北师大版高中数学选修4-5 第一章1.2 含有绝对值的不等式之绝对值不等式的解法教学课件 (共20张ppt)
0
问题5：结论： 一般地：有
x
a
{x|－a<x<a} ∅
(a 0) (a 0)
{x | x>a或x<－a} (a 0)
x
a
{x| x ∈R且x≠0}
(a 0)
R
(a 0)
问题 6：|ax＋b|≤c(c>0) 和 |ax＋b|≥c(c>0)型不等式的
(, 3] U [3 ,). 22
方法二：当x≤-1时,原不等式可以化为
-(x+1)-(x-1)≥3,解得 x 3
2
当-1＜x＜1时,原不等式可以化为
x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.当x≥1时,原不等式可
以
化为x+1+x-1≥3.所以 x 3
2
综上,可知原不等式的解集为 x | x 3 或 x 3
表示到原点的距离大于1的点的集合，不等式的解集为：
x | x 1或x 1
y
f (x) x
1
-1
o
1
x
问题4：一般地：
(1).设a 为正数,不等式 x a 的解集是 {x|－a<x<a}，
它的几何意义就是数轴上 到原点的距离小于 a 的点的集合 的点， 如图所示.
0
(2).设 a 为正数,不等式 x a的解集是{x | x>a或，x<－a}
探究一 、（含一个绝对值的不等式的解法）
1、解不等式 2、解不等式
; 思想方法： 整体思想 分类讨论
.
B 合小结作 探拓展究
探究二、（含两个绝对值的不等式的解法）
解不等式
。
方法一：如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么
A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式
的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数 轴上的x.
（ D）
课后作业 课本第9页 A组第5题
所以-1-x+1-x=3,得 x 3 2
同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴 上的x,所以x-1+x-(-1)=3.
所以 x 3 2
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离 之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A， B的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是
北师大版 选修4-5
绝对值不等式的解法
A 自小结主 探拓展究
问题导学： 问题1.|x|的几何意义是什么？ 提示：|x|表示数轴上的点x到原点O的距离.
。
问题ห้องสมุดไป่ตู้：根据以上绝对值的意义，请同学们说出 以下式子表示的意思，并写出它的解或解集：
表示 到原点的距离等于1的点的集合，方程的解为：1，-1
x 1表示到原点的距离小于1的点的集合，不等式的解集为（：-1，1）
2
2
方法三：将原不等式转化为 |x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
作出函数的图象(如图).
函数的零点是 3 , 3 , 22
方法归纳：
• |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
• ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思 想；
数形结合 数学思想 函分数类与讨方论程
整体思想
D 拓小结展 思拓展考
1、不等式 x x 的解集是 2x 2x
（B ）
A x | 0 x 2
B x | x 0或x 2
C x | x 0
D x | x 2
2、不等式1< x + 1 < 3 的解集为 A (0, 2) B(- 2, 0) ? (2, 4) C(-4,0) D（- 4，- 2）?（0，2）
(2) 绝对值不等式的解法中，x a 的解集是(－a，a) x a 的解集是(－∞，－a) ∪(a，＋∞)
（3）含有两个绝对值符号的不等式，如 x a x b c型 或 x a x b c型 不等式的解法有三种：
几何意义法 “零点”分段法 构造函数法
C 总小结结 拓展展
2、数学思想及方法方面：
• ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
• ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了数与方程的 思想．
B 合小结作 探拓展究
探究三、
1、已知
（1）画出 f ( x ) 的图像；
（2）解不等式
（3）若
恒成立，
求实数a的取值范围．
C 总小结结 拓展展
1、知识与方法方面：
（1）解含绝对值不等式的核心任务是：去绝对值，将不等 式恒等变形为不含绝对值的常规不等式，然后利用已经掌 握的解题方法求解；注意不可盲目平方去绝对值符号.
解法 ①|ax＋b|≤c⇔__－__c_≤_a_x_＋__b__≤_c__； ②|ax＋b|≥c⇔__a_x_＋__b_≥_c_或___a_x_＋__b_≤_－__c_____.
问题7：
函数f (x)
x 1
x2
1 - 2x 3
2x - 1
，x 1 ，1 x 2 ，x 2
B 合小结作 探拓展究
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5课件 第一章 §2 2.1 绝对值不等式
提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|
2．不等式|a|－|b|≤|a± b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别 是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， 右侧“＝”成立的条件是 ab≥0，左侧“＝”成立的条件 是 ab≤0，且|a|≥|b|； 不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是 ab≤0，左侧“＝”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|. 3．定理|a|－|b|<|a± b|<|a|＋|b|的几何意义是什么？
(2)|x－a|表示 实数 x 对应的点与实数 a 对应的点之间 的距离； (3)|x＋a|表示实数 x 对应的点与实数－a 对应的点之间 的距离． 3．绝对值不等式(定理) 对任意实数 a 和 b，有：|a＋b| ≤ |a|＋|b|.
[合作探究]
1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有怎样 的大小关系？
利用定理求含绝对式函数的最值
[例 2]
求函数 y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
本题考查含绝对值函数最值的求证及转化求
[思路点拨 ]
解能力，解答此题需要直接用 ||a|－|b||≤|a－b|或去掉绝对值号 转化为分段函数求解．
[精解详析] 法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4. 法二：把函数看作分段函数． 4，x<－1， y＝|x－3|－|x＋1|＝2－2x，－1≤x≤3， －4，x>3. ∴－4≤y≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.
[精解详析] 因为 y∈(0，M)，所以|y|＝y＜M. 所以|xy－ab|＝|xy－ya＋ya－ab| ＝|y(x－a)＋a(y－b)|≤|y|· |x－a|＋|a|· |y－b| ε ε ＜M· ＋|a|· 2M 2|a| ε ε ＝ ＋ ＝ε， 2 2 所以不等式成立．
北师大版高中数学选修4-5：不等式选讲-绝对值不等式
2
A） ( y
B)
x
A
y
B
.
22
五.课堂小结
本节课我们主要学习了以下主要内容：
1.掌握绝对值的几何意义 ，
会用几何和代数的不同 方法证明以下不等式：
(1)对任意实数a,b, a b a b.
(2)对任意实数a,b,c,有a b a c c b.
2.各个不等式取等号的条件.
| a || (a b) b || a b | | b |,
即| a | | b || a b |, 不等式得证．
当且仅当（a b）b 0时取等号.
定理推论
推论1 a11 a22 a33 a1 a2 a3 a1 a2 a3
a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an
a b 表示点A与点B的距离AB，
a
表示原点O与点A的距离OA,
b
表示原点O与点B的距离OB.
|-b| |a|
B
-b 0 b
|a+b|
A
ax
b
|a| |-b|
A
a0
Bb -b x
|a+b|
可知：AB AO OB,得到a b a b.
|a|
B
0 -b
A
ax
|-b| |a+b|
以上是利用几何法来证 明定理1，很直观。 接下来我们尝试用代数 法进行证明。
问题2
在上述定理中，以 b代替b，将得到怎样的结论？
把定理中的b换为-b可变形为 |a+(-b)| ≤|a|+|-b|,即|a-b| ≤|a|+|b|
(复习指导)选修4—5 第1课时 绝对值不等式含解析
选修4—5不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤,当且仅当时,等号成立.2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a(a>0)的解法:①|x|<a⇔-a<x<a;②|x|>a⇔x>a或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:①|ax+b|≤c⇔;②|ax+b|≥c⇔.(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.3.基本不等式定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥,当且仅当a=b时,等号成立.定理2:若a,b为正数,则a+b2≥√ab,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:若a,b,c为正数,则a+b+c3≥√abc3,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:若a1,a2,…,a n为n个正数,则a1+a2+…+a nn ≥√a1a2…a nn,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(2)设a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,b3,…,b n是实数,则(a12+a22+…+a n2)(b12+b22+…+b n2)≥(a1b1+a2b2+…+a n b n)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;+|y-a|恒成立,求a的取值范围.(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+54解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a|(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f(x)≤g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1x |=|x|+|1x |≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1x|>|a-2|+1恒成立,则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时 绝对值不等式 关键能力·学案突破 例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。
北师大版选修4-5 第1章 2.1 绝对值不等式
§2 含有绝对值的不等式2.1 绝对值不等式学习目标 1.进一步理解绝对值的意义.2.理解并掌握绝对值不等式|a ＋b|≤|a|＋|b|的代数及几何解释.3.会用|a ＋b|≤|a|＋|b|解决一些简单的绝对值不等式问题．知识点 绝对值不等式定理思考1 实数a 的绝对值|a|的几何意义是什么？ 答案 |a|表示数轴上以a 为坐标的点A 到原点的距离． 思考2 代数式|x ＋2|＋|x －3|的几何意义是什么？ 答案 表示数轴上的点x 到点－2,3的距离之和．思考3 画画图，看看|x ＋2|＋|x －3|与|(－2)－3|的关系． 答案由数轴可以看出数轴上的点x 到点－2,3的距离之和大于等于点－2到3的距离，即|x ＋2|＋|x －3|≥|(－2)－3|.梳理 (1)实数的绝对值 |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a>0，0，a ＝0，－a ，a<0.由定义易得|ab|＝|a|·|b|；⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＝|a||b|(b ≠0)；|a|2＝a 2；a 2＝|a|；－|a|≤a ≤|a|.(2)绝对值的几何意义设a 是任意一个实数，在数轴上：①|a|表示实数a 对应的点与原点O 的距离；②|x －a|表示实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的距离； ③|x ＋a|表示实数x 对应的点与实数－a 对应的点之间的距离． (3)绝对值不等式(定理)对任意实数a 和b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|. 拓展 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.类型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f(x)＝x 2－2x ，|x －a|＜1. 求证：|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3. 证明 ∵f(x)＝x 2－2x ，且|x －a|＜1， ∴|f(x)－f(a)|＝|x 2－2x －a 2＋2a| ＝|(x ＋a)(x －a)－2(x －a)|＝|(x －a)(x ＋a －2)|＝|x －a|·|x＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a)＋(2a －2)| ≤|x －a|＋|2a －2| ＜1＋|2a|＋|2|＝2|a|＋3， ∴|f(x)－f(a)|＜2|a|＋3.反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．跟踪训练1 已知|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，求证：|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s.证明 ∵|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＝|(A －a)＋(B －b)＋(C －c)|≤|(A －a)＋(B －b)|＋|C －c|≤|A －a|＋|B －b|＋|C －c|，又∵|A －a|＜s 3，|B －b|＜s 3，|C －c|＜s3，∴|A －a|＋|B －b|＋|C －c|＜s 3＋s 3＋s3＝s ，∴|(A ＋B ＋C)－(a ＋b ＋c)|＜s. 类型二 利用绝对值不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求参数a 的取值范围． 解 (1)∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4， ∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x|≥|x －3＋4－x|＝1，当且仅当(x －3)(4－x)≥0，即3≤x ≤4时等号成立． ∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1. ∴a 的取值范围为(－∞，1]．反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键． 跟踪训练2 (1)已知x ∈R ，求f(x)＝|x ＋1|－|x －2|的最值； (2)若|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，求a 的取值范围． 解 (1)∵|f(x)|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， ∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min ＝－3，f(x)max ＝3. (2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R. 又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4. ∴a 的取值范围是[4，＋∞)． 类型三 绝对值不等式的综合应用例3 设函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|(a ＞0)． (1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a 的取值范围． (1)证明 由a ＞0，可得f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a＋a ≥2，所以f(x)≥2.(2)解 f(3)＝|3＋1a |＋|3－a|，当a ＞3时，f(3)＝a ＋1a ，由f(3)＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a ≤3时，f(3)＝6－a ＋1a ，由f(3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件．跟踪训练3 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，当|x|≤1时，恒有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤7. 证明 因为当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，所以|f(0)|＝|c|≤1，|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1， 又f(1)＝a ＋b ＋c ，f(－1)＝a －b ＋c ， 所以|f(2)|＝|4a ＋2b ＋c| ＝|3(a ＋b ＋c)＋(a －b ＋c)－3c| ＝|3f(1)＋f(－1)－3f(0)| ≤3|f(1)|＋|f(－1)|＋3|f(0)| ≤3＋1＋3＝7，所以|f(2)|≤7.1．已知|x －m|＜ξ2，|y －n|＜ξ2，则|4x ＋2y －4m －2n|小于( )A ．ξB．2ξC．3ξD.ξ2答案 C解析 |4x ＋2y －4m －2n|＝|4(x －m)＋2(y －n)| ≤4|x －m|＋2|y －n|＜4×ξ2＋2×ξ2＝3ξ.2．已知a 为实数，则“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 由|a|≥1得a ≤－1或a ≥1.因为关于x 的不等式|x|＋|x －1|≤a 有解，而|x|＋|x －1|≥|x ＋1－x|＝1，所以a ≥1.故“|a|≥1”是“关于x 的绝对值不等式|x|＋|x －1|≤a 有解”的必要不充分条件． 3．已知|a|≠|b|，m ＝|a|－|b||a －b|，n ＝|a|＋|b||a ＋b|，则m ，n 的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n答案 D解析 m ＝|a|－|b||a －b|≤|a －b||a －b|＝1.又n ＝|a|＋|b||a ＋b|≥|a ＋b||a ＋b|＝1，∴m ≤n.4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －9解析 ∵|x －1|＋|x ＋a|≥|x －1－(x ＋a)|＝|a ＋1|，且关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋a|≤8的解集不是空集，∴|a ＋1|≤8，解得－9≤a ≤7，即a 的最小值是－9.5．下列四个不等式：①|log x 10＋lgx|≥2；②|a －b|＜|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________．(把你认为正确的序号都填上)． 答案 ①③④解析 |log x 10＋lg x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1lg x ＋lg x ＝1|lg x|＋|lg x|≥2，①正确；当ab ≤0时，|a －b|＝|a|＋|b|，②不正确； ∵ab ≠0，b a 与ab同号，∴|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确．1．求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用求|a ＋b|，|a －b|的最值，及ab ≥0时，|a|＋|b|＝|a ＋b|，当ab ≤0时，|a|＋|b|＝|a －b|的定理，达到目的． 2．求y ＝|x ＋m|＋|x ＋n|和y ＝|x ＋m|－|x ＋n|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段； (2)利用绝对值的几何意义； (3)利用绝对值不等式的性质定理．一、选择题1．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b|＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B解析 “乙⇒甲”， ∵|a －1|＜h ，|b －1|＜h ， ∴|a －1|＋|b －1|＜2h ，又|a －1|＋|b －1|≥|(a －1)－(b －1)|＝|a －b|， ∴|a －b|＜2h.“甲⇏乙”．当a ＝b ＝5，h ＝1时，甲⇏乙．2．设|a|＜1，|b|＜1，则|a ＋b|＋|a －b|与2的大小关系是( ) A ．|a ＋b|＋|a －b|＞2 B ．|a ＋b|＋|a －b|＜2 C ．|a ＋b|＋|a －b|＝2 D ．不能比较大小答案 B解析 当(a ＋b)与(a －b)同号或(a ＋b)(a －b)＝0时， |a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)＋(a －b)|＝2|a|＜2. 当(a ＋b)与(a －b)异号时，|a ＋b|＋|a －b|＝|(a ＋b)－(a －b)|＝2|b|＜2.3．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ∵|x －1|＋|x|＋|y －1|＋|y ＋1| ≥|(x －1)－x|＋|()y －1－(y ＋1)|＝3.4．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a|≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 由|x －1|＋|y －a|≤1，得|x －1|≤1， ∴0≤x ≤2，且|x ＋y －1－a|≤1， ∴a ≤x ＋y ≤2＋a ， ∴2x ＋y ≤4＋a ， 又2x ＋y 的最大值为5， ∴4＋a ＝5，∴a ＝1.5．已知不等式|x －m|＜1成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 B6．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5B ．4C ．8D ．7 答案 A解析 由题意，得|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)| ≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5， 即|x －2y ＋1|的最大值为5. 二、填空题7．若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 |x －a|＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.8．已知函数f(x)＝|x －3|－|x －a|.若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32解析 由不等式性质可知，f(x)＝|x －3|－|x －a| ≤|(x －3)－(x －a)|＝|a －3|，所以若存在实数x ，使得不等式f(x)≥a 成立， 则|a －3|≥a ，解得a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 9．以下三个命题：①若|a －b|≤1，则|a|≤|b|＋1； ②若a ，b ∈R ，则|a ＋b|－2|a|≤|a －b|； ③|x|＜2，|y|＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23.其中正确命题的序号为________． 答案 ①②③解析 因为|a|－|b|≤|a －b|≤1，所以|a|≤|b|＋1，故①正确；因为|a ＋b|－2|a|＝|a ＋b|－|2a|≤|(a ＋b)－2a|＝|a －b|.故②正确；③显然正确．10．若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 解析 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2， 所以由已知得|2a －1|≤2， 即－2≤2a －1≤2， 解得－12≤a ≤32.11．已知函数f(x)＝|x －3|－2，g(x)＝－|x ＋1|＋4，若函数f(x)－g(x)≥m ＋1的解集为R ，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]解析 f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6， 因为x ∈R ，由绝对值不等式，得f(x)－g(x)＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x|＋|x ＋1|－6 ≥|(3－x)＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2， 于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3， 即m 的取值范围是(－∞，－3]． 三、解答题12．求证：(1)|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|； (2)|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.证明 (1)∵|a ＋b|＋|a －b|≥|(a ＋b)＋(a －b)|＝|2a|＝2|a|， ∴|a ＋b|＋|a －b|≥2|a|.(2)∵|a ＋b|－|a －b|≤|(a ＋b)－(a －b)|＝|2b|＝2|b|， ∴|a ＋b|－|a －b|≤2|b|.13．设a ∈R ，函数f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x ≤1)． (1)若|a|≤1，证明：|f(x)|≤54.(2)求使函数f(x)有最大值178的实数a 的值．(1)证明 ∵|x|≤1，|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x 2－1)＋x|≤|a||x 2－1|＋|x|≤|x 2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x|－122＋54≤54.(2)解 当a ＝0时，f(x)＝x ；当－1≤x ≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝1不可能满足题设条件，∴a ≠0. 又f(1)＝a ＋1－a ＝1，f(－1)＝a －1－a ＝－1，故f(±1)均不是最大值．∴f(x)的最大值为178，应在其对称轴上，即顶点位置取得．∴a<0，∴命题等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1<－12a<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝178，a<0，得⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，(a ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋18＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a<－12，a ＝－2或a ＝－18.∴a ＝－2. 四、探究与拓展14．设x ，y ∈R ，求证：|2x－x|＋|2y －y|＋|x ＋y|≥212x y++.证明 由绝对值三角不等式，得|2x －x|＋|2y－y|≥|2x＋2y－(x ＋y)|≥|2x＋2y|－|x ＋y|， ∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥|2x＋2y |. 而|2x＋2y|＝2x＋2y≥22x·2y＝22x+y＝2·22x y +＝212x y++，∴|2x－x|＋|2y－y|＋|x ＋y|≥212x y++.15．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a|≥|a|2－|b|2.证明 (1)若|a|＞|b|，左边＝|a ＋b||a －b|2|a|＝|a ＋b||a －b||a ＋b ＋a －b|≥|a ＋b||a －b||a ＋b|＋|a －b|＝11|a ＋b|＋1|a －b|.∵1|a ＋b|≤1|a|－|b|，1|a －b|≤1|a|－|b|， ∴1|a ＋b|＋1|a －b|≤2|a|－|b|， ∴左边≥|a|－|b|2＝右边．(2)若|a|＜|b|，左边＞0，右边＜0， ∴原不等式显然成立．(3)若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知，原不等式成立．。
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IANLITOUXI
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【变式训练2】 求不等式|x+4|+|x-2|≤6的解集. 解:令x+4=0,得x=-4.令x-2=0,得x=2. (1)当x≤-4时,原不等式等价于-(x+4)-(x-2)≤6,得-2x-2≤6,即x≥-
3
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题型一 |ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法
【例1】 解不等式2<|2x-5|≤7.
分析:分清楚绝对值不等式的类型,利用绝对值不等式的定义或
(1)|ax+b|≤c(c>0)型不等式的解法:先化为-c≤ax+b≤c,再利用不
等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何意义求
解.
(2)|ax+b|≥c(c>0)的解法:先化为ax+b≥c和ax+b≤-c,再进一步
利用不等式的性质求出原不等式的解集,也可以利用绝对值的几何
意义求解.
【做一做2】 不等式|x+4|>9的解集是
几何意义求解.
解法一:原不等式等价于
|2������-5| > 2, |2������-5| ≤ 7,
∴ 2������-5 > 2 或 2������-5 < -2,
-7 ≤ 2������-5 ≤ 7,
北师大版数学高二-选修4学案 北师版选修4—5第一章2.1绝对值不等式
2.1 绝对值不等式1．理解含有绝对值的不等式的性质．2．掌握绝对值不等式的定理及绝对值的几何意义．3．能利用绝对值不等式证明不等式及求最值等简单问题，并认识不等式证法的多样性、灵活性．1．实数的绝对值的概念(1)定义：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a ＝0， a <0.(2)|a |的几何意义：|a |表示数轴上实数a 对应的点与原点之间的______．(3)两个重要性质：(Ⅰ)①|ab |＝______；②⎪⎪⎪⎪a b ＝______；(Ⅱ)|a |＜|b |⇔a 2____b 2．(4)|x －a |的几何意义：数轴上实数x 对应的点与实数a 对应的点之间的______，或数轴上表示x －a 的点到______的距离．(5)|x ＋a |的几何意义：数轴上实数x 对应的点与实数－a 对应的点之间的____，或数轴上表示x ＋a 的点到原点的____．【做一做1】解不等式|x ＋1|＞|2x －3|－2．2．绝对值不等式的定理(1)定理：对任意实数a 和b ，有|a ＋b |≤______，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理的另一种形式：对任意实数a 和b ，有|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当______时，等号成立．(1)绝对值不等式的完整形式：①|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |；②||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |．(2)绝对值不等式的一般形式：|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |(n ∈N ＋)．【做一做2】已知|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c ． 3．|a ＋b |≤|a |＋|b |的几何意义(1)如图所示，当a ，b 同号时，它们位于原点的同一边，此时a 与－b 的距离____它们到原点的距离____．(2)如图所示，当a ，b 异号时，它们分别位于原点的两边，a 与－b 的距离____a 与b 到原点的距离____．【做一做3】若不等式|x －4|－|x －3|≤a 对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案：1．(1)a 0 －a (2)距离 (3)(Ⅰ)①|a ||b | ②|a ||b |(Ⅱ)＜ (4)距离 原点 (5)距离 距离【做一做1】分析：解含有绝对值的不等式，利用|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0，将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．解：令x ＋1＝0，得x ＝－1．令2x －3＝0，得x ＝32，如图．(1)当x ≤－1时，原不等式可化为－(x ＋1)＞－(2x －3)－2，解得x ＞2，与条件矛盾，无解．(2)当－1＜x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＞－(2x －3)－2， 解得x ＞0，故0＜x ≤32． (3)当x ＞32时，原不等式可化为x ＋1＞2x －3－2，解得x ＜6，故32＜x ＜6． 综上，原不等式的解集为{x |0＜x ＜6}．2．(1)|a |＋|b | (2)ab ≤0【做一做2】分析：利用不等式的性质证明即可．证明：|(x ＋y )－(a ＋b )|＝|(x －a )＋(y －b )|≤|x －a |＋|y －b |．①∵|x －a |＜c 2，|y －b |＜c 2， ∴|x －a |＋|y －b |＜c 2＋c 2＝c ．② 由①②，得|(x ＋y )－(a ＋b )|＜c ．3．(1)等于 之和 (2)小于 之和【做一做3】[1，＋∞) 设f (x )＝|x －4|－|x －3|，则f (x )≤a 对一切x ∈R 恒成立，只需a ≥f (x )max ．因为|x －4|－|x －3|≤|(x －4)－(x －3)|＝1，当且仅当x ≤3时等号成立，即f (x )max ＝1，所以a ≥1．1．对绝对值不等式的理解剖析：绝对值不等式实质是两个实数的和差的绝对值与绝对值的和差的关系，我们可以类比得到另外一种形式：|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |．和差的绝对值与绝对值的和差的关系是由ab ＞0，ab ＜0，ab ＝0三种情况来确定的，其本质是叙述两个实数的符号在各种情形下得到的结果，即这个定理本身就是一个分类讨论问题．“数”分正、负、零等不同情况讨论，往往在所难免，因此，对绝对值的认识要有分类讨论的习惯．2．绝对值不等式的几何意义剖析：用向量a ，b 替换实数a ，b 时，问题就从一维扩展到二维，当向量a ，b 不共线时，a ＋b ，a ，b 构成三角形，有|a ＋b|＜|a|＋|b|．当向量a ，b 共线时，a ，b 同向(相当于ab ≥0)时，|a ＋b|＝|a|＋|b|；a ，b 异向(相当于ab ＜0)时，|a ＋b|＜|a|＋|b|，这些都是利用了三角形的性质定理，如两边之和大于第三边等，这样处理，可以形象地描绘绝对值三角不等式，更易于记忆，并有利于定理的应用．题型一 利用绝对值不等式证明不等式【例1】设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2．分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用．判断|a |，|b |和1这三个数中哪个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，但我们可以得到一个重要的信息：m ≥|a |、m ≥|b |、m ≥1．从而利用这一条件证题．反思：分析题目时，题目中的语言文字是我们解题信息的重要与依据，而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言“翻译”转化而来，那么准确理解题目中的文字语言，适时准确地进行转化也就成了解题的关键，如本题中题设条件中的文字语言“m 等于|a |，|b |和1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，|m |≥|b |，m ≥1”，这是证明本题的关键．题型二 利用绝对值不等式求最值【例2】求函数y ＝|x ＋1|－|x －4|的最大值和最小值．分析：可以利用绝对值不等式的性质进行变形来解，也可以把绝对值号去掉，转化成分段函数，分别求出最值，最后取并集．反思：对于含有两个及两个以上的绝对值代数式，把其利用各零点转化成分段函数，再利用分段函数的性质分别进行分析是很好的方法．答案：【例1】证明：∵|x |＞m ≥|a |，|x |＞m ≥|b |，|x |＞m ≥1，∴|x |2＞|b |．∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x |2|x |2＝2． 故原不等式成立．【例2】解：解法一：|||x ＋1|－|x －4|≤||x ＋1－x －4＝5，∴－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －4≥0， 即x ≥4时，|x ＋1|－|x －4|≤5中的等号成立．当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，x －4≤0， 即x ≤－1时，|x ＋1|－|x －4|≥－5中的等号成立．∴y max ＝5，y min ＝－5．解法二：把函数看作分段函数y ＝|x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ≤－1，2x －3－1<x <4，5x ≥4，当－1＜x ＜4时，－5＜2x －3＜5．∴y ∈，∴y max ＝5，y min ＝－5．1若|x －a |＜m ，|y －a |＜n ，则下列不等式一定成立的是( )．A ．|x －y |＜2mB ．|x －y |＜2nC ．|x －y |＜n －mD ．|x －y |＜n ＋m 2设ab ＞0，下面四个不等式中，正确的是( )．①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |．A ．①和②B ．①和③C ．①和④D ．②和④3若a ，b ∈R ，且满足|a －2b |＜|b |，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＜3bB ．a ＞bC ．|a |＜|b |D ．|b |＜|a |＜3|b |4求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |． 答案：1．D |x －y |＝|x －a －(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |＜m ＋n ．2．C ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |，∴①和④正确．3．D |b |＞|a －2b |＞|a |－2|b |，∴|a |＜3|b |．又∵|a －2b |＝|2b －a |，∴|b |＞|2b －a |＞2|b |－|a |．∴|a |＞|b |．综上，知|b |＜|a |＜3|b |．4．证明：(1)当|a ＋b |＝0时，显然原不等式成立．(2)当|a ＋b |≠0时，∵0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴1|a ＋b |≥1|a |＋|b |． ∴|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11＋1|a ＋b |≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b | ≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |．∴原不等式成立．。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5教师用书：第1
2.2 绝对值不等式的解法1．理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法．(重点)2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.(c＞0)(重点、关键点)教材整理1 含有一个绝对值不等式的解法阅读教材P8～P9“思考交流”以上部分，完成下列问题．1．绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集2.|ax(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x|<a的解集是(－a，a)．( )(2)不等式|x－2|≥3的解集是(－∞，－1]∪min，即a<3.(3)由原不等式得(x－3)2>(x＋1)2，整理得x<1.【答案】(1)R(2)a<3 (3)(－∞，1)预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：(1)1<|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|>7＋x .【精彩点拨】 (1)可利用公式转化为|ax ＋b |>c (c >0)或|ax ＋b |<c (c >0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．【自主解答】 (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|>1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1或x >3，－1≤x ≤5.解得－1≤x <1或3<x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x <1或3<x ≤5}． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1<x －2≤3或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，1<－x －，由①得3<x ≤5，由②得－1≤x <1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x <1或3<x ≤5}． 法三：原不等式的解集就是1<(x －2)2≤9的解集，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤9，x －2>1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <1或x >3.所以－1≤x <1或3<x ≤5.所以原不等式的解集是{x |－1≤x <1或3<x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|>7＋x ，可得2x ＋5>7＋x 或2x ＋5<－(7＋x )， 整理得x >2或x <－4.所以原不等式的解集是{x |x <－4或x >2}．1．形如a <|f (x )|<b (b >a >0)型不等式的简单解法是利用等价命题法，即a <|f (x )|<b (0<a <b )⇔a <|f (x )|<b 或－b <f (x )<－a .2．|f (x )|>g (x )和|f (x )|<g (x )型不等式的解法是将f (x )看做一个整体，g (x )看做一个常数，即可化为f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )和－g (x )<f (x )<g (x )求解．3．形如|f (x )|<f (x )，|f (x )|>f (x )型不等式的简单解法是利用绝对值的定义，即|f (x )|>f (x )⇔f (x )<0，|f (x )|<f (x )⇔x ∈∅.1．解不等式|x 2－x ＋2|＞x 2－3x －4.【导学号：94910007】【解】 ∵x 2－x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74＞0，∴|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2.原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4， 解得x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}.【精彩点拨】 本题考查|x －a |＋|x －b |≥c 型含两个绝对值的不等式的解法，解答此题可利用绝对值的几何意义去掉绝对值符号求解，也可用零点分区间讨论法求解，或者用图象法，利用图形分析求解．【自主解答】 法一：如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x ， ∴x －1＋x －(－1)＝3. ∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. 法二：当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3， 即2≥3，不成立，无解．当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3，所以x ≥32.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－32或x ≥32.法三：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.解得原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.这三种解法是解含有两个绝对值和差不等式常用的方法，解法一中关键是找到特殊点，解法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，解法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.2．解不等式|2x －1|<|x |＋1.【解】 ①当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1，解得x ＞0，与x ＜0矛盾，此时无解；②当0≤x ＜12时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解得x ＞0，又∵0≤x ＜12，从而有0＜x ＜12；③当x ≥12时，原不等式化为2x －1＜x ＋1，∴x ＜2.因此12≤x ＜2.综合①②③知，原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．探究1 函数f (c 时，不等式|x －a |＋|x －b |＞c 的解集是什么？【提示】 因为|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|a －b |. ∴当|a －b |＞c 时，不等式|x －a |＋|x －b |＞c 的解集为R .事实上，对于一切x ∈R ，有|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|a －b |＞c . 探究2 对于a ≥f (x )在R 上恒成立求a 的取值范围时，如何转化求解？对于a ≤f (x )呢？对于a >f (x )的解集为∅，求a 的取值范围时如何转化求解，对于a <f (x )呢？【提示】 a ≥f (x )恒成立⇔a ≥max .a ≤f (x )恒成立⇔a ≤min . a >f (x )解集为∅⇔a ≤f (x )恒成立 a <f (x )解集为∅⇔a ≥f (x )恒成立．探究3 对于a ≥f (x )有解求a 的范围时，如何转化求解？a ≤f (x )有解呢？ 【提示】 a ≥f (x )有解⇔a ≥min .a ≤f (x )有解⇔a ≤max .已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)解f (x )≤3，由集合相等，求a . (2)求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的范围． 【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．3．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|≤a 的解集为∅，求实数a 的取值范围． 【解】 法一：令y 1＝|x ＋2|＋|x －1|，y 2＝a . ∴y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，3，－2≤x <1，－2x －1，x <－2.y 1，y 2的图象如图所示．由图可知，当a <3时，|x ＋2|＋|x －1|≤a 的解集为∅.法二：|x ＋2|＋|x －1|表示数轴上的点A (x )到B (－2)和C (1)两点的距离之和，而|BC |＝3，所以A 到B ，C 两点的距离之和的最小值为3. 即对一切x ∈R ，总有|x ＋2|＋|x －1|≥3. 因为|x ＋2|＋|x －1|≤a 的解集为∅， 所以只需a <3即可， 所以a 的取值范围是a <3.1．不等式|x |·(1－2x )＞0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x ＞0，解得x ＜12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x －2|＞x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】 原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2.【答案】 A3．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．【解析】 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}．集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．【答案】 34．在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________.【导学号：94910008】【解析】 由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1， 即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4. 【答案】5．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。
要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>ab 即可。
怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：①、如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b 。
推荐-高中数学北师大版选修4-5课件1.2.2绝对值不等式的解法
同理设点B右侧有一点B1到A,B两点的距离之和为3,B1对应数轴
上的x,
由 x-1+x-(-1)=3,得 x=32.
从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都小于3;点
A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.
所以原不等式的解集是
������
������
≤
-
3 2
或������
探究一
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解(1)当a=|≥2,即x≤-1或x≥3,故不等
式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≤-1或x≥3}.
(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0,
将此不等式化为不等式组,得
������ ≥ ������, ������-������ + 3������
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【做一做3】 不等式|x+2|+|x-3|>4的解集为
.
解析:因为|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5,即|x+2|+|x-3|的最小值为
5,所以不等式|x+2|+|x-3|>4恒成立,即解集为R.
答案:R
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”.
x<-a 或 x>a
x≠0
R
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【做一做1】 若不等式|x|>2a-1的解集为R,则实数a的取值范围
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5
• [互动探究]若本例条件变为“若关于x的不等式|x＋2| －|x－1|≥a的解集为R”，求实数a的取值范围．
解：法一 令 y1＝|x＋2|－|x－1|，y2＝a， 3，x≥1，
则 y1＝2x＋1，－2≤x＜1， －3，x＜－2.
• 函数y1，y2的图像如图所示．由图可知当a＜－3时，
• 不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( ) • A．(－∞，4) B．(－∞，1) • C．(1,4) D．(1,5) • 解析：①当x＜1时，原不等式等价于 • 1－x－(5－x)＜2，即－4＜2， • 所以x＜1.
• ②当1≤x≤5时，原不等式等价于 • x－1－(5－x)＜2，即x＜4， • 所以1≤x＜4. • ③当x＞5时，原不等式等价于x－1－(x－5)＜2， • 即4＜2，无解． • 综合①②③知x＜4. • 答案：A
• 3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解
法 几何意义
• (1)可以利用绝对值不等式的___________零_.点
• (2)利用分类讨论的思想，以绝对值的
“____________”为分界点，将数轴分成几个区间，
然后确定符号各个绝对值中的多绝对项值式符号的____________，
• 所以实数a的取值范围是(－∞，－3)．
• 【点评】 (1)含参数的绝对值不等式的解法与不含 参数的绝对值不等式的解法完全一样，只不过要注 意对参数的取值的讨论．
• (2)对于已知含参数的绝对值不等式的解集情况或恒 成立情况，求参数的值或取值范围的问题，关键是 根据其解集或恒成立构建关于参数的方程、不等式 或函数，再求解．
第一章 不等关系与基本不等式