【数学建模 微分方程及论文写作】机理分析建模法
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程中的数学建模实例分析
微分方程中的数学建模实例分析作者：邹佩来源：《科技风》2024年第05期摘要：传统高等数学教学有较好的基础，但是由于教学手段单一，教学内容单调枯燥，学生很难将所学知识应用于实践。
数学建模将实际问题经过分析、抽象、通过合理假设、化简，变化成一个数学问题，再通过数值分析方法求解问题，最后将结果应用于实践。
本文旨在通过多个微分方程模型实例，探讨将数学建模思想和建模方法渗透和融入高等数学课程的教学中，培养和提高学生应用随机数学的思想方法建模、解决实际问题的实践、应用能力。
关键词：数学建模；微分方程；分離变量法；齐次方程微积分是高等数学教学内容中非常重要的一部分，它以极限思想为基础来研究实数函数。
微分方程模型描述的是动态系统，需要通过随时间或空间的演变过程，分析动态对象的变化规律、研究变化特性、预测其未来发展性。
这个过程就需要确定函数和其导数之间的关系，根据建模目的和问题分析作出简化假设，按照内在规律建立微分方程，最终通过对微分方程的求解来指导实践。
一、数学建模实例选择标准高等数学中很多问题和数学建模思想相关，而渗透建模思想的主要途径就是联系实际。
于是选择教学案例时要注意以下几点。
首先，数学建模的实例要简单易懂，学生要能直观感受其中的数学关系，否则会过多占用学生思考时间，影响后续教学进度；其次，案例密切联系实际，既有助于教学内容的理解，又通过对问题的分析，抽象能用学过的知识解决问题；再次，案例要与高等数学的知识范围相关，如果案例中数学知识超出课程大纲范畴，学生难以理解，教学效果得不到保证，而所用知识太简单，又不足以帮助学生深入理解数学建模过程，达不到教学目的；最后，建模案例应具备一定科学性，所选的案例要符合客观事件发展规律，有较严谨的逻辑关系。
二、微分模型实例分析建立微分模型的关键词是“瞬时变化率”，而在实际中应用的表述变化的词有物理学中的速度、经济学中增长率、边际利润等，并且注意对象描述中的绝对增加率和相对增加率的计算。
数学建模的微分方程方法
数学建模的微分方程方法数学建模是将现实问题抽象化为数学问题并运用数学方法来解决的过程。
微分方程方法是一种常用的数学建模方法，可以描述问题中的变化过程和规律。
下面将介绍微分方程方法在数学建模中的应用。
微分方程是描述自变量与其之间的关系的方程，其中自变量通常表示时间或空间。
微分方程方法通过建立适当的微分方程来描述问题中的变化过程，然后利用数学工具来求解这些微分方程，从而得到问题的解析解或数值解。
微分方程方法在数学建模中的应用非常广泛。
例如，经典的弹簧振子问题可以通过建立二阶线性常微分方程来描述。
通过求解该微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律，从而预测其位置和速度随时间的变化。
微分方程方法还可以用来描述人口增长、化学反应、电路等问题。
人口增长问题可以通过建立一阶常微分方程来描述，从而得到人口数量随时间的变化规律。
化学反应可以通过建立化学动力学方程来描述，从而预测反应速率随时间和反应物浓度的变化。
电路问题可以通过建立电路方程来描述，从而预测电流和电压随时间的变化。
在数学建模中，常常需要求解一类特殊的微分方程，即边值问题。
边值问题是指在一定边界条件下求解微分方程的解。
例如，热传导问题可以通过建立热传导方程和适当的边界条件来描述。
通过求解这个边值问题，可以得到在不同边界条件下的温度分布。
微分方程方法还与其他数学建模方法相结合，如优化方法、概率统计方法等。
例如，最优化问题可以通过建立约束条件下的微分方程来描述，从而求解最优解。
概率统计问题可以通过建立随机微分方程来描述，从而分析问题中的随机性和不确定性。
在实际建模中，常常会遇到复杂的问题和非线性的微分方程。
对于这些问题，常常需要借助数值方法来求解。
数值方法通过将微分方程离散化为差分方程，然后利用计算机进行数值计算，从而得到问题的数值解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法、有限元法等。
总之，微分方程方法是数学建模中常用的方法之一，可以描述变化过程和规律，并通过数学分析和数值计算来求解。
微分方程模型(数学建模)
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
数学建模论文写作结构解析精修订
数学建模论文写作结构解析集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#数学建模论文写作结构解析题目题目是给评委的第一印象，建议将论文所有模型或者算法加入题目中，例如《用遗传算法解决XXXX问题》。
摘要摘要无疑是论文中最重要的部分。
摘要应该最后书写。
再重申一遍：在论文的其它部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。
一个理想的时间安排是把交卷前4个小时时间拿出来书写摘要。
摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。
如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。
进一步，你必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终算法执行效率较一个简单的贪婪算法提高％，较随机选择算法提高％” 。
理想的摘要长度是很难确定的。
你必须把所有的核心观点包含在摘要里面，但是简洁是非常重要的。
一般情况下半页左右比较合适，绝对不要超过2/3页。
摘要（甚至是整篇文章），应该由整个团队合作完成。
一种实现方式是，每个队员单独地花一个小时（至少）时间写一个他们认为最好的摘要。
然后，大家聚到一起，相互阅读这些摘要。
摘要一般分三个部分。
1、概述：用三句话表述整篇论文中心。
不要超过5行内容。
•第一句，用什么模型，解决什么问题。
••第二句，通过怎样的编程思路来解决问题。
••第三句，通过怎样的模型检验来验证结果的精度。
说白了就是给个结果。
2、分问题表述：一般国内的竞赛的题目，分3-4个问题。
而第一个问题建立的模型基本上是整篇论文的精髓。
下面的问题是对第一问题的检验及深入。
所以在分问题表述上第一问最好写一下解题的思考过程，比如“我们通过大量不同模型的刷选，发现XX模型很好的解决改问题……云云”。
这些表述会增加评委对论文的好感度。
下面的几个问题，主要简单写一下解题过程及结果即可。
3、最后总结：“我们对此模型在XXX的验证过程中发现了一些不足之后，并在模型评价上提出了N点建议。
（N，不要超过4个哈）问题重述（引言）在引言中，你可以按照你自己的理解重述问题。
微分方程的建模原理及应用
微分方程的建模原理及应用引言微分方程是数学中重要的一门学科，它是描述自然界和工程领域中许多现象和过程的数学工具之一。
本文将介绍微分方程的建模原理及其应用，并使用Markdown格式进行编写。
微分方程的定义微分方程是描述变量之间关系的方程，其中包含了变量的导数。
一般形式的微分方程可以写作：$$f(x, y, y', y'', \\ldots, y^n) = 0$$其中，x是自变量，y是因变量，$y', y'', \\ldots, y^n$ 是y的导数，n是方程的阶数。
微分方程的建模原理微分方程的建模原理是将现实世界中的问题转化为数学模型，通过建立微分方程来描述问题的变化规律。
建模的过程需要以下几个步骤：1.问题理解：全面理解实际问题的背景、目标和限制条件。
明确要研究的变量和参数。
2.数学模型的建立：根据问题理解，确定数学函数和变量之间的关系，并找到恰当的微分方程。
3.模型求解：利用数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
4.模型分析：对模型求解结果进行分析和解释，评估模型的适用性和可靠性。
微分方程的应用领域微分方程在各个科学领域和工程技术中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：物理学•力学：描述物体的运动和力学性质。
•电磁学：描述电荷和电磁场的关系。
•光学：描述光的传播和折射。
经济学•经济增长模型：描述经济产出和经济变量之间的关系。
•消费与储蓄模型：描述个体和国家的消费和储蓄行为。
生物学•生物种群动力学：描述物种数量和环境因素之间的关系。
•神经科学：描述神经元的电信号传递和网络行为。
工程学•电路分析：描述电路中电流和电压之间的关系。
•控制系统：描述系统的稳定性和动态响应。
微分方程的求解方法微分方程的求解方法分为解析解和数值解两种。
解析解解析解是指通过数学方法直接求解微分方程得到的精确解。
常见的求解方法包括：•可分离变量法：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过积分求解。
数学微分方程与数学建模
数学微分方程与数学建模数学微分方程是数学中的重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
微分方程广泛应用于物理、化学、生物、经济等领域，是现代科学和工程技术的基础。
而数学建模则是利用数学方法对实际问题进行描述和求解的过程。
数学微分方程与数学建模密切相关，它们相互促进，共同推动了科学技术的发展。
微分方程是数学建模的重要工具。
在实际问题中，往往需要建立数学模型来描述问题的本质和规律。
而微分方程正是用来描述自然界中变化规律的数学工具。
通过建立合适的微分方程模型，可以对问题进行分析和求解，从而得到有关问题的定量结果。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以用微分方程来描述；在生物学中，人口增长、传染病传播等问题也可以用微分方程模型来研究。
因此，微分方程是数学建模的基础，没有微分方程的支持，数学建模就无法进行。
微分方程的求解是数学建模的核心问题之一。
建立了合适的微分方程模型后，需要对方程进行求解，得到问题的解析解或数值解。
求解微分方程是一个复杂而困难的过程，需要运用数学分析和计算方法。
常见的求解方法包括分离变量法、变量代换法、级数展开法等。
这些方法在实际问题中都有广泛的应用。
例如，在经济学中，通过求解微分方程可以得到经济增长模型的解析解，从而预测经济的发展趋势；在工程学中，通过求解微分方程可以研究控制系统的稳定性和响应特性，为系统设计提供依据。
微分方程的数值解法也是数学建模的重要手段之一。
对于复杂的微分方程模型，往往无法得到解析解，只能通过数值方法来求解。
数值解法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行计算，得到问题的数值解。
常用的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。
这些方法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在天气预报中，通过数值解法可以模拟大气运动的微分方程模型，从而预测未来的天气变化；在交通流量控制中，通过数值解法可以求解交通流动微分方程，优化交通信号的配时方案。
数学微分方程与数学建模的发展离不开计算机技术的支持。
微分方程与数学建模
微分方程与数学建模微分方程是研究函数的变化规律以及函数与其导数之间的关系的数学工具。
它在数学领域中具有广泛的应用，尤其在数学建模中发挥着重要的作用。
本文将介绍微分方程在数学建模中的应用以及解决实际问题的过程。
一、微分方程在数学建模中的应用微分方程是数学建模的重要工具之一，它能够描述变化的量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，很多情况下我们需要确定某个物理量随时间的变化规律，而微分方程正是可以用来解决这类问题的数学工具。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并利用数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中，常常需要通过建立微分方程来描述问题的动力学行为。
例如，一个机械摆的摆动规律可以用二阶线性微分方程来描述；生物学中的人口变化可以用常微分方程来描述；在物理学中，众多的物理规律也可以转化为微分方程。
二、解决实际问题的过程数学建模是一个系统工程，它通常包括问题的提出、问题的分析、建立数学模型、求解模型、验证和应用等步骤。
其中，微分方程的建立和求解是数学建模中的关键环节。
在问题的提出和分析阶段，需要明确问题背景、目标和限制条件，并对问题进行全面的分析。
在确定采用微分方程进行建模时，需要对问题进行适当的简化和假设，以便将实际问题转化为可求解的数学模型。
建立微分方程模型是实现数学建模的核心步骤。
在建立模型时，需要根据问题的特点选择合适的微分方程类型，并确定方程中的参数和初值条件。
建立模型后，可以利用数学、物理和统计学等知识对模型进行分析，以了解问题的本质和特征。
对于求解微分方程模型，通常可以采用数值方法、解析方法或数学软件进行求解。
数值方法可以通过近似计算来得到问题的数值解，而解析方法则通过解析求解微分方程得到问题的解析解。
在求解过程中，需要根据具体情况选择适当的方法，并利用数学工具进行计算和分析。
验证是数学建模的重要环节，通过与实际数据进行对比验证模型的准确性和可行性。
如果模型与实际情况相符，就可以进一步进行应用和推广，为实际问题的解决提供有力支持。
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机理分析是根据对现实对象特性的认识, 分 析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
机理分析方法立足于揭示事物内在规律
对的
现认 实识 对来
*与问题相关的物理、化学、经济 等方面的知识.
象源
*通过对数据和现象的分析对事
物内在规律做出的猜想(模型假设).
模型特点：有明确的物理或现实意义
分析 广告的效果, 可做如下的条件假设： *1. 商品的销售速度会因广告而增大，当商品 在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于一个极 限值；
例5.1.2 战斗模型 两方军队交战，希望为 这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到 如下目的：
1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入 多少士兵才能赢得这场战斗？
模型建立： 设 x(t) — t 时刻X方存活的士兵数； y(t) — t 时刻Y方存活的士兵数；
代入条件，求得c=42
，k=－
1 3
ln
16 21
,
最后得
1 ln16t
T(t)=18+42 e 3 21
, t ≥0.
结果
：T(10)=18+42 e
1 3
ln
16 21
×10=25.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
二. 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不
变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等.
利用变量间的平衡与增长特性，可分析和 建立有关变量间的相互关系.
续例2.3 人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P(t)，除考虑个 体的出生、死亡，再进一步考虑迁入与迁出的 影响.
在很短的时间段Δt 内，关于P(t)变化的一个 最简单的模型是：
{Δt时间内的人口增长量}=
{Δt内出生人口数}－{Δt内死亡人口数}
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与 T − m 成正比 dt
数学语言
建立微分方程
⎪⎧ dT = − k (T − m ), ⎨ dt ⎪⎩T (0) = 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m)=－k t+c,
或 T = m + ce−kt , t ≥ 0,
积为1平方厘米. 试求放空容器所需要的时间.
对孔口的流速做两条假设 ：
1．t 时刻的流速v 依赖于
此刻容器内水的高度h(t).
2 ．整个放水过程无能
？ 量损失。
分析： 放空容器
2米
容器内水的体积为零
容器内水的高度为零
模型建立：由水力学知：水从孔口流出的流 量Q为通过“孔口横截面的水的体积V对时间t 的 变化率”，即
Q = dV = 0.62S 2gh dt
S—孔口横截面积（单位：平方厘米） h(t) —水面高度（单位：厘米）
t—时间（单位：秒）
当S=1平方厘米，有
dV = 0.62 2ghdt (1)
r1
h(t)
r2
h+Δh
在[t, t+Δt ]内，水面高度 h(t) 降至h+Δh (Δh<0), 容器中水的体积的改变量为
的” ，常涉及到导数.
常 用建
运用已知物理定律
机理分
微立 分方
利用平衡与增长式
析法
方法 程
运用微元法
应用分析法
一. 运用已知物理定律
建立微分方程模型时
应用已知物理定律， 可事半功倍
例5.1.1 一个较热的物体置于室温为180c的 房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多少时 间？10分钟以后它的温度是多少？
ΔV=V(h)－V(h+Δh)=－πΔh[3(r12+r22)＋o(Δh)] ≈－πr2Δh＋o(Δh)
记 r = 1002 − (100 − h)2 = 200h − h2
令Δt→ 0, 得
dV=－πr2 dh，
（2）
比较(1)、(2)两式得微分方程如下：
⎪⎧0.62 2ghdt = −π (200h − h2 )dh,
⎨ ⎪⎩h t =0 = 100.
积分后整理得
3
5
t = π (700000 − 1000 h 2 + 3h 2 )
4.65 2 g
0≤h≤100
令 h=0，求得完全排空需要约2小时58分.
四.逻辑分析法 基本思想：根据对现实对象特性的认识，
分析其因果关系, 找出反映内部机理的规律.
例5.1.4（独家广告模型） 广告是调整商品 销售的强有力的手段, 广告与销售量之间有什 么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？
Δx =－ayΔt, Δy =－bxΔt,
0, 得到微分方程组：
dx = −ay, a > 0 dt
dy = −bx, b > 0 dt
三. 微元法
基本思想： 通过分析研究对象的有关变量在 一个很短时间内的变化情况.
例5.1.3 一个高为2米的球体容器里盛了一半
的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面
5.1 微分方程的建立
实际问题需寻求某个变量y 随另一变量 t 的 变化规律 ：y=y(t).
直接求 很困难
建立关于未知变量、
未知变量的导数以及 自变量的方程
建立变量能满足 的微分方程
？ 哪一类问题
在工程实际问题中
* “改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化.
关键词“速率”、“增长” “衰变” ，“边际
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较
高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分 布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
+ {Δt内迁入人口数}－{Δt内迁出人口数}
更般
一化
基本模型
{Δt时间内的净改变量} ={Δt时间内输入量}－{Δt时间内输出量}
不同的输入、输出情况对应不同的差分或 微分方程.
输入量：含系统外部输入及系统内部产生的量；
输出量：含流出系统及在系统内部消亡的量. 此类建模方法的关键是
分析并正确描述基本模型的右端， 使平衡式成立
假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战
斗， x(t)与y(t)都是连续变量.
2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y 方军队 b 名士兵；
{Δt 时间内X军队减少的士兵数 } = {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数}
平衡式
即有 同理 令Δt