求数列通项公式方法经典总结
数列求通项公式方法大全
数列求通项公式方法大全1.等差数列求通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值相同的数列。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d。
其中，n为该数列的第n项。
2.等比数列求通项公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值相同的数列。
设等比数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)。
其中，n为该数列的第n项。
3.斐波那契数列求通项公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
设斐波那契数列的首项为a1，第二项为a2，则其通项公式为an=a1*f1+n*f2，其中，f1和f2分别为斐波那契数列的第一项和第二项。
4.调和数列求通项公式调和数列是指数列中每一项都是它前一项加上一个固定常数的倒数。
设调和数列的首项为a1，差值为d，则其通项公式为an=1/(a1+(n-1)d)。
5.等差几何数列求通项公式等差几何数列是指数列中相邻两项之间既有等差关系又有等比关系的数列。
设等差几何数列的首项为a1，公差为d，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^(n-1)+d*(q^(n-1)-1)/(q-1)。
6.垂直数列求通项公式垂直数列是指数列中每一项之间的垂直差别相等，且相邻两项之间的垂直和恒定的数列。
设垂直数列的首项为a1，公差为d，垂直和为S，则其通项公式为an=(2a1+(n-1)d)*S/(2+S(n-1))。
7.几何平均数列求通项公式几何平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的几何平均数的数列。
设几何平均数列的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an=a1*q^((n-1)/2)。
8.调和平均数列求通项公式调和平均数列是指数列中每一项为前一项与下一项的调和平均数的数列。
设调和平均数列的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an=2/(1/a1+(n-1)d)。
9.阿贝尔数列求通项公式阿贝尔数列是指数列中，对于任意正整数k，从第k项开始，其连续k项的和为常数的数列。
数列通项公式方法大全很经典
1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nn a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
数列求通项公式的9种方法
例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1
an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an
an1
2n 1an1
n
1
2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1
1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1
1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10
(完整版)求数列通项公式常用的七种方法
求数列通项公式常用的七种方法一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列na 为等差或等比数列，根据通项公式d n a a n11或11n n qa a 进行求解.例1：已知n a 是一个等差数列，且5,152a a ，求n a 的通项公式.分析：设数列n a 的公差为d ，则54111da d a 解得231da 5211ndn a a n二、前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .例2：已知数列n a 的前n 项和12nns ，求通项n a .分析：当2n 时，1n nns s a =32321n n=12n 而111s a 不适合上式，22111n n a n n三、n s 与n a 的关系式法：已知数列n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .例3：已知数列n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311，其中11a ，求n a .分析：13n na s ①nna s 312n②①-②得n n n a a a 331134nn a a 即341nn a a 2n又1123131a s a 不适合上式数列n a 从第2项起是以34为公比的等比数列222343134n n n a a 2n23431112n na n n注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1na 与1ns 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项.四、累加法：当数列n a 中有n f a a nn1，即第n 项与第1n 项的差是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例4：12,011n a a a nn，求通项na 分析：121n a a n n112a a 323a a 534a a ┅321n a a nn2n以上各式相加得211327531n n a a n 2n 又01a ，所以21n a n 2n，而01a 也适合上式，21n a n Nn 五、累乘法：它与累加法类似，当数列n a 中有1n na f n a ，即第n 项与第1n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例5：111,1nnn a a a n 2,n n N求通项na 分析：Q 11nnna a n 11nn a na n 2,n n N故3241123123411231n nn a a a a na a n a a a a n g g g g L g g g g L g 2,n n N而11a 也适合上式，所以na n n N六、构造法：㈠、一次函数法：在数列n a 中有1nna kab （,k b 均为常数且0k ），从表面形式上来看n a 是关于1n a 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设1nna mk a m则11nna ka k m而1nn a ka b1bk m 即1bmk 故111n nb ba k a k k数列11nba k 是以k 为公比的等比数列，借助它去求na 例6：已知111,21n n a a a 2,n n N求通项na 分析：Q 121nna a 1112221n nna a a 数列1n a 是以2为首项，2为公比的等比数列111122n nna a 故21nna ㈡、取倒数法：这种方法适用于11n nnka a ma p2,n n N （,,k m p 均为常数0m），两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n na kab 的式子.例7：已知11122,2n nna a a a 2,nnN求通项na Q 1122n nna a a 111211122nnnna a a a 即11112nna a 2,n n N数列1n a 是以12为首项，以12为公差的等差数列1111222nn n a 2na n㈢、取对数法：一般情况下适用于1klnn a a （,k l 为非零常数）例8：已知2113,2nn a a a n 求通项na 分析：由2113,2nn a a an知0n a 在21n na a 的两边同取常用对数得211lg lg 2lg n n n a a a 即1lg 2lg n na a 数列lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列故112lg 2lg3lg3nn na 123nna 七、“mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项n a .例9：设数列n a 的前n 项和为n s ，已知*11,3,N ns a a a nn n ，求通项n a .解：nn n s a 31113n nns a 2n两式相减得1132n n nn a a a 即11322n nna a 上式两边同除以13n 得92332311nn n n a a （这一步是关键）令nn na c 3得92321nn c c 3232321n nc c 2n（想想这步是怎么得来的）数列32nc 从第2项起，是以93322a c 为首项，以32为公比的等比数列故nn n n na a c c 32332933232322222323232nn nac 又nn na c 3，所以123223n n na a a a 1不适合上式23223112n a n a a n n n注：求mnnc ba a 1（c b,为常数且不为0，*,N nm ）”型的数列求通项公式的方法是等式的两边同除以1n c ，得到一个“1nna kab ”型的数列，再用上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出nn ca 的通式，从而求出n a .另外本题还可以由nnns a 31得到n nn ns s s 31即nn ns s 321,按照上面求n a 的方法同理可求出n s ,再求n a .您不不妨试一试.除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.。
求数列的通项公式的八种方法(强烈推荐)
怎样由递推关系式求通项公式一、基本型：（1）a n =pa n-1+q （其中pq ≠0 ，p ≠1，p 、q 为常数）型:——运用代数方法变形，转化为基本数列求解.利用待定系数法，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x ⇒a 1+n + x = p(a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p(a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例1. 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.-1练1．已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n ∈ N +，求通项a n ．a n = 2 －2n-1 ，n ∈N + 练2.已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式.21nn a ∴=- 二、可化为基本型的数列通项求法： （一）指数型：a n=ca n-1+f(n)型 1、a 1=2,a n =4a n-1+2n (n ≥2),求a n .2、a 1=-1,a n =2a n-1+4〃3n-1(n ≥2),求a n .3、已知数列{}n a 中，1a =92，113232+-+=n n n a a （n ≥2），求n a .∴ n a =13)21(2+--n n（二）指数（倒数）型 1、a 1=1,2a n -3a n-1=(n ≥2),求a n .2、a 1=,a n+1=a n +()n+1,求a n . （三）可取倒数型：将递推数列1nn n ca a a d+=+(0,0)c d ≠≠,1、（2008陕西卷理22）（本小题满分14分）已知数列{a n }的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n = ，，． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； 332nn n a ∴=+2、已知数列{}n a *()n N ∈中, 11a =,121nn n a a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.∴121n a n =-. 3、若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ． a n =4、 若数列{n a }中，1a =1，n S 是数列{n a }的前n 项之和，且nnn S S S 431+=+（n 1≥），求数列{n a }的通项公式是n a . 131-=n n S ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n n n a )2()1(≥=n n 三、叠加法：a n=a n-1+f(n)型：1.已知数列{a n }中, 11a =,1n-13n n a a -=+(2)n ≥。
数列求通项公式方法总结
数列求通项公式方法总结数列是数学中的一种常见概念，它在很多应用领域中发挥着重要作用。
数列的通项公式是指能够通过一个公式来表示数列的每一项的方法。
在数学中，求解数列的通项公式是一种重要的技巧和思维训练。
本文将总结一些常见的数列求通项公式的方法。
方法一：递推法递推法是数列求解的一种常见方法。
它基于数列中每一项与前一项之间的关系，通过逐项递推来找到通项公式。
例如，考虑一个等差数列 2，5，8，11，14......，我们可以observe 最终一项与前一项之间的关系，即 +3。
因此，我们可以推断出该数列的通项公式为 2+3(n-1)，其中 n 为项数。
通过递推法，我们可以求解出许多常见的数列。
方法二：代数法代数法是一种通过代数方程来表示数列通项的方法。
对于一些特殊的数列，我们可以通过数学运算和等式推导来找到通项公式。
例如，考虑一个等比数列 2，4，8，16，32......，我们可以发现每一项与前一项之间的关系都是乘以2。
因此，我们可以写出等式an = a(n-1) * 2，其中 a(n-1) 表示前一项。
通过解这个等式，我们可以得到通项公式 an = 2^(n-1)。
方法三：配方法配方法是一种通过把数列分解成两个已知数列的和或差的方法，从而找到通项公式的方法。
这种方法常用于一些复杂的数列。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以发现每一项都是前两项之和。
通过设定两个已知数列 a(n) 和b(n)，满足 a(1) = a(2) = 1，b(1) = 2，b(2) = 3，并通过递推求解出 a(n) = a(n-1) + a(n-2) 和 b(n) = b(n-1) + b(n-2)。
因此，我们可以得到数列通项公式 F(n) = a(n) + b(n)。
方法四：生成函数法生成函数法是一种利用生成函数来表示数列的方法。
生成函数是一个形式化的工具，用于处理数列和序列的问题。
例如，考虑一个斐波那契数列 1，1，2，3，5，8......，我们可以将该数列转变为一个生成函数来表示。
求数列通项公式方法总结
求数列通项公式的方法总结：1)观察法。
例如1、3、5、7、9……2)公式法。
对于等差数列：a n=a1+(n-1)d;对于等比数列：a n=a1·q n-1。
3)形如a n+1=pa n+q,变形为（a n+1+k）=p(a n+k),其中k=q／(p-1)构造数列｛a n+k｝是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。
4)形如a n+2=pa n+1+qa n,,变形为a n+2+ma n+1=n(a n+1+ma n),自行解出m和n构造数列｛a n+1+ma n｝是以a2+ma1为首项，n为公比的等比试列。
5)形如a n+1=pa n+q n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+1,再利用3）的步骤即可求出通项公式。
6)形如a n+1=pa n+q n+t n,变形为a n+1/q n=p/q·a n/q n-1+（t/q）n+1,则先忽略（t/q）n这一项,利用3）的方法配出3）的形式，然后再同时除以（t/q）n，再利用3）的步骤即可求出通项公式。
7)a n+1=ta n/(p+qa n)变形为1/a n+1=p/t·1/a n+q/t, 再利用3）的步骤即可求出通项公式。
8)利用s n-s n-1=a n的关系求出通项公式。
利用以上方法求通项公式时，要用到数列求和的方法，下面予以归纳：1)公式法。
对于等差数列s n=na1+n·(n-1)d或s n=n(a1+a n)/2,对于等比数列s n=a1·q n-I。
2)常用的几个基本求和公式a)1+2+3+……+n=n·(n+1)/2b)12+22+32+……+n2=n·(n+1)·(2n+1)/6c)13+23+33+……+n3=n2·(n+1)2/4d)1+3+5+……+（2n-1）=n23)倒序相加法。
主要用于等差数列或组合数列。
数列通项的求法总结
数列通项的求法总结数列通项的求法那可真是个有趣又有点小麻烦的事儿呢。
咱就来好好唠唠它的求法吧。
一、观察法。
有时候数列的通项公式就明晃晃地摆在那儿，只要你仔细观察就能发现。
比如说像1，3，5，7，9……这个数列，咱一看就知道它的通项公式是an = 2n - 1。
这就像是你走在路上，一眼就看到地上有个闪闪发光的硬币一样简单。
这种数列往往是有很明显的规律的，像是等差或者等比数列的一部分，或者是一些简单数字的排列组合。
只要你眼睛够尖，这种通项公式就能轻松拿下。
二、公式法。
1. 对于等差数列，通项公式an = a1+(n - 1)d。
这里的a1就是数列的首项，d 就是公差。
就好比你在排队伍，每个人之间的间隔是固定的，从第一个人开始，按照这个固定的间隔往后排，第n个人的位置就可以用这个公式算出来。
2. 等比数列呢，通项公式是an = a1×q^(n - 1)。
a1是首项，q是公比。
这就像是一棵大树不断地分枝，每个分枝都是上一个分枝按照固定的倍数长出来的，按照这个规律，第n个分枝的情况就能用这个公式表示。
三、累加法。
当数列{an}满足an - an - 1 = f(n)（n≥2）这种形式的时候，咱们就可以用累加法。
比如说an - an - 1 = n，那我们就可以把这些式子都列出来。
a2 - a1 = 2，a3 - a2 = 3，……，an - an - 1 = n。
然后把这些式子左右两边分别相加，左边就剩下an - a1，右边是2 + 3+……+n。
这样就能求出an的通项公式啦。
这个方法就像是搭积木，一块一块地往上加，最后就搭出了我们想要的形状。
四、累乘法。
要是数列{an}满足an/an - 1 = f(n)（n≥2），那就用累乘法。
比如说an/an - 1 = n，我们就把这些式子都写出来，a2/a1 = 2，a3/a2 = 3，……，an/an - 1 = n。
然后把这些式子左右两边分别相乘，左边就剩下an/a1，右边就是2×3×……×n。
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求数列通项公式方法经典总结
求数列通项公式方法
（1）.公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
仁数列畀满足a i =8 , a4=2，且a** — 2an^+an=0 （n* ”），求数列£”｝的通项公式；
2.设数列｛a n｝满足a i=0且, —=1，求｛a n｝的
1-1-a n
通项公式
3.已知数列｛a n｝满足a”1严,2，求数列｛a n｝
2
a
n
的通项公式。
4.已知数列｛a”｝满足a1 = 2, a2 = 4且a n・2 'a n =a n"（»）,求数列© ｝的通项公式；
5.已知数列｛a”｝满足a’ =2,且a”.,-5n" =2（a”-5n）（ZN ”），
求数列G ｝的通项公式；
6.已知数列｛a n｝满足a, =2,且an++5X2n*+2=3（a n+5X2“+2）（n^N*），求数列 3 的通项公式;
7.数列已知数列＜无满足a^2,a^4an. 1（n 1）.则数列 V的通项公式= ________________
（2）累加法
累加法适用于：a”1=a” f（n）
若a n 勺-a n = f(n)，则
a? -a^i = f (1)
a^a^ f (2)
III III a n 1 _a n = f (n)
两边分别相加得a n .17「f(n)
kA
例：1.已知数列｛a n｝满足a「1，a n "a n亠，求
2 4n -1
数列｛a…｝的通项公式。
2.已知数列｛a n｝满足a n 1 =a n 2n 1，3 =1，求数列｛a”｝的通项公式。
3.已知数列｛a n｝满足a n/a n 2 3n1,日=3，求数列｛a n｝的通项公式。
4.设数列｛a n｝满足ar 2，a n^a^3 -22nJ，求数列｛a n｝的通项公式
(3) 累乘法
适用于：a n 1 二f(n)a n
若也二f(n)，贝V 鱼二f(1),— f(2)，Ml(，也二 f (n) a n
a1 a2 a n
两边分别相乘得，也二aj； f(k)
a1k#
3.已知a1=3 , a n 1 3n -1
3n 2 a n (n —1)，求a n
o
｛a n｝的通项公式
2•已知数列和满足a扁,盼=活a.，求a.。
(4) 待定系数法
适用于a n+1 = pa n + q(P 丸，P K|)
求法：待定系数法.令a n + 1 +入=p (a n+入), 其中入为待定系数，化为等比数列
｛a n+莎求通项•
例：1.已知数列｛a n｝中，a1 =1,a n=2a n」1(n _ 2)，求数列唧的通项公式
2.(重庆，文,14 )在数列①中，若a^1,a n^2a n 3(n _1), 则该
数列的通项a n
3.(福建.理22.本小题满分14分)已知数列｛aj
满足a1=1,a n*=2an+1( n**).求数列牯」的通项公式；
(5)递推公式为a n pa n 1 qa n (其中P, q均为常数)。
先把原递推公式转化为a n 2 — sa n 1 =t（a n .1 — sa n）
其中s, t满足广p
st = —q
1.已知数列｛a n｝满足a n .=5a n d-6a n,a^-1,a^2，求数列｛a n｝
的通项公式。
2.已知数列 a / 满足a i = 1,a2 = 3,a n .2 = 3a n 1 - 2a n （n N ）.
（I）证明：数列玄1一和是等比数列；（II ）求数列曲的通项公式；
2 1
3.已知数列、a n p'中，a1= 1, a2= 2 , a n 2 = —a n彳■ — a n，求a n
3 3
（6 ）递推公式中既有S n
分析：把已知关系通过斫存：＞2转化为数列Qn _ S n 丄
n_ 2
或S n的递推关系，然后采用相应的方法求解。
1. ................................................. （北京卷）数列｛a n｝的前n项和为S,且a1=1, a”1=3s n, n=1, 2, 3, ，求a2,
a3,
3
a4的值及数列｛a n｝的通项公式.
2.（山东卷）已知数列匕；的首项a,=5,前n项和为
s” ,且S”1=S” n 5n N* ）证明数列法—是等比数列.
3 .已知数列，：3n :中，a1 =3,前n 和S n =?（n 1）（a n 1）-1
①求证：数列也；是等差数列②求数列-：an /的通项公式
4.已知数列®｝的各项均为正数，且前n项和S 满足S,=1(a” 1)(a” 2),且32,34,39成等比数列，求数列｛a n｝的通项公式。