高等数学(下)无穷级数共102页
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高等数学-第十二章-无穷级数
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1 1 p1
即sn有界, 则P 级数收敛.
P
级数当 当pp
1时, 1时,
收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 uk1 uk2 ukn
n uk1 uk2 ukn
snk sk ,
则
lim
n
n
lim
n
sn
k
lim
n
sk
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
四、收敛的必要条件
级数收敛的必要条件:
当n无限增大时, 它的一般项un趋于零, 即
级数收敛
lim
n
un
0.
证明 s un 则 un sn sn1,
n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如
1 2 3 234
(1)n1 n n1
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
高等数学无穷级数
n1
思考题解答
能．由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为 P2
4 3
P1
,
面积为 A2
A1
3 1 9
A1;
依次类推
1
2
3
4
5
练习题
一、填空题:
1、若 a n
1
3(2n 2 42n
1) ,则 5
n1
an
=____________；
369
3n
2、( 1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
(
1 23
1 33
)
1 (2n
1 3n
)
；
3、1 2
1 10
1 4
1 20
1 2n
1 10n
.
五、利用柯西收敛原理判别级数
1 1 1 1 1 1 的敛散性 . 23456
练习题答案
一、1、 1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 8 10
2、若 a n
n! nn
5
,则
n1
an
=______________________；
3、若级数为
x 2
x 24
x 2
x 46
则a n
_______；
4、若级数为 a 2 a 3 a 4 a 5 则a n ________； 3579
5、若级数为1 1 3 1 5 1 则当n _____
lim qn
高等数学无穷级数
当 0p1时发散，当 p >1 时收敛.
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
【例9-6】讨论级数
n2
n
1 ln p
n
的敛散性，其中 p>0.
（2）比较法的应用 现在我们已经知道一些级数的敛散性，主要是等比 级数和p级数，便可以利用这些级数作为比较对象， 判断某些级数的敛散性了。
n1
v
n
收敛；
如果
n1
vn
发散，则 n1un
发散。
（2）比较判别法的极限形式（定理9-3的推论9-2）
n1un 与
n1
vn
是正项级数，并设
n1
v
n从某一
项之后是严格正项的。设
lim un l n vn
（i） (0l) 两个级数有相同的敛散性。
（ii）(l 0)
如果
n1un 发散，则
n1
下面给出三个相对具体或可操作的判别法，除了判
别法自身的意义，还分别与这两类级数密切相关。
3.积分判别法与p级数
n
1
1 np
（1）积分判别法（定理9-2）：
非负函数 f (x) 在
[1,)上单调递减，则
n1
f(n)
与反常积分 1f(x)dx有相同的敛散性。
【例9-5】证明p-级数 n 1n 1p121p n 1p
（2）改变（包括增加和减少）级数中有限项， 不改变级数的敛散性，但可能改变收敛级数和的 值（性质3）。 （3）收敛级数可以任意增加括号，不改变收敛性 与级数和。 可称之为单向结合律，因为： 在有括号收敛的情况下，去括号可能改变敛散性； 由此可知，发散级数加括号也可能改变敛散性。 如果括号中各项符号一样，收敛级数可以去括号！
9.2.正项级数敛散性判别法
高数课件28无穷级数
任意项级数审敛法总结
绝对收敛判别法
对于任意项级数，首先尝试判断其是否绝对收敛。若绝对收敛，则原级数一定收敛。
交错级数审敛法
对于交错级数，可以利用交错级数审敛法进行判断。若满足条件，则交错级数收敛。
其他审敛法
除了绝对收敛和交错级数审敛法外，还有其他一些审敛法可用于判断任意项级数的敛散性 ，如比较审敛法、比值审敛法等。在实际应用中，可以根据级数的具体形式选择合适的审 敛法进行判断。
泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
原理介绍
泰勒级数的基本思想是将复杂的函数用多项式来逼近，通过逐次求导并代入展开点的值，得到各阶导 数在该点的值，进而构造出相应的多项式。
常见函数泰勒展开式举例
要点一
常见函数泰勒展开式
如$e^x$、$sin x$、$cos x$、$ln(1+x)$等函数的泰勒展 开式。
电力系统
在电力系统中，傅里叶级数被用于 分析周期性电气信号的谐波成分， 为电力系统的稳定运行提供支持。
傅里叶变换与离散时间信号处理关系
傅里叶变换与傅里叶级数关系
傅里叶变换是傅里叶级数的推广，可以将非周期函数表 示为连续频谱的形式。
离散时间信号处理中的傅里叶变 换
在离散时间信号处理中，傅里叶变换被广泛应用于频域分 析和滤波器设计等方面，为数字信号处理提供了重要工具。 同时，离散傅里叶变换（DFT）及其快速算法（FFT）也在 实际应用中发挥着重要作用。
判断原级数的收敛性。
适用范围
02
适用于通项可以表示为某个函数的级数，且该函数在相应区间
内单调、可积。
应用举例
03
如对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p}$的$p$级数，可
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
第13页/共122页
对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
第4页/共122页
对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
高等数学(下)第3章 无穷级数
②若
发散 ，则
发散
36
例 ３ ．７（夹逼准则） 设 收敛 ，且 ａｎ ≤ ｃｎ ≤ ｂｎ 证明 收敛 ．
证明 因为ａｎ ≤ ｃｎ ≤ ｂｎ ，故 ０ ≤ ｃｎ － ａｎ ≤ ｂｎ － ａｎ ．又因为 收敛 ，故 收敛 ，根据正项级数比较判别法得 收 敛
37
图3.4
38
推论 ２ （比较判别法极限形式） 设 是两个正项级数 ，
故
12
例３．２ 计算本节开始提出的球弹跳过程所需 的时间（引例）．
13
例３．３ 讨论级数
的敛散性
14
3.1.2
无穷级数的基本性质
性质１（级数收敛的必要条件） 若收敛，则有 证明 因为
故
15
例３．４ 判断的敛散性． 解 因为
故
16
例３．５ 判断级数的敛散性． 解 如果级数收敛，则
但另一方面：
称｛ｓｎ｝为无穷级数（3.1）的部分和数列
8
定义 设的部分和数列为｛ｓｎ｝，若 ，则称级数收敛，且把极限值s称
为级数的和，记作；若部分和数列
{sn}极限不存在，则称级数发散.
9
例３.１ 讨论几何级数
的敛散性
解 （１）当ｒ＝１时，
发散
10
（２）当ｒ＝－１时因为源自不存在发散11
（３）当｜ｒ｜≠１时，因为
17
性质２ 若收敛于ｓ，ｃ为任意常数 则也收敛，且有
18
推论１
具有相同的敛散性． 性质３ 若级数 都收敛，且其和分别为ｓ和ζ，则级数
钞也收敛，
19
性质４ 级数具有相同的敛
散性，其中Ｎ为某自然数． 证明 设ｓｎ，ｓｋ分别为 的部分和，则
20
性质５ 收敛级数的项中任意加括号后所成的级 数仍收敛于原级数和． 证明 设，其部分和为ｓｎ．如果
高等数学之无穷级数
n
而
1 ∑vn = ∑n3 2 为收敛的 P- 级数. n=1 n=1
∞ n
∞
∞
sin n 从而知 ∑ (1) 收敛，且为绝对收敛 . 32 n n =1
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例3. 试证：对任何实数
x,
xn 级数 ∑ 绝对收敛. n =1 n !
∞
证：由于对任何实数 x , 都有 n +1 n un +1 x x lim = lim n →∞ u n →∞ ( n + 1)! n! n
n=1
∑(1)
∞
n1 1
n
为条件收敛 .
n=1
∑(1)
∞
n1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理5. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn = 1 ( un + un ) ( n =1, 2 , ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ un , 根据比较判别法 ∑vn 收敛,
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(2) 当 r >1或 r =+∞时, 级数发散 .
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第十章
第三节 任意项级数
一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛
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一 、交错级数
设un > 0 , n =1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 交错级数 定理6 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
∞
sin nα 因此 ∑ 4 收敛，且为绝对收敛 . n=1 n
而
1 ∑vn = ∑n3 2 为收敛的 P- 级数. n=1 n=1
∞ n
∞
∞
sin n 从而知 ∑ (1) 收敛，且为绝对收敛 . 32 n n =1
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例3. 试证：对任何实数
x,
xn 级数 ∑ 绝对收敛. n =1 n !
∞
证：由于对任何实数 x , 都有 n +1 n un +1 x x lim = lim n →∞ u n →∞ ( n + 1)! n! n
n=1
∑(1)
∞
n1 1
n
为条件收敛 .
n=1
∑(1)
∞
n1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理5. 定理 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn = 1 ( un + un ) ( n =1, 2 , ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ un , 根据比较判别法 ∑vn 收敛,
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(2) 当 r >1或 r =+∞时, 级数发散 .
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第十章
第三节 任意项级数
一、交错级数 二、绝对收敛与条件收敛
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一 、交错级数
设un > 0 , n =1, 2,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 交错级数 定理6 定理 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
∞
sin nα 因此 ∑ 4 收敛，且为绝对收敛 . n=1 n
无穷级数
lim un = 0
n =1 ∞
证 设
∑ u 的部分和是S
n =1 n
n →∞
∞
n →∞
n
= u1 + u2 + + un 且 收敛于S
n →∞
lim Sn 1 = s 且 lim Sn = s
由 un = S n S n 1 有 lim un = lim( S n S n 1 ) = 0
n →∞ n →∞
∞ a 1 例: 级数 ∑ n 与∑ n 都是收敛的. n =1 2 n =1 2 ∞
定理3 定理3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变. 证 因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数 前增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或 去掉有限项而其敛散性不变. 设在级数 u1 + u2 + + um + um +1 + + um + n + 中去掉前m项, 则得级数 um +1 + um + 2 + + um + n +
(1)
(2)
10
令级数(1)的部分和为 Sm = u1 + u2 + + um 级数(2)的部分和为 于是
Tn = S m + n S m
n →∞ n →∞
Tn = um +1 + um + 2 + + um + n
若(1)收敛于S, 则 lim Tn = lim( Sm + n Sm ) = S Sm 故(2)也收敛. 若(1)发散, 则 limTn 不存在, 故(2)也发散. lim T
n =1 ∞
证 设
∑ u 的部分和是S
n =1 n
n →∞
∞
n →∞
n
= u1 + u2 + + un 且 收敛于S
n →∞
lim Sn 1 = s 且 lim Sn = s
由 un = S n S n 1 有 lim un = lim( S n S n 1 ) = 0
n →∞ n →∞
∞ a 1 例: 级数 ∑ n 与∑ n 都是收敛的. n =1 2 n =1 2 ∞
定理3 定理3 在级数中增加或去掉有限项,级数的敛散性不变. 证 因在级数中增加或去掉有限项, 总可通过在该级数 前增加或去掉有限项来实现, 故只须证在级数前增加或 去掉有限项而其敛散性不变. 设在级数 u1 + u2 + + um + um +1 + + um + n + 中去掉前m项, 则得级数 um +1 + um + 2 + + um + n +
(1)
(2)
10
令级数(1)的部分和为 Sm = u1 + u2 + + um 级数(2)的部分和为 于是
Tn = S m + n S m
n →∞ n →∞
Tn = um +1 + um + 2 + + um + n
若(1)收敛于S, 则 lim Tn = lim( Sm + n Sm ) = S Sm 故(2)也收敛. 若(1)发散, 则 limTn 不存在, 故(2)也发散. lim T