
pi
zi pi
Re(z)
线性时不变离散系统的差分方程的一般形式为：
M
N
am y(n m) br x(n r)
m0
r0
系统函数的极点分布对系统因果性稳定性的影响。
线性时不变系统为因果系统的充要条件为：
h(n) 0, n 0
时域系统为稳定系统的充要条件为：
h(n)
n
H(Z)存在的充分条件为：