机理分析建模概要
结构方程模型构建机理模型
结构方程模型构建机理模型
结构方程模型（SEM）是一种统计分析方法，用于检验和建立变
量之间的关系。
它结合了因果关系模型和测量模型，可以用来探索
变量之间的复杂关系。
构建机理模型的过程可以分为以下几个步骤：
1. 确定研究问题，首先需要明确研究的目的和问题，确定需要
研究的变量以及它们之间的关系。
2. 收集数据，收集与研究问题相关的数据，包括观察变量和测
量变量。
观察变量是无法直接测量的概念或构念，而测量变量是可
以通过实际测量获得的数据。
3. 建立测量模型，通过因素分析或确认性因素分析等方法，建
立测量模型来评估观察变量和测量变量之间的关系。
这一步骤有助
于确定测量变量对观察变量的影响程度。
4. 建立结构模型，在确定了测量模型后，可以建立结构方程模型，考察变量之间的因果关系。
通过路径分析和回归分析等方法，
可以确定变量之间的直接和间接影响关系。
5. 模型检验和修正，进行模型拟合度检验，如适配度指数（如卡方值、RMSEA、CFI等），以确保模型能够准确地反映数据。
如果模型拟合度不佳，需要对模型进行修正，直至达到较好的拟合度。
在构建机理模型的过程中，需要注意的是，要根据理论和实际情况合理选择变量，并且要考虑到变量之间可能存在的相互作用关系。
此外，还需要注意样本的选择和数据的质量，以确保模型的可靠性和有效性。
总之，构建机理模型是一个复杂而细致的过程，需要充分理解研究问题和数据特点，合理运用结构方程模型的方法和技巧，才能建立一个准确、可靠的模型来解释变量之间的关系。
数学建模之机理模型建立的平衡原理
k x1 +1 = 1.22×1011n/(1.22×1011 + n)
得到迭代关系 X k+1 = Φ(X k ) 稳定性条件||J(x)||<1 是迭代函数的Jacobi矩阵。 ||J(x)||<1。 Jacobi矩阵 稳定性条件||J(x)||<1。J是迭代函数的Jacobi矩阵。 总的捕鱼量为
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤ 1
0 x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 0 3 x4e 3 e
不考虑新生鱼， 不考虑新生鱼，年末和年初鱼群数量的关系为
1 0 x1 = x1 e−r1 x = x e
1 2
0 −r2 2
x =x e
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3 ≤ t ≤1
0 ≤ t ≤ 2/ 3 2/ 3≤ t ≤1
x4e−(r4 +E4 )t x4(t) = −2E4 −r4 (t−2) 3 x4e 3 e
例3：棒球球棒的SWEETSPOT的确定
问题：
由盐的数量守恒得到
p (t + ∆t )V (t + ∆t ) − p(t )V (t ) = ∫
等式两端同除以△ 等式两端同除以△t取极限得到
t + ∆t
t
pi (τ )ri (τ )dτ − ∫
t + ∆t
t
po (τ )ro (τ )dτ
d p(t )V (t ) = pi (t )ri (t ) − po (t )ro (t ) dt
1 3Байду номын сангаас
r 0.84 E4 − 3 − 0 3 3 3
数学建模讲座机理分析方法及例子1
不稳定，轨道{xn}趋向稳定点
■ 当3<a<1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动,
例 a =3.2
x2k-1 →0.799455
x2k →o.513045
这两个数满足
x f 2 ( x), x f ( x)
也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期
n = 0,1,2,…
● 数值迭代（ a 逐渐增加，迭代会有何结果）
1．倍周期分叉现象
■ 当0<a <1时，由于0<xn<axn+1
xn →0
物种逐渐灭亡
■ 当1<a<3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于
x*=1-1/a 其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点
（周期1点)例：a =1.5时 xn → 1/3.
~总和生育率
f
(t )
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,
t)
p(r , t )dr
人口发展方程和生育率
f
(t)
(t) r2 r1
h(r , t )k
(r,t)
p(r,
t)dr
(t) ~总和生育率——控制生育的多少
h(r, t ) ~生育模式——控制生育的早晚和疏密
p(r,t)
p0
约35年增加一倍，与1700－1961年世界人 统口计结果一致
与近年统计结果有误差，由a >1,xn趋向无穷， 模型在人口长期预测方面必定是失效的.
● Logistic模型
.
生存资源是重要的因素，修改模型为：
xn+1 － xn= r xn－ b xn2 － b xn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则
机理建模法概念
机理建模法概念
机理建模法指的是通过对系统的物理、化学、生物或其他科学原理进行建模，来描述和解释系统的行为和性质的一种方法。
它通过对系统的组成、相互作用和动力学过程进行分析和描述，从而揭示系统中的基本机理和规律。
机理建模法的主要目标是建立一个能够准确反映系统行为的数学模型，通过模拟和预测系统的响应、优化系统设计和控制，并提供对系统的深入理解。
这种建模方法广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、工程学等，用于研究和解决各种科学和工程问题。
在机理建模法中，常用的建模工具包括数学方程、动力学模型、随机过程模型等。
通过对系统的基本原理和机制进行建模，可以推导出系统的动态方程和关联方程，从而对系统的行为进行定量描述。
这种建模方法需要充分理解系统中的各种物理和化学原理，以及它们之间的相互作用和影响，从而能够比较准确地预测系统的响应和性质。
需要注意的是，机理建模法注重对系统内部机制和原理的建模和理解，而不是通过大量的观测数据来进行直接描述和预测。
因此，它通常需要对系统进行深入的研究和实验验证，以验证模型的准确性和可靠性。
机理模型
§3.3 平衡原理与机理模型一. 平衡原理自然界任何物质在其运动变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。
二. 机理模型在一定的假设下，根据主要因素相互作用的机理，对它们之间的平衡关系的数学描述。
三. 微分方程模型微元法：在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系, 再利用微分学的思想进一步处理它, 得到以微分方程的形式描述的数学模型。
例1. 人口的自然增长.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。
即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
假设1. 人群个体同质。
令N(t)表示t时刻的人口数。
假设2. 群体规模大。
N(t) 连续可微.假设3. 群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的影响。
平衡关系：人口数在区间[t，t+ ❒t ]内的改变量等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。
令B(t, ❒t, N), D(t, ❒t , N) 分别表示在时间区间[t，t+ ❒t ]内生育数和死亡数, 则有N(t+∆t)-N(t)=B(t, ∆ t,N)-D(t, ∆ t,N)假设4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。
（生育率和死亡率）生育率b(t, ❒t, N) = B(t, ❒t, N)/N, 死亡率d(t, ❒t, N) = D(t, ❒t, N)/N记增长率为 R(t, ∆ t,N)= b(t, ∆ t,N)-d(t, ∆ t,N) 则有 N(t+∆t)-N(t)=R(t, ∆ t,N)N 将R(t, ❒t,N)关于❒t展开. 由于R(t, h, N)|h=0=0，所以两边除以❒t, 并令❒t →0, 得到 dN/dt=r(t, N)N假设5. 群体增长恒定。
（r与 t 无关） dN/dt=r(N) N假设6. 个体增长独立。
（r 与 N 无关） dN/dt=r N给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus 模型) N(t)=N0e rt在离散时间点k=0, 1, 2, …, 上有 N(k+1) = e r N(k )Maithus: “若我的两个假设是成立的,那么,我认为人口繁殖的能量是无限地大于自然界为人类提供资料的能量的。
第二讲机理分析法建模
运动系统的类单容过程
已知运动系统如图所示，其中F和v分别为系统 的输入与输出量，试写出动态方程。 解：由牛顿定律得 拉氏变换
dv F kv m dt
kV ( s ) msV ( s ) F ( s )
写成传递函数的形式
1 v(s) k F (s) 1 m s k
11
自衡过程与非自衡过程
自衡过程
过程在阶跃输入量作用下，平衡状态被 破坏后，无须人或仪器的干扰，依靠过 程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平 衡状态
非自衡过程
被控过程在阶跃输入量作用下，其平衡 状态被破坏后，没有人或仪器的干预， 依靠过程自身能力，最后不能恢复其平 衡状态
12
思考：电路中 是否有类似例 子 单容过程
9
建立过程数学模型的基本方法
机理分析法：根据过程的工艺机理和已知定律，获得被 控对象的动态数学模型
概念清晰，结果可靠，无需试验 可在当生产设备还处于设计阶段就能建立其数学模型，对新设 备的研究和设计具有重要意义 对于不允许进行试验的场合，该方法是唯一可取的 通常此法只能用于简单过程的建模，对于复杂过程有局限性
前馈控制、最优控制、多变量解耦控制等更需 要有精确的过程数学模型
3
一、基本概念
被控过程：被控的生产工艺设备，如各种加热 炉、锅炉、热处理炉、贮罐、精馏塔、化学反 应器等等。 过程的数学模型：描述被控过程在输入（控制 输入，扰动输入）作用下，其状态和输出（被 控参数）变化的数学表达式。
4
（一）自衡过程建模
丹尼尔·伯努利在1726年 提出了“伯努利原理”
q2 k 流体运动方程（伯努利）： 小信号模型： 物料平衡方程：C
机理模型资料课件
用于研究人类社会经济、政治和文化系统的运行规律和发展趋 势。
机理模型发展历程
01
02
03
早期机理模型
基于经典物理学和化学原 理，用于描述简单系统的 行为。
现代复杂系统建模
随着计算机技术和数学方 法的进步，复杂系统的机 理模型得到广泛研究和应 用。
详细描述
参数调整法是通过不断调整模型的参数，使得模型的预测结果与实际观测数据尽可能接近。这种方法需要大量的 实验数据和反复的参数调整，但建立的模型具有较好的预测能力。
混合法
总结词
结合理论推导法和黑箱法等方法，综合构建模型
详细描述
混合法是结合理论推导法、黑箱法、参数调整法等多种方法，充分发挥各自的优势，综合构建模型。 这种方法能够充分利用各种方法的优点，提高模型的精度和可靠性，但需要更多的资源和时间投入。
03
机理模型能够揭示系统内部机制和规律，为预测和 控制系统的行为提供依据。
机理模型应用领域
工业过程控制 生态和环境系统
生物医学工程 社会科学
用于描述和预测生产过程中的各种现象，优化工艺参数，提高 产品质量和效率。
用于研究生态系统中的物质循环、能量流动和生物种群动态， 以及环境污染物在土壤、水体和大气中的结果，调整模型参数、优化算法 或采用更复杂的模型结构，以提高模型预测精 度。
模型复杂度评估
总结词
评估模型的复杂程度
详细描述
分析模型的变量数量、层级结构、连接方式等，评估模 型的复杂度是否适中，避免过拟合或欠拟合现象。
总结词
简化模型结构的方法
详细描述
通过减少变量数量、简化层级结构、优化连接方式等手 段，降低模型复杂度，提高可解释性和泛化能力。
催化反应动力学机理建模及实验验证分析
催化反应动力学机理建模及实验验证分析催化反应是一种重要的化学反应，通过催化剂的介入，可以显著提高反应的速率和选择性。
了解催化反应的机理是实现高效催化的关键，而动力学机理建模及实验验证分析则是揭示催化反应本质的重要手段。
1. 动力学机理建模动力学机理是催化反应研究的核心，它描述了反应物转化为产物的路径和速率。
通常，动力学机理可通过两种方式进行建模：基于理论计算和实验数据曲线拟合。
基于理论计算的动力学机理建模是基于化学原理和物理原理，通过密度泛函理论（DFT）、分子动力学模拟等计算方法，预测反应中的中间体、过渡态和势能面。
这种方法可以帮助研究者得到反应的速率常数、动力学方程，以及影响反应速率的因素。
另一种建模方法是通过实验数据曲线拟合得到动力学机理。
这种方法需要反复进行实验并记录实验数据，然后使用数学方法拟合数据来确定动力学参数。
常见的拟合方法包括最小二乘法、非线性回归等，可以得到动力学参数和反应速率方程。
尽管这种方法相对简单，但它通常需要大量实验数据和较长的研究时间。
无论是理论计算还是实验数据曲线拟合，动力学机理建模是催化反应研究的基础。
它可以揭示反应的机理细节，帮助优化催化剂设计和反应条件选择。
2. 实验验证分析实验验证分析是验证动力学机理模型的重要手段。
它可以通过实际实验数据与模型预测的数据进行对比，以评估模型的准确性和适用性。
在催化反应研究中，实验验证分析通常采用实验技术和仪器来收集数据，并与模型进行比较。
例如，催化反应的速率可以通过测量反应物和产物的浓度变化来确定。
常用的实验技术包括质谱分析、红外光谱分析、核磁共振分析等。
与此同时，表面科学和材料科学领域的技术也为催化反应的验证提供了有力工具。
例如，催化剂的表征和反应过程的原位监测可以通过扫描电子显微镜、透射电子显微镜、X射线衍射等方法进行。
这些技术可以帮助研究者观察到催化剂和反应物的结构与形态变化，并揭示反应的特定步骤。
此外，建立反应动力学模型后，进行敏感性分析也是实验验证的重要步骤之一。
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———成都大学
机理分析是根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系，找出反映内部机理的规律。
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对现实对象的认识来源： ➢与问题相关的物理、化学、经济等方面的知识； ➢通过对数据和现象的分析对事物内在规律做出的 猜想(模型假设)。
模型特点：有明确的物理或现实意义
在实际问题中， “改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等关键词提示我们注意什么量在变化；关键词 “速率”、“增长” “衰变” ，“边际的” ，常涉及 到导数。这些都是建立微分方程模型的关键。
(一) 微分方程的建立
建立常微分方程模型的常用方法：
➢ 运用已知物理定律 ➢利用平衡与增长式 ➢运用微元法 ➢运用分析法
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r 1002 (100 h)2 200h h2
令Δt 0, 得 dV=－πr2 dh， (2)
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
0.62 2ghdt (200h h2 )dh
dT
k(T
m)
dt
T (0) 60
其中参数k >0，m=18，求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c 或 T m cekt (t 0)
代入条件，求得c=42 ，
k
1 3
ln 16 21
,
最后得
1 ln 16 t
T (t ) 18 42e 3 21 (t 0)
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个最简单 的模型是：
{Δt时间内的人口增长量} ={Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数} 更一般地
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量} 不同的输入、输出情况对应不同的差分或微分方程。 输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量； 输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量。
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物 体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持
为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)
(t≥0)， “T的变化速率正比于T与周围介质的温度差” 翻译成数学语言也就是：dT 与T m成 正 比。
dt
建立微分方程
此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的 右端，使平衡式成立。
例1.2(战斗模型) 两方军队交战，希望为这场战斗 建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的：
1. 预测哪一方将获胜？
2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能 赢得这场战斗？ 模型建立
Q dV 0.62S 2gh dt
S—孔口横截面积(单位：平方厘米) h(t) —水面高度(单位：厘米) t—时间(单位：秒) 当S=1平方厘米，有
dV 0.62 2ghdt (1)
r1
h(t) r2
h+Δh
在[t，t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh(Δh<0), 容 器中水的体积的改变量为
结果：
T (10)
18
1 ln 1610
42e 3 21
39.3(0 C )
该物体温度降至300C 需要8.17分钟。
2、利用平衡与增长式
许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性， 如封闭区域内的能量、货币量等。
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关 变量间的相互关系.
续 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个体的出生、 死亡，再进一步考虑迁入与迁出的影响。
1、运用已知物理定律
建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功 倍。
例1.1 一个较热的物体置于室温为180C的房间内， 该物体最初的温度是600C，3分钟以后降到500C 。想知 道它的温度降到300C 需要多少时间？10分钟以后它的 温度是多少？
牛顿冷却(加热)定律：将温度为T的物体放入处于 常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质 的温度差。
设: x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
假设： 1) 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗， x(t)与 y(t)都是连续变量。
2) Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵；
h t0 100
积分后整理得
3
5
t (700000 1000h2 3h2 )
4.65 2g
(0≤h≤100)
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分。
4、分析法
基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因 果关系, 找出反映内部机理的规律。
例1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半的水，水 从它的底部小孔流出，小孔的横截面积为1平方厘米。 试求放空容器所需要的时间。
对孔口的流速做两条假设 ：
1．t 时刻的流速v 依赖于此
2米
刻容器内水的高度h(t)。
2 ．整个放水过程无能量损失。
分析：放空容器
容器内水的体积为零 容器内水的高度为零
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流量Q为 通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的变化率”，即
平衡式：
{Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数}
即有：Δx =－ayΔt ，同理：Δy =－bxΔt
令Δt 0，得到微分方程组：
dx
dt dy
ay bx
(a 0) (b 0)
dt
3、微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在一个 很短时间内的变化情况。
机理分析建模常用方法： ➢常微分方程 ➢偏微分方程 ➢逻辑方法 ➢比例方法 ➢代数方法
➢ 常微分方程建模 微分方程的建立 微分方程的求解 ➢ 逻辑方法建模
目录
一 微分方程建模
当实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的变化 规律 y=y(t)，且直接求很困难时，可以建立关于未知变 量、未知变量的导数以及自变量的方程(即变量满足的 微分方程)。